第一篇：分析立體幾何證明題思路的方法

應(yīng)用分析法分析立體幾何證明題思路

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中很重要的一部分知識(shí)，對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力有很重要的意義，雖然近些年高考中立體幾何的難度有所降低，但一直是高考的必考點(diǎn)，其中證明又是重要的考察點(diǎn)。有許多空間想象能力較弱的學(xué)生一見到立體幾何證明題就無從下手，也不知道該怎么學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，下面談?wù)勎以诮虒W(xué)中的一些做法。

一、基礎(chǔ)知識(shí)的準(zhǔn)備，學(xué)生需要熟悉所學(xué)的公理、定理的條件和結(jié)論，并按照結(jié)論來分類，這樣做的目的是讓學(xué)生知道當(dāng)要證明一個(gè)結(jié)論時(shí)需要選擇的方法有哪些，然后根據(jù)條件來確定。立體幾何證明里邊常見的是位置的證明，有平行和垂直，又可分為六種，有線線、線面、面面平行和垂直。整理方式如下：

（一）線線平行

1.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

2.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行； 3.面面平行的性質(zhì)定理：一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面的交線互相平行；

4.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

（二）線面平行

1.線面平行的判定定理：平面外一條直線平行于平面內(nèi)的直線，則該直線與平面平行；

2.面面平行的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任意直線平行另外一個(gè)平面。

（三）面面平行

1.面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；

2.推論：兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則兩個(gè)平面互相平行。

（四）線線垂直

1.線面垂直的性質(zhì)定理：直線垂直于平面，則該直線垂直于平面的內(nèi)的所有的直線；

2.三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果與穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；

3.三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

（五）線面垂直

1.線面垂直的判定定理：直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則直線垂直于平面；

2.面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

（六）面面垂直

面面垂直判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直。

二、掌握證明方法，用分析發(fā)來分析思路，用綜合法來書寫證明過程。分析時(shí)從結(jié)論出發(fā)，找結(jié)論成立的條件。下面用例題來說明。

例1（2014年全國卷2第18題）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA?ABCD,E為PD中點(diǎn)。

（I）證明：PB//面AEC;(II)略。

分析：要證明的是線面平行，根據(jù)掌握的常用結(jié)論有線面的判定和面面平行的性質(zhì)，從圖中觀察，PB所在的兩個(gè)平面和面AEC并不平行，所以選擇用判定，在平面內(nèi)找一條直線與PB平行，現(xiàn)有的三條也不平行，這時(shí)就想到要做輔助線了，怎么做呢，由點(diǎn)E是中點(diǎn)容易想到用三角形的中位線所以連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，O為BD的中點(diǎn)，OE為中位線，所以平行于PB，故能證明結(jié)論P(yáng)B//面AEC成立。下面用簡圖說明；

要證明PB//面AEC

? PB//OE

?

OE是?PBD的中位線

書寫證明過程時(shí)從條件出發(fā)，證明如下： 證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE。

?點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)

?PB//OE ?OE?面ACE

?PB//面AEC

例題2（2013陜西第18題）如圖，四棱柱ABCD?A'B'C'D'的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A'O?平面BB'D'D,AB?AA'?2.(I)證明：A'C?BB'D'D;(II)略。

要證明線面垂直，能用的結(jié)論有線面垂直的判定和面面垂直的性質(zhì)，這就有兩種證明方法了，先用線面垂直的判定來分析。

分析1： A'C?BB'D'D

AC?BD

A'C?BB'

'?

BD?面ACC'A' A'C?OO'

? ?

? ? ?

四邊形ABCD是正方形 A'O?面ABCD A'O?OC A'O?OC ? ? ? ?

已知 已知 在Rt?AA'O中計(jì)算 已知 AC?BD A'O?BD 四邊形A'OCO'為正方形

? ?

分析完成后，按照從下往上的順序書寫證明過程，書寫中完善條件。證明:連接上底面對角線交于點(diǎn)O'，連接OO',O'C.?四邊形ABCD是正方形 ?AC?BD ?A'O?面ABCD

?A'O?BD

?AC?A'O?O,AC、A'O?面ACC'A' ?BD?面ACC'A' ?A'C?BD

?A'O?平面BB'D'D,AB?AA'?2.?在Rt?AA'O中A'O?OC ?四邊形A'OCO'為正方形 ?A'C?OO' ?A'C?BB' ?A'C?BB'D'D

下面用面面垂直的性質(zhì)來分析；

分析2： A'C?BB'D'D ?

面ACC'A'?面BB'D'D A'C?OO'

? ?

BD?面ACC'A' 四邊形A'OCO'為正方形

? ?

AC?BD A'O?BD A'O?OC A'O?OC

? ? ? ? 四邊形ABCD是正方形 A'O?面ABCD 在Rt?AA'O中計(jì)算 已知

? ?

已知 已知

證明過程略。

通過這樣的方法多練習(xí)，掌握分析方法，熟練后基本的立體幾何證明問題都可以解決。

第二篇：立體幾何證明題[范文]

11.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中點(diǎn)

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.2.如圖5所示，在四棱錐P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是C A1 1D B

PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)且DF?

PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?

1，AD?1AB，2FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；

（3）證明：EF?平面PAB.3.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，ABE分11?AC11，D，別是棱BC，（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且ACC1上的點(diǎn)D?DEF，為B1C1的中點(diǎn)．

求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．

（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD?PD?2MA.（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D?B1C

。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD?AE,F

是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐

A?BCF,其中BC?

(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;(3)當(dāng)AD?

圖4

時(shí),求三棱錐F?DEG的體積VF?DEG.3

10.如圖,在四棱錐P?ABCD

中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面

ABCD,PA?AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求

證:

(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF?平面PCD

（2013年山東卷）如圖,四棱錐P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分別為

PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn)

(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求證:平面EFG?平面EMN

11.

第三篇：立體幾何平行證明題常見模型及方法[定稿]

立體幾何平行證明題常見模型及方法 證明空間線面平行需注意以下幾點(diǎn)：

①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。

平行轉(zhuǎn)化：線線平行 線面平行 面面平行；

類型一：線面平行證明（中位線法，構(gòu)造平行四邊形法，面面平行法）

（1）方法一：中位線法以錐體為載體

例1：如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB∥平面AEC；

變式1：若點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，求證：PA||平面BDM；

變式2：若點(diǎn)M是PA 的中點(diǎn)，求證：PC||平面BDM。EAB變式3如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱體為載體

例2在直三棱柱ABC?A1B1C1,D 為BC的中點(diǎn)，求證：AC1||平面AB1D

變式1 在正方體ABCD?A1BC11D1中，若E是CD的中點(diǎn)，求證：B1D||平面BC1E 變式2在正方體ABCD?A1BC11D1中，若E是CD的中點(diǎn)，求證：B1D||平面BC1E 變式 3如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn).求證：BC1//平面AB1D；

方法2：構(gòu)造平行四邊形法

例1如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，E、F

分別為AB,SC的中點(diǎn)．證明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

變式1：若E、F分別為AD,SB的中點(diǎn)．證明EF∥平面SCD

變式2若E、F分別為SD,AB的中點(diǎn)．證明EF∥平面SCB

例2如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分別是棱AD、AA1的中點(diǎn).設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法（略）

舉一反三

1如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD?DE?2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).(1)求證：AF//平面BCE；(2)求證：平面BCE?平面CDE；

E

A

C

F

2如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，側(cè)(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．

(1)求出該幾何體的體積；

(2)若N是BC的中點(diǎn)，求證：AN∥平面CME；(3)求證：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E為BD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)．

(1)求證EF∥平面ADD1A1；（2）求幾何體DD1AA1EF的體積。

第四篇：立體幾何證明題舉例

立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因?yàn)锳BC ?A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因?yàn)锳1 B1＝A1 C1，F(xiàn)為B1 C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1 C1.因?yàn)镃 C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因?yàn)镃 C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點(diǎn)．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導(dǎo)引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點(diǎn)，求VC－DEF.[規(guī)范解答](1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明 ∵G是DF的中點(diǎn)，又易知H是FC的中點(diǎn)，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設(shè)Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

BCM的體積．

[審題導(dǎo)引](1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據(jù)錐體體積公式進(jìn)行計(jì)算．

[規(guī)范解答](1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明 因?yàn)椤鱌MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第五篇：高三立體幾何證明題訓(xùn)練

高三數(shù)學(xué) 立體幾何證明題訓(xùn)練

班級(jí)姓名

1、如圖，在長方體

ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

AD?AA1，F(xiàn)為棱AA1的中點(diǎn)，1的中點(diǎn)，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱，?DAB?60，?

DC

1B1

M

AF

C

A3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)。（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)。

（2）求三棱錐D?

D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點(diǎn)。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD．(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB ？若存在，請確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，PA?面ABCD.P

(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB?,AF?1,M的中點(diǎn)。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積；(Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

是線段EF

為CE上的點(diǎn)，且

ABCD

中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F(xiàn)的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

C

B10、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．

(I)求證：平面PDC?平面PAD；(II)求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面PAD?底面ABCD，且

PA?PD?

(Ⅰ)

AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求證:平面PDC?平面PAD；