第一篇：《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》(經(jīng)管類)復(fù)習(xí)資料

廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院 2010—2011 學(xué)年第 二 學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》復(fù)習(xí)資料

第五章定積分及其應(yīng)用

1、理解定積分的定義和性質(zhì)，會(huì)利用積分中值定理求平均值。

2、熟練掌握和應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分，包括絕對(duì)值函數(shù)的積分計(jì)算。例如上冊(cè)P225例7，例8等。

3、熟練掌握和應(yīng)用微積分基本公式計(jì)算極限和導(dǎo)數(shù)。例如：上冊(cè)P223例

3、例4等

4、熟練掌握和應(yīng)用定積分的換元法和分部積分法。例如：上冊(cè)P230 例

1、例4，以及P232例

10、例11等；掌握一些積分技巧，例如：奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分計(jì)算。

5、會(huì)利用定積分計(jì)算直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。例如：上冊(cè)P242例1，例2等.第六章多元函數(shù)的微積分定積分及其應(yīng)用

1、理解二元函數(shù)極限和連續(xù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限。例如：下冊(cè)P13習(xí)題4(1)(2)等。

2、理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義，以及二元函數(shù)連續(xù)、可微和偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。會(huì)求簡(jiǎn)單的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分。例如：下冊(cè)P15例2，P24習(xí)題6-4第1(2)，2題等.3、熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算。例如：下冊(cè)P27 例

1、例2，P30 例8，例9等。

4、掌握多元函數(shù)極值和條件極值的計(jì)算方法。例如：下冊(cè)PP35例6以及P43習(xí)題6-6 第5，7題等

5、熟練掌握直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，包括利用對(duì)稱性和奇偶性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算。例如：下冊(cè)P51例

1、例2，P54例

6、例7，P55例9 以及P59例1等。

第八章微分方程

1、理解微分方程的一些基本概念。

2、熟練掌握可分離變量的微分方程的求解方法，會(huì)利用常數(shù)變易法求解一階線性微分方程。例如：下冊(cè)P112例

1、例2，P119例

1、P120例2等。

題型：

一、單項(xiàng)選擇題每小題2分，共20分

二、填空題每小題3分，共15分

三、計(jì)算題6個(gè)小題，共45分

四、應(yīng)用題2個(gè)小題，共20分

第二篇：2014經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)提綱

高等數(shù)學(xué)(二)

一.考試題型

1.單項(xiàng)選擇題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

2.填空題:5個(gè)小題，每小題3分，共15分;

3.解答題:10個(gè)小題，每小題7分，共70分;

二.考試章節(jié)：第六章, 第八章, 第九章, 第十章, 第十一章(11.1,11.2).三.考試知識(shí)點(diǎn)和參考題

第六章: 1.定積分的概念和性質(zhì):P157(B)1;

2.積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù): P154 3(1)(2)(3)(4);

3.定積分的計(jì)算: P155 5(1)(2)(6);6(1)(2)(3)(8);7(1)(2)(3);

5.反常積分: P156 16(1)(2)(3)(5);

第八章: 1.多元函數(shù)的概念:P198 1;3;

2.偏導(dǎo)數(shù)與全微分: P183 例題 8.6;P186 例題 8.10;P198 4(1)(3);

3.多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法: P188例題 8.11;例題 8.12;例題 8.13;P198 11;12(1);13(1);P199 15;16;

4.高階偏導(dǎo)數(shù): P191例題 8.17;P198 5;

第九章: 1.二重積分的概念和性質(zhì):P212(B)1;

2.二重積分的計(jì)算: P206 例題 9.3;P207 例題 9.4;

P209例題 9.6;例題 9.7;P2113(1)(4)(5);

第十章: 1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì):P215例題 10.1;P238(B)1； 7;

2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: P223 例題 10.9;P2372(1)(3)(4)(6)(7);3(1)(3)(4);P238(B)2;3;4;8；9；

3.冪級(jí)數(shù): P229例題 10.11;

第十一章: 1.微分方程的基本概念:P259 1;

2.一階微分方程: P243例題 11.4;例題 11.5;P2593(1)(2)(3);

第三篇：大學(xué)課件 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料

題號(hào)

一

二

三

四

五

六

七

八

九

總分

得分

一、單項(xiàng)選擇題（15分，每小題3分）

1、當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的（）

（A）必要條件

（B）充分條件

（C）充要條件

（D）既非充分也非必要條件

3．設(shè)在內(nèi)單增，則在內(nèi)（）

（A）無(wú)駐點(diǎn)

（B）無(wú)拐點(diǎn)

（C）無(wú)極值點(diǎn)

（D）

4．設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)使（）成立。

（A）

（B）

（C）

（D）

5．廣義積分當(dāng)（）時(shí)收斂。

（A）

(B)

(C)

(D)

二、填空題（15分，每小題3分）

1、若當(dāng)時(shí)，則；

2、設(shè)由方程所確定的隱函數(shù)，則；

3、函數(shù)在區(qū)間

單減；

在區(qū)間

單增；

4、若在處取得極值，則；

5、若，則；

三、計(jì)算下列極限。

1、2、四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（12分，每小題6分）

1、，求

2、，求

五、計(jì)算下列積分（18分，每小題6分）1、2、3、設(shè)，計(jì)算

六、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。

（7分）

七、證明不等式：當(dāng)時(shí)，（7分）

八、求由曲線所圍圖形的面積。

（7分）

九、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且.證明：至少存在一點(diǎn)使

四川理工學(xué)院試題（A）

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

（2005至2006學(xué)年第一學(xué)期）

課程名稱：高等數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題（15分，每小題3分）

1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

二、填空題（15分，每小題3分）

1.a=2

2.3.(0,2)單減，（，）單增。

4.5.a=2

三、計(jì)算下列極限。

1.解。原式=

（6分）

1.解。原式=

（6分）

四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（12分，每小題6分）

解。

2.解。

五、計(jì)算下列積分（18分，每小題6分）

解。

原式=

2.解。原式=

六、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。

（7分）

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)連續(xù)。

當(dāng)時(shí)，所以

是函數(shù)的間斷點(diǎn)。

5分

且，所以是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。

7分

七、證明不等式：當(dāng)時(shí)，（7分）

＞0時(shí)

＞0，所以單增。

5分

＞0時(shí)

＞，即：

證畢。

7分

八、求由曲線所圍圖形的面積。

（7分）

解：如圖所示：（略）

九、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且.證明：至少存在一點(diǎn)使

（7分）

證明：設(shè)，顯然在在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)（3分）

并且,由羅爾定理：至少存在一點(diǎn)使

而，（6分）

即：

證畢。

第四篇：高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第九章復(fù)習(xí)資料[模版]

第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 引入：在上冊(cè)書(shū)中，我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微積分學(xué)，所討論的對(duì)象都只有一個(gè)自變量的函數(shù)，而在實(shí)際應(yīng)用中，研究的問(wèn)題往往要涉及多方面的因素，反映在數(shù)量上就是一個(gè)變量要依賴幾個(gè)自變量，即數(shù)學(xué)上的多元函數(shù)，從這節(jié)課開(kāi)始，我們進(jìn)入多元函數(shù)微積分學(xué)的學(xué)習(xí)階段.先來(lái)學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué) 由于從一元函數(shù)到二元函數(shù)，單與多的差異已能充分體現(xiàn)，我們由二元函數(shù)入手來(lái)研究多元函數(shù)微分學(xué)，然后把相關(guān)概念及性質(zhì)推廣到三元、四元直至元函數(shù)上去 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點(diǎn)集的相關(guān)概念 1.平面點(diǎn)集：具有性質(zhì)P} 例如：，其中點(diǎn)表示點(diǎn) 2.鄰域：(1).鄰域：(2).去心鄰域： 3.坐標(biāo)面上的點(diǎn)與平面點(diǎn)集的關(guān)系：(1).內(nèi)點(diǎn)：若，使，則稱為的內(nèi)點(diǎn).(2).外點(diǎn)：若，使，則稱為的外點(diǎn)(3).邊界點(diǎn)：若，且，則稱為的邊界點(diǎn) 邊界：的邊界點(diǎn)的全體稱為它的邊界，記作.(4).聚點(diǎn)：若，則稱為的聚點(diǎn) 導(dǎo)集：的聚點(diǎn)的全體稱為它的導(dǎo)集 注：1°.若為的聚點(diǎn)，則可以屬于，也可以不屬于 2°.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)也不總是聚點(diǎn)，如孤立的邊界點(diǎn).例如：；.4.一些常用的平面點(diǎn)集：(1).開(kāi)集：若點(diǎn)集的點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，則稱為開(kāi)集(2).閉集：若點(diǎn)集的邊界，則稱為閉集.(開(kāi)集加邊界(3).連通集：若中任何兩點(diǎn)都可用屬于的折線連接，則稱為連通集.(4).開(kāi)區(qū)域：連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，也稱為區(qū)域.(5).閉區(qū)域：開(kāi)區(qū)域加上其邊界稱為閉區(qū)域 例如：為區(qū)域.為閉區(qū)域.(6).有界集：若，使，則稱為有界集.(7).無(wú)界集：若，使，則稱為無(wú)界集

二、維空間：對(duì)取定的自然數(shù)，稱元數(shù)組的全體為維空間，記為.注：前述的鄰域、區(qū)域等相關(guān)概念可推廣到維空間.三、多元函數(shù)的概念 1.，或，其中 因 映 自 變 變 量 射 量 定義域：D 值 域： 注：可推廣：元函數(shù)：，.例: 1.，2.，2.幾何表示：函數(shù)對(duì)應(yīng)空間直角坐標(biāo)系中的一張曲面:.四、二元函數(shù)的極限 1.定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋c(diǎn)若，，為，滿足，則稱為當(dāng)，稱之為的二重極限 例1.設(shè)證明：，要使不等式，求證 成立，只須取，于是，，總有，即 例2.不存在，其中 證明：當(dāng)沿直線趨于時(shí)，總有，隨著的不同而趨于不同的值，故極限不存在 例3.求極限 五、二元函數(shù)的連續(xù)性 1.二元函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，點(diǎn)為D的聚點(diǎn)，且，則稱在點(diǎn)連續(xù) 2.二元函數(shù)的間斷點(diǎn): 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，點(diǎn)為D的聚點(diǎn)，若在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn).注：間斷點(diǎn)可能是函數(shù)有定義的孤立點(diǎn)或無(wú)定義的點(diǎn).3.性質(zhì)：設(shè)D為有界閉區(qū)域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1).和、差、積仍連續(xù)；(2).商(分母不為零)連續(xù)；(3).復(fù)合函數(shù)連續(xù).5.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性(1).二元初等函數(shù)：由二元多項(xiàng)式和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的、并用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).(2)..例4.，則 解：令 例5...(分子有理化)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們研究了一元函數(shù)的變化率—導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的性態(tài).對(duì)于多元函數(shù)，我們也要討論它的變化率，但由于多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，所以多元函數(shù)的變化率要比一元函數(shù)的變化率復(fù)雜得多.我們還是以二元函數(shù)為例來(lái)研究多元函數(shù)的變化率，先把二元函數(shù)中某一自變量暫時(shí)固定，再討論二元函數(shù)關(guān)于另一個(gè)自變量的變化率，這就是數(shù)學(xué)上的偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念 1.偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，把暫時(shí)固定在，而 處有增量時(shí)，相應(yīng)地有增量.若極 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的 ； 或 注: 1°..2°..2.偏導(dǎo)函數(shù)：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)或偏導(dǎo)數(shù)存在，則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 或；或.注：可推廣：三元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為 例1.求在處的偏導(dǎo)數(shù).，.例2.求的偏導(dǎo)數(shù).，.例3.求的偏導(dǎo)數(shù).，..3.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1).偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線關(guān)于軸的斜率(2).偏導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線關(guān)于軸的斜率.4.函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間無(wú)必然的蘊(yùn)含關(guān)系.(1).函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，但它在點(diǎn)卻未必連續(xù) 例如：函

數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，即，.不存在，故在點(diǎn)不連續(xù)(2).函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但它在點(diǎn)處卻未必存在偏導(dǎo)數(shù) 例如：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但它在點(diǎn)對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在，這是因?yàn)椋?，即在點(diǎn)對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)都不存在.二、高階導(dǎo)數(shù) 1.二階偏導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)及對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 記作：； ；(二階純偏導(dǎo)數(shù))；.(二階混合偏導(dǎo)數(shù))(二階純偏導(dǎo)數(shù) 注：1°.一般地，二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為它的階偏導(dǎo)數(shù) 2°.二階以及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).3°.二元函數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)至多有個(gè).例4.設(shè)，求它的二階偏導(dǎo)數(shù).；； ；； ；.總結(jié)：從這一例題，我們看到：，即兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，與求導(dǎo)順序無(wú) 關(guān).那是不是每個(gè)二元函數(shù)都有這樣的相等的二階混合偏導(dǎo)數(shù)呢？我們說(shuō)不是的，例如：，在點(diǎn)，有，事實(shí)

上，；

而，，于是，，即 那么滿足什么條件得二元函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)呢？有下面的定理： 2.二階混合偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 定理：若函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則它們?cè)贒內(nèi)必相等，即 注：1°.可推廣：高階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān).2°.一般地，若二元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則的階偏導(dǎo)數(shù)只有個(gè)

第三節(jié) 全微分

一、全微分的相關(guān)概念 1.偏增量：稱為函數(shù)對(duì)的偏增量 稱為函數(shù)對(duì)的偏增量 2.偏微分：稱與為對(duì)及的偏微分.注：，但在實(shí)際應(yīng)用中，往往要知道函數(shù)的全面的變化情況，即當(dāng)自變量有微小增量、時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量與自變量的增量、之間的依賴關(guān)系，這涉及到函數(shù)的全增量.3.全增量：稱為函數(shù)在點(diǎn)、的全增量 一般來(lái)講，計(jì)算全增量是比較困難的，我們總希望像一元函數(shù)那樣，利用、的線性函數(shù)來(lái)近似代替函數(shù)的全增量，為此，引入了全微分 4.全微分：若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在的全增 不依賴于、，可表示為，其中 而僅與、有關(guān)，則稱在點(diǎn)可微分，而稱 為在點(diǎn)的全微分，記作，即 若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可微分，則稱在D內(nèi)可微分.注： 我們知道，當(dāng)一元函數(shù)在點(diǎn)的微分存在時(shí)，那么，當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)的全微分存在時(shí)，、又為何值呢？下面討論二元函數(shù)可微分與連續(xù)、可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系，從中得到、的值.二、二元函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)存在、可微分與連續(xù)的關(guān)系 1．函數(shù)可微分的必要條件 定理1.若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則它在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且在點(diǎn)的全微分 證明：由于在點(diǎn)可微分，則有，其，當(dāng)時(shí)，有，從而，即，同理可得，于是 特殊地，令，有，從而有，同理令，有，從而有.于是有，也稱之為二元函數(shù)微分學(xué)的疊加原理 注：定理說(shuō)明：函數(shù)可微分，一定可偏導(dǎo)，且全微分可用偏導(dǎo)數(shù)表示.但反之未必，即偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在點(diǎn)卻不可微分 事實(shí)上，假設(shè)在點(diǎn)可微分，則，當(dāng)時(shí).而，有

不存在，更談不上等于0，從而假設(shè) 不成立，即在點(diǎn)不可微分.2.函數(shù)可微分的必要條件 定理2若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則它在點(diǎn)連續(xù) 證明：由于在點(diǎn)可微分，有，其中，于是有，.又的全增量為，從而，這說(shuō) 在點(diǎn)連續(xù) 注：函數(shù)連續(xù)，未必可微分 例如：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但由于偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而不可微分.3.函數(shù)可微分的充分條件 定理3若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)都連續(xù)，則 可微分 注：反之未必 例如：在點(diǎn)可微分，但

在點(diǎn)都不連續(xù)(1).先說(shuō)明在點(diǎn)可微分.設(shè)，因?yàn)?，令，由于，其中，于是，由全微分的定義知在 微分(2).再說(shuō)明偏導(dǎo)數(shù)及在點(diǎn)不連續(xù).易知 , 從而在點(diǎn) 不連續(xù) 同理可知 在點(diǎn)也不連續(xù).例1.計(jì)算函數(shù)的全微分.解：.例2.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處的全微分.，有，所以 例3.計(jì)算解： 的全微分..第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理1.若函數(shù)及在點(diǎn)都可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn).(全導(dǎo)數(shù)公式)復(fù)合而成的函數(shù)注：可推廣：，，在點(diǎn).二、多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形 定理2.若函數(shù)及在點(diǎn)具有對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存 ；.注：可推廣：由，，復(fù)合而成的函 在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ；.三、其它情形 1.函數(shù)在點(diǎn)對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)及在點(diǎn)可導(dǎo) 在點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 存在，且 ；.2.函數(shù)在點(diǎn)具有對(duì)及的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 ；.例1.設(shè)，而，求 及.；.例2.設(shè)，而 及.；.例3.設(shè)，而，求求導(dǎo)數(shù).四、全微分形式不變性:若函數(shù).若函數(shù)及也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微 有稱此性質(zhì)為全微分形式不變性.，.與，其中，.例4.解：由于，而，于是，即，比較兩端、dy，.第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

一、隱函數(shù)：稱對(duì)應(yīng)關(guān)系不明顯，而是隱含在方程(方程組)中的函數(shù)(函數(shù)組)為由方程(方程組)確定的隱函數(shù)(隱函數(shù)組 注：并不是每一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)，例如：.二、隱函數(shù)存在定理 1.由一個(gè)方程確定的隱函數(shù) 定理1.若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函 數(shù)，滿足.注：若的二階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，則有

定理2.若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)

且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足 例1.設(shè)，求及，.解：令，則，..例2.設(shè)，求 解：設(shè)，則，.，從而 2.由方程組確定的隱函數(shù)組 定理3.若函數(shù)與在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且函數(shù)行列式 在點(diǎn)不等于零，則方程組在點(diǎn) 確定唯一一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，且，；，例3.設(shè)，、、、和.解：設(shè)方程組，兩端對(duì)求導(dǎo)得： 或，在 的條件下，有，同理可得，.；

第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 1.一元向量值函數(shù)的定義：，(數(shù)集)，.注：1°.在R3中，2°.向量值函數(shù)稱為曲線的向量方程 2.一元向量值函數(shù)的極限：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常向量，，：滿足，總有，則稱為當(dāng) 時(shí)的極限，記作 注：存在、、都存在.3.一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，則稱向量值函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 注：在點(diǎn)連續(xù)、、點(diǎn)連續(xù) 4.一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)向量)：設(shè)向量值函數(shù)在點(diǎn) 存在，則稱此極限值為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記?注：1°.在點(diǎn)可導(dǎo)、、點(diǎn)都可導(dǎo) 2°.是向量值函數(shù) 曲線在點(diǎn)處的一個(gè)切向量,其指向與的增長(zhǎng)方向一致 例1.設(shè)，求 解：.例2.設(shè)空間曲線的向量方程為，求曲線在點(diǎn)相應(yīng)的點(diǎn)處的單位切向量

解：由于，有，進(jìn)而，于 為指向與的增長(zhǎng)方向一致的單位切向量 為指向與的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量

二、空間曲線的切線與法平面 1.參數(shù)式情形：設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為，假設(shè)、以及 在上可導(dǎo)，且三個(gè)導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零(1).切線：曲線上的一點(diǎn)處的切線方程為：應(yīng)點(diǎn) 推導(dǎo)：由于曲線的參數(shù)方程為，記向量值函數(shù)，參數(shù)對(duì) 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：向量即為曲線在其上的 處的一個(gè)切向量，從而曲線在其上的點(diǎn)處的切線方程為：.(2).法平面：通過(guò)曲線上的點(diǎn)而與曲線在點(diǎn)處的切線垂直的平面方程稱為曲線在點(diǎn)處的法平面，方程為.其中法向量為 2.特殊式情形：設(shè)空間曲線的方程為，且、在點(diǎn) 的方程可改寫(xiě)為，為參數(shù)，從而曲線在點(diǎn) 程分別為：(1)..(2).法平面方程： 3.一般式(隱函數(shù))情形：設(shè)曲線的方程為，為曲線 又設(shè)、，這時(shí)方程組在點(diǎn) 某一鄰域內(nèi)確定了一組隱函數(shù)，從而曲線的參數(shù)方程為，于是切向量為(1)...(2).法平面方程： 例3.求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面方程

解：在方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，得，整理得，于是，，故切向量為 ；，或，從而所求切線方程為：.法平面方程為或

三、曲面的切平面與法線 1.定義(1).切平面：若曲面上通過(guò)點(diǎn)的一切曲線在點(diǎn) 面為曲面在點(diǎn)的切平面(2).法線：通過(guò)點(diǎn)且與切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線.2.切平面與法線方程(1).一般式情形：設(shè)曲面的方程為，點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 切平面方程：；.推導(dǎo)：在曲面上過(guò)點(diǎn)任意引一條曲線，設(shè)其參數(shù)方程為，且函數(shù) 以及在都可導(dǎo)，有方程，對(duì)應(yīng)點(diǎn) 兩端對(duì)求導(dǎo)，在處，有.記.又為曲線在 處的切向量，由上式可知，即曲面上通過(guò)點(diǎn)的任意一條曲線的切向量都垂直于同一個(gè)向量，從而這些切線都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，該切平面以向量為一法線向量(2).特殊式(顯函數(shù))情形：曲面：，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 切平面方程： 法線方程：.推導(dǎo)：記，有，，故有法向量 例4.求球面在點(diǎn)處的且平面及法線方程 解：設(shè)，有，，故所求切平面的法向量為，于是所求切平面方程為：，即，法線方程為：，即 例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面即法線方程 解：設(shè)，有，于是所求切平面的法向量為 從而所求切平面方程為，即，法線方程為.第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 引入:由函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：偏導(dǎo)數(shù)、只是函數(shù)過(guò)點(diǎn)沿平行坐標(biāo)軸法線的變化率.但在實(shí)際應(yīng)用中，往往要求我們知道函數(shù)在點(diǎn)沿任意確定的方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大，這就涉及到函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.一、方向?qū)?shù) 1.定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，為過(guò)點(diǎn))上另一點(diǎn)，且.若極限的射線(存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿 方向

注：若函數(shù)在點(diǎn)，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

若函數(shù)在點(diǎn)，則 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 2.方向?qū)?shù)的存在性 定理：若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在點(diǎn)沿任意方向的方向，其中、的方向余弦 注：1°.可推廣：若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則在點(diǎn) 的方向?qū)?shù)為 2°.方向?qū)?shù)存在，函數(shù)未必可微分 例如：在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)都存在，但 點(diǎn)不可微分 事實(shí)上：由于，從而 沿方向的方向?qū)?shù)都存在 但在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在，從而不可微分.例1.求函數(shù)在點(diǎn)處從點(diǎn)到方向的方向?qū)?shù) 解：由題可知方向就是向量的方向，有 又，.例2.求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，其中 解：由題可知與方向同向的單位向量為，又故所求方向?qū)?shù)為

二、梯度，，1.梯度的定義：設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)每一個(gè)，稱向量為函數(shù)在點(diǎn)，或，即.注：可推廣：.2.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系(1).沿梯度方向，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值；(2).梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值

推導(dǎo)：設(shè)，若函數(shù)在點(diǎn)則在點(diǎn)可微分，沿方向的

1.當(dāng) 這說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向是在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值 2.當(dāng)時(shí)，有與的方向相反，函數(shù)減小最快，在這個(gè)方向上的方向?qū)?shù)達(dá)到最小值，3.當(dāng) 時(shí)，有與的方向正交，函數(shù)的變化率為零，即 例3.求 解：令，有，于是 例4.設(shè)，求(1).在處增加最快的方向以及沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)；(2).在處減少最快的方向以及沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)；(3).在處變化率為零的方向 解：(1).在點(diǎn)處沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取為(2).在點(diǎn)處沿的方向減少最快，故所求方向可取(3).在點(diǎn)處沿垂直于的方向變化率為零，故所求方向?yàn)?或.第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 引入：在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們討論了一元函數(shù)的極值和最值問(wèn)題，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的極值和最值問(wèn)題，我們以二元函數(shù)為例來(lái)討論多元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題 一、二元函數(shù)的極值與最值 1.極值：二元函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?nèi)點(diǎn)，若存在，且，都有(則稱在點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)).有極大值(極小值).點(diǎn)統(tǒng)稱極大值、極小值為極值；使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn) 2.最值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在，都(則稱為在D上的最大值(最小值).注：1°.極值是一個(gè)局部概念，最值是一個(gè)整體概念.2°.極值與最值的關(guān)系：極值可以是最值，但最值未必是極值.例1.函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，也是最小值.例2.函數(shù)在點(diǎn)取得極大值，也是最大值.例3.函數(shù)在點(diǎn)既不取得極大值，也不取得極小值 由此可見(jiàn)，并不是每一個(gè)函數(shù)在其定義域上都有極值點(diǎn)，那么什么樣的點(diǎn)可能是函數(shù)的 點(diǎn)的必要條件和充分條件，從中得到這些問(wèn)題的答案.二、極值點(diǎn)的條件 定理1.若函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)，注：1.稱使成立的點(diǎn)為的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn) 2°.可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其駐點(diǎn)，但反之未必 例如：函數(shù)，在點(diǎn)是其駐點(diǎn)，但在點(diǎn)卻不取得極值 那么什么樣的駐點(diǎn)才能是極值點(diǎn)呢？下面的極值點(diǎn)的充分條件回答這一問(wèn)題，并給出求極值的方法 定理2.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階以及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，，則在處是否取得極值的條件如下：(1).時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值.(2).時(shí)沒(méi)有極值(3).時(shí)是否取得極值不定，需另行討論.3.求極值的步驟 第一步：求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得的所有駐點(diǎn) 第二步：對(duì)每一駐點(diǎn)，求二階偏導(dǎo)數(shù)的值、、第三步：考察的符號(hào)，判斷是否為極值，若是極值，判斷出是極大值還是極小值 例4.求函數(shù)的極值 解：解方程組，得駐點(diǎn)，，.又，(1).在點(diǎn)處，且，故在(2).在點(diǎn)處，故不是極值.(3).在點(diǎn)處，故不是極值(4).在點(diǎn)處，且，故在 值 例5.求函數(shù)的極值

解：由方程組得兩個(gè)駐點(diǎn)，.又；；；(1).在點(diǎn)處，，，故在點(diǎn)取極小值(2).在點(diǎn)處，，有，而在的某個(gè)鄰域內(nèi)既有大于0的值，也有小于0，而.故在取不到極值 注：可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其駐點(diǎn)，但函數(shù)的極值點(diǎn)也可以在其不可偏導(dǎo)點(diǎn)處取得，例如：在取得極大值，但不是的駐點(diǎn).三、函數(shù)最值的求法 在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們利用函數(shù)極值求函數(shù)的最值，這一方法仍然適用于多元函數(shù).設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D內(nèi)可微且有有限多個(gè)駐點(diǎn)，則在D上具有最大值和最小值，將在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)的函數(shù)值與D邊界上的最大值和最小值相比較，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，最小值就是函數(shù)在上的最小值.在D的邊界上的最值往往很困難，如果考慮問(wèn)題的實(shí)際意義，的最值一定在 內(nèi)部取得，且函數(shù)在D內(nèi)具有一個(gè)駐點(diǎn)，則必在該駐點(diǎn)處取得最值 例5.某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)長(zhǎng)、寬、取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最??？ 解：設(shè)水箱的長(zhǎng)為，寬為，水箱所用材料面積為，令，解得函數(shù)的唯一駐點(diǎn) 由問(wèn)題的實(shí)際意義，水箱所用材料面積的最小值一定存在，且在區(qū) 內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則函數(shù) 取得最小值，即水箱長(zhǎng)為，寬為，高為時(shí)，水箱用料最省.四、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 前面討論的函數(shù)的極值問(wèn)題，除了把函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)沒(méi)有其他條件，但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問(wèn)題.例如：求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題 我們可以設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)分別為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在限制下，函數(shù)的最大值，即條件極值 1.條件極值：稱函數(shù)在滿足附加條下件的所有極值點(diǎn)的極值為條件極值.普通極值：稱函數(shù)在沒(méi)有附加條件下的極值為無(wú)條件極值或普通極值.2.求條件極值的方法(1).化條件極值為普通極值(2).拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在附加條件下的極值.①.作輔助函數(shù) ②.輔助函數(shù)兩端對(duì)及求偏導(dǎo)數(shù)，并令，與附加條件聯(lián)立得.③.解出，其中就是函數(shù)在附加條件 由問(wèn)題的實(shí)際意義判定 說(shuō)明：若在取得極值，則有，方程確定，有 在處對(duì).又有.代入上式有.，有，也有 注：1°.可推廣：求函數(shù)在附加條件下的極值，輔助函數(shù)設(shè)為： 2°.也稱函數(shù)或?yàn)槟繕?biāo)函數(shù).例6.求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積 解：設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)分別為，其體積為，而面積為.所求問(wèn)題就是在附加條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值 設(shè)輔助函數(shù)為，令，與附加條件聯(lián)立，有，解得.由問(wèn)題的實(shí)際意義，.

第五篇：高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第八章復(fù)習(xí)資料匯總

第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) §8.1向量及其線性運(yùn)算

一、向量的相關(guān)概念 1.向量的定義：稱既有大小又有方向的量為向量(或矢量).2.向量的數(shù)學(xué)表示法：用一條有方向的線段表示,記為 或.3.向量的模：稱向量的大小為向量的模，記為.4.自由向量：稱與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量為自由向量.(如位移)5.單位向量：稱模為1的向量為單位向量,記作.6.零向量：稱模為0的向量為零向量，記作 7.兩向量相等：若向量與同模同方向，則稱的與相等，記作.(即兩個(gè)向量平移后重合 8.兩向量的夾角：，9.兩向量平行：若非零向量與所成的角或，則稱的與平行，記作.規(guī)定: 零向量與任何向量平行 10.兩向量垂直：若非零向量與所成的角，則稱的與垂直，記作 注: 零向量可認(rèn)為與任何向量平行或垂直 11.向量共線：平行的向量可移動(dòng)到同一條直線上，也稱之為向量共線 12.向量共面：將個(gè)向量的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí)，若個(gè)終點(diǎn)與公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，則稱這個(gè)向量共面.二、向量的線性運(yùn)算 1．向量的加減法(1).向量的加法 ①．運(yùn)算法則：設(shè)有向量與，求與的和.I.三角形法則： II.平行四邊形法則：.②.運(yùn)算規(guī)律： 1°.交換律： 2°.結(jié)合律： 注:，再以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，這個(gè)向量即為所求向量的和，即.(2).向量的減法 ①．負(fù)向量：稱與向量同模反向的向量為它的負(fù)向量，記作 ②.兩向量的差：稱向量與向量的負(fù)向量的和為與的差向量，記作.注：特別地，當(dāng)時(shí)，.③．運(yùn)算法則：設(shè)有向量與，求與的差.I.平行四邊形法則：.II.三角形法則：.(3).運(yùn)算定理：.2．向量與數(shù)的乘法(1).定義：稱向量與實(shí)數(shù)的乘積為向量的數(shù)乘.注：1°.規(guī)定是一個(gè)向量 2°.3°.若，則與同向；若，則與反向；若，則.(2).運(yùn)算規(guī)律： ①． 結(jié)合律：.②． 分配律：.(3).性質(zhì) ①．向量的同向單位向量：，.②．向量平行的充要條件(定理)：若向量，則向量平行于 唯一的實(shí)數(shù)，使 ③．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為的充要條件為：，其中向量為數(shù)軸的單位向量，實(shí)數(shù) 稱為有向線段的值.例1.如圖，用、表示、、以及，進(jìn)而.又，故，進(jìn)而

三、空間直角坐標(biāo)系 解：由于，故

1.空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)系或坐標(biāo)系 2.坐標(biāo)面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空間點(diǎn)的坐標(biāo)：(向徑).(1).向量的坐標(biāo)分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐標(biāo)：.(4).點(diǎn)的坐標(biāo)： 注：1°.面上點(diǎn)的坐標(biāo)：； 2°.軸上點(diǎn)的坐標(biāo)：； 面上點(diǎn)的坐標(biāo)：； 軸上點(diǎn)的坐標(biāo)：； 面上點(diǎn)的坐標(biāo)：.z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)：

四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算：設(shè)，.1.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示：(1).加減法：.(2).數(shù)乘：(3).兩向量平行： 注：1°.若，則 2.若，則 例2.已知，求線性方程組的解向量 解：方程①乘2減去方程②乘3得：，方程①乘3減去方程②乘5得： 例3.已知兩點(diǎn)、在直線AB上求一點(diǎn)M，使.及實(shí)數(shù)，解：因?yàn)?，因此有，整理得，代入坐?biāo)得，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo) 注：線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點(diǎn)間距離公式：(1).向量的模：，.(2).兩點(diǎn)間距離公式：點(diǎn)與之間的距離： 推導(dǎo)：因?yàn)?，所?例4.求證以三點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解：由兩點(diǎn)間距離公式，有 ； ；，由于，故為等腰三角形.例5.在z軸上求與兩點(diǎn)、等距離的點(diǎn).解：由題可設(shè)所求點(diǎn)為，有，即，整理得，故所求點(diǎn)為.例6.已知兩點(diǎn)、，求與同向的單位向量 解：因?yàn)?，所以，于?2.方向角與方向余弦(1).向量的方向角：稱非零向量與三條坐標(biāo)軸的夾角為向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知兩點(diǎn)、，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，從而有 于是，，由此可得 例8．設(shè)點(diǎn)A位于第I卦限，向徑與x軸、y軸的夾角依次為的坐標(biāo)、，且，求點(diǎn)A，解：由于，并且，有 由題可知，故，于是，故點(diǎn)A的坐 標(biāo)為.3.向量在軸上的投影(1).向量在軸上的投影：設(shè)向量與u軸正向的夾角為，稱數(shù)為向量在u軸上的投影，記作或 注：向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影即為對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，即，(2).投影的性質(zhì)： ①．.②． 例9.設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM，一條棱為OA，且|OA|= a，求在 解：記，有，于是.§8.2數(shù)量積、向量積

一、兩向量的數(shù)量積 1．常力沿直線所作的功： 2.兩向量的數(shù)量積(1).定義：稱向量與的模及其夾角余弦的乘積為與的數(shù)量積，內(nèi)積或點(diǎn)積，記作 注：1°.2°..3°..(2).運(yùn)算規(guī)律 ①．交換律：.(由定義可知)②．分配律： ③．結(jié)合律：； 3.兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式：若，則 4.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)公式： 例1.試用向量證明三角形的余弦定理：.解：在中，記，，，有，從而，即

例2.已知三點(diǎn)、和，求 解：由題可得，于是，故 例3.設(shè)液體流過(guò)平面S上面積為A的一個(gè)區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為(常向量)v.設(shè)為垂直于S的單位向量，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向所指一側(cè)的液體的質(zhì)量m(液體的密度為 解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)該區(qū)域的液體的體積為，所求質(zhì)量為.二、兩向量的向量積 1.力對(duì)支點(diǎn)的力矩： 模：； 方向：與及的方向成右手規(guī)則.2.兩向量的向量積(1).定義：設(shè)有向量與，夾角為，稱為與的向量積(叉積、外積)，其中，方向與和的方向符合右手規(guī)則，記作.注：1°.2°.3°.的幾何意義：以與為鄰邊的平行四邊形的面積.(2).運(yùn)算規(guī)律 ①．反交換律：.②．分配律：.③．結(jié)合律：(3).兩向量的向量積的坐標(biāo)表示式：設(shè)，則.例4..證明：在三角形中，記，，由于，即，整理得.例5.設(shè)，計(jì)算 解：.例6.已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是、和，求三角形ABC的面積 解：由于，有，于是.例7.設(shè)剛體一角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.解：在軸l上引進(jìn)一個(gè)角速度向量，使，其方向與旋轉(zhuǎn)方向 符合右手法則，在l上任取一點(diǎn)O，作向徑，它與的夾角為，則點(diǎn)M離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離，由物理學(xué)中線速度和角速度的關(guān)系可知，且、、符合右手規(guī)則，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相關(guān)概念 1.曲面方程：若曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，且不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(*)，則稱方程(*)為曲面S的方程，而稱曲面S為稱方程(*)的圖形.2.關(guān)于曲面的兩個(gè)基本問(wèn)題(1).已知一曲面作為空間點(diǎn)的幾何軌跡，建立該曲面的方程.(2).已知關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)、、之間的一個(gè)方程，研究該方程所表示曲面的形狀 例1.建立球心在點(diǎn)、半徑為R的球面方程 解：設(shè)為所求球面上任一點(diǎn)，有，即，整理得 例2.設(shè)有點(diǎn)和，求線段AB的垂直平分面的方程.解：設(shè)為所求平面上任一點(diǎn)，由題意，有，即，整理得 例3.方程表示怎樣的曲面？ 解：原方程變形為，表示以為球心，以5為半徑的球面.二、旋轉(zhuǎn)曲面 1.定義：稱由一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面，稱旋轉(zhuǎn)曲線為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.2.旋轉(zhuǎn)曲面的方程： 曲線C：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：.(繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：.)(巧記：繞誰(shuí)誰(shuí)不動(dòng)，缺誰(shuí)補(bǔ)上誰(shuí) 推導(dǎo)：在曲線C上任取一點(diǎn)，有，且點(diǎn)到z軸的距離.當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其中，點(diǎn)到z軸的距離，由于，有，即，代入曲線方程有 注：1°.曲線C：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：； 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 2°.曲線C：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：； 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 3.常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)曲面及其方程(1).圓錐面及其方程 ①．圓錐面：稱由直線L繞與其相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為圓錐面，稱兩直線的交點(diǎn)為圓錐面的頂點(diǎn)，稱兩直線的夾角為圓錐面的半頂角 ②．圓錐面的方程：以坐標(biāo)原點(diǎn)o為頂點(diǎn)，以為半頂角，以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐面的方程為：，其中 推導(dǎo)：在坐標(biāo)面上，過(guò)原點(diǎn)且與z軸夾角為的直線方程為，于是，直線L繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐面的方程為，整理得 注：1°.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以為半頂角，以x，其中 2°.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以為半頂角，以y，其中(2).旋轉(zhuǎn)雙曲面及其方程 ①．旋轉(zhuǎn)雙曲面：稱由雙曲線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為旋轉(zhuǎn)雙曲面，分為單葉和雙 葉雙曲面 ②．旋轉(zhuǎn)雙曲面的方程：(雙曲線：.旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面的方程：(繞z軸旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面的方程：(繞x軸旋轉(zhuǎn))

三、柱面 1.柱面的定義： 稱由直線L沿定曲線C平行于定直線l移動(dòng)所成的軌跡為柱面，稱定曲線C為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L為柱面的母線.2.幾種常見(jiàn)柱面及其方程(缺誰(shuí)母線平行誰(shuí)(1).圓柱面：.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行z軸.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行x軸.(準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的圓：，母線平行y軸(2).過(guò)坐標(biāo)軸的平面：，過(guò)z軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線，過(guò)x軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線.，過(guò)y軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的直線 四、二次曲面 1.橢球面：.2.橢圓錐面： 3.單葉雙曲面：.4.雙葉雙曲面： 5.橢圓拋物面：.6.雙曲拋物面： 7.橢圓柱面：.8.雙曲柱面： 9.拋物柱面： §8.4空間曲線及其方程

一、空間曲線：稱空間兩曲面的交線為空間曲線，記為C.二、空間曲線的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圓柱面與平面的交線.表示上半球面又如：與圓柱面的交 線 2.參數(shù)方程：，其中點(diǎn)隨著參數(shù)t的變化遍歷曲線C 例1.稱由點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，又同時(shí)以線速度v沿平行z軸的正向上升所成的圖形為螺旋線，求其參數(shù)方程 解：取時(shí)間t為參數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋線的參數(shù)方程為，令，則螺旋線的參數(shù)方程為

三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 1．投影柱面：稱以空間曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面為曲線C關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面 2.空間曲線的投影：稱空間曲線C關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面與坐標(biāo)面的交線為空間曲線C在坐標(biāo)面上的投影曲線，也稱為投影 3.空間曲線的投影方程：空間曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程，其中為方程組消去z所得的投影柱面方程.注：1.空間曲線曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程為 2°.空間曲線曲線C：在坐標(biāo)面上的投影方程為 例2.求曲線在坐標(biāo)面上的投影方程.解：現(xiàn)求曲線C在關(guān)于坐標(biāo)面上的投影方程，將方程組消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程為 例3.求由上半球面和錐面 所圍成的立體在坐標(biāo)面上的投影 解：先求曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影方程，消去z 在坐標(biāo)面上的投影方程為，從而所求投，故曲線 影為圓域： §8.5平間及其方程

一、平面的點(diǎn)法式方程 1.平面的法向量：稱垂直于一平面的非零向量為該平面的法線向量 2.平面的點(diǎn)法式方程：過(guò)點(diǎn)，以向量為一法向量的平面 推導(dǎo)：在平面上任取一點(diǎn)，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1).反之，若點(diǎn)不在平面上，則向量不垂直法向量，從而，即不在平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1).于是得到平面的點(diǎn)法式方程.例1.求過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面的方程 解：由平面的點(diǎn)法式方程得，整理得.例2.求過(guò)三點(diǎn)、和的平面的方程 解：先求所求平面的一個(gè)法向量，由題可得向量，可取，于是所求平面的方程為，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推導(dǎo)：若點(diǎn)滿足方程(*)，則有，(**)兩方程相減得，(*** 方程(***)為過(guò)點(diǎn)，以向量為一法向量的平面的點(diǎn)法式方程.由于方程(*)與(***)同解，可知任何一個(gè)三元一次方程(*)為平面的一般方程，其一法線向量為 2.幾種特殊平面的一般方程：(缺誰(shuí)平行誰(shuí)(1).過(guò)原點(diǎn)的平面方程：，法向量為.(2).平行x軸的平面方程：，法向量為(3).垂直于x軸(平行坐標(biāo)面)的平面方程：，法向量為.例3．求通過(guò)x軸和點(diǎn)的平面的方程 解：由題意，可設(shè)所求平面的方程為：，(*)又點(diǎn)在該平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為、，求該平面的方程 解：設(shè)所求平面的方程為，(*)將PQR三點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，代入方程(*)，從而有所求平面方程為，稱之為平面的截距式方程

三、兩平面的夾角及點(diǎn)到平面的距離 得 1.兩平面的夾角：稱兩平面的法線向量的夾角(銳角)為兩平面的夾角 2.兩平面夾角的余弦：設(shè)平面1的法線向量為，平面，兩平面的夾角

為，則注：1°..2°.3.點(diǎn)到平面的距離：平面外一點(diǎn)到平面的距離為 推導(dǎo)：在平面上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又點(diǎn)在平面 上，故有，從而 例5.求兩平面和的夾角.解：由兩平面夾角余弦公式，故所求夾角為 例6.一平面通過(guò)兩點(diǎn)和且垂直于平面，求它的方程.解：設(shè)所求平面的一個(gè)法線向量為，由題可知向量在平面上，已知平面的一個(gè)法線向量為，由題意有，有；，有； 由以上兩方程可得，故所求平面的法線向量為，于是所求平面的方程為，整理得 另解：由題可知所求平面上一向量，又已知平面的一個(gè)法線向量為，易知不平行于，故可取所求平面的一個(gè)法線向量為，于是所求平面方程為：，整理得 第六節(jié) 空間直線及其方程

一、空間直線：稱空間兩平面

1、的交線為空間直線.二、空間直線的方程 1.一般(面交式)方程： 2.對(duì)稱式(點(diǎn)向式)方程(1).直線的方向向量：稱平行于已知直線的非零向量為該直線的方向向量(2).直線的點(diǎn)向式方程：過(guò)點(diǎn)以向量為方向向量的直線L.推導(dǎo)：在直線L上任取一點(diǎn)，有向量，由于，故有，(*)即直線L上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(*)反之，若點(diǎn)不在直線L上，則由于不平行，所以這兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)就不成比例，因此方程(*)就是直線L的方程，稱為直線的對(duì)稱式或點(diǎn)向式方程.注：1°.mnp不同時(shí)為零 2°.若，則直線L的方程為，即平面上的直線 3°.若，則直線L的方程為，即平面與 交線，過(guò)點(diǎn)且平行z軸 3.參數(shù)方程： 注：一般式對(duì)稱式參數(shù)式 例1.用對(duì)稱式方程以及參數(shù)方程表示直線

解：先找出該直線上一點(diǎn)：不妨取，代入原方程組得，解得，即為該直線上一點(diǎn) 再找該直線的方向向量：由題可知交成該直線的兩平面的法線向量分別為，故可取.，得到所給直線的參數(shù)方程：令.三、兩直線的夾角 1.兩直線的夾角：稱兩直線的方向向量的夾角(銳角)為兩直線的夾角 2.兩直線夾角的余弦：直線的方向向量為，直線的方向向量 ,兩直線的夾角為，則注：1°.2°.例2.求直線.和的夾角.解：由題可知直線的方向向量為，直線的方向向量為，設(shè) 的夾角為，則由兩直線夾角余弦公式得故

四、直線與平面的夾角 , 1.直線與平面的夾角：稱直線與不垂直該直線的平面上的投影 直線的夾角為直線與平面的夾角..2.直線與平面夾角的正弦：若直線的方向向量為，平面 為.與的夾角為，則.注：1°.2°..例3.求過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線的方程 解：由題意，可取為所求直線的一個(gè)方向向量，故所求直線的方程為.五、平面束及其方程 1.平面束：稱通過(guò)定直線的所有平面的全體為平面束 2.平面束的方程：設(shè)有直線，其中與不成比例 則通過(guò)直線的平面束的方程為：.注：該平面束不包含平面 例4.求直線在平面上的投影直線的方程 解：過(guò)直線的平面束的方程為，即，其中為待定常數(shù).由題可知，該平面與已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所給直線關(guān)于所給平面 的投影平面的方程為，整理得,故所求投影直線的方程為.六、點(diǎn)到直線的距離：直線 外一點(diǎn)到直線的距離為： 為直線上的一點(diǎn) 推導(dǎo)：在直線上任取一點(diǎn)，有向量，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由于，故例5.求點(diǎn) 的距離.解：由題可知，所給直線的方向向量為，點(diǎn)，由平面外一點(diǎn)到直線的距離公式得：.七、雜例： 例6.求與兩平面和的交線平行且過(guò)點(diǎn)的直線的方程.解法一(點(diǎn)向式 由題可知兩已知平面的法向量分別為和，故可取 線的一個(gè)方向向量，即，于是所求直線方程為.解法二(一般式 過(guò)點(diǎn)且與平面平行的平面方程為，過(guò)點(diǎn)平行的平面方程為 以所求直線方程為 例7.與平面的交點(diǎn).解：易知所給直線的參數(shù)方程為，，解得，代入直線的參數(shù)方程得所求交點(diǎn)的坐標(biāo) 例8.求過(guò)點(diǎn) 垂直相交的直線方程.