第一篇：等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)解析

等差數(shù)列

（一）等差數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的差值相等，整列數(shù)字是依次遞增、遞減或恒為常數(shù)的一組數(shù)字。等差數(shù)列中相鄰兩數(shù)字之差為公差，通常用字母d來(lái)表示，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d(n為自然數(shù))。例如：2，4，6，8，10，12…… 等差數(shù)列的特點(diǎn)是數(shù)列各項(xiàng)依次遞增或遞減，各項(xiàng)數(shù)字之間的變化幅度不大。

（二）二級(jí)等差數(shù)列：后一項(xiàng)減前一項(xiàng)所得的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。

（三）多級(jí)等差數(shù)列：一個(gè)數(shù)列經(jīng)過(guò)兩次以上(包括兩次)的后項(xiàng)減前項(xiàng)的變化后，所得到的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。

（四）等差數(shù)列的變式：

等差數(shù)列是數(shù)字推理題目中最基礎(chǔ)的題型，也是解答數(shù)字推理題目的“第一切入角度”。所謂“第一切入角度”是指進(jìn)行任何數(shù)字推理解題時(shí)都要首先想到等差數(shù)列及其變式，即從數(shù)與數(shù)之間差的關(guān)系進(jìn)行推理。

總結(jié)：等差數(shù)列作為基礎(chǔ)數(shù)列，有很多題都是由等差數(shù)列衍生而來(lái)的，如例3中，兩項(xiàng)做差后得到的是等比數(shù)列，也可能是質(zhì)數(shù)列、和數(shù)列等，所以要由考生靈活掌握，在熟悉基礎(chǔ)數(shù)列的基礎(chǔ)上才能更好更快的解題?！镜炔顢?shù)列例題】

0.5，2，9/2，8，()

A、12.5B、27/2C、29/2D、16

解析：本題考查二級(jí)等差數(shù)列。后項(xiàng)減前項(xiàng)得新數(shù)列1.5，2.5，3.5，新數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，其后一項(xiàng)為4.5，即未知項(xiàng)為4.5＋8＝12.5。故答案為A。

【多級(jí)等差數(shù)列例題】

0，4，16，40，80，()

A.160B.128C.136D.140

解析：本題考查三級(jí)等差數(shù)列。原數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到第一個(gè)新數(shù)列為4，12，24，40，新數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到第二個(gè)新數(shù)列為8，12，16，因此第二個(gè)新數(shù)列的下一項(xiàng)為20，第一個(gè)新數(shù)列的下一項(xiàng)為60，則未知項(xiàng)為80＋60＝140。故答案為D。

【等差數(shù)列的變式例題】

32，48，40，44，42，()

A.43B.45C.47D.49

解析：本題考查等差數(shù)列的變式。前項(xiàng)減去后項(xiàng)得出一個(gè)新數(shù)列16，-8，4，-2，新數(shù)列是以（-2）為公比的等比數(shù)列，下一項(xiàng)為1，則未知項(xiàng)應(yīng)為43。故答案為A。

第二篇：等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

精英輔導(dǎo)學(xué)校楊景勛專用2011年12月16日星期五

（一）等差數(shù)列I1、等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005則n=_____

2、等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10-a12的值為_(kāi)_____

3、等差數(shù)列{an}中，a1=-5，前11項(xiàng)的平均值為5，若從中抽出一項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值為4，則抽取的（一）等差數(shù)列II

等差數(shù)列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A、S4

4、正項(xiàng)等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，有（）

A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全國(guó)卷I）設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一個(gè)等差數(shù)列共10項(xiàng)；其中奇數(shù)項(xiàng)的和為125，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，則第6項(xiàng)是_____

7、已知數(shù)列{an}前四項(xiàng)為-1，3，-6，10，則{an}的一個(gè)通項(xiàng)式為_(kāi)______________

8、等差數(shù)列a-d，a，a+d的一個(gè)通項(xiàng)公式是____________

9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為1

4的等差數(shù)列，則|m-n|=_______

10、等差數(shù)列{an}中，若a1=25，從第10項(xiàng)開(kāi)始小于1，則公差d的范圍是________

11、（2006全國(guó)卷II）已知等差數(shù)列{an}中，a2=7, a4=15，則前10項(xiàng)的和S10=_______

12、一個(gè)等差數(shù)列{an}中前4項(xiàng)和為40，最后4項(xiàng)的和為80，所有項(xiàng)和210，求項(xiàng)數(shù)n.13、等差數(shù)列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，問(wèn)數(shù)列的前多少項(xiàng)之和最大，并求出最大值。

3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范圍；②指出S1，S2…S12中哪一個(gè)值最大，說(shuō)明理由。）

4、（2004年重慶考試卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003?a2004<0，則使前n項(xiàng)和S>0成立的最大自然數(shù)n是（A、4005B、4006C、4007D=4008

5、（2004年福建卷試卷）若

a5Sa=5，則求939

S=_______

56、（2001年上海考試卷）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an=2n-7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首項(xiàng)a1>0，Sn=

?1，則i?1aiai?1

limSn=________ n??

8、（2006北京卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，（1）若a11=0，S14=98，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。/ 1）

第三篇：等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

等差數(shù)列

1.定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

用遞推公式表示為an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）；

2．等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

（1）an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)（首項(xiàng):a1，公差:d，末項(xiàng):an）

（2）an?am?(n?m)d．從而d?

3．等差中項(xiàng)

（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．即：A?a?b或2A?a?b 2an?am； n?m

（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?

24．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常數(shù)）（當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）

5．等差數(shù)列的證明方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列．?

（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

（3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

注：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。

（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差為d）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差為2d）

7.等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.22

2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則斜率為公差d；前n和Sn?na1?為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2

a1?an

???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an ???，圖示：1?????????

a2?an?

1(4)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，…也成等差數(shù)列

S3m

???????????????????????圖示：a1?a2?a3???am?am?1???a2m?a2m?1???a3m ???????????????????????

Sm

S2m?Sm

S3m?S2m

（5）若等差數(shù)列{an}、且{bn}的前n和分別為An、Bn，Ana(2n?1)anA2n?

1?f(n)，則n???f(2n?1).nnn2n?1

（6）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則?an?bn?為等差數(shù)列

等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見(jiàn)題型

一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用

1.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an??3n?2，試問(wèn)該數(shù)列是否為等差數(shù)列。

111y?zz?xx?y

2.已知：，成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列。，xyzxyz

二等差數(shù)列的性質(zhì)考察

(1)熟用an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d，d?

an?am

問(wèn)題 n?m1、等差數(shù)列?an?中，a3?a5?24，a2?3，則a6?

2、已知等差數(shù)列?an?中，a2與a6的等差中項(xiàng)為5，a3與a7的等差中項(xiàng)為7，則an?

3、已知等差數(shù)列?an?中，ap?q，aq?p，則ap?q?____．

(2)公差d的巧用

1、已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差等于_____

2、等差數(shù)列{an}中，已知公差d?，且a1?a3?A．170

B．150

C．14

2?a99?60，則a1?a2?

?a100?

D．120

a2?a

1等于()b2?b1

4.已知x?y且兩個(gè)數(shù)列x,a1,a2,???am,y與x,b1,b2,???bn,y各自都成等差數(shù)列則

mm?1nn?1BCDnmn?1m?1(3)m?n?s?t?am?an?as?at性質(zhì)的應(yīng)用

A

1.等差數(shù)列?an?中，若a3?a4?a5?a6?a7?450，則a2?a8?_____。2.等差數(shù)列?an?中，若S13?20。則a7?_______。

3.在等差數(shù)列?an?中a3?a11?40，則a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10?_______。4.等差數(shù)列?an?中, a1?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,則S20?_____。5.在等差數(shù)列?an?中，a4?a5?12，那么它的前8項(xiàng)和S8等于_______。

6.等差數(shù)列?an?中,它的前5項(xiàng)和為34,最后5項(xiàng)和146,所有項(xiàng)和為234,則a7?_______.7.｛an｝為等差數(shù)列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，則n= _______。（4）方程思想的運(yùn)用

1.已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=24，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

2.已知等差數(shù)列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

(5)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n也成等差數(shù)列的應(yīng)用

1、等差數(shù)列前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)和是100，則它的前3m項(xiàng)和_______。

2、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為40，前2n項(xiàng)的和為120，求它的前3n項(xiàng)的和為_(kāi)______。3.a1，a2，a3，……a2n+1 為 等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和為60，偶數(shù)項(xiàng)的和為45,求該數(shù)列的項(xiàng)數(shù).4.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有_______項(xiàng)。

5.在等差數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，則a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(6）an?

S2n?

1的運(yùn)用 2n?1,bn?的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n?N*，都有1.設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列?an??

a11

= ________。b11

Sn7n?1?，Tn4n?27

則

（7）an與Sn的關(guān)系問(wèn)題;

1.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn＝3n?n2，則an＝_______

2.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn＝n2?n?1，則an＝ 3.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn＝2n?1，則an＝___________ 4.數(shù)列{4n?2}的前n項(xiàng)和Sn＝______.（八）巧設(shè)問(wèn)題；

一般情況,三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a?d,a,a?d;四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a?3d,a?d,a?d,a?3d.1.四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,和為26,第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的積為40,求這四個(gè)數(shù).2.四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,中間兩個(gè)數(shù)的和為13,首末兩個(gè)數(shù)的積為22,求這四個(gè)數(shù).3.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差

(九）．最值問(wèn)題:；

1.在等差數(shù)列{an}中,a1?80,d??6,求Sn的最大值.2.等差數(shù)列?an?中，a1?0,S4?S9，則n的取值為多少時(shí)？Sn最大

3.已知等差數(shù)列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值時(shí),Sn取最大值.（10)累加法的應(yīng)用-------裂項(xiàng)相消

1.已知數(shù)列{an}滿足:an?an?1?2n?1,a1?1,求an.2.已知數(shù)列{an}滿足:an?1?an?4n?1,a1?1,求an.4.在數(shù)列{an}中，a1?2,an?1?an?ln(1?),求an.n

(11)由an求an的前n項(xiàng)和

1.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?4n，則|a1|?|a2|??|a10|?_______.2.數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?4n，bn?an，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn?_______.(12)由Sn得an的題型、直接法

1.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1?

22，且滿足2Sn?1?2Sn?3an?1(n?N*)。3

（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an；

11119

（2）求證：當(dāng)n?2時(shí)，2?2?2?L?2?。

a2a3a4an4

倒數(shù)法

an1

1.已知數(shù)列?an?中，an≠０，a1＝，an?1＝（n∈N?），求an

1?2an2

第四篇：等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)解讀

等差數(shù)列

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項(xiàng)和求法。

*1.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1?5，an?1?Sn?3n，n?N．設(shè)bn?Sn?3n，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式；

解：依題意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n，由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．

因此，所求通項(xiàng)公式為bn?Sn-3n?2n。

2．設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)為

3．已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a1?a3?a913?． a2?a4?a1016

【考點(diǎn)梳理】

1.在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

2.補(bǔ)充的一條性質(zhì)

s奇n1）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1的等差數(shù)列有：?s?s?an?a中，s2n?1?(2n?1)an s偶n?1奇偶

sa2）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：奇?n，s偶?s奇?nds2n?n(an?an?1)s偶an?

1?an?1?an?d（定義）?2an?1?an?an?23.等差數(shù)列的判定：{an}為等差數(shù)列?? ??an?An?B（關(guān)于n的“一次函數(shù)”）

?S?An2?Bn（缺常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”）?n

即：｛an｝?an?1?an?d(d為常數(shù)）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)

?an?kn?b?sn?An2?Bn；

4.三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差數(shù)列與函數(shù)：1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（n,an）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.k=d=an?a1a?am，d=n，由此聯(lián)想點(diǎn)列（n，an）所在直線的n?mn?1

斜率.2）點(diǎn)(n,Sn)在沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)Sn?pn2?qn上。其中，公差不為0.6.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法（結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解）

1）若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。（?。┤粢阎?xiàng)an，則Sn最大???an?0； a?0?n?1

q的非零自然數(shù)時(shí)Sn最大； 2p

2）若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?

（?。┤粢阎?xiàng)an，則Sn最小???an?0； ?an?1?0

（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?

q的非零自然數(shù)時(shí)Sn最小。

2p

題型1等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例1在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82?

a1???a?a?14d?10??

3解：(1)方法一：?151∴a60＝a1＋59d＝130． ??

a?a?44d?908451??d?

?3?

a?aa?a88

方法2 d?nm?4515?，an＝am＋(n－m)d?a60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．

n?m45?1533

2??A?2?12A?12B?8

4(2)不妨設(shè)Sn＝An＋Bn，∴?2 ??

B??17?20A?20B?460??

∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝109

2(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1?a6)6(a1?10)a?a6(a?10)

?∴15＝1即a1＝－5而d＝61?3 2226?1

8(a?a)

∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝18?44

又S6＝

變式訓(xùn)練1設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列{的前n項(xiàng)和，求Tn.解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+

Sn

}n

n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，2

?7a1?21d?7,?a1?3d?1,∴?即?解得a1=－2，d=1.15a?105d?75,a?7d?5.?1?1

Sn11n?5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n?1－n=.∴數(shù)列{n}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為.n?1n2n2129∴Tn=n－n.44

∴

小結(jié)與拓展：基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)，公比為基本量，借助于消元思想及解

方程組思想等。等差數(shù)列中，已知五個(gè)元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè).題型2等差數(shù)列的判定與證明

*

例2已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S6＝36.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列，設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，??a1＋2d＝

5由a3＝5，S6＝36得?，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.?6a1＋15d＝36?

變式訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.設(shè)bn＝n－1，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

n

an＋12an＋2ann

證明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n

2又b1＝a1＝1，因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

小結(jié)與拓展：證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法是：1）利用定義，證明an－an－1（n≥2）為常數(shù)；2）利用等差中項(xiàng)，即證明2an=an－1+an+1（n≥2）.題型3等差數(shù)列的性質(zhì)

例3設(shè)等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且a1?1，a4?6，n

an

S3?12，則a2010答案：4020

變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，則等差數(shù)列{an}的前13項(xiàng)的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

∴S13＝＝＝52.222

小結(jié)與拓展：解決等差（比）數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：①基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d（q）的方程；②巧妙運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡(jiǎn).題型4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及最值問(wèn)題

例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出S1，S2，S3，?，S12中哪一個(gè)最大，并說(shuō)明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且

12(a1?a12)

13(a1?a13)2

4＜0，解之得－＜d＜－3.27

（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.變式訓(xùn)練4設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于(A)

A．6B．7C．8D．9

【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4?a6?2a1?8d?2?(?11)?8d??6，解得d?2，所以Sn??11n?

n(n?1)

?2?n2?12n?(n?6)2?36，所以當(dāng)n?6時(shí)，Sn取最小值。

2d2d

n?(a1?)n利22

小結(jié)與拓展：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d?0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?

用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.2.等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn有最小值；當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，Sn有最大值；當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列.3.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.五、檢測(cè)鞏固：

1．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)書(shū)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．

?(a?d)2

(a?d)?16?a?d?

解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a?d,a,a?d,，則? a

a?2a?d?12

?

?a?4?a?9解得：?或?，所以所求的四個(gè)數(shù)為：?4,4,12,36；或15,9,3,1．

?d?8?d??6

2．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項(xiàng)之和等于它前2n項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

第五篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理

等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理

第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)

1、等差數(shù)列的定義：對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果它的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為一個(gè)定值，則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。

2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

an?a1?(n?1)d，a1為首項(xiàng)，d為公差

推廣公式：an?am?(n?m)d

變形推廣：d?

3、等差中項(xiàng)

（1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．即：b成等差數(shù)列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b

（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn

（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）

特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，an?1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）

5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

（3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

6、等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。

（2）設(shè)項(xiàng)技巧：

①一般可設(shè)通項(xiàng)an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8、等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為2220。

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)??都是可以的，但要保證等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。

（4）?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

(6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1

bnB2n?1（8）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sm?n，前m項(xiàng)和Sn?m，則前m+n項(xiàng)和Sm?n???m?n?，當(dāng)然也有an?m,am?n，則am?n?0

(9)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和

即當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值． a?0?n?1（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。

即 當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值． a?0?n?1或求?an?中正負(fù)分界項(xiàng)

法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱軸為n?

注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對(duì)于任何數(shù)列都適用，但求通項(xiàng)時(shí)記住討論當(dāng)n?1的情況。

p?q 2解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用）

第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)

1、等比數(shù)列的定義：

2、通項(xiàng)公式：

an?a1qn?1，a1為首項(xiàng)，q為公比

an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m?

3、等比中項(xiàng)

an am（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．即：A2?ab或A??ab 注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）

（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1

4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：(1)當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1(2)當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的n,都有an?1?qan或?yàn)榈缺葦?shù)列

an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an（2）等比中項(xiàng)：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列（4）前n項(xiàng)和公式：

Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數(shù)??{an}為等比數(shù)列

6、等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an?

17、等比數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。

（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)：an?a1qn?1

如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為?，aa2?（公比為q，中間項(xiàng)，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負(fù)

8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)q?1時(shí)

①等比數(shù)列通項(xiàng)公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q ②前n項(xiàng)和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q

(2)對(duì)任何m,n?N*,在等比數(shù)列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。

(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當(dāng)m?n?2k時(shí),得an?am?ak2

注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

(4)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。

(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(k?N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

(6)如果{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(7)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列(8)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列

kanabn(9)①當(dāng)q?1時(shí)，②當(dāng)0

③當(dāng)q=1時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當(dāng)q<0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。

(10)在等比數(shù)列{an}中, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(n?N*)時(shí),S奇S偶?1,。

q(11)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn?m?Sn?qn?Sm

注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時(shí)，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。

解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程； ②巧妙運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量。

關(guān)于等差、等比兩個(gè)引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數(shù)，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數(shù)，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：

例1

已知數(shù)列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數(shù)列的通項(xiàng)公式

解題大致思路：先設(shè)an?b?3(an?1?b)，則對(duì)于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列?an?2?為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別是多少？還有你考慮到當(dāng)n?1的這種情況了嗎？

例2

已知數(shù)列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式

n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個(gè)模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當(dāng)然也希望通過(guò)這兩個(gè)模式能讓你意識(shí)到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。