第一篇：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織方式的探討

關(guān)于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織方式的探討

徐艷，張宏禮

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 文理學(xué)院，黑龍江 大慶 163319）

摘要：針對(duì)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是否應(yīng)將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽的問(wèn)題進(jìn)行了研究和探討。首先對(duì)近年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果顯示一本院校特別是重點(diǎn)院校在競(jìng)賽獲獎(jiǎng)中確實(shí)占有很大比例，但這并不意味著應(yīng)該將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽。其次，我們分別從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的宗旨與目的、社會(huì)對(duì)大學(xué)生的需求、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽質(zhì)量等八個(gè)方面論述了具體原因。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；組織方式；一本院校；二本院校

中圖分類(lèi)號(hào)：O242.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Discussion about the organization of the National Mathematical

Contest in Modeling

Xu Yan，Zhang Hongli

(College of Art and Science，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319)

Abstract: The competition problem of the National Mathematical Contest in Modeling whether the an institution and the two institutions shoud be separate racing was studied and discussed.First we conducted a statistical analysis of Mathematical Contest in Modeling Awards In recent years, the results showed that an institution especially the key institution occupies a large proportion awards ,but this dose not means it should be an institution and two institutions to compete separately.Secondly, we discusse the specific reasons from eight aspects of the mathematical modeling contest aims and purposes, the demand for community college students, mathematical modeling contest Etc.Keyword: Mathematical Contest in Modeling;Organization;An institution;Two institutions引言

1985年美國(guó)率先創(chuàng)設(shè)了一年一度的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，我國(guó)于1992年舉行了首屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，至今已成功舉辦了二十屆競(jìng)賽，參賽規(guī)模從1992年的十省市70多所院校300多參賽隊(duì)發(fā)展到現(xiàn)在幾乎全國(guó)所有高校都派隊(duì)參加、參賽隊(duì)數(shù)近兩萬(wàn)，從2004年開(kāi)始又增加了研究生組的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為提高大學(xué)生的科研素質(zhì)，培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力發(fā)揮了重要作用，因此得到高等院校的日益重視，已成為當(dāng)前全國(guó)最大的大學(xué)生課外科技競(jìng)賽活動(dòng)。[5]

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽分為本科組和專(zhuān)科組進(jìn)行組織。本科學(xué)生參加本科組競(jìng)賽，不能參加專(zhuān)科組競(jìng)賽；專(zhuān)科（高職高專(zhuān)）學(xué)生參加專(zhuān)科組競(jìng)賽，也可參加本科組競(jìng)賽）。本科組和專(zhuān)科組分別有兩道賽題供選擇，參賽隊(duì)從兩道賽題中任選一道完成，無(wú)論參加哪組競(jìng)賽，均必須在報(bào)________________________________________________

[基金項(xiàng)目] 黑龍江省新世紀(jì)高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目。

[作者簡(jiǎn)介] 徐艷，女，1981年生，黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)文理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師，碩士、講師，研究方向：多元函數(shù)逼

近，高校數(shù)學(xué)教育等。張宏禮，男，1970年生，黑龍江雞西人，黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)文理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師，博士、教授，研究方向：高校數(shù)學(xué)教育，群體遺傳的信息模型，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。

名時(shí)確定，報(bào)名截止后不能再更改報(bào)名組別。同一參賽隊(duì)的學(xué)生必須來(lái)自同一所學(xué)校（同一法人單位），同一法人單位必須以相同的學(xué)校名稱(chēng)報(bào)名參賽，不能以院系、校區(qū)名稱(chēng)參賽（具有獨(dú)立法人資格者除外）。[2~4]

近兩年，為了提高各高等院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競(jìng)賽的水平，加強(qiáng)廣大數(shù)學(xué)模型的任課教師和數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)教師之間的交流，研討數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的發(fā)展趨勢(shì)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型專(zhuān)業(yè)委員會(huì)聯(lián)合主辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題講評(píng)與經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，邀請(qǐng)當(dāng)年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽命題和評(píng)獎(jiǎng)的有關(guān)專(zhuān)家做專(zhuān)題報(bào)告，對(duì)當(dāng)年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題進(jìn)行解析與講評(píng)，與參會(huì)指導(dǎo)教師進(jìn)行座談和經(jīng)驗(yàn)交流。在這兩次賽題講評(píng)與經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)進(jìn)行座談和經(jīng)驗(yàn)交流時(shí)，一些二本院校的指導(dǎo)教師常問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題是：一本院校和二本院校在學(xué)生素質(zhì)、師資水平、教學(xué)資源等方面有著巨大的差距，完全不在一個(gè)起跑線上，共同參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽無(wú)疑會(huì)不公平，建議組委會(huì)將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽。本文對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行研究、討論。近年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況

為分析是否應(yīng)該將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽的問(wèn)題，我們以本科組競(jìng)賽為對(duì)象，將近五年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中985工程院校、211工程院校和全部院校近年獲國(guó)家獎(jiǎng)情況[6]進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，見(jiàn)表1。

表1本科組985工程院校、211工程院校和所有參賽院校近年獲國(guó)家獎(jiǎng)情況

年份

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

總計(jì)

由表可得，近五年985工程院校獲本科組一等獎(jiǎng)的比例為30.3%，獲本科組二等獎(jiǎng)的比例為18.3%；211工程院校獲本科組一等獎(jiǎng)的比例為50.9%，獲本科組二等獎(jiǎng)的比例為38.2%。通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，985工程院校以及211工程院校在所有參賽院校中確實(shí)占有極大的獲獎(jiǎng)比例，特別是本科組一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)比例，211工程院校獲本科組一等獎(jiǎng)比例已經(jīng)超過(guò)總獲獎(jiǎng)隊(duì)數(shù)的50%。我國(guó)目前有985工程院校39所，211工程院校121所，而2010年參加全國(guó)賽的高?？倲?shù)為1197所，其中本科組占據(jù)了絕大多數(shù)，985工程院校和211工程院校所占比例較少，但是卻是一本院校的重中之重，獲獎(jiǎng)比例也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了全國(guó)平均水平，這些院校的學(xué)生素質(zhì)、師資水平、教學(xué)資源、信息資源等方面的巨大優(yōu)勢(shì)是產(chǎn)生上述事實(shí)的主要原因，但是這是否就意味著應(yīng)該將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽呢？我們認(rèn)為并不見(jiàn)得，分析如下。41 63 55 72 77 308 92 126 147 149 158 672 81 106 105 110 116 518 200 277 286 312 325 1400 193 199 200 216 210 1018 537 685 716 820 907 3665 一等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù) 二等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù) 一等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù) 二等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù) 一等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù) 二等獎(jiǎng)隊(duì)數(shù)問(wèn)題探討

3.1 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是面向所有大學(xué)生的競(jìng)賽

以“創(chuàng)新意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神、重在參與、公平競(jìng)爭(zhēng)”為宗旨的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，其目的是培育學(xué)生主動(dòng)的刻苦鉆研精神，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)掘興趣和潛能的基礎(chǔ)上全面發(fā)展，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)大學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神、提高大學(xué)生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)的一個(gè)具體的、重要的載體，是面向所有大學(xué)生的競(jìng)賽，不論一本院校還是二本院校都適用于這一宗旨和目的。

3.2 社會(huì)對(duì)大學(xué)生的需求不按一本二本劃分

隨著我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的深入發(fā)展、國(guó)家招生和就業(yè)制度的改革，雙向選擇、自主擇業(yè)已成為大學(xué)生就業(yè)的主流。雖然大學(xué)畢業(yè)生所在的學(xué)校不同、等級(jí)不同，但當(dāng)他們完成學(xué)業(yè)、走向社會(huì)之后，面臨的將是一個(gè)容納所有成員的大社會(huì)。國(guó)家部門(mén)、公司企業(yè)在招生用人時(shí)不會(huì)專(zhuān)門(mén)為一本院校畢業(yè)生、二本院校畢業(yè)生預(yù)留特定的席位，所有畢業(yè)生都將重新洗牌，在社會(huì)生活中按著勞資雙方的意愿、要求尋找自己的歸宿，一本院校學(xué)生不會(huì)僅僅因?yàn)閷W(xué)校的品牌好就找到好工作，二本院校學(xué)生也不會(huì)僅僅因?yàn)閷W(xué)校的品牌差就失業(yè)，關(guān)鍵是要靠每一個(gè)大學(xué)生自身的實(shí)力在社會(huì)中找到自己的立足之地。所以全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也沒(méi)有必要將一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽。

3.3 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力不需劃分一本二本

眾所周知，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新精神和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)是非常有益的，一些國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家、學(xué)者一致認(rèn)為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)至少可以提高學(xué)生以下幾方面的能力：數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力、團(tuán)結(jié)合作能力、自學(xué)能力和使用文獻(xiàn)資料的能力、意志力、計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，而所有這些能力的培養(yǎng)都與學(xué)校的類(lèi)別和層次沒(méi)有直接關(guān)系，在能力培養(yǎng)方面所有的院校目標(biāo)都是一致的，只是程度、層次不同而已。我們都希望培養(yǎng)出高素質(zhì)人才，而大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽剛好給我們提供了一個(gè)平臺(tái)，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，從而提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相應(yīng)地全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽無(wú)需按照學(xué)校類(lèi)別和層次分別組織。[1]

3.4 沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)的舞臺(tái)，唱獨(dú)角戲會(huì)使競(jìng)賽失去活力

我國(guó)的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽最初是從美國(guó)學(xué)來(lái)的，二十年來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)建模的學(xué)者一直緊盯美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的發(fā)展?fàn)顩r，不斷完善我國(guó)的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，目前來(lái)看中美兩國(guó)的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已經(jīng)差別不大。我國(guó)的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽容納全部高校進(jìn)來(lái)，全國(guó)一盤(pán)棋，可以讓二本院校及時(shí)了解全國(guó)的、高層次的建模競(jìng)賽的發(fā)展?fàn)顩r，發(fā)展中有參照，容易看到自己的不足和差距，容易明確自己的前進(jìn)方向。否則，只是在二表院校的圈子里參賽，大家固步自封、唱獨(dú)角戲，只陶醉于本層的競(jìng)賽成績(jī)，沒(méi)有前進(jìn)的方向就很難獲得不斷的進(jìn)步或者進(jìn)步緩慢。

3.5 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽按照一本二本院校分開(kāi)組織會(huì)有許多新的復(fù)雜問(wèn)題

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽如果將一本二本院校分開(kāi)組織，會(huì)面臨許多新的問(wèn)題。比如，有的二本院校有一本專(zhuān)業(yè)，有的一本院校有些專(zhuān)業(yè)也較差，如何準(zhǔn)確界定一本院校和二本院校將是一個(gè)難題。假設(shè)這一劃分成功，是否還要將211工程院校與非211工程院校分開(kāi)組織，再進(jìn)一步是否要將985工程院校分開(kāi)組織、清華北大是否要單獨(dú)組織等等。再比如，分開(kāi)組織后是否要單獨(dú)命題、單獨(dú)評(píng)獎(jiǎng)，所獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)間如何對(duì)比。

在全國(guó)競(jìng)賽的影響和帶動(dòng)下，很多院校組織了校內(nèi)競(jìng)賽或選拔賽，地區(qū)性競(jìng)賽和行業(yè)性競(jìng)賽也定期舉辦而形成了制度，進(jìn)一步擴(kuò)大了學(xué)生受益面。如東北三省賽區(qū)組委會(huì)聯(lián)合舉辦的東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽，以復(fù)旦大學(xué)學(xué)生為主自發(fā)發(fā)起和主辦的華東地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽，以中國(guó)礦業(yè)

大學(xué)學(xué)生為主自發(fā)發(fā)起和主辦的蘇北大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽，中國(guó)電機(jī)工程學(xué)會(huì)舉辦的全國(guó)大學(xué)生電工數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（兩年一次），中國(guó)統(tǒng)計(jì)教育學(xué)會(huì)舉辦的全國(guó)大學(xué)生統(tǒng)計(jì)建模競(jìng)賽（今年首次舉辦）等等。這種多形式多角度的建模競(jìng)賽同時(shí)也代表了不同類(lèi)別以及不同層次院校的競(jìng)賽水平。綜上所述，全國(guó)大學(xué)生建模競(jìng)賽沒(méi)有必要將一本二本院校分開(kāi)組織。

3.6 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽按照一本二本院校分開(kāi)組織會(huì)影響競(jìng)賽的質(zhì)量

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽之所以受到大學(xué)生的熱烈歡迎，不僅因?yàn)楦?jìng)賽內(nèi)容充滿(mǎn)挑戰(zhàn)性，要求參賽者結(jié)合實(shí)際問(wèn)題靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)及其他學(xué)科的知識(shí)，充分發(fā)揮聰明才智和創(chuàng)新能力，而且競(jìng)賽形式是三名大學(xué)生組成一隊(duì)，選擇一題在三天時(shí)間內(nèi)完成一篇論文，可以自由地通過(guò)圖書(shū)館和互聯(lián)網(wǎng)查閱資料，培養(yǎng)學(xué)生充分發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)合作的團(tuán)隊(duì)精神。十幾年的經(jīng)驗(yàn)證明大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)大學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神、提高大學(xué)生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)的一個(gè)具體的、重要的載體。通過(guò)這一載體，使學(xué)生在全國(guó)的層面上得到了鍛煉，許多參加過(guò)競(jìng)賽的學(xué)生反映：“一次參賽，終生受益”，他們?cè)诤罄^專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)和課題研究中的綜合能力明顯提高，畢業(yè)后受到用人單位的歡迎和重用，不少人被免試推薦讀研究生。這些都極大提高了學(xué)生參加建模競(jìng)賽的熱情。如果全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽按照一本二本院校分開(kāi)組織，橫向的比較無(wú)法實(shí)現(xiàn)，參賽的意義和獎(jiǎng)項(xiàng)的價(jià)值將大打折扣，從而大大降低競(jìng)賽的魅力，進(jìn)而影響學(xué)生的參賽熱情。

3.7 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有相關(guān)措施保障二本院校的利益和發(fā)展空間

為了讓更多的高校、更多的大學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，組委會(huì)做了大量的推廣工作，也制定了相關(guān)的論文評(píng)審準(zhǔn)則，防止所獲獎(jiǎng)項(xiàng)被少數(shù)院校瓜分。比如，以黑龍江省為例，每年向全國(guó)組委會(huì)推薦國(guó)家獎(jiǎng)名額時(shí)，哈爾濱工業(yè)大學(xué)和哈爾濱工程大學(xué)都不能超過(guò)十個(gè)。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽不是不利于二本院校，而是限制了一本院校，保障了二本院校的利益和發(fā)展空間，沒(méi)有必要將一本二本院校分開(kāi)組織。

3.8 從我校實(shí)際看，沒(méi)有必要將一本二本院校分開(kāi)組織

黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)是一所典型的普通高等農(nóng)林類(lèi)院校，無(wú)論如何也考不到一本院校之列。在過(guò)去的幾年里，我校數(shù)學(xué)系教師培訓(xùn)、指導(dǎo)我校學(xué)生先后參加了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、東北地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽、美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等賽事。在這一系列活動(dòng)中，在我校師資相對(duì)較弱的情況下，我們獲得多個(gè)國(guó)家二等獎(jiǎng)，盡管校領(lǐng)導(dǎo)期盼我們?cè)缛斋@得國(guó)家一等獎(jiǎng)，但是我們認(rèn)為雖然我們應(yīng)該向著國(guó)家一等獎(jiǎng)的方向努力，但是國(guó)家二等獎(jiǎng)已經(jīng)是我們師生水平最好的體現(xiàn)了，而且我們最根本的目的“培養(yǎng)學(xué)生、鍛煉老師”已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。在這個(gè)過(guò)程中，我們不斷向優(yōu)秀的高校學(xué)習(xí)、不斷地派出教師進(jìn)行建?；顒?dòng)的學(xué)術(shù)交流，使我們受益匪淺。如果沒(méi)有那些優(yōu)秀的院校為榜樣、沒(méi)有較高層次的學(xué)習(xí)交流，我們的進(jìn)步就不會(huì)這么大，所以從我們自身實(shí)際出發(fā)，我們也認(rèn)為全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也沒(méi)有必要將一本二本院校分開(kāi)組織。結(jié)論

在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，學(xué)生是最大的受益者。以全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為媒介培養(yǎng)有豐富創(chuàng)新意識(shí)、競(jìng)爭(zhēng)能力和團(tuán)隊(duì)精神的高素質(zhì)人是一種非常好的培養(yǎng)模式。對(duì)于一些二本院校的教師提出的將全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽按一本院校和二本院校分開(kāi)進(jìn)行競(jìng)賽的問(wèn)題，本文從競(jìng)賽的目的和宗旨、社會(huì)需求、數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)、對(duì)比發(fā)展、面臨的問(wèn)題、競(jìng)賽的質(zhì)量、組委會(huì)措施和我校經(jīng)歷等八個(gè)方面加以分析后認(rèn)為是沒(méi)有必要的。

參考文獻(xiàn)

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第二篇：數(shù)學(xué)建模及大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

數(shù)學(xué)建模及大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

近幾十年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是電子計(jì)算機(jī)的誕生和不斷完善，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已不再局限于物理學(xué)等傳統(tǒng)領(lǐng)域，生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及一些交叉學(xué)科都提出大量有待解決的實(shí)際研究課題。要用定量分析的方法解決這些實(shí)際問(wèn)題，十分關(guān)鍵而又十分困難的一步就是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程需要把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題抽象為簡(jiǎn)單合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，要做到這一點(diǎn)，既需要豐富的想象力，又需要去尋找較合適的數(shù)學(xué)工具，從某種意義上講，它是能力與知識(shí)的綜合運(yùn)用。

一、什么是數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）簡(jiǎn)單地說(shuō)就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)建模的起源

數(shù)學(xué)建模并不是新東西（盡管過(guò)去很長(zhǎng)時(shí)間這一術(shù)語(yǔ)用得很少），可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)并要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻劃實(shí)際問(wèn)題，而這種刻劃的數(shù)學(xué)表述就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)

眾所周知人才培養(yǎng)是關(guān)鍵，數(shù)學(xué)模型方法已成為科學(xué)技術(shù)中常用的非常重要的方法，它是數(shù)學(xué)和其他科學(xué)技術(shù)之間的媒介和橋梁。同時(shí)數(shù)學(xué)建模的研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，又有得心應(yīng)手、強(qiáng)有力的計(jì)算機(jī)作為工具，因而必然會(huì)有人考慮到數(shù)學(xué)教育中一個(gè)不可缺少的內(nèi)容應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)的應(yīng)用的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求對(duì)學(xué)生以下幾個(gè)方面的能力進(jìn)行培養(yǎng)。

四、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

我國(guó)在高校中開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程始于1982年，但當(dāng)時(shí)只有少數(shù)重點(diǎn)院校作為選修課程來(lái)開(kāi)設(shè)，可以說(shuō)是自發(fā)的、民間，因而數(shù)學(xué)建模課程并未受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模課程真正被許多高校融入主干課程，被國(guó)家教委、國(guó)家教育部重視，卻是得益于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽?？梢哉f(shuō)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是目前我國(guó)設(shè)立的最成功的一項(xiàng)競(jìng)賽，它促進(jìn)了各高校數(shù)學(xué)建模教學(xué)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的逢勃發(fā)展。

第三篇：2014全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘要

隨著月球探測(cè)任務(wù)的發(fā)展,未來(lái)月球探測(cè)考察目標(biāo)將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價(jià)值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自主性和實(shí)時(shí)性。本文針對(duì)最終著陸段安全、精確的需求，對(duì)月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測(cè)方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點(diǎn)，通過(guò)匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對(duì)巖石、彈坑的檢測(cè)，利用圖像灰度方差對(duì)粗糙區(qū)域進(jìn)行提取：在檢測(cè)出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點(diǎn)以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測(cè)信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機(jī)和激光測(cè)距儀測(cè)量值構(gòu)建著陸點(diǎn)相對(duì)著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測(cè)量噪聲帶來(lái)的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過(guò)對(duì)狀態(tài)函數(shù)、危險(xiǎn)地形勢(shì)函數(shù)的設(shè)計(jì)，以滿(mǎn)足平移過(guò)程中減低障礙威脅與精確定點(diǎn)著陸器，設(shè)計(jì)PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對(duì)采用變推力主發(fā)動(dòng)機(jī)的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標(biāo)稱(chēng)控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱(chēng)軌跡以保證著陸器到達(dá)著陸點(diǎn)時(shí)其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱(chēng)軌跡到達(dá)著陸點(diǎn)。

本文分別對(duì)所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗(yàn)證個(gè)方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達(dá)到較高的性能指標(biāo)，滿(mǎn)足在危險(xiǎn)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測(cè)；規(guī)避制導(dǎo)；適量測(cè)量

一、問(wèn)題重述

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號(hào)如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)是目前中國(guó)航天器上最大推力的發(fā)動(dòng)機(jī)，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進(jìn)而對(duì)嫦娥三號(hào)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿(mǎn)足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過(guò)多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號(hào)將在近月點(diǎn)15公里處以?huà)佄锞€下降，相對(duì)速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個(gè)過(guò)程大概需要十幾分鐘的時(shí)間。在距月面100米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開(kāi)障礙物，尋找著陸點(diǎn)。之后，嫦娥三號(hào)在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時(shí)再度懸停。此時(shí)，關(guān)掉反沖發(fā)動(dòng)機(jī)，探測(cè)器自由下落。

嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問(wèn)題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過(guò)程共分為6個(gè)階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿(mǎn)足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過(guò)程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問(wèn)題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對(duì)于你們?cè)O(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問(wèn)題分析

對(duì)于問(wèn)題一：

嫦娥三號(hào)從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過(guò)程中不考慮月球表面太陽(yáng)風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時(shí)間比較短也不考慮太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)的攝動(dòng)影響，嫦娥三號(hào)水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時(shí)嫦娥三號(hào)已經(jīng)基本位于著陸點(diǎn)上方，所以此時(shí)假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時(shí)間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動(dòng)力學(xué)模型。

三、符號(hào)說(shuō)明

四、模型假設(shè)

對(duì)于問(wèn)題一：

忽略月球的自傳和太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)衛(wèi)星的引力攝動(dòng) 月球近似為一個(gè)質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號(hào)是為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

主減速忽略動(dòng)作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽(yáng)風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問(wèn)題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號(hào)在t時(shí)刻在遠(yuǎn)月點(diǎn)開(kāi)始緩慢下降，在n時(shí)刻到達(dá)近月點(diǎn)，整個(gè)過(guò)程遵循開(kāi)普勒第三定律，即

v0?0

在t時(shí)刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠(yuǎn)月點(diǎn)速度

v2：近月點(diǎn)速度

R0：遠(yuǎn)月點(diǎn)月心距

R1：近月點(diǎn)月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時(shí)刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點(diǎn)速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當(dāng)?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動(dòng)力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個(gè)減速段過(guò)程簡(jiǎn)化為水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計(jì)算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運(yùn)用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時(shí)間

S:嫦娥三號(hào)主減速段水平位移

Q:嫦娥三號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號(hào)著陸過(guò)程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個(gè)分度,又因?yàn)樵虑驑O區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個(gè)緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽(yáng)系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,行星的運(yùn)動(dòng)遵循開(kāi)普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類(lèi)物理競(jìng)賽中,常會(huì)涉及到天體運(yùn)動(dòng)速度的計(jì)算,本文擬從能量和行星運(yùn)動(dòng)的軌跡方程兩個(gè)不同的角度來(lái)探索行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對(duì)橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑表達(dá)式,然后利用萬(wàn)有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對(duì)x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對(duì)x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬(wàn)有引力方向垂直,萬(wàn)有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問(wèn)題二的建模與求解 模型一：動(dòng)力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測(cè)器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時(shí)間給著陸器一個(gè)有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱(chēng)為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí),制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動(dòng)能和勢(shì)能,使著陸器接觸地面時(shí),相對(duì)月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱(chēng)為動(dòng)力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。由于月球表面附近沒(méi)有大氣,所以在飛行器的動(dòng)力學(xué)模型中沒(méi)有大氣阻力項(xiàng)。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時(shí)間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過(guò)程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?/p>

圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系

其動(dòng)力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。根據(jù)動(dòng)力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動(dòng)力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。

終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對(duì)終端極角?f及終端時(shí)間tf無(wú)約束。

優(yōu)化變量為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿(mǎn)足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過(guò)程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題

著陸器運(yùn)動(dòng)方程：考慮采用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對(duì)期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對(duì)應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對(duì)應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動(dòng)機(jī)一旦啟動(dòng)不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個(gè)下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿(mǎn)足需求時(shí)，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標(biāo)函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化

首先將整個(gè)飛行時(shí)間均分成 n 段（對(duì)應(yīng) n +1 個(gè)點(diǎn)），每段步長(zhǎng)為?t，離散化后的著陸器運(yùn)動(dòng)方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個(gè)控制時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿(mǎn)足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達(dá)方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價(jià)于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問(wèn)題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個(gè)線性約束和 q個(gè)二階錐約束的最優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)

min(?Tx)滿(mǎn)足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問(wèn)題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿(mǎn)足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿(mǎn)足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測(cè)器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測(cè)器在給定時(shí)間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個(gè)下降過(guò)程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過(guò)為了保持發(fā)動(dòng)機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對(duì)應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。此外，通過(guò)利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對(duì)著陸器的實(shí)時(shí)在線計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測(cè)試，無(wú)論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時(shí)間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長(zhǎng)，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過(guò)在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲(chǔ)到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過(guò)在線查表或者在利用對(duì)計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測(cè)器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測(cè)器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對(duì)應(yīng)的火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對(duì)任意探測(cè)器初始位置，特定初始速度對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個(gè)固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測(cè)器初始水平速度為零時(shí)，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對(duì)稱(chēng)。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對(duì)上注探測(cè)器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對(duì)路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對(duì)稱(chēng)性對(duì)上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測(cè)器自主存儲(chǔ)與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程

對(duì)于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測(cè)器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場(chǎng)為垂直于月面XY的均勻引力場(chǎng)，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動(dòng)推力方向沿探測(cè)器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程中探測(cè)器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測(cè)器質(zhì)量；k>0為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；u表示制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的秒耗量

可通過(guò)一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問(wèn)題的控制變量。假定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動(dòng)推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測(cè)器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過(guò)程中，探測(cè)器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性?xún)x表測(cè)得。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問(wèn)題的描述 對(duì)于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡(jiǎn)為

要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時(shí)間

對(duì)于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問(wèn)題，其性能指標(biāo)可表示為

對(duì)于系統(tǒng)（2）的軟著陸過(guò)程，燃耗最優(yōu)問(wèn)題等價(jià)于著陸時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題，性能指標(biāo)為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程中，如果存在一個(gè)推力控制程序?qū)⑻綔y(cè)器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱(chēng)這個(gè)推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個(gè)有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時(shí)如果最優(yōu)解存在，則稱(chēng)為奇異解，（8）式稱(chēng)為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題的性質(zhì)：1）對(duì)于自治系統(tǒng)（2）的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿(mǎn)足

將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問(wèn)題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個(gè)很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個(gè)閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡(jiǎn)得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時(shí)間t的斜率非零的線性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進(jìn)行分析。

又因?yàn)?/p>

不與此時(shí)由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時(shí)（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開(kāi)關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程，其開(kāi)關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開(kāi)關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒(méi)有切換點(diǎn)。

對(duì)于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來(lái)。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒(méi)有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過(guò)程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開(kāi)；2）全關(guān)；3）先開(kāi)有關(guān)；4）先關(guān)后開(kāi)。對(duì)于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開(kāi)機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測(cè)器先做無(wú)制動(dòng)下降，然后打開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)軟著陸到月面。設(shè)開(kāi)機(jī)時(shí)刻為到發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對(duì)數(shù)按泰勒展開(kāi)，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動(dòng)過(guò)程由一個(gè)主發(fā)動(dòng)機(jī)和一組小推力發(fā)動(dòng)機(jī)共同完成，通過(guò)調(diào)整開(kāi)啟的小發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量，來(lái)實(shí)現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號(hào)的含義如圖2所示

關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測(cè)器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過(guò)程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過(guò)程的對(duì)比圖。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測(cè)器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動(dòng)機(jī)著陸過(guò)程多消耗燃料2.2kg。

時(shí)，改進(jìn)方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問(wèn)題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對(duì)于如下非線性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)其進(jìn)行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項(xiàng)。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機(jī)變量，則線性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對(duì)角線元素是方差，非對(duì)角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差、敏感器測(cè)量誤差或發(fā)動(dòng)機(jī)推力和點(diǎn)火時(shí)間等誤差時(shí)，便可以分析其對(duì)目標(biāo)軌道誤差的影響以及對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對(duì)各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。?jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對(duì)于軌道參數(shù)的標(biāo)稱(chēng)值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生攝動(dòng)影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動(dòng)、太陽(yáng)引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和太陽(yáng)光壓攝動(dòng)等對(duì)誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫(xiě)成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測(cè)器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截?cái)?，即?/p>

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計(jì)算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當(dāng)于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時(shí)變方程，因此每一步迭代都需要重新計(jì)算 P 陣，計(jì)算 P 陣需要利用標(biāo)稱(chēng)軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運(yùn)載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測(cè)器在飛行途中進(jìn)行軌道修正，則經(jīng)過(guò)軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計(jì)算初始條件，表 1 給出了在不進(jìn)行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測(cè)器從近地軌道入軌點(diǎn)開(kāi)始至進(jìn)入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時(shí)間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對(duì)軌道終點(diǎn)誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時(shí)間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時(shí)間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動(dòng)段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動(dòng)段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動(dòng)等誤差，對(duì)它們的研究可單獨(dú)進(jìn)行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實(shí)際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對(duì)于主制動(dòng)段這一特定的飛行過(guò)程，這些偏差都是確定的；而針對(duì)整個(gè)月球探測(cè)任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機(jī)性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨(dú)立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對(duì)制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測(cè)量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測(cè)得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測(cè)量的量主要為著陸器相對(duì)于著陸場(chǎng)坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。定義待測(cè)量量Q為

?Q??X其估計(jì)值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個(gè)測(cè)量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個(gè)元素qj 來(lái)表示。由參考文獻(xiàn)[5]可知，第 j個(gè)觀測(cè)量的總估計(jì)誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對(duì)主制動(dòng)這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個(gè)觀測(cè)量的測(cè)量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個(gè)觀測(cè)量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個(gè)觀測(cè)量的隨機(jī)誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個(gè)觀測(cè)量的刻度因素隨機(jī)誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對(duì)初始偏差和類(lèi)似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進(jìn)行仿真研究，分析它們對(duì)制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實(shí)際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀測(cè)量的實(shí)際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測(cè)量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實(shí)際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測(cè)量的實(shí)際輸出值，X 為標(biāo)準(zhǔn)值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時(shí)刻存在)，xbc 為傳感器測(cè)量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動(dòng)態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時(shí)間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測(cè)量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時(shí)間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個(gè)模擬整個(gè)閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運(yùn)行該程序，對(duì)比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運(yùn)行過(guò)程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運(yùn)行模擬程序。這一步稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行。第二步： 將其中一個(gè)傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)，然后進(jìn)行一系列運(yùn)行。

第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標(biāo)準(zhǔn)初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對(duì)標(biāo)準(zhǔn)初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來(lái)反映。

通過(guò)這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動(dòng)段終端總誤差向量pf和兩個(gè)傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻(xiàn)[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對(duì)于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動(dòng)力學(xué)的線性化必須在標(biāo)準(zhǔn)軌跡區(qū)域內(nèi)。驗(yàn)證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴(kuò)大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗(yàn)證過(guò)程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測(cè)量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級(jí)，速度在10數(shù)量級(jí)，加速度為 10g 數(shù)量級(jí)。1-52?~~

運(yùn)用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點(diǎn)選為(1，0，-1)，靠近平衡點(diǎn)(1.5，0，-1.05)，仿真實(shí)驗(yàn)中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T(mén)0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類(lèi)隨機(jī)性，仿真步長(zhǎng)選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來(lái)表達(dá)即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀三個(gè)連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長(zhǎng)的理論計(jì)算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運(yùn)算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類(lèi)隨機(jī)性不發(fā)生變化，這個(gè)選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)方向

九、參考文獻(xiàn)

第四篇：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)

西北民族大學(xué)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)

我們仔細(xì)閱讀了西北民族大學(xué)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。

我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。

我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：

我們的參賽論文題目是：

參賽隊(duì)員（打?。?/p>

隊(duì)員1姓名：；聯(lián)系電話(huà)：；郵箱：；

學(xué)院：；專(zhuān)業(yè)年級(jí)：；

隊(duì)員2姓名：；聯(lián)系電話(huà)：；郵箱：；

學(xué)院：；專(zhuān)業(yè)年級(jí)：；

隊(duì)員3姓名：；聯(lián)系電話(huà)：；郵箱：；

學(xué)院：；專(zhuān)業(yè)年級(jí)：；

參賽隊(duì)員簽名：1； 2；3。

日期：年月日

編號(hào)：（由競(jìng)賽委員會(huì)填寫(xiě)）

第五篇：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題A

2014桂電大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題

A題 計(jì)劃生育新政對(duì)我國(guó)人口數(shù)量、結(jié)構(gòu)

及其經(jīng)濟(jì)的影響研究

李克強(qiáng)總理代表國(guó)務(wù)院在2014年政府工作報(bào)告中指出：“堅(jiān)持計(jì)劃生育基本國(guó)策不動(dòng)搖，落實(shí)一方是獨(dú)生子女的夫婦可生育兩個(gè)孩子政策?！?/p>

人口的數(shù)量和結(jié)構(gòu)是影響經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的重要因素。從20世紀(jì)70年代后期以來(lái)，我國(guó)鼓勵(lì)晚婚晚育，提倡一對(duì)夫妻生育一個(gè)孩子。該政策實(shí)施30多年來(lái)，有效地控制了我國(guó)人口的過(guò)快增長(zhǎng)，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活的改善做出了積極的貢獻(xiàn)。但另一方面，其負(fù)面影響也開(kāi)始顯現(xiàn)。如小學(xué)招生人數(shù)（1995年以來(lái)）、高校報(bào)名人數(shù)（2009年以來(lái)）逐年下降，勞動(dòng)人口絕對(duì)數(shù)量開(kāi)始步入下降通道，人口撫養(yǎng)比的“拐點(diǎn)”時(shí)刻即將到來(lái)。這些問(wèn)題都會(huì)對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)健康、可持續(xù)發(fā)展等產(chǎn)生一系列影響。

為此，根據(jù)要求回答下列問(wèn)題：

1.請(qǐng)你們就我國(guó)（或廣西區(qū)）上世紀(jì)50年代至今人口和經(jīng)濟(jì)的變化做出簡(jiǎn)要分析。

2.建立關(guān)于生育率、死亡率和性別比等多個(gè)因素的人口數(shù)學(xué)模型，分析計(jì)劃生育新政策（單獨(dú)二孩政策）對(duì)我國(guó)（或廣西區(qū)）未來(lái)人口數(shù)量，結(jié)構(gòu)及經(jīng)濟(jì)的影響（注：可到網(wǎng)上收集一些相關(guān)的文獻(xiàn)和數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型）；并對(duì)模型的結(jié)論發(fā)表自己的獨(dú)立見(jiàn)解。

參考文獻(xiàn)及數(shù)據(jù)來(lái)源：

1.2014年政府工作報(bào)告。

2.姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型.北京：高等教育出版社.2003.162-166.3.第六次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)（2010年）4.國(guó)家數(shù)據(jù)