第一篇：等差數(shù)列知識點解讀
等差數(shù)列
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項和求法。
*1.設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn．已知a1?5，an?1?Sn?3n，n?N．設(shè)bn?Sn?3n，求數(shù)列?bn?的通項公式；
解：依題意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n，由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．
因此，所求通項公式為bn?Sn-3n?2n。
2．設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為
3．已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a1?a3?a913?． a2?a4?a1016
【考點梳理】
1.在解決等差數(shù)列問題時，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三個，可求其余兩個。
2.補(bǔ)充的一條性質(zhì)
s奇n1）項數(shù)為奇數(shù)2n?1的等差數(shù)列有：?s?s?an?a中，s2n?1?(2n?1)an s偶n?1奇偶
sa2）項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：奇?n，s偶?s奇?nds2n?n(an?an?1)s偶an?
1?an?1?an?d（定義）?2an?1?an?an?23.等差數(shù)列的判定：{an}為等差數(shù)列?? ??an?An?B（關(guān)于n的“一次函數(shù)”）
?S?An2?Bn（缺常數(shù)項的“二次函數(shù)”）?n
即：｛an｝?an?1?an?d(d為常數(shù)）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
?an?kn?b?sn?An2?Bn；
4.三個數(shù)成等差可設(shè)：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；
四個數(shù)成等差可設(shè)：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差數(shù)列與函數(shù)：1）等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點（n,an）均勻排列在一條直線上，由兩點確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項可以確定一個等差數(shù)列.k=d=an?a1a?am，d=n，由此聯(lián)想點列（n，an）所在直線的n?mn?1
斜率.2）點(n,Sn)在沒有常數(shù)項的二次函數(shù)Sn?pn2?qn上。其中，公差不為0.6.等差數(shù)列前n項和最值的求法（結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解）
1）若等差數(shù)列?an?的首項a1?0，公差d?0，則前n項和Sn有最大值。（?。┤粢阎梐n，則Sn最大???an?0； a?0?n?1
q的非零自然數(shù)時Sn最大； 2p
2）若等差數(shù)列?an?的首項a1?0，公差d?0，則前n項和Sn有最小值（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?
（ⅰ）若已知通項an，則Sn最小???an?0； ?an?1?0
（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?
q的非零自然數(shù)時Sn最小。
2p
題型1等差數(shù)列的基本運算 例1在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
82?
a1???a?a?14d?10??
3解：(1)方法一：?151∴a60＝a1＋59d＝130． ??
a?a?44d?908451??d?
?3?
a?aa?a88
方法2 d?nm?4515?，an＝am＋(n－m)d?a60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．
n?m45?1533
2??A?2?12A?12B?8
4(2)不妨設(shè)Sn＝An＋Bn，∴?2 ??
B??17?20A?20B?460??
∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝109
2(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1?a6)6(a1?10)a?a6(a?10)
?∴15＝1即a1＝－5而d＝61?3 2226?1
8(a?a)
∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝18?44
又S6＝
變式訓(xùn)練1設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列{的前n項和，求Tn.解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn=na1+
Sn
}n
n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，2
?7a1?21d?7,?a1?3d?1,∴?即?解得a1=－2，d=1.15a?105d?75,a?7d?5.?1?1
Sn11n?5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n?1－n=.∴數(shù)列{n}是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為.n?1n2n2129∴Tn=n－n.44
∴
小結(jié)與拓展：基本量的思想：常設(shè)首項、公差及首項，公比為基本量，借助于消元思想及解
方程組思想等。等差數(shù)列中，已知五個元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個，便可求出其余兩個.題型2等差數(shù)列的判定與證明
*
例2已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n項和為Sn，且a3＝5，S6＝36.求數(shù)列{an}的通項公式；
解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列，設(shè){an}的首項為a1，公差為d，??a1＋2d＝
5由a3＝5，S6＝36得?，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.?6a1＋15d＝36?
變式訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.設(shè)bn＝n－1，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
n
an＋12an＋2ann
證明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n
2又b1＝a1＝1，因此{(lán)bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
小結(jié)與拓展：證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法是：1）利用定義，證明an－an－1（n≥2）為常數(shù)；2）利用等差中項，即證明2an=an－1+an+1（n≥2）.題型3等差數(shù)列的性質(zhì)
例3設(shè)等差數(shù)列?an?的首項及公差均是正整數(shù)，前n項和為Sn，且a1?1，a4?6，n
an
S3?12，則a2010答案：4020
變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，則等差數(shù)列{an}的前13項的和
S13＝________.答案：52
解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8
∴S13＝＝＝52.222
小結(jié)與拓展：解決等差（比）數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：①基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d（q）的方程；②巧妙運用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡.題型4等差數(shù)列的前n項和及最值問題
例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范圍；
（2）指出S1，S2，S3，?，S12中哪一個最大，并說明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且
12(a1?a12)
13(a1?a13)2
4＜0，解之得－＜d＜－3.27
（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.變式訓(xùn)練4設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時,n等于(A)
A．6B．7C．8D．9
【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4?a6?2a1?8d?2?(?11)?8d??6，解得d?2，所以Sn??11n?
n(n?1)
?2?n2?12n?(n?6)2?36，所以當(dāng)n?6時，Sn取最小值。
2d2d
n?(a1?)n利22
小結(jié)與拓展：等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d?0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?
用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.2.等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1＜0，d＞0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn有最小值；當(dāng)a1＞0，d＜0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，Sn有最大值；當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)列.3.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用.五、檢測鞏固：
1．有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個書的和是12，求這四個數(shù)．
?(a?d)2
(a?d)?16?a?d?
解：設(shè)這四個數(shù)為：a?d,a,a?d,，則? a
a?2a?d?12
?
?a?4?a?9解得：?或?，所以所求的四個數(shù)為：?4,4,12,36；或15,9,3,1．
?d?8?d??6
2．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項之和等于它前2n項中的偶數(shù)項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數(shù)列{an}的通項公式．
第二篇：等差數(shù)列知識點
精英輔導(dǎo)學(xué)校楊景勛專用2011年12月16日星期五
（一）等差數(shù)列I1、等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005則n=_____
2、等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10-a12的值為______
3、等差數(shù)列{an}中，a1=-5，前11項的平均值為5，若從中抽出一項，余下的10項的平均值為4，則抽取的（一）等差數(shù)列II
等差數(shù)列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是數(shù)列的前n項和，則（）A、S4 4、正項等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，有（） A、a1a8>a4a5B、a1a8 7、已知數(shù)列{an}前四項為-1，3，-6，10，則{an}的一個通項式為_______________ 8、等差數(shù)列a-d，a，a+d的一個通項公式是____________ 9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為1 4的等差數(shù)列，則|m-n|=_______ 10、等差數(shù)列{an}中，若a1=25，從第10項開始小于1，則公差d的范圍是________ 11、（2006全國卷II）已知等差數(shù)列{an}中，a2=7, a4=15，則前10項的和S10=_______ 12、一個等差數(shù)列{an}中前4項和為40，最后4項的和為80，所有項和210，求項數(shù)n.13、等差數(shù)列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，問數(shù)列的前多少項之和最大，并求出最大值。 3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范圍；②指出S1，S2…S12中哪一個值最大，說明理由。） 4、（2004年重慶考試卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003?a2004<0，則使前n項和S>0成立的最大自然數(shù)n是（A、4005B、4006C、4007D=4008 5、（2004年福建卷試卷）若 a5Sa=5，則求939 S=_______ 56、（2001年上?？荚嚲恚┰O(shè)數(shù)列的通項為an=2n-7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首項a1>0，Sn= ?1，則i?1aiai?1 limSn=________ n?? 8、（2006北京卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn，（1）若a11=0，S14=98，求數(shù)列{an}的通項公式； （2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項公式。/ 1） 等差數(shù)列 1.定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。 用遞推公式表示為an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）； 2．等差數(shù)列通項公式： （1）an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)（首項:a1，公差:d，末項:an） （2）an?am?(n?m)d．從而d? 3．等差中項 （1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?a?b或2A?a?b 2an?am； n?m （2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an? 24．等差數(shù)列的前n項和公式：sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222 （其中A、B是常數(shù)）（當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0） 5．等差數(shù)列的證明方法 （1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列．? （2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． （3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。 （4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。 注：（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。 （2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差為2d） 7.等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且 n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.22 2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則斜率為公差d；前n和Sn?na1?為常數(shù)列。 （3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2 a1?an ???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an ???，圖示：1????????? a2?an? 1(4)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，…也成等差數(shù)列 S3m ???????????????????????圖示：a1?a2?a3???am?am?1???a2m?a2m?1???a3m ??????????????????????? Sm S2m?Sm S3m?S2m （5）若等差數(shù)列{an}、且{bn}的前n和分別為An、Bn，Ana(2n?1)anA2n? 1?f(n)，則n???f(2n?1).nnn2n?1 （6）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則?an?bn?為等差數(shù)列 等差數(shù)列的性質(zhì)以及常見題型 一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用 1.已知數(shù)列?an?的通項公式為an??3n?2，試問該數(shù)列是否為等差數(shù)列。 111y?zz?xx?y 2.已知：，成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列。，xyzxyz 二等差數(shù)列的性質(zhì)考察 (1)熟用an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d，d? an?am 問題 n?m1、等差數(shù)列?an?中，a3?a5?24，a2?3，則a6? 2、已知等差數(shù)列?an?中，a2與a6的等差中項為5，a3與a7的等差中項為7，則an? 3、已知等差數(shù)列?an?中，ap?q，aq?p，則ap?q?____． (2)公差d的巧用 1、已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差等于_____ 2、等差數(shù)列{an}中，已知公差d?，且a1?a3?A．170 B．150 C．14 2?a99?60，則a1?a2? ?a100? D．120 a2?a 1等于()b2?b1 4.已知x?y且兩個數(shù)列x,a1,a2,???am,y與x,b1,b2,???bn,y各自都成等差數(shù)列則 mm?1nn?1BCDnmn?1m?1(3)m?n?s?t?am?an?as?at性質(zhì)的應(yīng)用 A 1.等差數(shù)列?an?中，若a3?a4?a5?a6?a7?450，則a2?a8?_____。2.等差數(shù)列?an?中，若S13?20。則a7?_______。 3.在等差數(shù)列?an?中a3?a11?40，則a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10?_______。4.等差數(shù)列?an?中, a1?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,則S20?_____。5.在等差數(shù)列?an?中，a4?a5?12，那么它的前8項和S8等于_______。 6.等差數(shù)列?an?中,它的前5項和為34,最后5項和146,所有項和為234,則a7?_______.7.｛an｝為等差數(shù)列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，則n= _______。（4）方程思想的運用 1.已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=24，求數(shù)列{an}的前n項和Sn 2.已知等差數(shù)列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求數(shù)列{an}的前n項和Sn (5)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n也成等差數(shù)列的應(yīng)用 1、等差數(shù)列前m項和是30，前2m項和是100，則它的前3m項和_______。 2、等差數(shù)列{an}的前n項的和為40，前2n項的和為120，求它的前3n項的和為_______。3.a1，a2，a3，……a2n+1 為 等差數(shù)列奇數(shù)項和為60，偶數(shù)項的和為45,求該數(shù)列的項數(shù).4.若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有_______項。 5.在等差數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，則a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(6）an? S2n? 1的運用 2n?1,bn?的前n項和，若對任意n?N*，都有1.設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列?an?? a11 = ________。b11 Sn7n?1?，Tn4n?27 則 （7）an與Sn的關(guān)系問題; 1.數(shù)列?an?的前n項和Sn＝3n?n2，則an＝_______ 2.數(shù)列?an?的前n項和Sn＝n2?n?1，則an＝ 3.數(shù)列?an?的前n項和Sn＝2n?1，則an＝___________ 4.數(shù)列{4n?2}的前n項和Sn＝______.（八）巧設(shè)問題； 一般情況,三個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a?d,a,a?d;四個數(shù)成等差數(shù)列可設(shè):a?3d,a?d,a?d,a?3d.1.四個數(shù)成等差數(shù)列,和為26,第二個數(shù)和第三個數(shù)的積為40,求這四個數(shù).2.四個數(shù)成等差數(shù)列,中間兩個數(shù)的和為13,首末兩個數(shù)的積為22,求這四個數(shù).3.一個等差數(shù)列的前12項之和為354，前12項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32：27，求公差 (九）．最值問題:； 1.在等差數(shù)列{an}中,a1?80,d??6,求Sn的最大值.2.等差數(shù)列?an?中，a1?0,S4?S9，則n的取值為多少時？Sn最大 3.已知等差數(shù)列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值時,Sn取最大值.（10)累加法的應(yīng)用-------裂項相消 1.已知數(shù)列{an}滿足:an?an?1?2n?1,a1?1,求an.2.已知數(shù)列{an}滿足:an?1?an?4n?1,a1?1,求an.4.在數(shù)列{an}中，a1?2,an?1?an?ln(1?),求an.n (11)由an求an的前n項和 1.數(shù)列?an?的前n項和Sn?n2?4n，則|a1|?|a2|??|a10|?_______.2.數(shù)列?an?的前n項和Sn?n2?4n，bn?an，則數(shù)列{bn}的前n項和Tn?_______.(12)由Sn得an的題型、直接法 1.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1? 22，且滿足2Sn?1?2Sn?3an?1(n?N*)。3 （1）求數(shù)列{an}通項公式an； 11119 （2）求證：當(dāng)n?2時，2?2?2?L?2?。 a2a3a4an4 倒數(shù)法 an1 1.已知數(shù)列?an?中，an≠０，a1＝，an?1＝（n∈N?），求an 1?2an2 等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理 第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì) 1、等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。 2、等差數(shù)列通項公式： an?a1?(n?1)d，a1為首項，d為公差 推廣公式：an?am?(n?m)d 變形推廣：d? 3、等差中項 （1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項．即：b成等差數(shù)列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b （2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列 ?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 4、等差數(shù)列的前n項和公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn （其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0） 特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項 S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項） 5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列． （2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列 ?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 （3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。 （4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。 6、等差數(shù)列的證明方法 定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列． 7、等差數(shù)列相關(guān)技巧： （1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。 （2）設(shè)項技巧： ①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d ②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d） 8、等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為2220。 （2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。 （3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項、4項??都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。 （4）?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列 (5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列 (6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 （7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1 bnB2n?1（8）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?，當(dāng)然也有an?m,am?n，則am?n?0 (9)求Sn的最值 法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。 法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和 即當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最大值時的n值． a?0?n?1（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。 即 當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負(fù)分界項 法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n? 注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對于任何數(shù)列都適用，但求通項時記住討論當(dāng)n?1的情況。 p?q 2解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法： ①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會運用） 第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì) 1、等比數(shù)列的定義： 2、通項公式： an?a1qn?1，a1為首項，q為公比 an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m? 3、等比中項 an am（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A2?ab或A??ab 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)） （2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1 4、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：(1)當(dāng)q?1時，Sn?na1(2)當(dāng)q?1時，Sn? ?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an?1?qan或為等比數(shù)列 an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an（2）等比中項：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數(shù)列（3）通項公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列（4）前n項和公式： Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數(shù)??{an}為等比數(shù)列 6、等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an? 17、等比數(shù)列相關(guān)技巧： （1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。 （2）為減少運算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項：an?a1qn?1 如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為?，aa2?（公比為q，中間項，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負(fù) 8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)q?1時 ①等比數(shù)列通項公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q ②前n項和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q (2)對任何m,n?N*,在等比數(shù)列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當(dāng)m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。 (3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當(dāng)m?n?2k時,得an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2??? (4)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。 (5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列 (6)如果{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(7)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列(8)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列 kanabn(9)①當(dāng)q?1時，②當(dāng)0 ③當(dāng)q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當(dāng)q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列。 (10)在等比數(shù)列{an}中, 當(dāng)項數(shù)為2n(n?N*)時,S奇S偶?1,。 q(11)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn?m?Sn?qn?Sm 注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。 解決等比數(shù)列問題時，通常考慮兩類方法： ①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程； ②巧妙運用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。 關(guān)于等差、等比兩個引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數(shù)，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數(shù)，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解： 例1 已知數(shù)列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數(shù)列的通項公式 解題大致思路：先設(shè)an?b?3(an?1?b)，則對于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列?an?2?為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項和公比分別是多少？還有你考慮到當(dāng)n?1的這種情況了嗎？ 例2 已知數(shù)列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數(shù)列的通項公式 n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當(dāng)然也希望通過這兩個模式能讓你意識到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。 等差數(shù)列知識點 1.等差數(shù)列的定義：an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）； 2．等差數(shù)列通項公式： an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an 推廣： an?am?(n?m)d． 從而d? 3．等差中項 （1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?a?b或2an?am； n?m2A?a?b （2）等 差 中 項 ： 數(shù) 列 ?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 4．等差數(shù)列的前n項和公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0） 特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項 S2n?12n?1??a1?a2n?1????2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項） 5．等差數(shù)列的判定方法 （1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列． ?（2）等差中項：數(shù)列 ?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． ⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。 （4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。 6．等差數(shù)列的證明方法 定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列． ? 7.提醒： （1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。 （2）設(shè)項技巧： ①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d ②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d） 8..等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d； 前n和Sn?na1?為0.（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。 （3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有 n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項222am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列 (5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 （7）設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和，Sn是前n項的和 1.當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，*S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan 2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an? S奇nana??n S偶nan?1an?1 2、當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，則 ?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?（其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）． （8）、{bn}的前n和分別為An、Bn，且則 An?f(n)，Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).bn(2n?1)bnB2n?1（9）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n? (10)求Sn的最值 法一：因等差數(shù)列前n項是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N。 法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和 即當(dāng)a1?0，d?0，由?*?an?0可得Sn達(dá)到最大值時的n值． ?an?1?0（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。 ?an?0即 當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負(fù)分界項 法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?p?q 2 注意：解決等差數(shù)列問題時，通常考慮兩類方法： ①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量． 等差數(shù)列·基礎(chǔ)練習(xí)題 一、填空題 1.等差數(shù)列8，5，2，?的第20項為___________.2.在等差數(shù)列中已知a1=12, a6=27,則d=___________ 3.在等差數(shù)列中已知 d??13，a7=8，則a1=_______________ 22(a?b)(a?b)4.與的等差中項是________________-5.等差數(shù)列-10，-6，-2，2，?前___項的和是54 6.正整數(shù)前n個數(shù)的和是___________ 2an??S＝3n?nn7.數(shù)列的前n項和，則an＝___________.8.在等差數(shù)列中已知a1=12, a6=27,則d=___________ 9.在等差數(shù)列中已知 d??13，a7=8，則a1=_______________ 10.在等差數(shù)列{an}中，an=m，an+m=0，則am= ______。在等差數(shù)列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，則S16= ______。12 在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，則從a15到a30的和是 ______。已知等差數(shù)列 110，116，122，??，則大于450而不大于602的各項之和為 ______。14若是方程的解，則 是關(guān)于的方程 ＝________。的兩個根，則15若公差，且＝________。 二、選擇題 xxlg2,lg(2?1),lg(2?3)成等差數(shù)列，則x的值等于（）1若 A.0 B.log25 C.32 D.0或32 2、等差數(shù)列中連續(xù)四項為a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、B、C、或 1 D、3.在等差數(shù)列?an?中a3?a11?40，則a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10的值為（）A.84 B.72 C.60.D.48 4.在等差數(shù)列?an?中，前15項的和S15?90，a8為（） A.6 B.3 C.12 D.4 5.等差數(shù)列?an?中, a1?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,則此數(shù)列前20下項的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 6.在等差數(shù)列?an?中,若a3?a4?a5?a6?a7?450，則a2?a8的值等于（） A.45 B.75 C.180 D.300 2an?S?S?nnn7.設(shè)是數(shù)列的前n項的和，且，則?an?是（） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列，且是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 8.數(shù)列3，7，13，21，31，?的通項公式是（） 32a?4n?1a?n?n?n?2 nn A.B.2a?n?n?1 D.不存在 n C.9、設(shè)數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項和為（）A、0 B、100 C、10000 D、505000 10.等差數(shù)列?an?中, a1?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,則此數(shù)列前20下項的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 11一個項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和分別是24與30,若此數(shù)列的最后一項比第-10項為10，則這個數(shù)列共有（） A、6項 B、8項 C、10項 D、12項 三、計算題 1.求集合M??m|m?2n?1,n?N*，且m?60?中元素的個數(shù)，并求這些元素的和 2an??S?5n?3n，求它的前3項，并2.設(shè)等差數(shù)列的前n項和公式是n求它的通項公式 3.如果等差數(shù)列?an?的前4項的和是2，前9項的和是-6，求其前n項和的公式。 4.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列?an?的有關(guān)未知數(shù)： 51a1?,d??,Sn??5,66（1）求n 及an；（2）d?2,n?15,an??10,求a1及Sn第三篇：等差數(shù)列知識點總結(jié)
第四篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理
第五篇：等差數(shù)列知識點+基礎(chǔ)練習(xí)題
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