第一篇：數(shù)列的性質(zhì)證明

只有三種形式:

x(n)=x(n-1)+F(F是關(guān)于N的函數(shù))用累加法

x(n)/x(n-1)=G(G是關(guān)于N的函數(shù))用累積法

x(n)=Ax(n-1)+B

x(n)取倒數(shù)后是上述情況

等差數(shù)列an依次每項(xiàng)k之和仍為等差數(shù)列,其公差為原公差的k^2倍,即數(shù)列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也為等差數(shù)列

對(duì)此條性質(zhì)進(jìn)行證明Sk=ka1+k(k-1)d/2

S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2

S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2

S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2

(S2k-Sk）-Sk=k^2*d

(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d

所以

等差數(shù)列an依次每項(xiàng)k之和仍為等差數(shù)列,其公差為原公差的k^2倍,即數(shù)列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也為等差數(shù)列

證明.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1的等差數(shù)列｛an｝有(1)S奇－S偶＝an

(2)s奇／S偶＝n/n-1.證明：由題意令此數(shù)列公差為d，則:a(n+1)-an=d,即an-a(n+1)=d

又由通項(xiàng)公式得：a(2n-1)=a1+(2n-2)d=an+(n-1)d

S奇－S偶＝(a1-a2)+(a3-a4)+...+(a(2n-3)-a(2n-2))+a(2n-1)

=(n-1)*(-d)+an+(n-1)d

=an

求前2n-1項(xiàng)和得：S(2n-1)=S奇+S偶＝(2n-1)[a1+a(2n-1)]/2

又a1+a(2n-1)=2an,則：

S奇+S偶＝(2n-1)*an=(2n-1)*(S奇-S偶)

即：2nS奇＝(2n-2)S偶

所以：s奇／S偶＝2n/（2n-2)=n/(n-1)

證明.項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列｛an｝有(1)S奇－S偶＝nd,(2)s奇／S偶＝an/an+1

(3)S2n=n(a1+a2n)=~~~=n(an+an+1)

[an與an+1為中間兩項(xiàng)】

證明：（1）S奇=a1+a3+…+a(2n-1)，共n項(xiàng)(2n-1為下標(biāo)）

S偶=a2+a4+…+a2n，共n項(xiàng)(2n為下標(biāo)）

S偶－S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+[a2n-a(2n-1)]=nd

(2)S奇=A1+A3+A5+……+A(2n-3)+A(2n-1)

S偶=A2+A4+A6+……+A(2n-2)+A2n

如果n為奇數(shù)

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-2)+A(n+2)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=A(n-1)+A(n+3)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

如果n為偶數(shù)

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-1)+A(n+1)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=An+A(n+2)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

(3)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以都可以配對(duì)，共有N對(duì)

p,q,r,s為下標(biāo)，當(dāng)p+q=r+s時(shí)，有ap+aq=ar+as,所以a1+a2n=a2+a2n-1=…=ak+a(2n-k+1)……=an+an+1,這n對(duì)的值都相等 所以S2n=n(a1+a2n)=……n(ak+a(2n-k+1)=……=n(an+an+1)

第二篇：數(shù)列證明

數(shù)列證明

1、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1?1,an?1?（Ⅰ）數(shù)列{

2、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,Sn?n?2Sn(n?1,2,3?).證明： nSn}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）Sn?1?4an.n1(an?1)(n?N?).3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求證數(shù)列?an?是等比數(shù)列。

3、已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且滿足an?2Sn?Sn?1?0?n?2?a1?1。2?1?

○1 求證：??是等差數(shù)列

；○2求an的表達(dá)式；

S?n?

4、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，（n∈N*）。

（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn；

5、設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列?

?an??的前n項(xiàng)和Sn ?bn? 2

6、已知數(shù)列?an?中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，⑴設(shè)數(shù)列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?bn?是等比數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列cn?an,(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?cn?是等差數(shù)列； n2⑶求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。

7、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an?Sn?Sn?1(n?2,Sn?0),a1?

（Ⅰ）求證：數(shù)列{

2.91}為等差數(shù)列； Sn8、已知數(shù)列{an}滿足a1?1，an?1?2an?1

（1）求證：{an?1}是等比數(shù)列

（2）求an的表達(dá)式和Sn的表達(dá)式

9、數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（Ⅱ）求數(shù)列?nan?的前n項(xiàng)和Tn．

第三篇：數(shù)列證明

數(shù)列——證明

1．已知a1?3且an?Sn?1?2，(1)證明 數(shù)列?公式.n?Sn?是等差數(shù)列；（2）求Sn及an的通項(xiàng)n??2?

112.已知等比數(shù)列?an?的公比為q=-.（1）若a3?，求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和；（Ⅱ）證明：

42對(duì)任意k?N?，ak，ak?2，ak?1成等差數(shù)列。

3.已知等比數(shù)列?an?中，a1?1?an11（1）sn為數(shù)列?an?前n項(xiàng)的和，證明：sn?,q?，332

（2）設(shè)bn?log3a1?log3a2???log3an，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式.4.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b2、b4、b5(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列{Sn?是等比數(shù)列.5.在數(shù)列?an?中，a1=0，且對(duì)任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差數(shù)列，其公差為2k.*54

（Ⅰ）證明a4,a5,a6成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

第四篇：第2課數(shù)列的性質(zhì)（模版）

第2課數(shù)列的性質(zhì)

(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)

題型示例

三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，又可成為等比數(shù)列，這三個(gè)數(shù)的和為6，求這三個(gè)數(shù).分析三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列，不同的排列方法有6種，但這里不必分成6種，因?yàn)槿粢匀齻€(gè)數(shù)中哪一個(gè)

數(shù)為等比中項(xiàng)，則只有三種情況，因此對(duì)于分類討論問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)姆诸愂墙夂脝?wèn)題的關(guān)鍵.解由已知，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d,則a-d+a+a+d=6,∴a=2,這三個(gè)數(shù)可表示為2-d,2,2+d,(1)若2-d為等比中項(xiàng)，則有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此時(shí)三個(gè)數(shù)為：-4,2,8.(2)若2+d是等比中項(xiàng)，則有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此時(shí)三個(gè)數(shù)為：8，2，-4.(3)若2為等比中項(xiàng)，則22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).綜上可求得此三數(shù)為-4,2,8.點(diǎn)評(píng)此題給我們的啟示是：數(shù)學(xué)解題既要精煉又要全面.一、選擇題(8×3′＝24′)

1．下列各命題中，真命題是()

A．若｛an｝成等差數(shù)列，則｛|an|｝也成等差數(shù)列

B．若｛|an|｝成等差數(shù)列，則｛an｝也成等差數(shù)列

C．若存在自然數(shù)n,使得2an+1=an+an+2，則｛an｝一定是等差數(shù)列

D．若｛an｝是等差數(shù)列，對(duì)任何自然數(shù)n都有2an+1=an+an+

22．從{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任選3個(gè)不同的數(shù)使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列最多有

()

A.20個(gè)B.40個(gè)C.60個(gè)D.80個(gè)

3．若正數(shù)a、b、c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>1時(shí)，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差數(shù)列B.依次成等比數(shù)列

C.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等比數(shù)列

4．已知數(shù)列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，則an等于(n

3∈N)（）3131)B.(1?n?1)A.(1?2233n

2121(1?)D.(1?n?1)3333n

15．等差數(shù)列{an}的公差為,S100=145,則a1+a3+a5+…+a99的值為()

2145A.60B.85C.D.75 2

6．已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=2n-1(n∈N*)，則此數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和為()

11A.(2n?1?1)B.(2n?1?2)33

11C.(22n?1)D.(22n?2)33

7．正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1=2-5，其前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為25,若前11項(xiàng)中抽取一項(xiàng)后的幾何平均

數(shù)仍是25,則抽去一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()

A.6B.7C.9D.11 C.1(a1?a2)2

8．已知x、y為正實(shí)數(shù)，且x，a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則的取值范圍是b1b

2()

A.RB.(0,4?C.［4,+??D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空題(4×3′＝12′)

9．等差數(shù)列｛an｝最初五項(xiàng)之和與其次五項(xiàng)之和的比為3∶4(n∈N*),則首項(xiàng)a1與公差d的比為.10．已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,則公比q的值是11．12-22+32-42+52-62+…+992-100212．若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)

列有項(xiàng).三、解答題(3×10′＋12′＋10′＝52′)

13．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a(a是常數(shù)且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).(1){an}是否是等差數(shù)列？若是，求出{an}的通項(xiàng)公式；若不是，說(shuō)明理由;

(2)設(shè)bn=an+c(n∈N*,c是常數(shù))，若{bn}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)c的值，并求出{bn}的通項(xiàng)公式.14．設(shè)實(shí)數(shù)a≠0,且函數(shù)f(x)=a(x2+1)-(2x+

(1)求a的值;

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=f(n),令bn=

列.1)有最小值-1.aa2?a4???a2n,n=1，2,3…，證明數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)n

3n217n?15．若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=-(n∈N*)，求數(shù)列｛|an|｝的前n項(xiàng)和Tn.2

216．在某兩個(gè)正數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)a,則三數(shù)成等差數(shù)列，若插入二個(gè)數(shù)b,c,則四數(shù)成等

比數(shù)列.(1)求證:2a≥b+c;

(2)求證:(a+1)2≥(b+1)(c+1).1171317．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2?n?(n∈N*)4126

1(1)是否存在等于的項(xiàng)?為什么? 2

(2)此數(shù)列是否有相等的連續(xù)兩項(xiàng)?若有，它們分別是哪兩項(xiàng);若沒(méi)有，說(shuō)明理由;

(3)此數(shù)列是否有值最小的項(xiàng)?為什么?

四、思考與討論(12′)

18．在xOy平面上有點(diǎn)P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)

ay=2000()x(0

(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；

(2)若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以bn、bn+

1、bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；

(3)設(shè)cn=lgbn(n∈N)．若a取(2)中確定的范圍的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列{cn}前多少項(xiàng)的和最大?試說(shuō)明理由．

參考答案

1．DA錯(cuò)，例如數(shù)列-3,-1,1，這樣B也錯(cuò)，C應(yīng)是對(duì)任意自然數(shù)n;D正是等差中項(xiàng)的性質(zhì).2．B由等差數(shù)列的概念知an-1+an+1=2an,所選的三個(gè)數(shù)只要首末兩數(shù)之和為偶數(shù)，則該三數(shù)即可構(gòu)成等差數(shù)列.因此，把所給的10個(gè)數(shù)分為1,3,5,7,9;2,4,6,8,10兩組,分別任取兩數(shù)，另一數(shù)自然確定，共有22A5=5×4×2=40個(gè).故選B.3．Cb2=ac?2lgb?lga?lgc?2lgblgalgc211?????.lgxlgxlgxlogbxlogaxlogcx

11?()n=3(1?1)． 4．Aan=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= n1231?

35．AS100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=145,又(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+a5+…+a99)=50d

??S奇?S偶?145則?解得S奇=a1+a3+a5+…+a99=60.S?S?25?偶?奇

1?(1?4n)12n???(2?1).6．Can=2，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.∴Sn1?43n-

17．A(a11

1·q11+2+…+1011)=25?q55=2110?q=4.=25?qx=2100?x=50.1x1010抽取一項(xiàng)后，(a1·q)

抽出的項(xiàng)的q的指數(shù)為5，故是第6項(xiàng).2(a1?a2)2(x?y)2(2xy)4xy8．C????4.b1b2xyxyxy

9．13∶1a1?a2???a55a3a3a1?2d3?????a1∶d=13∶1.a6?a7???a105a8a8a1?7d

4①

② ?a3?3S2?210．4? a?3S?23?4

②-①:a4-a3＝3（33－32）＝3a3，∴a4=4a3.11．-5050兩項(xiàng)結(jié)合，利用平方差公式.?a1?a2?a3?3412．13?，∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，?an?an?1?an?2?146

∴34+146=3(a1+an),a1+an=60．∴390=n·60，∴n=13.213．解（1）∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差數(shù)列.2(2)由{bn}是等比數(shù)列，得b1b3=b2

2,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c),化簡(jiǎn)得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.∵a≠-1,∴c=1,∴b1=a+1,q=

∴bn=b1qn-1=(a+1)·2n-1.14．(1)解∵f(x)=a(x-b2=2.b1122)+a-有最小值-1.aa

12∴a>0,且f()=a-=-1.∴a=1或a=-2(舍)，∴a=1.aa

(2)證明由(1)知f(x)=x2-2x,∴Sn=n2-2n.∴n=1時(shí)，a1=S1=-1；n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.且a1=-1滿足上式.∴an=2n-3,即｛an｝是首項(xiàng)為-1,公差為2的等差數(shù)列.∴bn=1241n(a2?a2n)1n(1?4n?3)(a+a+…+a2n)=·=·=2n-1.nnn22

∴bn+1-bn＝［2(n+1)-1］-(2n-1)=2.∴｛bn｝是等差數(shù)列.15．解n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=10-3n..n=1時(shí)，a1=S1＝7滿足上式，∴對(duì)n∈N*，an=10-3n.令10-3n>0,則n<10,∴a1>0,a2>0，a3>0,a4<0，… 3

?3n217n??(n?3)??22∴T（n）＝?2.?3n?17n?24(n?4)?2?2

?m?n?2a① ?216．證明(1)設(shè)原兩數(shù)為m,n(m,n>0),則?mc?b ② ?2③ ?nb?c

由①知a>0,由②，③知b,c>0, b2c2

?∴=m+n=2a?2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,∴2a≥b+c.cb

m?n(2)由①得a=≥mn=?a2≥bc 2

?a2?bc?a2+2a≥bc+b+c?(a+1)2≥bc+b+c+1=(b+1)(c+1).??2a?b?c

17．解(1)若數(shù)列中有等于11171312的項(xiàng)，則有an=n2-n+=,3n-17n+20=0 246212

51解得n=4或n=又n∈N則n=4,故數(shù)列的第4項(xiàng)等于.32

1113171317(2)an=n2-n+,an+1=(n+1)2-(n+1)+.46461212

若數(shù)列中有連續(xù)兩項(xiàng)相等，則121713113717n-n+=(n+1)2-(n+1)+解得n=.464631212

由于n∈N,故不存在相等的連續(xù)兩項(xiàng).(3)an=117223(n-)+,故當(dāng)n=3時(shí)an取最小值.46144

點(diǎn)評(píng)本題反映了數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)與它的序號(hào)的關(guān)系的式子，因此可運(yùn)用方程思想，通過(guò)通項(xiàng)公式求出數(shù)列的各項(xiàng)或某一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).另外，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)理解數(shù)列，其通項(xiàng)公式亦可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)解析式，于是可運(yùn)用有關(guān)函數(shù)知識(shí)解決一些數(shù)列問(wèn)題.18．解(1)由題意，可知an=11(n+n+1)=n+.22

1aan?2∴bn=2000()an=2000()． 1010

ax)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)，∴對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，有bn>bn+1>bn+2． 10

aa∴以bn、bn+

1、bn+2為邊能構(gòu)成三角形的充要條件是bn+1+bn+2>bn，即+()2>1.1010(2)∵函數(shù)y=2000（解得a<-5(1+5)或a>5(-1).∵0

7n?(3)易知a=7，則bn=2000()2.10

于是cn=lgbn=3+lg2+(n+11)lg0.7，且為遞減數(shù)列． 2

由,解得n≤20.8∴n=20.因此，{cn}的前20項(xiàng)和最大．

第五篇：數(shù)列等比性質(zhì)分析2013福建

數(shù)列等比性質(zhì)分析2013福建

9．D5[2013·福建卷] 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n

*

－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，則以下結(jié)論一定正確的是()

mA．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為q

2mB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q

2C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm

mD．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm

9．C [解析] 取an＝1，q＝1，則bn＝m，cn＝1，排除A，取a1＝1，q＝－1，m取正偶

cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋mmmm數(shù)，則bn＝0，排除B，＝＝q·q·…·q,sdo4(共cnam（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m

m個(gè)))＝qm，故選C.2