第一篇：數(shù)列極限的運算性質(zhì)

極限的運算

教學(xué)目標

1．熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學(xué)生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力．

3．正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想． 教學(xué)重點與難點

使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件． 教學(xué)過程

（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個常用極限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）來解決。

n??n??n??n例1：求下列極限：

7n3?3n2?n?(1)lim 3n??4n?1

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時除以3n-1結(jié)果如何？ 生：結(jié)果應(yīng)該一樣．

師：分子、分母同時除以2或2，能否求出極限？

n

n-

1（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學(xué)生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當n→∞，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的．

師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應(yīng)該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點，想出對策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形．

生：（2）題是分數(shù)和的形式，可以用“裂項法”變形．

例4設(shè)首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項和Sn怎樣表示？

師：看來此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：

師：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復(fù)雜問題條理化．同

（三）公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限 師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式：

例5計算：

題目不難，可由學(xué)生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點？

師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了．

師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請同學(xué)歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應(yīng)注意的問題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項和與無限項和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問答，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生回答的情況，及時進行引導(dǎo)和必要的補充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用． 課堂教學(xué)設(shè)計說明

1．掌握常用方法，深化學(xué)生思維． 數(shù)學(xué)中對解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當問題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應(yīng)該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，內(nèi)化為自身的認知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運用．例1的設(shè)計就是以此為目的的．

2．展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴謹思維． 第二課時

數(shù)列極限的運算性質(zhì)

教學(xué)目標：

1、掌握數(shù)列極限的運算性質(zhì)；會利用這些性質(zhì)計算數(shù)列的極限

2、掌握重要的極限計算公式：lim(1+1/n)n=e 教學(xué)過程：

一、數(shù)列極限的運算性質(zhì)

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(an?bn)= liman? limbn =A?B（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B?0，bn?0）注意：運用這些性質(zhì)時，每個數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項及其極限都不為零。

數(shù)列的和的極限的運算性質(zhì)可推廣為：如果有限個數(shù)列都有極限，那么這有限個數(shù)列對應(yīng)各項的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個數(shù)列的極限的和。類似地，對數(shù)列的積的極限的運算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個數(shù)列的和與積的運算，不能推廣為無限個數(shù)列的和與積。

二、求數(shù)列極限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應(yīng)用商的極限運算性質(zhì)進行計算。為了能應(yīng)用極限的運算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進行變形。在變形時分子、分母同時除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項。

4、一個重要的數(shù)列極限

我們曾經(jīng)學(xué)過自然對數(shù)的底e?2.718，它是一個無理數(shù)，它是數(shù)列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e（證明將在高等數(shù)學(xué)中研究）求下列數(shù)列的極限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n ?(1+1/n)n ?(1+1/n)=e?e?1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底數(shù)的兩項中，一項為1，另一項為3/n，其中分子不是1，與關(guān)于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標是將分子中的3變?yōu)?，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時除以3，但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3與指數(shù)上的n以及取極限時n??不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/3?3，又因為n??與n/3??是等價的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

練習(xí)：計算下列數(shù)列的極限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=1?8=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3?(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第二篇：第2講數(shù)列極限及其性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第2講教案

第2講數(shù)列極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、數(shù)列極限概念

數(shù)列 a1,a2,?,an,?,或簡單地記為{an}，其中an，稱為該數(shù)列的通項．

關(guān)于數(shù)列極限，先舉二個我國古代有關(guān)數(shù)列的例子．（1）割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽.n

22園內(nèi)接正n邊形的面積An?

Rsin

2?n

sin

(n?3,4,?），當n??時，An??R

2?nn

??R

2?

（2）古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，??，第n天截下

n，??這樣就得到一個數(shù)列

22,2,?,?1?,?．或?n?.n2?2?

不難看出，數(shù)列{}的通項

n

隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對于數(shù)列{an}，若當n無

限增大時an能無限地接近某一個常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限．不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列．下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義．

定義1設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)．若對任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當，n>N時有|an?a|??則稱數(shù)列{an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作liman?a，或an?a(n??).讀作“當n

n??

趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a”．

若數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}為發(fā)散數(shù)列．下面舉例說明如何根據(jù)??N定義來驗證數(shù)列極限．

二、根據(jù)??N定義來驗證數(shù)列極限

例2證明lim

1n

?

n??

?0，這里?為正數(shù)

?,故對任給的?>0，只要取N=?

1????

?

??1，則當n?N時，便有 ??

證：由于 |

1n

?

?0|?

1n

?

1n

?

?

1N

?

??即|

1n

?

?0|??.這就證明了lim

1n

?

n??

?0.例3證明lim

3n

n??

n?33n

?3.分析由于|

n?

3?3|?

9n?3

?

9n

(n?3).因此，對任給的?>o，只要

9n

??，便有

|

3n

n?3

?3|??,即當n?

時，(2)式成立．故應(yīng)取N?max{3, ??

999

證任給??0,取N?max{3,據(jù)分析，當n?N時有|2?3|??,式成立.于是本題得證.?n?3

n

例4證明limq=0，這里|q|<1．

n??

3n

證若q=0，則結(jié)果是顯然的．現(xiàn)設(shè)0<|q|<1．記h?

1|q|

?1，則h>0．我們有

|q?0|?|q|?

11?nh

nn

1(1?h)

n,并由(1?h)?1+nh得到|q|?

|q?0|??，這就證明了limq

n??

n

nn

?

1nh

.對任給的??0,只要取N?

?h,則當n?N時，得

n

?0.注：本例還可利用對數(shù)函數(shù)y?lgx的嚴格增性來證明，簡述如下：對任給的?>0(不妨設(shè)?<1)，為使

n

n

只要nlg|q|?lg?即n?|q?0|?|q|??，lg?lg|q|

（這里0?|q|?1).于是，只要取N?

lg?lg|q|

即可。

例5證明lim

n

n??

a?1，其中a>0．

證：(ⅰ)當a?1時，結(jié)論顯然成立.(ⅱ)當a?1時，記??an?1，則??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得

an?1?

a?1n.（1）

任給??0，由(1)式可見，當n?

a?1

?

?N時，就有an?1??，即|an?1|??.所以lim

n??

a?1.(ⅲ)當0?a?1時，,１

n

－１??，則??0.由

a

?1

?1?n

?(1??)?1?n??1?n??1???得 a?a?1

1?a

n

?

a

?1n.a?

a

?1

?1

n.?1

（2）

任給??0，由（2式可見，當n?１?

a?1

?

?N時，就有1?an??，即|an?1|??.所以lim

n

n??

a?1.關(guān)于數(shù)列極限的?—N定義，應(yīng)著重注意下面幾點：

1．?的任意性：盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既

?

2時任意小的正數(shù)，那么,3?或?等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用

?,3?或?等來代替．

2．N的相應(yīng)性：一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強調(diào)N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的.3．從幾何意義上看，“當n>N時有|a?a|??”意味著：所有下標大于N的項aｎ都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列{an}中的項至多只有N個(有限個)．

定義2若liman?0，則稱{an}為無窮小數(shù)列．由無窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：

n??

n

定理2.1數(shù)列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數(shù)列．

三、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理2.2(唯一性)若數(shù)列{an}收斂，則它只有一個極限．

定理2.3(有界性)若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)有|an|?M.證：設(shè)liman?a取??1，存在正數(shù)N，對一切n>N有

n??

|an?a|?1即a?1?an?a?1.記M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|},則對一切正整數(shù)n都有an?M．注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件．例如數(shù)列??1?定理2.4(保號性)若liman?a?0

n??

?

n

?有界，但它并不收斂．

?(a,0

(或<0)，則對任何a??(0,a)(或a?，存在正數(shù)N，使

得當n?N時有an?a?(或an?a?)．

證：設(shè)a?0．取??a?a?(>0)，則存在正數(shù)N，使得當n?N時有a???an?a??，即

an?a???a?，這就證得結(jié)果．對于a?0的情形，也可類似地證明．

注：在應(yīng)用保號性時，經(jīng)常取a??

a2

.即有an?

a2，或an?

a2

定理2.5(保不等式性)設(shè)?an?與?bn?均為收斂數(shù)列．若存在正數(shù)N0，使得當n?N0時，有an?bn，則liman?limbn.n??

n??

請學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件an?bn換成嚴格不等式an?bn，那么能否把結(jié)論換成liman?limbn?，并給出理由.n??

n??

例1設(shè)an?0?n?1,2,??．證明：若liman?a,則lim

n??

n??

an?

a.證：由定理2.5可得a?0.若a?0，則由liman?0，任給??0，存在正數(shù)N，使得當n?N時有an??，從而an??即

n??

an?0??,故有l(wèi)im

n??

an?0.an?aan?

a

an?a

a

若a?0，則有

an?

a??

.任給??0，由liman?a，存在正數(shù)N，使得當

n??

n?N時有an?a?

a?,從而

an?

a??．故得證．

第三篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:

當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。

教學(xué)難點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進行證明。

三、教學(xué)目標

1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識的融會貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢結(jié)果的預(yù)測。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強調(diào)的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點就是將數(shù)列的這樣一個特征用數(shù)學(xué)語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書）設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是實數(shù)。如果對于任意給定的數(shù)??0，總存在一個正整數(shù)N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數(shù)，但是這個數(shù)在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第五篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)

數(shù)列極限復(fù)習(xí)題

姓名

2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n

an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b

1?an3、如果lim()?0，則實數(shù)a的取值范圍是；n??2a

n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??

___；

?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項和

窮等比數(shù)列各項的和是；

6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項的和為；

7、無窮等比數(shù)列?an?的首項是某個自然數(shù)，公比為單位分數(shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項和為3，則a1?a2；

8、無窮等比數(shù)列?an?的各項和為2，則a1的取值范圍是

1的分m

??

9、無窮等比數(shù)列an中，為；

lim(a2?a3?...?an)

n??

=1，則a1的取值范圍

cosn??sinn??

10、計算： lim,??[0,]?

n??cosn??sinn?

222n?a2n111、若lim2n?1，則實數(shù)a的取值范圍是； ?2n?

12?a

23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)

12、若數(shù)列{an}的通項公式是an=,n=1,2,?,則

lim(a1?a2???an)__________；

n??

1?

1?n?2012?n(n?1)?

13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項和,求limSn?____;

n??

?3?1n?2013n?1??

214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項和分別為Sn,Tn且

an

? n??bn

Sn2n

?，則Tn3n?

1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim

lim

b1?b2???b3n

na4n

an

?3，則bn16、已知數(shù)

列為等差數(shù)列，且，則

a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是

n??1?q

2__________；

18、已知等比數(shù)列{an}的首項a1?1，公比為q(q?0)，前n項和為Sn，若

lim

Sn?

1?1，則公比q的取值范圍是.；

n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，滿足：對于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n

?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．則limn??an

A．0B．1C．D．

220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()

（A）liman?A, limbn?B則lim

n??

n??

anA

?(bn?0,n?N)

n??bBn

（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號“○+”表示求兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）

n???

a?b

.2A.2

3B.12

C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點得到一個新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點得到一個新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個點M。已知

A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點M的坐標是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知數(shù)列

lim

{an},{bn}

都是無窮等差數(shù)列，其中

a1?3,b1?2,b2是a2和a

3的等差中

an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項，且

24、設(shè)正數(shù)數(shù)列

lga?

lin?

1n??

?an?

為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求

lag????n2n

2al2ng；

bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an

n??Sn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項公式；

（2）若數(shù)列?an?的前n項和為Sn，當a?1時，求lim

Sn

n??an