第一篇：等差數(shù)列專題(學(xué)生版、教師版)

等差數(shù)列專題（學(xué)生版、教師版）

知識回顧

1．等差數(shù)列的判定方法

①定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．②中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．③通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．④前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．

2．等差數(shù)列的性質(zhì)

①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

②若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，則am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是數(shù)列中的項(xiàng)．特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，有am＋an＝2ap.③若{an}成等差數(shù)列，且Sn為其前n項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．

Sa④項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}，有S偶?S奇?nd；奇?n.S偶an?

1S奇n項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)(2n－1)的等差數(shù)列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an為中間項(xiàng))；S奇－S偶＝an；＝S偶n－1

⑤在等差數(shù)列中，若ap＝q，aq＝p，則ap＋q＝0；若Sm＝n，Sn＝m，則Sm＋n＝－(m＋n).3．用函數(shù)的觀點(diǎn)審視等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可表示為an＝dn＋b(這里b＝a1－d，a1是首項(xiàng)，d為公差)．

d1(2)Snn2d－2a1)n.∴當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)． 2

2典型例題

【例1】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；

(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.答案(1)d=4，a61＝217；(2)a1＝－8，d＝4；（3）a1＝－5，d＝3，a8＝16，S8＝

a1?2a2?????nan.1?2???n

求證：(1)若{bn}為等差數(shù)列，數(shù)列{an}也是等差數(shù)列；

(2)若{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．

11證明(1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)bn，a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1n＋1)(n＋2)·bn＋1，22

113∴an＋1＝(n＋2)bn＋1－·b.∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)為常數(shù)，∴{an}為等差數(shù)列． 222

1111(2)由已知得an(n＋1)bn(n－1)·bn－1，an＋1＝(n＋2)·bn＋1－n·b，2222n

32∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)為常數(shù)，∴bn＋1－bn＝an＋1－an)為常數(shù)，∴數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列． 2

3aA7n?45【例3】已知兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，且n?，則使得為整數(shù)的正整bnBnn?38?a1＋a844.2【例2】兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足bn＝

數(shù)n的個數(shù)是()

A．2B．3C．4D．

5A2n－12aaa12a解析 ∵＝∴＝7＋，∴當(dāng)n＝1,2,3,5,11時，D.bnbnB2n－12bnbnn＋1

【例4】已知{an}為等差數(shù)列，Sn＝m，Sm＝n，其中m≠n，m，n∈N*，求Sm＋n.答案 解法一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，解方程得Sm＋n＝－(m＋n)．

?Am2＋Bm＝n，①?

解法二：設(shè)Sx＝Ax2＋Bx，則?，①－②得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m，2??An＋Bn＝m，②

∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．

m?n

解法三：Sm－Sn＝n－m＝an＋1＋an＋2＋…＋am＝(an?1?am).∴an＋1＋am＝a1＋an＋m＝－2，∴Sm＋n＝－(m＋n)．

【例5】(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.?5＝－5n＋65.∴a13＝0，即當(dāng)n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，解(1)方法一 an＝20＋(n－1)×?333

12×11?5?

∴當(dāng)n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13＝S12＝12×20?－3?＝130.2

25553 125n－?2＋方法二 同方法一求得d＝－∴Sn＝－2?3624∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.方法三 同方法一得d＝－.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值.且最大值為S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.11?a?0所以數(shù)列{an}是以－21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.令?n得nn≥5，所以n＝6.4

4?an?1?0

??－2n＋23n n≤6?，設(shè){|an|}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝?

?2n－23n＋132 ?n≥7?.?

【例6】兩個等差數(shù)列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…，都有100項(xiàng)，問它們有多少個共同的項(xiàng)． 解析 解法一：∵an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)×4＝4m－1，∴兩數(shù)列共同的項(xiàng)需3n＋2＝4m－1，∴n－1，而n∈N*，m∈N*

??1≤3r≤100，∴設(shè)m＝3r(r∈N)，得n＝4r－1.?∴1≤r≤25，∴共有25個共同的項(xiàng)．

??1≤4r－1≤100.*

解法二：設(shè)兩數(shù)列共同項(xiàng)組成新數(shù)列{Cn}，則C1＝11，又an＝3n＋2，bm＝4m－1，由題意知{Cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12，∴Cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn＝12n－1≤302，由n∈N*得n≤25，∴兩數(shù)列有25個共同的項(xiàng)． 點(diǎn)評 可以看出，新數(shù)列的公差應(yīng)是原來兩數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).【例7】在下表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數(shù)，使得每一行，每一列都成等差數(shù)列，則標(biāo)有*號的空格中的數(shù)是

解析 記aij為從上到下第i行，從左到右第j列的空格中所填的數(shù)，則a52＝x，a41＝y(tǒng).由第3行得a33＝2y＋186，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113.① 2

由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x，所以148－3y＝3×103－4x，整理得4x－3y＝161.②

聯(lián)立①②解得x＝50，y＝13.所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＋a15a13＝2a33－a53＝112，故a14＝＝142.故標(biāo)有*號的空格應(yīng)填142.【例8】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(c∈R，n＝1,2,3…)，且S1，S3

成等差數(shù)列.3

(1)求c的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.Sn＋cnSSSSSS解：(1)∴－n＝1,2,3，…).∵S1，成等差數(shù)列，∴∴c＝1.232132n＋1nn(n＋1)

S2，2

Sn＋1

Sn＋1SSS(2)由(1)得1(n＝1,2,3，…).∴數(shù)列{}，公差為1的等差數(shù)列.n1n＋1n

SS∴(n－1)·1＝n.∴Sn＝n2.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.n1

當(dāng)n＝1時，上式也成立∴an＝2n－1(n＝1,2,3，…).【例9】（1）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝an－1)(n∈N *)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2an?2an?120

（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an>0，a1＝12，且滿足Sn＝.試證明{an}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．

解析（1）∵Sn＝(an－1)，∴當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝·(a－1)．解得a1＝3.當(dāng)n≥2時，22133aan＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得3，22an－1∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)a2＝3a1＝9.∴n≥2時，an＝9·3n－2＝3n.顯然，當(dāng)n＝1時也成立．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝3n(n∈N *).22an－1＋2an－1－120an?2an?120

（2）當(dāng)n≥2時，Sn＝，①Sn－1＝②

①－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an>0，則an

－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此

{an}為等差數(shù)列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.【例10】（1）求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值；

（2??????的前n項(xiàng)和；

111cos1?

（3）求證：.???????

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?

【解】（1）倒序相加法：2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴S＝44.5（2）裂項(xiàng)相消法：

Sn???????

1.sin1?111（3）解：設(shè)S?，∵?tan(n?1)??tann? ??????????????

cosncos(n?1)cos0cos1cos1cos2cos88cos89

S?????????????

cos0cos1cos1cos2cos88cos891＝{(tan1??tan0?)?(tan2??tan1?)?(tan3??tan2?)?[tan89??tan88?]} ?

sin1

cos1?1??

＝(tan89?tan0)＝2?.∴ 原等式成立

sin1sin1?

反饋練習(xí)

1.在等差數(shù)列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于()（A）13（B）26（C）52（D）156 2.若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為S5=25，且a2=3,則a7=()(A)12(B)13(C)14(D)15

3.如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35

?n?1(n為奇數(shù)）

4.已知數(shù)列an??則a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()

n(n為偶數(shù)）?

（A）4 800（B）4 900（C）5 000（D）5 100

5.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0；Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則()（A）S5>S6(B)S5

6.在遞減等差數(shù)列{an}中，若a1+a100=0,則其前n項(xiàng)和Sn取最大值時的n值為()(A)49(B)51(C)48(D)50 7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且

SS41

?，則8=_______． S83S16

8.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an?an?1?an?1?0（n∈N*,n≥2),則S2 012等于________.9.項(xiàng)數(shù)大于3的等差數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均不為零，公差為1，且_______.10.在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,設(shè)bn?,求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.2n?1

11.已知數(shù)列{an}中，a1=8,a4=2,且滿足an+2+an=2an+1.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)Sn是數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，求Sn.【答案】1.B，2.B，3.C，4.C，5.D，6.D

an

111???1,則其通項(xiàng)公式為a1a2a2a3a1a3

3*；

8、4 024；

9、an=n(n∈N)10

an?12an?2nann

??1?bn?1，10.【證明】∵an+1=2an+2，∴bn?1?n?

22n2n?

17、∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.11.【解析】（1）∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.??n2?9n(n?5),?(2)令an≥0得n≤5.即當(dāng)n≤5時，an≥0；n≥6時，an<0.∴Sn=?2

??n?9n?40(n?6).

第二篇：等差數(shù)列一(學(xué)生)

等差數(shù)列

（一）一、選擇題

1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a6＋a7＝18，則S9的值是()

A．64B．72C．54D．以上都不對

2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝18－a5，則S8等于()

A．18B．36C．54D．72

3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m>1，am－1＋am＋1－am2－1＝0，S2m－1＝39，則m等于()

A．10B．19C．20D．39

4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n＝1,2,3，…)，若當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是()

A．S17B．S18C．S15D．S14

5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于()

A．6B．7C．8D．9

6．已知在等差數(shù)列{an}中，對任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的兩根，且前15項(xiàng)的和S15＝m，則數(shù)列{an}的公差是()

A．－2或－3B．2或3C．－2D．－3

7．等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.8．已知{an}是等差數(shù)列，a4＝15，S5＝55，則過點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率是________．

9．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________．

三、解答題

10．在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

1(1)求證：數(shù)列{是等差數(shù)列； an

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．

31111．已知數(shù)列{an}中，a1an＝2－n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． 5an－1an－1

(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由．

第三篇：等差數(shù)列練習(xí)題學(xué)生版

一、選擇題

1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝21，a7＝18，則公差d＝（）A.12 B.13 C．－12 D．－13 2．在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a6＝17，則a14＝（）A．45 B．41 C．39 D．37 3．已知數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，點(diǎn)Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，則數(shù)列{an}為（）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為1的等差數(shù)列 C．公差為－2的等差數(shù)列 D．非等差數(shù)列

4．已知m和2n的等差中項(xiàng)是4，2m和n的等差中項(xiàng)是5，則m和n的等差中項(xiàng)是（）A．2 B．3 C．6 D．9 5．下面數(shù)列中，是等差數(shù)列的有（）①4,5,6,7,8，…

②3,0，－3,0，－6，…

③0,0,0,0，… ④110，210，310，410，…

A．1個 B．2個 C． 3個 D．4個

6．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2，則a4等于（）A．B．6 C．7 D．9 8．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝（）A．2n＋1 B．2n－1 C．2n D．2(n－1)

二、填空題

9．△ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則B＝__________.10．已知等差數(shù)列{an}，an＝4n－3，則首項(xiàng)a1為__________，公差d為__________．

11．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝__________.12．已知數(shù)列{an}滿足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，則an＝________.三、解答題

13．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通項(xiàng)公式．

14．已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2－10x＋16＝0的兩個實(shí)根．

(1)求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由． 15．已知(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn)．(1)求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)畫出這個數(shù)列的圖象；(3)判斷這個數(shù)列的單調(diào)性．

第四篇：等差數(shù)列(二)學(xué)生

2.1 等差數(shù)列(二)

1．已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于()．

A．4B．5C．6D．7

2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于()．

A．40B．42C．43D．45

3．在等差數(shù)列{an}中，a3，a9是方程2x2－x－7＝0的兩根，則a6等于()． 1177B.C．－D．－2424

4．已知{an}為等差數(shù)列，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝________.5．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)為________．

6．在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.7．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝1，則a6的值為()．

A．15B．17C．36D．64

8．等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通項(xiàng)公式為()．

A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1D．a(chǎn)n＝2n＋1

9．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差數(shù)列，則x的值為________．

10．已知{an}是公差為－2的等差數(shù)列，若a3＋a6＋a9＋…＋a99＝－82，則a1＋a4＋a7＋…＋a97等于________．

11．已知等差數(shù)列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N＋)，試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論．

12．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，λ是常數(shù)．

(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；

(2)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由．

第五篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)教案(學(xué)生補(bǔ)課用)

等差數(shù)列

重點(diǎn)導(dǎo)讀

1.若{an}為等差數(shù)列，且滿足則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)

2.(1)在等差數(shù)列{an}中，下標(biāo)成等差數(shù)列，且公差為m的項(xiàng)，ak，ak＋m，ak＋2m，?，(k，m∈N*)組成數(shù)列.(2)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}是數(shù)列，如{an＋bn}，{an－bn}是等差數(shù)列.(3){an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋?＋am，am

a2m＋1＋a2m＋2＋?＋a3m，?是＋1＋am＋2＋?＋a2m，數(shù)列.3.與前n項(xiàng)和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)等差數(shù)列的依次每k項(xiàng)之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，?組成公差為的等差數(shù)列.(2)若等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則S2n＝n(an

S偶

＋an＋1)(an，an＋1為中間兩項(xiàng))且S偶－S奇＝nd＝

S奇an＋1an.(3)若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S2n－1＝an(an

S偶

為中間項(xiàng))且S奇－S偶＝an，.S奇4.在等差數(shù)列中：若a1＞0，d＜0，則Sn必有最值，這時既可由二次函數(shù)確

?an0?

定n，也可用不等式組?a0來確定n.?n＋1?

若a1＜0，d＞0，則Sn必有最值，這時既可由二次函數(shù)確定n，也可用不等式??an0

組?a0來確定n.?n＋1?

(1)關(guān)于an的： ①an＝； ②an＝； ③an＝.(2)關(guān)于Sn的： ①Sn＝； ②Sn＝； ③Sn＝； ④Sn＝.●課本中推導(dǎo)Sn的方法稱為.4.三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列的表達(dá)方式

列.(3){an}是等比數(shù)列，則a1＋a2＋?＋am，am

a2m＋1＋a2m＋2＋?＋a3m，?是＋1＋am＋2＋?＋a2m，數(shù)列.3.與前n項(xiàng)和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比數(shù)列的依次每k項(xiàng)之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，?組成公比為的等比數(shù)列.4單調(diào)性在等比數(shù)列中：若a1＞0，0

當(dāng) 當(dāng)

當(dāng)時，無單調(diào)性

1.若{an}為等比數(shù)列，且滿足aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)

2.(1)在等比數(shù)列{an}中，下標(biāo)成等比數(shù)列，且公比為m的項(xiàng)，ak，ak＋m，ak＋2m，?，(k，m∈N*)組成數(shù)列.(2)若{an}，{bn}是等比數(shù)列，則{pan＋qbn}是數(shù)列，如{an＋bn}，{an－bn}是等比數(shù)

一、選擇題

1.等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于()

A.160B.180C.200D.220 2.如果a1，a2，?，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公比d≠0，則()

A.a1a8＞a4a5B.a1a8＜a4a5 C.a1＋a8＞a4＋a5D.a1a8＝a4a5 3.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則()

若各冊書的出版年份數(shù)之和為13979，則出齊這套書的年份是()

A.1997B.1999C.2001D.200

36.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a5S若a9S等于()

51A.1B.－1C.2D.2二、填空題

7.等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10

＋a11＝36，則a5＋a8＝.8.在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an

＋

－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則S100

A.S4＜S5B.S4＝S5C.S6＜S5D.S6＝S

54.在等差數(shù)列中，am＝n，an＝m(m≠n)，則am＋n為()

A.m－nB.0C.m2D.n

2＝.9.設(shè)f(x)＝x，利用課本中推導(dǎo)等

2＋2差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得

f(－5)＋f(－4)＋?＋f(0)＋?＋f(5)＋

5.一套共7冊的書計劃每2年出一冊，f(6)的值為

10.若關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0和x2

－x＋b＝0(a，b∈R，且a≠b)的四個根組

1成首項(xiàng)為4的等差數(shù)列，則a＋b＝.例、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間滿足2an＝Sn·Sn－1(n≥2).(1)求證：數(shù)列{S}是等差數(shù)列，并求

n

公比；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.13.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：

Sn＝8an＋2)2.(1)求證：{an}是等差數(shù)列；

1(2)若bn＝2n－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值.14.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公比d的范圍；

(2)問前幾項(xiàng)的和最大，并說明理由.等比數(shù)列

【例1】 在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3=－3,a1a2a3=8 ①求通項(xiàng)公式，②求a1a3a5a7a9.例2（1）、已知a2?4,a5??，求通項(xiàng)公式.（2）、已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值

【例3】 設(shè){an}是等差數(shù)列，bn?()a，1n

221

1已知b1?b2?b3?，b1b2b3?，求

等差數(shù)列的通項(xiàng)an.例4數(shù)列{an}中，a1=1，且anan＋1=4n，求前n項(xiàng)和Sn.1．如果a1，a2，a3三個數(shù)既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，那么這三個數(shù)()

A．互不相等B．不全相等C．可以是相等的任意數(shù)D．相等且不為0

10，10，10，2．已知數(shù)列10，…，…

525

n5的前n項(xiàng)之積不超過103，則n的最大值為()

A．4B．5C．6D．7

3．若方程x2?5x?m?0與

x2?10x?n?0的四個實(shí)數(shù)根適當(dāng)排列后，恰好組成一個首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則

m∶n的值為()

A．4B．2C．D.4．給出下面五個數(shù)列：

①l，2a，3a2，…，nan?1，…(n∈)； ②x，x2，x3，…，xn…(n∈)；

4A③coskπ, cos2kπ, cos3kπ,…,（B）cos nkπ，…，(k∈Z，n∈)；

④m?n，?np，n?p，其中

mn

?，且m＞n＞p＞0； nq

1111BCD5168306408等差數(shù)列 {an}中，a4?10，且a3,a6,a10成等比數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為___200或___330

⑤log2x，log2x，log2x已知f(x)?

其中可能是等差數(shù)列的數(shù)列序號是，可能是等比數(shù)列的數(shù)列序號是．

5．已知實(shí)數(shù)x，a1，a2，y成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)x，b1，b2，y成等比數(shù)列，則

x1，數(shù)列 {an}滿足a1?，3x?1

3an?1?f(an)，則an?_______

1.基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、（公差）比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等。

轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法。

解讀：“知三求二”。

?a1?a2?

2b1b2的取值范圍

3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

1）若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列{aa}是

n

是。

6．在3與9之間插入二個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，而后三個數(shù)成等差數(shù)列，則

這

兩

個

數(shù)的和

等比數(shù)列，公比為ad，其中a是常數(shù)，d是（a>0且a≠1）； ?an?的公差。

2）若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?0，則數(shù)列?logaan?是等差數(shù)列，公差為logaq，其中

a是常數(shù)且a?0,a?1，q是?an?的公比。

是。已知等差數(shù)列{an}中，a2?6,a5?15若

bn?a2n，則數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)的和為（C

3）若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則{an}是非零常數(shù)數(shù)列。

題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系 例1（2010陜西文16）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng);（Ⅱ）求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.A30B 45C 60D1866 在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3。。，18的18名火炬手。取若從中 任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3 為公差的等差數(shù)列的概率為

2n+1-2.變式訓(xùn)練1（2010北京文16）已知{an}為等差數(shù)列，且a3??6，a6?0。（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若等比數(shù)列?bn?滿足b1??8，b2?a1?a2?a3，求?bn?的前n項(xiàng)和公式

(n?1)?a1?S

1.是重要考點(diǎn)；2）an??

?Sn?Sn?1(n?2,n?N)

韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3）迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。題型3中項(xiàng)公式與最值（數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì)）

例3（2009汕頭一模）在等比數(shù)列｛an｝中，an＞0(n?N＊），公比q?(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，a3與as的等比中項(xiàng)為2。（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2 an，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)

變式訓(xùn)練3（2009常德期末）已知數(shù)列

SS1S

2??????n最大時，求n的值。12n

b1(1?qn)

Sn??4(1?3n)

1?q

題型2與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an”、常用求通項(xiàng)公式的結(jié)合例2（2009廣東三校一模）數(shù)列{an}是公差大于零的等差數(shù)列，a2,a5是方程

x2?12x?27?0的兩根。數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和1

為Tn,且Tn?1?bnn?N?，求數(shù)列

??

?an?的前n項(xiàng)和為Sn,a1?1且

Sn?Sn?1?an?1?

1119，數(shù)列?bn?滿足b1??且24

?an?,?bn?的通項(xiàng)公式。

2?1?

?bn???

3?3?

n?1

3bn?bn?1?n(n?2且n?N?)．

?

n?N? n3

??

（１）求?an?的通項(xiàng)公式；（２）求證：數(shù)列?bn?an?為等比數(shù)列;

變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)與數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)對應(yīng)相同，且a1＋2a2＋2a3＋?＋2n－1an＝8n對任意的n∈N*都成立，數(shù)列{bn＋1－bn}是等差數(shù)列．求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式。（３）求?bn?前n項(xiàng)和的最小值．