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      等差數(shù)列專題(學(xué)生版、教師版)

      時間:2019-05-14 18:37:06下載本文作者:會員上傳
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      第一篇:等差數(shù)列專題(學(xué)生版、教師版)

      等差數(shù)列專題(學(xué)生版、教師版)

      知識回顧

      1.等差數(shù)列的判定方法

      ①定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.②中項公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.③通項公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.④前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.

      2.等差數(shù)列的性質(zhì)

      ①an=am+(n-m)d(n,m∈N+).

      ②若m,n,p,k∈N*,且m+n=p+k,則am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是數(shù)列中的項.特別地,當(dāng)m+n=2p時,有am+an=2ap.③若{an}成等差數(shù)列,且Sn為其前n項的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差數(shù)列.

      Sa④項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an},有S偶?S奇?nd;奇?n.S偶an?

      1S奇n項數(shù)為奇數(shù)(2n-1)的等差數(shù)列{an},有S2n-1=(2n-1)an(an為中間項);S奇-S偶=an;=S偶n-1

      ⑤在等差數(shù)列中,若ap=q,aq=p,則ap+q=0;若Sm=n,Sn=m,則Sm+n=-(m+n).3.用函數(shù)的觀點(diǎn)審視等差數(shù)列

      (1)等差數(shù)列的通項公式可表示為an=dn+b(這里b=a1-d,a1是首項,d為公差).

      d1(2)Snn2d-2a1)n.∴當(dāng)d≠0時,等差數(shù)列的前n項和Sn是n的二次函數(shù). 2

      2典型例題

      【例1】在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a15=33,a45=153,求a61;

      (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d;

      (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.答案(1)d=4,a61=217;(2)a1=-8,d=4;(3)a1=-5,d=3,a8=16,S8=

      a1?2a2?????nan.1?2???n

      求證:(1)若{bn}為等差數(shù)列,數(shù)列{an}也是等差數(shù)列;

      (2)若{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.

      11證明(1)由已知得a1+2a2+…+nan=n(n+1)bn,a1+2a2+…+(n+1)an+1n+1)(n+2)·bn+1,22

      113∴an+1=(n+2)bn+1-·b.∴an+1-an=(bn+1-bn)為常數(shù),∴{an}為等差數(shù)列. 222

      1111(2)由已知得an(n+1)bn(n-1)·bn-1,an+1=(n+2)·bn+1-n·b,2222n

      32∴an+1-an=(bn+1-bn)為常數(shù),∴bn+1-bn=an+1-an)為常數(shù),∴數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列. 2

      3aA7n?45【例3】已知兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,且n?,則使得為整數(shù)的正整bnBnn?38?a1+a844.2【例2】兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足bn=

      數(shù)n的個數(shù)是()

      A.2B.3C.4D.

      5A2n-12aaa12a解析 ∵=∴=7+,∴當(dāng)n=1,2,3,5,11時,D.bnbnB2n-12bnbnn+1

      【例4】已知{an}為等差數(shù)列,Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N*,求Sm+n.答案 解法一:設(shè)首項為a1,公差為d,解方程得Sm+n=-(m+n).

      ?Am2+Bm=n,①?

      解法二:設(shè)Sx=Ax2+Bx,則?,①-②得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m,2??An+Bn=m,②

      ∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1,∴Sm+n=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n).

      m?n

      解法三:Sm-Sn=n-m=an+1+an+2+…+am=(an?1?am).∴an+1+am=a1+an+m=-2,∴Sm+n=-(m+n).

      【例5】(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值;

      (2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=4n-25,求數(shù)列{|an|}的前n項和.?5=-5n+65.∴a13=0,即當(dāng)n≤12時,an>0,n≥14時,an<0,解(1)方法一 an=20+(n-1)×?333

      12×11?5?

      ∴當(dāng)n=12或13時,Sn取得最大值,且最大值為S13=S12=12×20?-3?=130.2

      25553 125n-?2+方法二 同方法一求得d=-∴Sn=-2?3624∵n∈N*,∴當(dāng)n=12或13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.方法三 同方法一得d=-.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴當(dāng)n=12或13時,Sn有最大值.且最大值為S12=S13=130.(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21.11?a?0所以數(shù)列{an}是以-21為首項,以4為公差的遞增的等差數(shù)列.令?n得nn≥5,所以n=6.4

      4?an?1?0

      ??-2n+23n n≤6?,設(shè){|an|}的前n項和為Tn,則Tn=?

      ?2n-23n+132 ?n≥7?.?

      【例6】兩個等差數(shù)列{an}:5,8,11,…和{bm}:3,7,11,…,都有100項,問它們有多少個共同的項. 解析 解法一:∵an=5+(n-1)×3=3n+2,bm=3+(m-1)×4=4m-1,∴兩數(shù)列共同的項需3n+2=4m-1,∴n-1,而n∈N*,m∈N*

      ??1≤3r≤100,∴設(shè)m=3r(r∈N),得n=4r-1.?∴1≤r≤25,∴共有25個共同的項.

      ??1≤4r-1≤100.*

      解法二:設(shè)兩數(shù)列共同項組成新數(shù)列{Cn},則C1=11,又an=3n+2,bm=4m-1,由題意知{Cn}為等差數(shù)列,且公差d=12,∴Cn=11+(n-1)×12=12n-1.又∵a100=302,b100=399,∴Cn=12n-1≤302,由n∈N*得n≤25,∴兩數(shù)列有25個共同的項. 點(diǎn)評 可以看出,新數(shù)列的公差應(yīng)是原來兩數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).【例7】在下表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數(shù),使得每一行,每一列都成等差數(shù)列,則標(biāo)有*號的空格中的數(shù)是

      解析 記aij為從上到下第i行,從左到右第j列的空格中所填的數(shù),則a52=x,a41=y(tǒng).由第3行得a33=2y+186,由第3列得a33=2×103-2x,所以2x+y=113.① 2

      由第2行得a23=2×74-3y,由第3列得a23=2a33-103=3×103-4x,所以148-3y=3×103-4x,整理得4x-3y=161.②

      聯(lián)立①②解得x=50,y=13.所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172,a13+a15a13=2a33-a53=112,故a14==142.故標(biāo)有*號的空格應(yīng)填142.【例8】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(c∈R,n=1,2,3…),且S1,S3

      成等差數(shù)列.3

      (1)求c的值;

      (2)求數(shù)列{an}的通項公式.Sn+cnSSSSSS解:(1)∴-n=1,2,3,…).∵S1,成等差數(shù)列,∴∴c=1.232132n+1nn(n+1)

      S2,2

      Sn+1

      Sn+1SSS(2)由(1)得1(n=1,2,3,…).∴數(shù)列{},公差為1的等差數(shù)列.n1n+1n

      SS∴(n-1)·1=n.∴Sn=n2.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.n1

      當(dāng)n=1時,上式也成立∴an=2n-1(n=1,2,3,…).【例9】(1)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=an-1)(n∈N *).求數(shù)列{an}的通項公式.

      2an?2an?120

      (2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an>0,a1=12,且滿足Sn=.試證明{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式.

      解析(1)∵Sn=(an-1),∴當(dāng)n=1時,S1=a1=·(a-1).解得a1=3.當(dāng)n≥2時,22133aan=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得3,22an-1∴當(dāng)n≥2時,數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列,且首項a2=3a1=9.∴n≥2時,an=9·3n-2=3n.顯然,當(dāng)n=1時也成立.故數(shù)列的通項公式為an=3n(n∈N *).22an-1+2an-1-120an?2an?120

      (2)當(dāng)n≥2時,Sn=,①Sn-1=②

      ①-②整理得:(an-an-1-2)(an+an-1)=0,又an>0,則an

      -an-1-2=0,即an-an-1=2,因此

      {an}為等差數(shù)列,an=a1+2(n-1)=2n+10.【例10】(1)求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值;

      (2??????的前n項和;

      111cos1?

      (3)求證:.???????

      cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?

      【解】(1)倒序相加法:2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)=89 ∴S=44.5(2)裂項相消法:

      Sn???????

      1.sin1?111(3)解:設(shè)S?,∵?tan(n?1)??tann? ??????????????

      cosncos(n?1)cos0cos1cos1cos2cos88cos89

      S?????????????

      cos0cos1cos1cos2cos88cos891={(tan1??tan0?)?(tan2??tan1?)?(tan3??tan2?)?[tan89??tan88?]} ?

      sin1

      cos1?1??

      =(tan89?tan0)=2?.∴ 原等式成立

      sin1sin1?

      反饋練習(xí)

      1.在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則此數(shù)列的前13項之和等于()(A)13(B)26(C)52(D)156 2.若等差數(shù)列{an}的前5項和為S5=25,且a2=3,則a7=()(A)12(B)13(C)14(D)15

      3.如果等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35

      ?n?1(n為奇數(shù))

      4.已知數(shù)列an??則a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()

      n(n為偶數(shù))?

      (A)4 800(B)4 900(C)5 000(D)5 100

      5.已知等差數(shù)列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0;Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則()(A)S5>S6(B)S5

      6.在遞減等差數(shù)列{an}中,若a1+a100=0,則其前n項和Sn取最大值時的n值為()(A)49(B)51(C)48(D)50 7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且

      SS41

      ?,則8=_______. S83S16

      8.各項均不為零的等差數(shù)列{an}中,若an?an?1?an?1?0(n∈N*,n≥2),則S2 012等于________.9.項數(shù)大于3的等差數(shù)列{an}中,各項均不為零,公差為1,且_______.10.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,設(shè)bn?,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.2n?1

      11.已知數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2+an=2an+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)設(shè)Sn是數(shù)列{|an|}的前n項和,求Sn.【答案】1.B,2.B,3.C,4.C,5.D,6.D

      an

      111???1,則其通項公式為a1a2a2a3a1a3

      3*;

      8、4 024;

      9、an=n(n∈N)10

      an?12an?2nann

      ??1?bn?1,10.【證明】∵an+1=2an+2,∴bn?1?n?

      22n2n?

      17、∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1,∴數(shù)列{bn}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.11.【解析】(1)∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.??n2?9n(n?5),?(2)令an≥0得n≤5.即當(dāng)n≤5時,an≥0;n≥6時,an<0.∴Sn=?2

      ??n?9n?40(n?6).

      第二篇:等差數(shù)列一(學(xué)生)

      等差數(shù)列

      (一)一、選擇題

      1.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a6+a7=18,則S9的值是()

      A.64B.72C.54D.以上都不對

      2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于()

      A.18B.36C.54D.72

      3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m>1,am-1+am+1-am2-1=0,S2m-1=39,則m等于()

      A.10B.19C.20D.39

      4.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n=1,2,3,…),若當(dāng)首項a1和公差d變化時,a5+a8+a11是一個定值,則下列選項中為定值的是()

      A.S17B.S18C.S15D.S14

      5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時,n等于()

      A.6B.7C.8D.9

      6.已知在等差數(shù)列{an}中,對任意n∈N*,都有an>an+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的兩根,且前15項的和S15=m,則數(shù)列{an}的公差是()

      A.-2或-3B.2或3C.-2D.-3

      7.等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=________.8.已知{an}是等差數(shù)列,a4=15,S5=55,則過點(diǎn)P(3,a3),Q(4,a4)的直線的斜率是________.

      9.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項為a1公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S5S6+15=0,則d的取值范圍是________.

      三、解答題

      10.在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).

      1(1)求證:數(shù)列{是等差數(shù)列; an

      (2)求數(shù)列{an}的通項.

      31111.已知數(shù)列{an}中,a1an=2-n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*). 5an-1an-1

      (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

      (2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項,并說明理由.

      第三篇:等差數(shù)列練習(xí)題學(xué)生版

      一、選擇題

      1.在等差數(shù)列{an}中,a1=21,a7=18,則公差d=()A.12 B.13 C.-12 D.-13 2.在等差數(shù)列{an}中,a2=5,a6=17,則a14=()A.45 B.41 C.39 D.37 3.已知數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n,點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上,則數(shù)列{an}為()A.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為1的等差數(shù)列 C.公差為-2的等差數(shù)列 D.非等差數(shù)列

      4.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是()A.2 B.3 C.6 D.9 5.下面數(shù)列中,是等差數(shù)列的有()①4,5,6,7,8,…

      ②3,0,-3,0,-6,…

      ③0,0,0,0,… ④110,210,310,410,…

      A.1個 B.2個 C. 3個 D.4個

      6.?dāng)?shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為-2,公差為4的等差數(shù)列.若an=bn,則n的值為()A.4 B.5 C.6 D.7 7.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d=2,則a4等于()A.B.6 C.7 D.9 8.在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),則該數(shù)列的通項公式an=()A.2n+1 B.2n-1 C.2n D.2(n-1)

      二、填空題

      9.△ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,則B=__________.10.已知等差數(shù)列{an},an=4n-3,則首項a1為__________,公差d為__________.

      11.在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5=a2+6,則a6=__________.12.已知數(shù)列{an}滿足a2n+1=a2n+4,且a1=1,an>0,則an=________.三、解答題

      13.在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12=31,求它的通項公式.

      14.已知等差數(shù)列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6為方程x2-10x+16=0的兩個實(shí)根.

      (1)求此數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)268是不是此數(shù)列中的項?若是,是第多少項?若不是,說明理由. 15.已知(1,1),(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn).(1)求這個數(shù)列的通項公式;(2)畫出這個數(shù)列的圖象;(3)判斷這個數(shù)列的單調(diào)性.

      第四篇:等差數(shù)列(二)學(xué)生

      2.1 等差數(shù)列(二)

      1.已知{an}為等差數(shù)列,a2+a8=12,則a5等于().

      A.4B.5C.6D.7

      2.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于().

      A.40B.42C.43D.45

      3.在等差數(shù)列{an}中,a3,a9是方程2x2-x-7=0的兩根,則a6等于(). 1177B.C.-D.-2424

      4.已知{an}為等差數(shù)列,a3+a8=22,a6=7,則a5=________.5.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么數(shù)列{an+bn}的第37項為________.

      6.在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;

      (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.7.在等差數(shù)列{an}中,a2+a8=16,a4=1,則a6的值為().

      A.15B.17C.36D.64

      8.等差數(shù)列的前三項依次是x-1,x+1,2x+3,則其通項公式為().

      A.a(chǎn)n=2n-5B.a(chǎn)n=2n-3C.a(chǎn)n=2n-1D.a(chǎn)n=2n+1

      9.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差數(shù)列,則x的值為________.

      10.已知{an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a3+a6+a9+…+a99=-82,則a1+a4+a7+…+a97等于________.

      11.已知等差數(shù)列{an},a1=a,公差d=1,若bn=an2-an+12(n∈N+),試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論.

      12.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,λ是常數(shù).

      (1)當(dāng)a2=-1時,求λ及a3的值;

      (2)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由.

      第五篇:等差數(shù)列復(fù)習(xí)教案(學(xué)生補(bǔ)課用)

      等差數(shù)列

      重點(diǎn)導(dǎo)讀

      1.若{an}為等差數(shù)列,且滿足則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)

      2.(1)在等差數(shù)列{an}中,下標(biāo)成等差數(shù)列,且公差為m的項,ak,ak+m,ak+2m,?,(k,m∈N*)組成數(shù)列.(2)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}是數(shù)列,如{an+bn},{an-bn}是等差數(shù)列.(3){an}是等差數(shù)列,則a1+a2+?+am,am

      a2m+1+a2m+2+?+a3m,?是+1+am+2+?+a2m,數(shù)列.3.與前n項和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)

      (1)等差數(shù)列的依次每k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?組成公差為的等差數(shù)列.(2)若等差數(shù)列項數(shù)為2n(n∈N*),則S2n=n(an

      S偶

      +an+1)(an,an+1為中間兩項)且S偶-S奇=nd=

      S奇an+1an.(3)若項數(shù)為2n-1,則S2n-1=an(an

      S偶

      為中間項)且S奇-S偶=an,.S奇4.在等差數(shù)列中:若a1>0,d<0,則Sn必有最值,這時既可由二次函數(shù)確

      ?an0?

      定n,也可用不等式組?a0來確定n.?n+1?

      若a1<0,d>0,則Sn必有最值,這時既可由二次函數(shù)確定n,也可用不等式??an0

      組?a0來確定n.?n+1?

      (1)關(guān)于an的: ①an=; ②an=; ③an=.(2)關(guān)于Sn的: ①Sn=; ②Sn=; ③Sn=; ④Sn=.●課本中推導(dǎo)Sn的方法稱為.4.三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列的表達(dá)方式

      列.(3){an}是等比數(shù)列,則a1+a2+?+am,am

      a2m+1+a2m+2+?+a3m,?是+1+am+2+?+a2m,數(shù)列.3.與前n項和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)

      (1)等比數(shù)列的依次每k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?組成公比為的等比數(shù)列.4單調(diào)性在等比數(shù)列中:若a1>0,0

      當(dāng) 當(dāng)

      當(dāng)時,無單調(diào)性

      1.若{an}為等比數(shù)列,且滿足aman=apaq(m,n,p,q∈N*)

      2.(1)在等比數(shù)列{an}中,下標(biāo)成等比數(shù)列,且公比為m的項,ak,ak+m,ak+2m,?,(k,m∈N*)組成數(shù)列.(2)若{an},{bn}是等比數(shù)列,則{pan+qbn}是數(shù)列,如{an+bn},{an-bn}是等比數(shù)

      一、選擇題

      1.等差數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列前20項的和等于()

      A.160B.180C.200D.220 2.如果a1,a2,?,a8為各項都大于零的等差數(shù)列,公比d≠0,則()

      A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5 C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5 3.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則()

      若各冊書的出版年份數(shù)之和為13979,則出齊這套書的年份是()

      A.1997B.1999C.2001D.200

      36.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,a5S若a9S等于()

      51A.1B.-1C.2D.2二、填空題

      7.等差數(shù)列{an}中,已知a2+a3+a10

      +a11=36,則a5+a8=.8.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an

      -an=1+(-1)n(n∈N*),則S100

      A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S

      54.在等差數(shù)列中,am=n,an=m(m≠n),則am+n為()

      A.m-nB.0C.m2D.n

      2=.9.設(shè)f(x)=x,利用課本中推導(dǎo)等

      2+2差數(shù)列前n項和的公式的方法,可求得

      f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+

      5.一套共7冊的書計劃每2年出一冊,f(6)的值為

      10.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2

      -x+b=0(a,b∈R,且a≠b)的四個根組

      1成首項為4的等差數(shù)列,則a+b=.例、已知數(shù)列{an}的首項a1=3,通項an與前n項和Sn之間滿足2an=Sn·Sn-1(n≥2).(1)求證:數(shù)列{S}是等差數(shù)列,并求

      n

      公比;

      (2)求數(shù)列{an}的通項公式.13.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中,前n項和Sn滿足:

      Sn=8an+2)2.(1)求證:{an}是等差數(shù)列;

      1(2)若bn=2n-30,求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值.14.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.(1)求公比d的范圍;

      (2)問前幾項的和最大,并說明理由.等比數(shù)列

      【例1】 在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ①求通項公式,②求a1a3a5a7a9.例2(1)、已知a2?4,a5??,求通項公式.(2)、已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值

      【例3】 設(shè){an}是等差數(shù)列,bn?()a,1n

      221

      1已知b1?b2?b3?,b1b2b3?,求

      等差數(shù)列的通項an.例4數(shù)列{an}中,a1=1,且anan+1=4n,求前n項和Sn.1.如果a1,a2,a3三個數(shù)既成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列,那么這三個數(shù)()

      A.互不相等B.不全相等C.可以是相等的任意數(shù)D.相等且不為0

      10,10,10,2.已知數(shù)列10,…,…

      525

      n5的前n項之積不超過103,則n的最大值為()

      A.4B.5C.6D.7

      3.若方程x2?5x?m?0與

      x2?10x?n?0的四個實(shí)數(shù)根適當(dāng)排列后,恰好組成一個首項為1的等比數(shù)列,則

      m∶n的值為()

      A.4B.2C.D.4.給出下面五個數(shù)列:

      ①l,2a,3a2,…,nan?1,…(n∈); ②x,x2,x3,…,xn…(n∈);

      4A③coskπ, cos2kπ, cos3kπ,…,(B)cos nkπ,…,(k∈Z,n∈);

      ④m?n,?np,n?p,其中

      mn

      ?,且m>n>p>0; nq

      1111BCD5168306408等差數(shù)列 {an}中,a4?10,且a3,a6,a10成等比數(shù)列,則數(shù)列的前20項的和為___200或___330

      ⑤log2x,log2x,log2x已知f(x)?

      其中可能是等差數(shù)列的數(shù)列序號是,可能是等比數(shù)列的數(shù)列序號是.

      5.已知實(shí)數(shù)x,a1,a2,y成等差數(shù)列,實(shí)數(shù)x,b1,b2,y成等比數(shù)列,則

      x1,數(shù)列 {an}滿足a1?,3x?1

      3an?1?f(an),則an?_______

      1.基本量的思想:常設(shè)首項、(公差)比為基本量,借助于消元思想及解方程組思想等。

      轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法。

      解讀:“知三求二”。

      ?a1?a2?

      2b1b2的取值范圍

      3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

      1)若數(shù)列?an?是等差數(shù)列,則數(shù)列{aa}是

      n

      是。

      6.在3與9之間插入二個正數(shù),使前三個數(shù)成等比數(shù)列,而后三個數(shù)成等差數(shù)列,則

      數(shù)的和

      等比數(shù)列,公比為ad,其中a是常數(shù),d是(a>0且a≠1); ?an?的公差。

      2)若數(shù)列?an?是等比數(shù)列,且an?0,則數(shù)列?logaan?是等差數(shù)列,公差為logaq,其中

      a是常數(shù)且a?0,a?1,q是?an?的公比。

      是。已知等差數(shù)列{an}中,a2?6,a5?15若

      bn?a2n,則數(shù)列{bn}的前5項的和為(C

      3)若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則{an}是非零常數(shù)數(shù)列。

      題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系 例1(2010陜西文16)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項;(Ⅱ)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.A30B 45C 60D1866 在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中,有編號為1,2,3。。,18的18名火炬手。取若從中 任選3人,則選出的火炬手的編號能組成以3 為公差的等差數(shù)列的概率為

      2n+1-2.變式訓(xùn)練1(2010北京文16)已知{an}為等差數(shù)列,且a3??6,a6?0。(Ⅰ)求{an}的通項公式;

      (Ⅱ)若等比數(shù)列?bn?滿足b1??8,b2?a1?a2?a3,求?bn?的前n項和公式

      (n?1)?a1?S

      1.是重要考點(diǎn);2)an??

      ?Sn?Sn?1(n?2,n?N)

      韋達(dá)定理應(yīng)引起重視;3)迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項公式的常用方法。題型3中項公式與最值(數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì))

      例3(2009汕頭一模)在等比數(shù)列{an}中,an>0(n?N*),公比q?(0,1),且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,a3與as的等比中項為2。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=log2 an,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn當(dāng)

      變式訓(xùn)練3(2009常德期末)已知數(shù)列

      SS1S

      2??????n最大時,求n的值。12n

      b1(1?qn)

      Sn??4(1?3n)

      1?q

      題型2與“前n項和Sn與通項an”、常用求通項公式的結(jié)合例2(2009廣東三校一模)數(shù)列{an}是公差大于零的等差數(shù)列,a2,a5是方程

      x2?12x?27?0的兩根。數(shù)列?bn?的前n項和1

      為Tn,且Tn?1?bnn?N?,求數(shù)列

      ??

      ?an?的前n項和為Sn,a1?1且

      Sn?Sn?1?an?1?

      1119,數(shù)列?bn?滿足b1??且24

      ?an?,?bn?的通項公式。

      2?1?

      ?bn???

      3?3?

      n?1

      3bn?bn?1?n(n?2且n?N?).

      ?

      n?N? n3

      ??

      (1)求?an?的通項公式;(2)求證:數(shù)列?bn?an?為等比數(shù)列;

      變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前三項與數(shù)列{bn}的前三項對應(yīng)相同,且a1+2a2+2a3+?+2n-1an=8n對任意的n∈N*都成立,數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列.求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式。(3)求?bn?前n項和的最小值.

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