第一篇：1、函數(shù)、極限、連續(xù)壓縮打印版

函數(shù)、極限、連續(xù)

典型例題

題型一復(fù)合函數(shù)

?2?x2,|x|?1?0,x?0例

1、設(shè)f(x)??, g(x)??，試求f[g(x)],g[f(x)].1,x?0|x|?2,|x|?1??

例

2、已知f(x?1)的定義域?yàn)閇0,1],，求f(2x?3)的定義域.1例

3、設(shè)f(x)和g(x)互為反函數(shù)，則f[g(3x)]的反函數(shù)為(B)

211x1(A)g[f(3x)](B)f[2g(x)](C)g[2f()](D)2g[f(x)] 233

3111解：y?f[g(3x)]，則g(3x)?g(y)，即g(3x)?2g(y)，于是3x?f(2g(y))，即x?f(2g(y))223

11故y?f[g(3x)]的反函數(shù)為y?f[g(3x)].22

題型二函數(shù)性態(tài)

例

1、定義于R上的下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(C)

ex?e?xx2011tanx2?1(C)lnx(A)[x](B)(?x?1)(D)cosx?2011

2例

2、當(dāng)x??時(shí)，變量xcosx是(D)（注意函數(shù)的局部性質(zhì)）

(A)無(wú)窮小(B)無(wú)窮大(C)有界量(D)無(wú)界量

例

3、設(shè)limf(x)?A，下列結(jié)論成立的是(C)x?x0

(A)存在?,當(dāng)x?U(x0,?)時(shí)，f(x)?A(B)則存在?,當(dāng)x?U(x0,?)時(shí)，f(x)?A

(C)若A?0,則存在?,當(dāng)x?U(x0,?)時(shí)，f(x)?0

(D)若當(dāng)x?U(x0,?)時(shí),f(x)?0,那么A?0.????

注1：若limf(x)?A，則對(duì)???0，存在?,當(dāng)x?U(x0,?)時(shí)，總有A???f(x)?A??（局部有界）.x?x0?

注2：若limf(x)?A，當(dāng)x?U(x0,?)時(shí),f(x)?0,那么A?0（局部保號(hào)）.x?x0?

x?1在下列區(qū)間中有界的是(A)2x?

1(A)(??,?1)(B)(??,1)(C)(?1,??)(D)(1,??)

注：若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且f(a?)?A,f(b?)?B,則f(x)在(a,b)內(nèi)有界.?0題型三 未定式計(jì)算（限于，0??，1?，另三種???，?0,00以后講）?0

例

1、求極限：

(2x?1)4(x?1)6?5x(x8?x)（1）lim；（2）

；（3）； 10x?0x?x??(x?2)cot3x2xcsc2xlim(arctanx)lim(cosx)（4）limx2(x??x?)；（5）lim；（6）；（7）x?x???x?0x??cot5x?0注：等價(jià)無(wú)窮小代換可在,0??中對(duì)較復(fù)雜的“0”進(jìn)行等價(jià)代換，一般只能用在乘、除關(guān)系，因局部等價(jià)能保證0例

4、y?

整體也等價(jià)，而不能直接用于加、減關(guān)系，一種處理為和差化積，一種處理為各分項(xiàng)同除最低次等價(jià)項(xiàng)后看能否拆開 注：limu(x)

v(x)1??elimv(x)lnu(x)lnu(x)?u(x)?1limv(x)[u(x)?1]?e?a.題型四 極限存在題型

例

1、判斷下列極限存在嗎？

arctanxx?

1(a?1)lime；；（3）（4）lim

x??ax?1x?1x?1x??x?0tan3x?1?1?x22n

2?;（7）lim（5）（6）lim? ??????

6662?n??1?x2nx?0n???n?2nn?n??n?n

1n(n?1)(2n?1)122n2n(n?1)(2n?1)

提示：（6）因，則原式? ??????

36n6?n2n6?nn6?2nn6?n26n6?n

（1）x)；（2）lim

x?1

sinx2?x4sin

?1?x,x?1

1?x?

（7）lim??1,x?1

n??1?x2n

?0,x?1?

注1： x??時(shí)，x?x，ax，arctanx，arccotx的極限不存在，先研究x???,x???

x??時(shí)，sinx，cosx的極限不存在，只需注意其為有界量，arctanx，arccotx也可考慮有界量性質(zhì) 注2：一個(gè)收斂數(shù)列與另一個(gè)發(fā)散數(shù)列之和必發(fā)散，對(duì)函數(shù)有類似結(jié)論 注3：注意分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限一般用左右極限來(lái)處理

注4：當(dāng)有限和難以表達(dá)時(shí)，對(duì)無(wú)限個(gè)無(wú)窮小求和可以考慮使用夾逼準(zhǔn)則

注5：極限函數(shù)f(x)?limF(x,n)的求法，要注意對(duì)x取值范圍的討論，如xn,anx,arctannx等.n??

nn???am,其中ai?0(i?1,2,?,m)。例

2、求lima1n?a

2n??

nn

???am?man?a 提示：令maxai?a，則a?an?a1n?a2

1?i?m

limm?1，則原式=a?maxai（本題的結(jié)論是一個(gè)常用結(jié)論）.n??

1?i?m

例

3、設(shè)xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,則limzn（C）

n??

n??

(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limxn?limyn?a?0，由夾逼定理可得limzn?a?0，故不選A與D.n??

n??

n??

取xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，則xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，但limzn 不存在，B選項(xiàng)不正確．

n??

n??

例

4、設(shè)函數(shù)f(x)在(??,??)內(nèi)單調(diào)有界，?xn?為數(shù)列，下列命題正確的是（B）

(A)若?xn?收斂，則?f(xn)?收斂(B)若?xn?單調(diào)，則?f(xn)?收斂(C)若?f(xn)?收斂，則?xn?收斂(D)若?f(xn)?單調(diào)，則?xn?收斂

n1n

提示：由于f(x)單調(diào)有界，則當(dāng)?xn?單調(diào)時(shí)，數(shù)列?f(xn)?單調(diào)有界，從而?f(xn)? 收斂，故選（B）

例

5、設(shè)0?x1?3,xn?1?xn(3?xn)(n?1,2,?)，證明：數(shù)列{xn}極限存在并求此極限.證：由0?x1?3，xn?1?xn(3?xn)知，0?xn?3，132

2從而有xn?1???]?，則?xn?上有界，22

xn(3?xn)?xnxn(3?2xn)

而xn?1?xn?xn(3?xn)?xn?=?0，則?xn?單調(diào)增，xn(3?xn)?xnxn(3?xn)?xn

?1?1知?xn?遞增 由單調(diào)有界準(zhǔn)則，知limxn存在，不妨設(shè) limxn?a

或者由

n??

n??

xn?

1?xn

3?1?xn

33或a?0（舍去），則 limxn?.n??22

注：對(duì)數(shù)列{xn}，若有遞推表達(dá)式，則一般使用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明數(shù)列{xn}的收斂性.將xn?1?

xn(3?xn)兩端取極限得a?a(3?a)，由此解得a?

題型五 極限應(yīng)用題型（先講無(wú)窮小比較、漸近線確定、間斷點(diǎn)類型，以后再研究可導(dǎo)性判斷）例

1、已知當(dāng)x?1時(shí),(2x)x?2與a(x?1)?b(x?1)2是等價(jià)無(wú)窮小,求a,b的值.(x?1)ln2?xlnx(2x)x?2ex(ln2?lnx)?ln2?

1解： lim?2lim, ?2lim

x?1(x?1)(a?bx?b)x?1a(x?1)?b(x?1)2x?1a(x?1)?b(x?1)

2xlnxln2?

?2(1?ln2)?1,則a?2(1?ln2),顯然b?R.?2lim

x?1a?bx?ba

x2?1

例

2、求曲線y?的漸近線方程.x?

1解：limy???x??1為其鉛直漸近線

x??1

又lim

x??

y1?x?1,lim(y?x)?lim??1 ? y?x?1為其斜漸近線.x??x??x1?x

注：記憶各類漸近線的確定方法：

①若x??(或x???,或x???)，y?b，稱y?b為y?f(x)一條水平漸近線，一個(gè)函數(shù)至多有兩條不同的水

平漸近線；

②若x?a(或x?a?,或x?a?)，y??，稱x?a為y?f(x)的一條鉛直漸近線； ③若lim

x??x???()x???

y

?k?0，lim[y?kx]?b，稱y?kx?b為y?f(x)的一條斜漸近線.x??x

(x???)x???

例

3、試確定y?

xtanx的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.解：其間斷點(diǎn)為x?k?,k??

?

（k?z）

y?0?x?k???lim?

x?k??

2x?k?

?

為其可去間斷點(diǎn)；

又? limy??，此時(shí)k?0，? x?k?（k?0）為其第二類間斷點(diǎn)

y?1,limy??1? x?0為其跳躍間斷點(diǎn).而lim??

x?0

x?0

?x

1x?0?e?1

例

4、y??sin3x試確定該函數(shù)的漸近線，并判斷其間斷點(diǎn)類型。

x?0?

?x

解：lim?y??? x??1 為其鉛直漸近線，且x??1為其第二類間斷點(diǎn)；

x??

1x???

limy?1? y?1為其水平漸近線；又limy?0? y?0為其水平漸近線；

x???

而f(0?)?e,f(0?)?3，故x?0為其第一類中的跳躍間斷點(diǎn).g(x)在x?x0連續(xù)，例

5、求證：設(shè)f(x)在x?x0間斷，則f(x)?g(x)在x?x0間斷。并舉例說(shuō)明f(x)?g(x),f2(x),f(x)

在x?x0可能連續(xù).提示：設(shè)f(x)??

?0

?

1x?0

g(x)?sinx，g(x)在x?0連續(xù)，f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0，則f(x)在x?0間斷，x?0

x?0?1

連續(xù)；若設(shè)f(x)??，f(x)在x?0間斷，但f2(x)?f(x)?1在x?0均連續(xù).??1x?0

注：“f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)”是“f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件.三、課后練習(xí)

1、f(x)?x?1，f[g(x)]?x，則g(x)?(x?1)3．

??

cosx，0?x??4?

?5??

2、當(dāng)0?x?2?時(shí)，max{sinx,cosx}??sinx，?x?．

44?

5??

cosx，?x?2??4?

?3?2x，x?2???

23、min{3?2x,x2?

2x}??x?2x，2??x?2?

?

?3?2x，x?2??

4、與f(x)?sgnx相同的函數(shù)為(B)

(A)(sgnx)2(B)sgn(sgnx)(C)sgnx(D)sgn(?x)

?0,x?0

?0,x?0,?

5、已知H(x)??則H(x)?H(x?1)? ?1,0?x?1．

?1,x?0,?0,x?

1?

?2?x6、設(shè)g(x)??

?x?

27、設(shè)f(x)?e

arcsinx

x?0?x

2，f(x)??x?0??x?2?x2，則g[f(x)]??x?0?2?x

x?0

x?0

． x?0，又f[g(x)]?x?1，則g(x)的定義域?yàn)閇1?e

n??

n??

?

?

?,1?e2]．

n??

8、設(shè)?an?，?bn?，?cn?均為非負(fù)數(shù)列，且liman?0，limbn?1，limcn??，則必有（D）(A)an?bn對(duì)任意n成立(B)bn?cn對(duì)任意n成立(C)limancn不存在(D)limbncn不存在n??

n??

9、設(shè)xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,則{xn}與{yn}(A)

n??

(A)都收斂于a(B)都收斂，但不一定收斂于a(C)可能收斂，也可能發(fā)散(D)都發(fā)散

10、當(dāng)x?0時(shí)，1

1sin是(D)

xx

2n??

(A)無(wú)窮小(B)無(wú)窮大(C)有界但非無(wú)窮小(D)無(wú)界但非無(wú)窮大

11、設(shè)數(shù)列?xn?與?yn?滿足limxnyn?0，則下列斷言正確的是（D）(A)若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散(B)若xn無(wú)界，則yn必有界(C)若xn有界，則yn必為無(wú)窮小(D)若

12、f(x)?

為無(wú)窮小，則yn必為無(wú)窮小 xn

xsin(x?2)

x(x?1)(x?2)

2(A)(?1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

n

在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界（A）

13、當(dāng)x?0時(shí)，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高階的無(wú)窮小，而xsinx是比(ex?1)高階無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于(B)

(A)1(B)2(C)3(D)4

14、對(duì)函數(shù)f(x)?

n

2?12?

11x

1x，點(diǎn)x?0是（B）

(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)

15、設(shè)f(x)?

x，則該函數(shù)圖象具有（B）x

e?

1(A)一條水平漸近線，一個(gè)可去間斷點(diǎn)(B)一條水平漸近線，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)(C)一條鉛直漸近線，一個(gè)可去間斷點(diǎn)(D)一條鉛直漸近線，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)

x

在(??,??)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)?0，則（D）bxx???a?e

(A)a?0,b?0(B)a?0,b?0(C)a?0,b?0(D)a?0,b?017、設(shè)f(x)和?(x)在(??,??)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0，?(x)有間斷點(diǎn)，則（D）

?(x)

(A)?[f(x)]有間斷點(diǎn)(B)[?(x)]2有間斷點(diǎn)(C)f[?(x)]有間斷點(diǎn)(D)有間斷點(diǎn)

f(x)

16、設(shè)f(x)?

18、求下列極限或判斷極限的存在性：

a?xarctanxx?3； lim(a?1)（1）lim；（2）；（3）(/)(/)limxx)

x??x?0(1?cosx)ln(x??1?x)2ax?x

x

3sinx?x2cos

23lncos?x?21xx

ln（4）lim（5）；（6）?2 ；?； ?x?0lncos?xx?0x?0432?x?sinx3ln(1?x4)n

?1；（7）lim（8）limln(1?2)?ln(1?)?3ln2；（9）lim??8；

x??x?sinxn??x?0n1?cos(1?cosx)

n?

111n22xex?e2x???enx1?2)x(n?z)?e2；（10）lim(1??2)?e；（11）lim(sin?cos)?e；（12）lim（n??x??x?0nnxxn

111?2?cosxx?1222

（13）lim3?(（14）limx(a?a)(a?0)?lna（15）lim(secx)x?e；)?1???；

x?0x?0xx??36??1

5xxx

（16）lim(n??；（17）lim(1?2?3)?3；（18）??1；

x???n??n??2?sin2x?e2ax?1?x?0在(??,??)上連續(xù)，則a??2．

19、若f(x)??x

?ax?0?

(n?1)x20、設(shè)f(x)?lim，則f(x)的間斷點(diǎn)為x?0．

n??nx2?

13(xn?1)

21、x1?0，且xn?1?，證明limxn存在，并求limxnn??

n??xn?

322、設(shè)0?x1?3,xn?1??xn（n?1,2,?）證明limxn存在,并求limxn．

3n??

n??

23、若lim

ln2ln(1?f(x)?sin5x)

limf(x)??1，則 ． x?0x?052x?

1sin2x?2enx?cosx24、設(shè) f(x)?lim，則limf(x)? 2．

x?0n??x?enx

x2n?1?ax2?bx25、設(shè)f(x)?lim處處連續(xù),求a,b的值.a?0,b?1 2nn??x?

1u

x?1u?x)，其中(x?1)(u?1)?0，求f(x)的連續(xù)區(qū)間，并指出其間斷點(diǎn)類型.26、設(shè)f(x)?lim（u?xu?

1提示：f(x)?e

xx?1，f(x)的連續(xù)區(qū)間為(??,1)?(1,??)，x?1為第二類間斷點(diǎn).27、設(shè)f(x)在(??,??)上有定義，f(x)在x?0處連續(xù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x1,x2，有

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),求證f(x)在(??,??)上處處連續(xù).提示：對(duì)一切實(shí)數(shù)x,求證lim[f(x?h)?f(x)]?0.h?0

第二篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時(shí)，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點(diǎn)為x=0，類型是 跳躍間斷點(diǎn)。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域?yàn)?{(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計(jì)算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點(diǎn)，并判定類型。2xx?1駐點(diǎn)x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時(shí)，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時(shí)，f(x)=1 跳躍間斷點(diǎn)

2）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=oo;第二類間斷點(diǎn)

3）當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點(diǎn)

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因?yàn)閒(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。

第三篇：函數(shù)極限連續(xù)試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業(yè)_姓_____ _號(hào)_____ _：：___級(jí)_ ____別年專______學(xué)

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數(shù) 極限 連續(xù)試題

1.設(shè)f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)對(duì)于變量x連續(xù)，對(duì)于變量y 的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，試證：f(x,y)在D上連續(xù).（共12頁(yè)）第1頁(yè)

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù)，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設(shè)x??

ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.（共12頁(yè)）第2頁(yè)

10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設(shè)lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當(dāng)x?0時(shí)，?x

1?cost2

0t

是關(guān)于x的4階無(wú)窮小量.114.設(shè)a為常數(shù)，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計(jì)算極限.ex?1

（共12頁(yè)）第3頁(yè)

215.設(shè)lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計(jì)算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設(shè)lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項(xiàng)式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁(yè)）第4頁(yè)

24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的，單調(diào)遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數(shù)列?dn?收斂.n

n

20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數(shù)列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數(shù)列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁(yè)）第5頁(yè)

k?1

25.設(shè)數(shù)列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁(yè)）第6頁(yè)

29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T(T?0)的連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設(shè)lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續(xù)性.33.判斷函數(shù)f(x.（共12頁(yè)）第7頁(yè)

34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，定義函數(shù)

?g(x)??

f?(0)當(dāng)x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當(dāng)x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，對(duì)x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù)，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁(yè)）第8頁(yè)

38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說(shuō)明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).41.設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù).（共12頁(yè)）第9頁(yè)

42.設(shè)f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設(shè)xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說(shuō)明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數(shù)f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點(diǎn).??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁(yè)）第10頁(yè)

??1?

46.求數(shù)列?nn?的最小項(xiàng).??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0,2)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)，則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點(diǎn)a處都連續(xù).（共12頁(yè)）第11頁(yè)

12頁(yè)）第12頁(yè)

（共

第四篇：函數(shù)、極限和連續(xù)試題及答案

極限和連續(xù)試題（A卷）

1.選擇題（正確答案可能不止一個(gè)）。（1）下列數(shù)列收斂的是（）。A.xnn?1n?(?1)n

B.xn1n?(?1)n

C.xn?n?sinD.xn?2n（2）下列極限存在的有（）。

A.lim1x??sinx

B.xlim??xsinx

C.lim11x?02x?D.limn??2n2?1

（3）下列極限不正確的是（）。

A.lim(x?1)?2

B.lim1x?1?x?0x?1?1 12C.lim4x?2xx?2??

D.xlim?0?e???（4）下列變量在給定的變化過(guò)程中，是無(wú)窮小量的有（）。A.2?x?1(x?0)

B.sinxx(x?0)

2C.e?x(x???)

D.xx?1(2?sin1x)(x?0)??1（5）如果函數(shù)f(x)?xsinx,?x?0;?a,x?0;在x?0處連續(xù)，則a、b的值為（???xsin1x?b,x?0.A.a?0,b?0

B.a?1,b?1 C.a?1,b?0

D.a?0,b?1 2.求下列極限：

（1）lim(x322x?1?3x?1)；

（2）xlim??2(3x?2x?5)；

（3）lim1x(1?x?3)；

（4）limx?3?0x?2x2?x；

x2?8x2（5）limx?3x?3；

（6）lim?16x?4x?4；

（7）limx2?1x?2x?12x2?x?1；

（8）lim；

x?2x?2。）（9）limx?0cosx1?x?1；

（10）lim；

x??xxx3?3x?1x4?3x?1（11）lim；

（12）lim；

x??3x3?xx??5x4?x3x3?3x?19x3?3x?1（13）lim；

（14）lim； 42x??x??x?xx?1x3.（15）limx?03xsin?2?x，x?0?23.設(shè)f(x)??2x?1，0?x?1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x?0x?3x??1x??3?(x?1)3，x?12?4.證明：x?sinx~x(x?0?)。

5.求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間：

?2x?1,x?1;（1）y?ln(3?x)?9?x；

（2）y??2

x?1,x?1.?26.證明limx?2x?2不存在.x?21?xsin,???x?0;?x7.設(shè)f(x)??求f(x)在x?0時(shí)的左極限，并說(shuō)明它在x?0時(shí)10?x???.?sin,x?右極限是否存在？

8.證明lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)存在并求極限值。

x2?1?ax?b)?0，求a、b的值。9.若lim(x??x?1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）?；（5）?；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）?；（15）

1.9x?123.limf(x)?3, limf(x)不存在, limf(x)?x??1x?03, limf(x)?11.2x?35.（1）[?3,3)；

（2）(??,1)?(1,??).7.f(x)在x?0時(shí)的左極限為0，在x?0時(shí)右極限不存在。8.極限值為1.9.a?1,b??1.

第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會(huì)判斷函數(shù)的間斷點(diǎn).4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點(diǎn)x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時(shí)，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0連續(xù)包含了三個(gè)條件：

（1）f?x?在點(diǎn)x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點(diǎn)x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0有下列三種情況

（1）f?x?在點(diǎn)x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點(diǎn)的分類

??左右極限都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在??間斷點(diǎn)? ?左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）

?第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對(duì)于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對(duì)于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點(diǎn)定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問(wèn)：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9