第一篇：淺談幾何證明題的解題方法與技巧

淺談幾何證明題的解題方法與技巧

作者：容茂和完成時間：2011年12月

【內(nèi)容摘要】:針對學(xué)生解決幾何證明題比較困難的情況，給學(xué)生分析研究幾何證明題的解題方法與技巧，提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，增強(qiáng)解決問題的信心。

【關(guān)鍵詞】: 方法與技巧 ；注重基礎(chǔ) ； 善于歸類 ；突破難關(guān)

在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都會遇到兩大難題：一是代數(shù)中的列方程解應(yīng)用題；二是幾何中的證明題。下面，筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗和方法談?wù)剮缀巫C明題的解題方法與技巧。

一、注重基礎(chǔ)，善于歸類。知識要靠平時的積累，只有當(dāng)量變發(fā)生到一定程度才能產(chǎn)生質(zhì)變。因此，在平時的學(xué)習(xí)中，特別是從七年級開始學(xué)習(xí)幾何這門課時，就要做到每學(xué)習(xí)一個幾何概念、定理、推論等都要分清它們的用途，并進(jìn)行歸類，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。例如：在人教版七年級上冊第四章《圖形認(rèn)識初步》中，在學(xué)習(xí)“線段的中點(diǎn)”、“角的平分線”、“等角的補(bǔ)角相等”、“等角的余角相等”等概念和性質(zhì)時，就要分清：“線段的中點(diǎn)”可以用于證明兩條線段相等；“角的平分線”、“等角的補(bǔ)角相等”及“等角的余角相等”等概念和性質(zhì)都可以用來證明兩個角相等。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，需要學(xué)習(xí)掌握的定理、性質(zhì)就會更多。因此，學(xué)生必須做到邊學(xué)習(xí)邊歸類，三年下來，整個初中階段就會形成一個環(huán)環(huán)緊扣、條理清晰的幾何知識系統(tǒng)。

二、明確幾何證明題的類型。在知識的歸類中，我們可以逐漸發(fā)現(xiàn)上述所學(xué)習(xí)的定理、性質(zhì)、推論等的用途基本上都不外乎用來證明：兩條線段相等、兩個角相等、兩條線段（或直線）平行、兩個三角形全等（或相似），或者一個圖形是某些特殊的圖形（如平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形

等）。比較常見的是前面的四種證明題類型。因此，學(xué)生在碰到相應(yīng)類型的證明題時，頭腦中就要有相應(yīng)的定理、性質(zhì)、推論的出現(xiàn)，而對于用哪一個或幾個定理去解決問題，取決于證明題的需要。

三、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回

1到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過程。

四、要善于挖掘及利用題目圖形中的隱藏條件。有的證明題中的已知條件有限，僅從已知條件出發(fā)未必能夠找出正確的證明方法，但如果善于觀察及利用圖形中的隱藏條件，則可能很容易證明。例如

“對頂角相等”、“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”、“在同一個圓中，同一段弧所對的圓周角相等”等等就不需要在題目及圖形中說明或指出，但它們也屬于已知條件。

除了要掌握幾何證明題的常用方法外，還要知道一些類型題的解題技巧。下面以證明“兩條線段相等”這一類型為例，說明它的解題技巧。

（一）要證明相等的兩條線段在同一條直線或線段上。

這種題型的證明方法都是從“求證”問題入手，通過分析，尋求

“證據(jù)”回到“已知”條件。具體的證明方法是通過線段的加或減得到，例如：人教版九年級上冊第88頁第8題，如圖1，兩個圓都是以

O為圓心，求證：AC=BD。分析：要求證相等的兩條線段AC與BD

都在同一條線段AB上，而AB是大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)；而題目中可用的條件不多，B

因此可以結(jié)合圓、弦考慮作輔助線：過圓心O作

線段OE?AB于E，則構(gòu)成垂徑定理，于是有AE=BE，CE=DE，AE?CE=AC，BE?DE=BD，所以AC=BD。圖

1（二）要證明相等的兩條線段在同一個三角形內(nèi)。

這種題型的主要證明方法是考慮用“等角對等邊”定理展開證

明。例如：如圖2，在△ABC中，AE是△ABC的外角∠DAC的平分線，且AE∥BC，求證：AB=AC。

分析：如果要證明AB=AC 證明：∵AE平分∠DAC∴∠DAE=∠EACE∵AE∥BC∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C

∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形BC

圖2∴AB=AC

（三）要證明相等的兩條線段分別在兩個三角形內(nèi)。

這種題型的主要證明方法是考慮根據(jù)“三角形全等”的定理展開

證明。在證明前，首先要把這兩條線段分在兩個三角形內(nèi)，再去考慮證明這兩個三角形全等。例如，人教版八年級下冊第121頁第8題，如圖3，四邊形ABCD是等腰梯形，點(diǎn)E、F在BC上，且BE=FC，連接DE，AF，求證：DE=AF。

分析：因為要證明線段DE、AF相等，顯然DE、AF不在同一個三角形內(nèi)，也不在同一直線或線段上，所以要考慮用“三角形全等”的中，定理去進(jìn)行證明，AF在△ABF中，DE在△DCEAD 因此可能性圍繞證明△ABF≌△DCE，然

后結(jié)合已知條件“等腰梯形”有

AB=DC，∠B=∠C，這時已有“一邊一角”，但還有一個條件“BE=FC”未BEFC 用，于是有BE+EF=FC+EF，即BF=CE，于是構(gòu)圖3成“SAS”，因此△ABF≌△DCE。這題主要從

“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”：△ABF≌△DCE。

如果遇到一些證明題比較棘手，利用上述三種方法都不能證明

時，可以考慮用線段的“轉(zhuǎn)移”，即把“求證”中的其中一條線段使之與圖中的另一條線段相等，于是就使得“求證”中的另一條線段與這條線段或在同一條直線（或線段）上，或在同一個三角形內(nèi)，或在兩個三角形中，再用上述三種方法的其中一種去進(jìn)行證明。這種證明方法屬于借助中間“橋梁”（當(dāng)然可能還有其它方法可證，這要由題目的已知條件和圖形去確定解題方法）。

例如，如圖4，在△ABC中，AF是BC邊上的中線，D是AF上的一

點(diǎn)，BD的延長線交AC于點(diǎn)E，且∠BDF=∠CAF。求證：BD=AC。

分析：在圖4中所要求證的兩條線段雖然可以分在兩個三角形

（BD在△ABD或△BDE，AC在△ACF或△ABC）中，但它們顯然不全

等，這時可以考慮通過作輔助線，使“AC”與BD在同一個三角形中，再用定理“等角對等邊”去進(jìn)行證明。輔助線作法：延長AF到G，使FG=AF，連接BG，如圖5。這時△ACF≌△GBF（SAS），于是可得BG=AC以及∠G=∠CAF，而已知∠BDF=∠CAF，所以∠BDF=∠G，故BD=BG，從而得到BD=AC。這個過程相當(dāng)于把AC轉(zhuǎn)移到一條和它相等的線段BG

上，使之在同一個三角形中，這就是線段的“轉(zhuǎn)移”，這也是證明題中的一種常用技巧。

A

E

BFC

圖

4A

E

BFC

G

圖

5當(dāng)然題目及題型是千變?nèi)f化、錯綜復(fù)雜的，“求證”起來有難有易。但求解任何一道題目時，學(xué)生都需要有信心、耐心，相信自己一定能夠解決問題。無論怎樣難以“求證”的題目都離不開書本的基礎(chǔ)知識。因此只有立足于書本知識，夯實(shí)基礎(chǔ)，才能以不變應(yīng)萬變。在平時的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中還要善于開拓思維，靈活變通，從不同的角度去思考問題，做到一題多解，這樣才能突破幾何證明題這一難關(guān)。

第二篇：幾何證明題解題口訣

幾何證明題解題口訣

（作者：河南省唐河縣劉軍義）

幾何做題很容易，證明過程寫詳細(xì)。數(shù)學(xué)原理巧運(yùn)用，前后貫通有條理！題目信息不放過，必與結(jié)果有聯(lián)系。學(xué)科符號用恰當(dāng)，統(tǒng)一規(guī)范又適宜： 因為所以單點(diǎn)對，大小符號尖相抵； 圖形符號縮字同，角線名稱字母替。證理恰切書規(guī)范，美觀整潔又得體！解釋：

1、題目信息：指題目中給的證明條件。

2、結(jié)果：指要證明的內(nèi)容。

3、因為所以單點(diǎn)對：指“∵”和“∴”豎寫時情況。

4、尖相抵：指“＞”和“＜”橫寫時的情況。

5、圖形符號縮字同：指“□”“◇”“△”等代替圖形名稱時占一個漢字的位置。

——作于2014年8月17日

第三篇：幾何證明題方法

(初中、高中)幾何證明題一些技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

10.等于同一角的兩個角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三 角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點(diǎn)共圓

*1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。

*5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

知識歸納：

1.幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作 用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐 步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再 把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于 表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜 圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助 線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一.證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。它問題最后都可化歸為此類問題來證。它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等 三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等 也經(jīng)常用到。也經(jīng)常用到。

第四篇：數(shù)學(xué)證明題解題方法

數(shù)學(xué)證明題解題方法

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點(diǎn)外還有一個函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個點(diǎn))之間的一個點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第五篇：幾何證明題的技巧

幾何證明題的技巧

1）證明線段相等，角相等的題，通常找到線段所在圖形，證明全等

2）隱藏條件：比如特殊圖形的性質(zhì)自己要清楚，有些時候幾何題做不出來就是因為沒有利用好 隱藏條件 3）輔助線起到關(guān)鍵作用

4）幾何證明步驟：依據(jù)—結(jié)論—定理 切記勿忽略細(xì)微條件 5）遇到面積問題，輔助線通常做高，遇到圓，多為做半徑，切線 6）個別題型做輔助線：

通過連結(jié)，延長，作垂直，作平行線等添加輔助線的方法，構(gòu)造全等三角形。2遇到有中點(diǎn)條件時，常常延長中線（即倍長中線），或以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，使分散的條件匯集起來。

3遇到求邊之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系時，通常采用截長補(bǔ)短的方法，求角度之間的關(guān)系時，也一樣。

要掌握初中數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練運(yùn)用和記憶如下原理是關(guān)鍵。下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來解決問題。

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等。

三、證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

四、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

五、證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

六、證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

七、證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

八、證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。

*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。

九、證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。2.利用內(nèi)外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。

十、證明四點(diǎn)共圓

*1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。*5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓 基本圖形的輔助線的畫法 1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：

（2）過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

（3）連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線

（4）連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

（5）過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰

（5）過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對角線

（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。常見的輔助線做法

1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。

5、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

所謂“倍長中線”，就是加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

說簡單一點(diǎn)，倍長中線就是指：延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補(bǔ)短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊

截長:1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補(bǔ)短:1.延長短邊 2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。