第一篇：培優(yōu)專題：如何做幾何證明題教案(2014.3.1)

培優(yōu)專題：如何做幾何證明題教案（2014.3.1）

【知識精讀】

1.幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

【分類解析】

1、證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

例1.已知：如圖1所示，?ABC中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。求證：DE＝DF分析：由?ABC是等腰直角三角形可知，?A??B?45?，由D是AB中點，可考慮連結(jié)CD，易得CD?AD，?DCF?45?。從而不難發(fā)現(xiàn)?DCF??DAE

證明：連結(jié)CD A ??ADE??CDF

?DE?DF

EB

圖1 ?AC?BC??A??B??ACB?90?，AD?DBF

?CD?BD?AD，?DCB??B??A

?AE?CF，?A??DCB，AD?CD

說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G，使DG＝DE，連結(jié)BG，證?EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。

例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F 圖2說明：（1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。

2、證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。

例3.如圖3，設(shè)BP、CQ是?ABC的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BC分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延長AH交BC于N，則BA＝BN，AH＝HN。同理，延長AK交BC于M，則CA＝CM，AK＝KM。從而由三角形的中位線定理，知KH∥BC。證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于M∵BH平分∠ABC?∠ABH?∠NBH又BH⊥AH

P 圖3

??ABH??NBH(ASA)?BA?BN，AH?HN

同理，CA＝CM，AK＝KM?KH是?AMN的中位線

?∠AHB?∠NHB?90??KH//MNBH＝BH

即KH//BC

說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。

例4.已知：如圖4所示，AB＝AC，∠A?90?，AE?BF，BD?DC。求證：FD⊥ED

證明一：連結(jié)AD

?AE?BF，∠B?∠DAE，AD?BD??ADE??BDF

?AB?AC，BD?DC

E

B

圖1

?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB??3??1??∠BAC?90?，BD?DC ?3??2?90?

?BD?AD

?∠B?∠DAB?∠DAE

在?ADE和?BDF中，?FD?ED

F

說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DM＝ED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BM

?BD?DC

F

B

D

圖5

??BDM??CDE

?CE?BM，?C??CBM BM//AC ?

?BDM??CDE，DM?DE

說明：證明兩直線垂直的方法如下：

? ?A?90?（1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，??ABM?90???A見本題證二。

?AB?AC，BF?（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。

（3）證明二直線的夾角等于90°。?AF?CE?BM3、證明一線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例5.已知：如圖6所示在?ABC中，?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。

B

求證：AC＝AE＋CD

分析：在AC上截取AF＝AE。易知?AEO??AFO，D

圖6

C

??1??2。由?B?60?，知?5??6?60?，?1?60?，?2??3?120?。

??1??2??3??4?60?，得：?FOC??DOC，?FC?DC

證明：在AC上截取AF＝AE

??5??6?60???1?60?

即AC?AE?CD

??BAD??CAD，AO?AO

??AEO??AFO?SAS?

??2??3?120?

??1??2??3??4?60???FOC??DOC(AAS)?FC?DC

??4??2

又?B?60?

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）

例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?EAF?45?。求證：EF＝BE＋DF分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BG＝DF。

D

證明：延長CB至G，使BG＝DF

在正方形ABCD中，?ABG??D?90?，AB?AD??ABG??ADF(SAS)

??2??1?45?

?AG?AF，?1??3即∠GAE＝∠FAE又?EAF?45?

4、中考題：

F

??2??3?45?

?GE?EF?EF?BE?DF

E 圖7

C

如圖8所示，已知?ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。

求證：EC＝ED

證明：作DF//AC交BE于F??ABC是正三角形??BFD是正三角形又AE＝BD

即EF＝AC

圖8

C

D

?AE?FD?BF?BA?AF?EF

題型展示：

證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，?1??2，AB?AC。求證：BD?DC

證明一：延長AC到E，使AE＝AB在?ADE和?ADB中，圖9

D

C

證明二：如圖10所示，在AB上截取AF＝AC，連結(jié)DF

圖10

C

?AE?AB，?2??1，AD?AD則易證?ADF??ADC ??ADE??ADB

??3??4，DF?DC

?BD?DE，?E??B

?BFD??3，?4??B??DCE??B

??BFD??B

??DCE??E?BD?DF?DE?DC，?BD?DC?BD?DC

【實戰(zhàn)模擬】

1.已知：如圖11所示，?ABC中，?C?90?，D是AB上一點，DE⊥CD于D，交BC于E，且有

AC?AD?CE。求證：DE?

證明：取CD的中點F，連結(jié)AF

又?1??4?90?，?1??3?90? 1

CD 2

??4??3

圖11 ?AC?CE

??ACF??CED(ASA)?CF?ED

?AC?AD

?AF?CD

?DE?CD

2.已知：如圖12所示，在?ABC中，?A?2?B，CD是∠C的平分線。求證：BC＝AC＋AD

分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法。“截長”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。證明：延長CA至E，使CE＝CB，連結(jié)ED在?CBD和?CED中，又?BAC??ADE??E

A

??AFC??CDE?90?

?CB?CE

??ADE??E，?AD?AE????BCD??ECD

?BC?CE?AC?AE?AC?CD?CD

?

??CBD??CED

圖12

A

??B??E

C

??BAC?2?B

??BAC?2?E

3.已知：如圖13所示，過? ABC的頂點A，在∠A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點。求證：MP＝MQ 4.?ABC中，?BAC?90?，AD?BC于D，求證：AD?

?AB?AC?BC? 4

M 圖13

C

第二篇：培優(yōu)專題：如何做幾何證明題(2014.3.1)

培優(yōu)專題：如何做幾何證明題（2014.3.1）

【知識精讀】

1.幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！痉诸惤馕觥?/p>

1、證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

歸納總結(jié)：

（1）證明兩條線段相等的方法有：（2）證明兩個角相等的方法有：

例1.已知：如圖1所示，⊿ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD=BD,AE=CF。求證：DE＝DF

例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

E

B

圖1

F

圖22、證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于

90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是⊿ABC的內(nèi)角平分線，AH、AK 分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BC

P

圖3

分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延長AH交BC于N，則BA＝BN，AH＝HN。同理，延長AK交BC于M，則CA＝CM，AK＝KM。從而由三角形的中位線定理，知KH∥BC。

例4.已知：如圖1所示，⊿ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD=BD,AE=CF。求證：FD⊥ED（兩種方法）

F F

B

D

圖5

E

B

圖

13、證明一線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例5.已知：如圖6所示在⊿ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。

求證：AC＝AE＋CD

D

圖6

C

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）

例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，∠EAF=45°。

求證：EF＝BE＋DF4、中考題：

如圖8所示，已知⊿ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。求證：EC＝ED

題型展示：

證明幾何不等式：

例題：已知：如圖9所示，∠1=∠2，AB﹥AC。求證： BD﹥DC

【實戰(zhàn)模擬】

1.已知：如圖11所示，⊿ABC中，∠C=90°，D是AB上一點，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC=AD=CE。

求證：DE=CD

D F

E 圖7

C

圖8

C D

圖9

D

C

圖10

C

圖1

12.已知：如圖12所示，在⊿ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分線。求證：BC＝AC＋AD

A

圖12

C

3.已知：如圖13所示，過⊿ABC的頂點A，在∠A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點。求證：MP＝MQ

C

4.?ABC中，?BAC?90?，AD?BC于D，求證：AD?

A

M 圖13

?AB?AC?BC? 4

第三篇：幾何證明題

幾何證明題

1.在三角形ABC中,BD,CE是邊AC,AB上的中點,BD與CE相交于點O,BO與OD的長度有什么關(guān)系?BC邊上的中線是否一定過點O?為什么?

答題要求:請寫出詳細(xì)的證明過程，越詳細(xì)越好.ED平行且等于1/2BC

取MN為BO,OC中點

則MN平行且等于1/2BC

得到ED平行且等于MN，則EDNM是平行四邊形

則OD=OM,又M為BO中點，顯然BO=2OD

一定過

假設(shè)BC中線不經(jīng)過O點，而與BD交與O'

同理可證AO'=2O'G

再可由平行四邊形定理得到O與O'重合所以必過O點

2.在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M為BC邊上一點。且角DMC=45度

求證：AD=AM

(1)幾何證明題,首先畫圖

哎沒圖不好說啊

就空說吧你在紙上畫圖

先看已知條件,從已知條件得出直觀的結(jié)論.因為M是BC邊上一點,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,則三角形DMC是個等腰直角三角形,MC=CD.又AB=BC,M是BC邊上一點,MC長度小于BC,所以知道這個直角梯形是以CD為上底,AB為下底,圖形先畫對

接下來求證

要證AD=AM,從已知條件中得知,MC=CD,則作一條輔助線就可得證

連接AC

∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是個等腰直角三角形

∴角BCA=45度

∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA

所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC——邊角邊)

所以AD=AM得證

(2)

延長CD至F點~CF=AB連接AF~~因AB=BC~SO~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要證AFD~和ABM~是一樣的3角形就OK了~~哎~快10年沒碰幾何了~那些專業(yè)點的詞我都忘了~這題應(yīng)該是這樣吧~不知道有沒錯

回答者：fenixkingyu-試用期一級2007-8-719:23

上樓的有兩處錯誤:

1.描述錯誤,ABCF不是四邊形,ABFC才是.2.按照條件并不能證明ABFC是正方形.注意:要證明四邊形是正方形,必須證明2個問題:

1.該四邊形是矩形;2.該四邊形是菱形。

(3)

把圖畫出來就好解了。我是按自己畫的圖解的，樓主畫梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加輔助線就行了，度那個圓圈打不出來，我就沒寫了。

證明：連接MD，AM，連接AC并交MD于E

因為角DMC=45，角C=90

所以三角形MCD為等邊直角三角形，既角CDM=45

又角B=90AB=BC

所以角CAB=45

由梯形上下兩邊平行，則內(nèi)對角相加為180度

因角CAB角DMB=45+45=90

所以角EDA角DAE=90

既AC垂直于MD

在等腰直角三角形CDM中則有ME=ED，且AC垂直于MD

所以AE是三角形AMD的中垂線

既AD=AM(等腰三角形的法則)。

第四篇：幾何證明題

幾何證明題集（七年級下冊）

姓名：_________班級：_______

一、互補(bǔ)”。

E

D

二、證明下列各題：

1、如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求證：DB//EC.E D

3ACB2、如圖，已知AD//BC，∠1=∠B，求證：AB//DE.AD BCE3、如圖，已知∠1+∠2=1800，求證：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如圖，已知DF//AC，∠C=∠D,求證：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如圖，在三角形ABC中，D、E、F分別為AB、AC、BC上的點且DE//BC、EF//AB，求證：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如圖，已知EC、FD與直A線AB交于C、D兩點且∠1=∠2，1求證：CE//DF.CE

FD

2B7、如圖，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分別是∠ABC和∠ADC的平分線，AB//CD，求證：DE//BF.FDC

A E8、如圖，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如圖,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求證: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一點，GE⊥BC于E，GE的延長線與BA的延長線交于F，∠BAD=∠CAD，求證：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求證：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上圖，已知∠BCD=∠B+∠D，求證：AB//CD.15、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上圖，已知∠BCD=∠B-∠D，求證：AB//CD.17、如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上圖，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求證：AB//CD.

第五篇：如何解幾何證明題(培優(yōu)輔差)

如何做幾何證明題（平行四邊形一章為例）

【知識梳理】

1、掌握基礎(chǔ)知識

平行四邊形性質(zhì)：邊：角：

對角線：；；；角：；對角線：。矩形性質(zhì)：邊：角：對角線：；；對角線：；

菱形性質(zhì)：邊：角：對角線：；；；

正方形性質(zhì)：邊：角：對角線：

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

1、(2013·深圳中考)如圖，F(xiàn),C是線段AD上的兩點，AB∥DE，BC∥EF，AF=DC，連接AE、BD，求證：四邊形ABDE是平行四邊形.2、（2013鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形．

3、（2013?新疆）如圖，?ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA、DC的延長線分別交于點E、F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）請連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．

4.已知，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交

AC于點F.求證：四邊形AEDF是菱形.C

5.已知：如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形.C

B

6.如圖，已知點E，C在線段BF上，BE?EC?CF，AB∥DE，?ACB??F．（1）求證：△ABC≌△DEF；

A

D

（2）試判斷：四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論．B

C7、(2013·日照中考)如圖，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長線上一點，連接AC,CE，使AB=AC.(1)求證：△BAD≌△ACE.(2)若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四邊形ABDE的面積.8.(2013·青島中考)已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別

是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn) 分別是線段BM，CM的中點.(1)求證：△ABM≌△DCM.(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.(3)當(dāng)AD∶AB=______時，四邊形MENF是正方形(只寫結(jié)論，不需證明).