第一篇：高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(證明線段或角相等)
高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（證明線段和角相等）基礎(chǔ)知識
（1）證明兩線段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分線和線段中垂線性質(zhì)；③利用等腰三角形、平行四邊形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊圖形的性質(zhì)；④利用圓的基本性質(zhì)；⑤利用反證法；⑥利用面積法；⑦利用線段線段的積性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式進行代數(shù)（三角法）。范例解讀
1．P為△ABC內(nèi)一點，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂線，垂足為L、M，設(shè)D為AB的中點，求證：DM=DL。
2． O、H分別是銳角△ABC的外心、垂心，點D在AB上，AD=AH，點E在AC上，AE=AO，求證：DE=AE。
A
C
B
3．ABCD為內(nèi)接四邊形，E、F分別在AB、CD上變動，滿足AE：EB=CF：FD，P在線段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求證：P到AD、BC的距離相等。
D
F
4．圓PN，設(shè)l是圓P1和圓P2相交于點M、1和圓P2的兩條公切線中距離M較近的那條公切線，l與圓P1相切于點A，與圓P2相切于點B，設(shè)經(jīng)過點M且與l平行的直線與圓P1還相交于C，與圓P2相切于點D，直線CA和DB相交于點E，直線AN和CD相交于點P，直線BN和CD相交于點Q，證明：EP=EQ。
D
5．平面上任給圓O和直線l，過O作直線l的垂線交圓O于PQ，任P、Q中的一點，不妨取點P，過P作直線AB分別交圓O和直線l于A、B，過P作直線CD交圓O和直線l于C、D，連接AD圓O于E，連接BC交圓O于F，證明：PE=PF。
P
i
CM
6．梯形ABCD的兩條對角線相交于點K，分別以梯形的兩腰為直徑各作一圓，設(shè)點K位于兩個圓之外，證明；由K向這兩圓所作的切線相等。
AD
7．在直角三角形ABC的直角邊上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分別交BC、AC于P、Q，證明：CP=CQ。
G
AB
8．在凸四邊形ABCD的邊AB、BC上取點E、F，使得線段DE、DF分對角線AC為三等份，1已知△ADE和△CDF的面積分別是四邊形ABCD的面積的，證明：AB=CD。
C
F
A
9．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，其對邊AB、CD的延長線交⊙O外一點E，自點E引一直線平行于AC，交BD的延長線于點M，自點M引MT切⊙O于點T，求證：MT=ME。
10．O、I分別為△ABC的外心和內(nèi)心，AD上BC邊上的高，I在線段OD上，求證：△ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑。
11．設(shè)CD為直角三角形ABC斜邊AB上的高，O、O1,O2分別為△ABC、△ACD、△BCD的內(nèi)
12的外接圓半徑與△ABC的內(nèi)切圓半徑相等。心，求證：△OOO
12．在△ABC中，BC邊最短，∠A的內(nèi)角平分線交BC于點D，∠B和∠C的內(nèi)角平分線交射線AC、AB于點
E、F，過點D做BC的垂線，過點F做AB的垂線，過點E做AC的垂線，這三條垂線交于點Q，求證：AB=AC。
第二篇：證明線段相等的技巧
證明線段相等的技巧
要證明兩條線段相等，一般的思路是從結(jié)論入手，結(jié)合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：
（1）要證明的兩條線段分別在兩個三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。
一、如果要證明的兩條線段分別在兩個三角形中
一般的思路是利用兩條線段所在的兩個三角形全等。
例1 已知：如圖1，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連結(jié)AE、DB，求證：AE=DB。
二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中
一般的思路是利用等角對等邊。
例2 已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。
三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況
一般的思路是作輔助線構(gòu)成全等三角形或利用面積法來證明。
例3 已知：如圖3，△ABC中AB=AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。
例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求證：AG=CH。
分析：從結(jié)論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個三角形中，但顯然不全等，作輔助線構(gòu)成全等三角形也無法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時就應(yīng)該想到面積法，作輔助線構(gòu)成兩個等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結(jié)合已知條件可知構(gòu)成平行四邊形，延長AD到S使DS=AE，連結(jié)CS。延長ACD到R使DR=CF，連結(jié)AR證明略。
證明線段和角相等的技巧
⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有：
⑴ 三角形
①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；
⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形
①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；
②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等；
③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；
⑶ 圓
①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量
都相等；
④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；
⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若a
c?b
c，則a=b.此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有：
⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等；
⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的對應(yīng)角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；
⑹平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等；
第三篇：證明線段相等的方法
證明線段相等的方法
三角形中：
①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。
③④有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。
過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。
（三）四邊形中：
①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。
②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。
③等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。
證明角相等的方法
（一）相交直線及平行線：
①二直線 相交，對頂角相等。
②二平行線被第三直線所截時，同位角相等，內(nèi)錯角相等，外錯角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等，凡直角
都相等。
④角的平分線分得的兩個角相等。
⑤自兩個角的頂點向角內(nèi)看角的兩邊，若有一角的左邊平行
（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另
一角的右邊，則此二角相等
（二）三角形中：
①同一三角形中，等邊對等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內(nèi)角相等）
②等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。
③有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三
內(nèi)角都相等）
④直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個等腰三角
形
證明直線垂直的方法
（一）相交線與平行線：
①兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。
（二）三角形：
①直角三角形的兩直角邊互相垂直。
②三角形的兩內(nèi)角互余，則第三個內(nèi)角為直角。
證明直線平行的方法
（一）平行線與相交線：
①在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線平行。
②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。
③同位角相等、或內(nèi)錯角相等、或外錯角相等、或同旁內(nèi)角互補、或同旁外角互補的兩條直線平行。
證明直角三角形的方法
①有一個角為90°，則這個三角形為直角三角形
②∠A:∠B:∠C=1:1:2，則這個三角形為直角三角形
③有兩個角的和為90°，則這個三角形為直角三角形
第四篇：證明角相等的方法
證明角相等的方法
1.通過平行線的性質(zhì)來證明角相等
2.通過全等三角形對應(yīng)角相等來證明角相等
3.通過相似三角形對應(yīng)角相等來證明角相等
4.通過同角或等角的余角或補角相等來證明角相等
5.通過等邊對等角來證明角相等
第五篇：怎樣證明兩線段相等與兩角相等
怎樣證明兩線段相等與兩角相等
【重點解讀】
證明兩線段相等或兩角相等是中考命題中常見的一種題型，主要考查學(xué)生的分析問題能力、邏輯思維能力與推理能力，其綜合證明難度有所降低，但增加了探索的思維過程.解決此類問題的關(guān)鍵是：正確運用所學(xué)幾何概念、公理、定理、性質(zhì)、判定，正確添加輔助線，進行幾何證明的敘述.⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有： ⑴ 三角形①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等； ⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；
②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等； ③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；
⑶ 圓①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；
平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等；
④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等； ⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若，則a=b.此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比 例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有： ⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等； ⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的對應(yīng)角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；
⑹平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等； ⑻ 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角；
⑼ 從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角； ⑽ 圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角； ⑾ 通過計算證明兩角相等； ⑿ 等量代換，等式性質(zhì).【典題精析】
例1已知：如圖，分別延長菱形ABCD的邊AB、AD到點E、F，使得BE＝DF，連結(jié)EC、FC．求證：EC＝FC．
總結(jié)：通過證三角形全等來證明兩線段（或兩角）相等是常用的方法，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及圖形找到對應(yīng)的三角形和滿足全等的條件，圖形有的翻折全等，有的旋轉(zhuǎn)全等，有的平移全等，有的是三者的綜合形式，該問題是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，E是AB上一點，直線CE與⊙O交于點F，連結(jié)AF，與直線CD交于點G.2求證：⑴∠ACD=∠F；⑵AC=AG·AF.總結(jié)：證明線段相等或角相等時，如果沒有三角形全等，我們常找與它們都相關(guān)或都有聯(lián) 系的線段或角作為橋梁，實現(xiàn)線段之間的轉(zhuǎn)化或角之間的轉(zhuǎn)化，從而證明它們的等量關(guān)系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的線段要熟悉.例3已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點A的切線與CD的延長線交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求證：△ABC為等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長.例4已知：如圖，正△ABC的邊長為a, D為AC邊上的一個動點，延長AB至E使BE=CD，連結(jié)DE，交BC于點P.⑴ 求證：DP=PE；⑵ 若D為AC的中點，求BP的長.總結(jié)：添加輔助線是幾何證明和計算中常用的方法，通常有作平行線、作垂線、連結(jié)兩點、延長線段相交等，正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵.思考：若將條件正△ABC改為等腰△ABC，AB=AC，結(jié)論DP=PE是否仍成立？
若將條件正△ABC改為等腰△ABC，CA=CB，結(jié)論DP=PE是否仍成立？ 例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求證：⑴G是CE的中點；⑵∠B=2∠BCE.總結(jié)：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質(zhì)有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質(zhì)通常有以下變形形式：已知等腰和高、已知頂角平分線和高、已知等腰和底邊中線.特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關(guān)系有著密切關(guān)系.例6如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E，給出下列4個結(jié)論：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切線； ④=；其中一定成立的是（）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
總結(jié)；一般的，證明線段相等或角相等，可根據(jù)條件尋找三角形，證三角形全等；無三角形全等時，可找與之相關(guān)連的線段或角，探索等量關(guān)系；證明弧相等，可以轉(zhuǎn)化為證明弧所對的圓周角或圓心角相等，即轉(zhuǎn)化為證明角相等的問題.鞏固練習(xí)：
⒈ ⑴如圖，△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠D與∠A的比是________ ⑵如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的長為_______.⒉ ⑴如圖，∠B、∠C的平分線交于點P，過點P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，則()A.EF=EB+FC B.EF>EB+FC C.EF ⑵在Rt△ABC中，AF是斜邊BC上的高線，且BD=DC=FC=1，則AC的長為（） A.B.C.D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，則（） A.2AB=AC B.2AB>AC C.2AB ⒋ 如圖，△ABC中，高BD、CE交于點F，且CG=AB，BF=AC，連接AF，求證：AG⊥AF ⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分別為F、E，M為BC中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并說明之.⒍ 如圖，AB是⊙O的直徑，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足為D，CE⊥AB，垂足E 求證：CD=CE.⒎ 已知：如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D.延長DA交△ABC的外接圓于點F.⑴求證：FB=FC； ⑵若，求FB的長.⒏ 梯形ABCD中AB//CD，對角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點，MH所 在直線交BC于N.在以上前提下，試將下列設(shè)定中的兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論 組成一個正確的命題，并證明這個命題.①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM 怎樣證明關(guān)于線段的幾何等式 【重點解讀】 線段的幾何等式，主要涉及線段的倍分關(guān)系式、和差關(guān)系式、比例式、等積式等.證明線段倍分關(guān)系的定理和方法有：三角形和梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)等；探索、證明線段的倍分關(guān)系式，一般轉(zhuǎn)化為證明線段的相等關(guān)系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.證明線段的和差關(guān)系式，一般思路將線段加長或截短，轉(zhuǎn)化為證明線段相等，利用等量代換或等式性質(zhì).證明線段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四條線段放入兩個三角形，如果這兩個三角形相似，且所給線段是對應(yīng)線段，則問題得證；如果找不到兩個三角形，或者找到的三角形不相似，可考慮將四條線段中的某些線段進行等量代換，再按上述方法探求證明；如果明顯沒有等量線段可替換，可找中間比.證明線段等積式的一般思路：先看等積式是否滿足有關(guān)定理（射影定理、圓冪定理），如果滿足，則結(jié)論成立；如果不滿足，可把等積式化成比例式、或替換部分后化成比例式，再按比例式的證明方法證明.證明過程中常用的定理和性質(zhì)有：比例性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、射影定理、圓冪定理、平行線分線段成比例定理.例1已知：E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC，連結(jié)AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連結(jié)OF，求證：AB=2OF.總結(jié)：線段之間的倍分關(guān)系式，常聯(lián)想用中位線定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：⑴若B、C兩點分別在AE的異側(cè)，BD=DE+CE； ⑵若B、C兩點分別在AE的同側(cè)，其余條件不變，則BD與DE、CE的關(guān)系如何，證明你的猜想.例3如圖，△ABC內(nèi)接于圓，D是弧BC的中點，AD交BC于E，求證： 例4已知：如圖，等腰△ABC的頂角為銳角，以腰AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足為F 求證： 總結(jié)；解題時，要充分利用已知條件，已知條件中的特殊條件更要發(fā)掘其內(nèi)涵，注意條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的運用.例5已知：BC為圓O的直徑，AD⊥BC垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且A為弧BF的中點.求證：⑴AE=BE。⑵AH·BC=2AB·BE.例6如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是 上一點（點P不與A、C兩點重合），連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，下列四個結(jié)論： ⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷ 正確的有_____.鞏固練習(xí)； ⒈ ⑴在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上的一動點，則EF+BF的最小值為_________.⑵已知：O為△ABC內(nèi)的一點，過點O作EF、GH、QP分別平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于點P、E、H、Q、F、G，則 _______.⒉ 選擇： ⑴如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF，連接EF交AB于H，則下列結(jié)論錯誤的是（） A.AE⊥AF B.EF∶AF= ∶1 C.D.FB∶FC=HB∶EC 第⑴題 第⑵題 第⑶題 ⑵如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點，PA與BC交于E，有如下結(jié)論: ①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③ 其中正確結(jié)論的個數(shù)有()A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 ⑶如圖，已知⊙BC交⊙與⊙ 外切于點C，AB是兩圓的外公切線，切點為A、B，分別延長AC、于點D，下列結(jié)論，正確的有（）個 于點E，交⊙①AD為⊙的直徑 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD A.1 B.2 C.3 D.4 ⒊ 已知：如圖，設(shè)D、E分別是△ABC外接圓的弧AB、AC的中點，弦DE交AB于點F，交AC于點G, 求證：AF·AG=DF·EG..第3題 第4題 ⒋ ⊙O的兩條割線AB、AC分別交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圓于G.求證：⑴AC·FG=BC·CG;⑵若CF=AE，求證：△ABC是等腰三角形.⒌ ⑴如圖，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重 合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD． 求證：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF． ⑵在問題⑴中，直線l向下平行移動，與⊙O相切，其他條件不變． ①請你畫出變化后的圖形，并對照圖，標(biāo)記字母； ②問題⑴中的兩個結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由． 6．已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，點E是 上一動點.⑴ 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結(jié)AD、CE，求證：①∠CED=∠ADE ② =NF·NE =NF·NE的結(jié)論是否成立？若成⑵ 如圖2，若DE與AC的延長線交于F，且DE=AC，那么立請證明，若不成立請說明理由.圖1 圖2 .7．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE和正△ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。 8．如圖，以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中點。證明：DM=EM。 9。如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。 10．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。 11．已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。 具體應(yīng)用方法分類 一、利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證明 例 1、如圖1，已知C在BD上，△ABC與△CDE都是等邊三角形，BE、AD分別與AC、CE交于P、Q。求證：CP=CQ。 二、利用等腰三角形定理及逆定理證明 例 2、如圖2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的線段AD=AE。求證：FB=FC，F(xiàn)E=FD。 三、利用等腰三角形“三線合一”定理證明 例 3、如圖3，已知△ABC為Rt△，D為斜邊AB的中點，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求證：AE=CE，BF=CF。 四、利用角平分線上的點到這個角兩邊等距離證明 例 4、如圖4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∠B、∠C的平分線交于I，求證：I到AB、BC、CA的距離相等。 五、利用垂直平分線上的點到該線段兩端等距離證明 例 5、如圖5，已知：△ABC中，∠A=90°，D為△ABC內(nèi)一點，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求證：AD=DC 六、利用兩三角形面積相等，等底必等高，等高必等底證明 例 6、求證：等腰三角形兩腰上的高相等。 七、利用等量公理：證明它們等于同一線段或分別等于兩條相等線段 例 7、如圖7，銳角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延長AB到E，BE=BD，連結(jié)ED并延長交AC于F。求證：AF=FC。 八、利用中心對稱證明 例 8、如圖8，已知AT為△ABC的內(nèi)角平分線，M為BC中點，ME∥AT，交AB、AC或其延長線于D、E，求證：BD=CE。 九、利用勾股定理證明 例 9、如圖9，已知：M為△ABC內(nèi)一點，MD、ME、MF分別和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求證：AE=AF。 十、利用比例證明 例 10、如圖10，已知△ABC中，中線BE與角平分線AD交于點K，BL∥KC，交AC的延長線于點L，求證：LC=AB。 十一、利用圓冪定理證明 例 11、如圖11，已知：PA是圓O的切線，A為切點，PBD是圓O的割線，弦DE∥AP，PE的延長線交圓O于C，CB的延長線交PA于F。求證：PF=FA。 十二、利用平行四邊形性質(zhì)證明 例 12、如圖12，已知Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交高線AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF。 十三、利用三角知識證明 例 13、如圖13，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分別是AB、CD的中點。求證：OF=GE。
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