第一篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第05講 恒等式的證明

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第五講 恒等式的證明

代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)習(xí)一下基本知識，然后進(jìn)行例題分析．

兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數(shù)式恒等．

把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等．

證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡化．下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．

1．由繁到簡和相向趨進(jìn)

恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)．

例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

分析 將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊．

證 因?yàn)閤+y+z=xyz，所以

左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)

=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2

=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz+xyz+xyz+xyz

=4xyz=右邊．

說明 本例的證明思路就是“由繁到簡”．

例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且

證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，則

又因?yàn)?/p>

所以

所以

說明 本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立．

2．比較法

a=b(比商法)．這也是證明恒等式的重要思路之一．

例3 求證：

分析 用比差法證明左-右=0．本例中，這個式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡化．

證 因?yàn)?/p>

所以

所以

說明 本例若采用通分化簡的方法將很繁．像這種把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．

不為零．證明：

(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

全

同理

所以

所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

說明 本例采用的是比商法．

3．分析法與綜合法

根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論．

證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證

a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證

這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．

說明 本題采用的方法是典型的分析法．

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d．

證 由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．

因?yàn)?a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以

a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b≠0，c+d≠0，所以

a＝b，c=d．

所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

說明 本題采用的方法是綜合法．

4．其他證明方法與技巧

求證：8a+9b+5c=0．

a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．

所以

6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)

=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．

說明 本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法．這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．

例8 已知a+b+c=0，求證

2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．

分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．

左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

=(a2-b2-c2)2-4b2c2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)

=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]

=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．

說明 本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解．

分析 本題的兩個已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法．

證 由已知

說明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．

例10 證明：

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

分析與證明 此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法．令

y+z-2x=a，① z+x-2y=b，② x+y-2z=c，③

則要證的等式變?yōu)?/p>

a3+b3+c3=3abc．

聯(lián)想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將①，②，③相加有

a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

說明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力．

例11 設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且

求證：x2y2z2=1．

分析 本題x，y，z具有輪換對稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的所以x2y2=1．三元與二元的結(jié)構(gòu)類似．

證 由已知有

①×②×③得x2y2z2=1．

說明 這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中．

總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能．同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會例題中的常用變形技能與方法，這對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要．

練習(xí)五

1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證：2b=a+c．

2．證明：

(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3

=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．

3．求證：

5．證明：

6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求證：

x=y=z或x+y+z=0．

7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求證：

(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．

第二篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第32講 自測題

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時(shí)，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．

(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；

(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；

(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號時(shí)，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？

自測題三

2．對于任意實(shí)數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最?。?/p>

(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最?。?/p>

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測題四

1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設(shè)

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點(diǎn)O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費(fèi)120元，乙部門每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當(dāng)E點(diǎn)移動到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會怎樣？

(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長線上時(shí)又會怎樣？

自測題五

2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？

按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最?。?/p>

第三篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第三十一講復(fù)習(xí)題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程

x2＋px＋q=0

無整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應(yīng)邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關(guān)系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊(duì)按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數(shù)字組成)，可是第一個同學(xué)記住車號的前兩位數(shù)是相同的，第二個同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個同學(xué)記得這個四位數(shù)恰好是一個數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應(yīng)地伸長．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖；

(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長度．

第四篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第08講平行四邊形

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對角相等；

(2)平行四邊形對邊相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)锽G是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因?yàn)锳D∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應(yīng)角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們在學(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對我們探索新的問題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．

證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌蔷€相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設(shè)正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因?yàn)镈EBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習(xí)十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

第五篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第23講 幾何不等式

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第二十三講 幾何不等式

平面圖形中所含的線段長度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會呈現(xiàn)不等的關(guān)系．由于這些不等關(guān)系出現(xiàn)在幾何問題中，故稱之為幾何不等式．

在解決這類問題時(shí)，我們經(jīng)常要用到一些教科書中已學(xué)過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運(yùn)用這些基本定理，通過幾何、三角、代數(shù)等解題方法去解決幾何不等式問題．這些問題難度較大，在解題中除了運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)．

幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關(guān)的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式．下面先給出幾個基本定理．

定理1 在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊．

定理2 同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然．

定理3 在兩邊對應(yīng)相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然．

定理4 三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于另一頂點(diǎn)到這兩頂點(diǎn)距離之和．

定理5 自直線l外一點(diǎn)P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長．

說明 如圖2-135所示．PA，PB是斜線，HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，則HA＞HB．事實(shí)上，由勾股定理知

PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以

PA2-PB2=HA2-HB2．

從而定理容易得證．

定理6 在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，則有

PA≤max｛AB，AC｝，當(dāng)點(diǎn)P為A或B時(shí)等號成立．

說明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，從而

PA≤max｛AB，AC｝．

同理，若P在線段HC上，同樣有PA≤max｛AB，AC｝．

例1 在銳角三角形ABC中，AB＞AC，AM為中線，P為△AMC內(nèi)一點(diǎn)，證明：PB＞PC(圖2-137)．

證 在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．

過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，則H必定在線段BM的延長線上．如果H在線段MC內(nèi)部，則

BH＞BM=MC＞HC．

如果H在線段MC的延長線上，顯然BH＞HC，所以PB＞PC．

例2 已知P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)(圖2-138)．

(1)求證：

＜a＋b＋c；

(2)若△ABC為正三角形，且邊長為1，求證：

PA+PB＋PC＜2．

證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得

PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把這三個不等式相加，再兩邊除以2，便得

又由定理4可知

PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．

把它們相加，再除以2，便得

PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．

所以

(2)過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖2-138所示．于是

PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以

PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC

=AB＋AE＋EC=2．

例3 如圖2-139．在線段BC同側(cè)作兩個三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC與BD相交于E，求證：AE＞DE．

證 在DB上取點(diǎn)F，使DF=AC，并連接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC

=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．

由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以

DC＋BF=AC=AB．

在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．

在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．

由定理3，∠1＞∠2，所以

AE＞DE．

例4 設(shè)G是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，連結(jié)AG并延長交BC延長線于K，求證：

分析 在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般是設(shè)法構(gòu)造其所

為邊的三角形．

證 如圖2-140，在GK上取一點(diǎn)M，使GM=MK，則

在Rt△GCK中，CM是GK邊上的中線，所以

∠GCM=∠MGC．

而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是

∠MGC＞45°，所以

∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．

由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故

例5 如圖2-141．設(shè)BC是△ABC的最長邊，在此三角形內(nèi)部任選一點(diǎn)O，AO，BO，CO分別交對邊于A′，B′，C′．證明：

(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；

(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．

證(1)過點(diǎn)O作OX，OY分別平行于邊AB，AC，交邊BC于X，Y點(diǎn)，再過X，Y分別作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大邊，所以

OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．

又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大邊，從而BX也是△BXS中的最大邊，而且SXOC′是平行四邊形，所以

BX＞XS=OC′．

同理

CY＞OB′．

所以

OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．

所以

OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′

≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝

=max｛AA′，BB′，CC′｝

下面我們舉幾個與角有關(guān)的不等式問題．

例6 在△ABC中，D是中線AM上一點(diǎn)，若∠DCB＞∠DBC，求證：∠ACB＞∠ABC(圖2-142)．

證 在△BCD中，因?yàn)椤螪CB＞∠DBC，所以BD＞CD．

在△DMB與△DMC中，DM為公共邊，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以

∠ACB＞∠ABC．

說明 在證明角的不等式時(shí)，常常把角的不等式轉(zhuǎn)換成邊的不等式．

證 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如圖2

即證BD∠CD．因?yàn)椤鰾AD∽△CAB，即 BC＞2BD．

又 CD＞BC-BD，所以

BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．

從而命題得證．

例8 在銳角△ABC中，最大的高線AH等于中線BM，求證：∠B＜60°(圖2-144)．

證 作MH1⊥BC于H1，由于M是中點(diǎn)，所以

于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．

延長BM至N，使得MN=BM，則ABCN為平行四邊形．因?yàn)锳H為最A(yù)BC中的最短邊，所以

AN=BC＜AB，從而

∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．

下面是一個非常著名的問題——費(fèi)馬點(diǎn)問題．

例9 如圖2-145．設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點(diǎn)(不是O)．求證：

PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．

證 過△ABC的頂點(diǎn)A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設(shè)這三條垂線的交點(diǎn)為A1，B1，C1(如圖2-145)，考慮四邊形AOBC1．因?yàn)?/p>

∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1為正三角形．

設(shè)P到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長為a，高為h．由等式

S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1

知

所以 h=ha＋hb＋hc．

這說明正△A1B1C1內(nèi)任一點(diǎn)P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h(yuǎn)，這是一個定值，所以

OA＋OB＋OC=h=定值．

顯然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，所以

PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．

這就是我們所要證的結(jié)論．

由這個結(jié)論可知O點(diǎn)具有如下性質(zhì)：它到三角形三個頂點(diǎn)的距離和小于其他點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離和，這個點(diǎn)叫費(fèi)馬點(diǎn)．

練習(xí)二十三

1．設(shè)D是△ABC中邊BC上一點(diǎn)，求證：AD不大于△ABC中的最大邊．

2．AM是△ABC的中線，求證：

3．已知△ABC的邊BC上有兩點(diǎn)D，E，且BD=CE，求證：AB＋AC＞AD＋AE．

4．設(shè)△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE．

5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求證：

AB+CF≥AC＋BE．

6．在△ABC中，AB＞AC，AD為高，P為AD上的任意一點(diǎn)，求證：

PB-PC＞AB-AC．

7．在等腰△ABC中，AB=AC．

(1)若M是BC的中點(diǎn)，過M任作一直線交AB，AC(或其延長線)于D，E，求證：2AB＜AD+AE．

(2)若P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．