第一篇：證明線段相等角相等平行垂直的方法 Microsoft Word 文檔

平面幾何定理總結(jié)

1、證明兩條線段相等的方法

（1）全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

（2）在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

（3）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

（4）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

（5）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

（6）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

（7）線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

（8）直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方

（9）平行四邊形的對邊相等

（10）夾在兩條平行線間的平行線段相等

（11）矩形的對角線相等

（12）菱形的四條邊都相等

（13）正方形的四條邊相等、兩條對角線相等

（14）等腰梯形的兩條對角線相等

（15）如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

（16）經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

（17）經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

（18）三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

（19）梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半

（20）垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

（21）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

（22）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等

（23）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

（24）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

2、證明角相等的方法

（1）同角或等角的補角相等

（2）同角或等角的余角相等

（3）兩直線平行，同位角相等

（4）兩直線平行，內(nèi)錯角相等

（5）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

（6）等腰三角形的兩個底角相等

（7）平行四邊形的對角相等

（8）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

（9）等腰梯形兩底角相等

（10）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

（11）同弧或等弧所對的圓周角相等

（12）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

（13）如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

（14）圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

（15）從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

（16）等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于603、證明平行的方法

（1）如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

（2）同位角相等，兩直線平行

（3）內(nèi)錯角相等，兩直線平行

（4）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

（5）三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

（6）梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半

（7）如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

（8）到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

4、證明垂直的方法

（1）等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合（3）和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

（4）三角形兩邊a、b的平方和、等于第三邊c的平方，則此三角形直角三角形

（5）矩形的四個角都是直角

（6）菱形的對角線互相垂直

（7）正方形的四個角都是直角

（8）平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

（9）半圓(或直徑)所對的圓周角是直角

（10）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

（11）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

5、證明全等或相似的方法

（1）有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（2）有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（3）有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（4）有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（5）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

（6）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

（7）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的（8）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

（9）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似

（10）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

（11）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

（12）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

（13）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

6、有關(guān)比例的定理

（1）比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc

（2）合比性質(zhì) 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

（3）等比性質(zhì)如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

（4）三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例

（5）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例

（6）平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

（7）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

（8）相似三角形周長的比等于相似比

（9）相似三角形面積的比等于相似比的平方

（10）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

（11）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

（12）切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

（13）從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

7、幾何不等式

（1）三角形兩邊的和大于第三邊

（2）三角形兩邊的差小于第三邊

（3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

（4）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

第二篇：證明線段相等的方法

證明線段相等的方法

三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

③④有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。

過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。

③等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

證明角相等的方法

（一）相交直線及平行線：

①二直線 相交，對頂角相等。

②二平行線被第三直線所截時，同位角相等，內(nèi)錯角相等，外錯角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等，凡直角

都相等。

④角的平分線分得的兩個角相等。

⑤自兩個角的頂點向角內(nèi)看角的兩邊，若有一角的左邊平行

（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另

一角的右邊，則此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等邊對等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內(nèi)角相等）

②等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。

③有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三

內(nèi)角都相等）

④直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個等腰三角

形

證明直線垂直的方法

（一）相交線與平行線：

①兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。

（二）三角形：

①直角三角形的兩直角邊互相垂直。

②三角形的兩內(nèi)角互余，則第三個內(nèi)角為直角。

證明直線平行的方法

（一）平行線與相交線：

①在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線平行。

②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。

③同位角相等、或內(nèi)錯角相等、或外錯角相等、或同旁內(nèi)角互補、或同旁外角互補的兩條直線平行。

證明直角三角形的方法

①有一個角為90°，則這個三角形為直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，則這個三角形為直角三角形

③有兩個角的和為90°，則這個三角形為直角三角形

第三篇：證明線段相等的技巧

證明線段相等的技巧

要證明兩條線段相等，一般的思路是從結(jié)論入手，結(jié)合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：

（1）要證明的兩條線段分別在兩個三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。

一、如果要證明的兩條線段分別在兩個三角形中

一般的思路是利用兩條線段所在的兩個三角形全等。

例1 已知：如圖1，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連結(jié)AE、DB，求證：AE=DB。

二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中

一般的思路是利用等角對等邊。

例2 已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。

三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況

一般的思路是作輔助線構(gòu)成全等三角形或利用面積法來證明。

例3 已知：如圖3，△ABC中AB=AC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。

例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求證：AG=CH。

分析：從結(jié)論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個三角形中，但顯然不全等，作輔助線構(gòu)成全等三角形也無法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時就應(yīng)該想到面積法，作輔助線構(gòu)成兩個等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結(jié)合已知條件可知構(gòu)成平行四邊形，延長AD到S使DS=AE，連結(jié)CS。延長ACD到R使DR=CF，連結(jié)AR證明略。

證明線段和角相等的技巧

⒈ 怎樣證明兩線段相等

證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有：

⑴ 三角形

①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；

②證明三角形全等：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；

④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；

⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；

⑵ 證特殊四邊形

①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；

②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等；

③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；

⑶ 圓

①同圓或等圓的半徑相等；

②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；

③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量

都相等；

④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；

⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；

等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若a

c?b

c，則a=b.此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等

證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有：

⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等；

⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；

⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的對應(yīng)角相等；

⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；

⑹平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等；

第四篇：傳統(tǒng)方法證明平行與垂直

立體幾何——證明平行與垂直

證明平行

Ⅰ、線面平行：證明線面平行就證明線平行于面內(nèi)線。（數(shù)學(xué)語言）

性質(zhì)：直線a與平面α平行，過直線a的某一平面，若與平面α相交，則直線a就平行于這條交線。Ⅱ、面面平行：證明面面平行，只需證明一個面內(nèi)有一組相交線與另一平面平行。（數(shù)學(xué)語言）性質(zhì)：兩平行平面與第三個平面相交則兩交線平行。

可看出線線平行是證明平行中的基礎(chǔ)。

Ⅲ、證明線線平行的方法：中位線法、平行四邊形法。

這兩種方法的應(yīng)用在證明線面平行中表現(xiàn)的尤為突出。具體如下：

證明線面平形關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與線平行的那條線。我們的方法是將所證直線朝所證平面的端點或中點平移得到與直線平行的直線，根據(jù)得到直線與原直線長為2倍關(guān)系還是相等決定在說明線線平行時用中位線法還是平行四邊形法。（1）中位線法（正方形）

（2012浙江）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為BAD＝120°，且PA⊥

平面ABCD，PA＝M，N分別為PB，PD的中點． 證明：MN∥平面ABCD；

?

?A'B'C'，??AC??AA',點M，NBAC?90（2012 遼寧）如圖，直三棱柱ABC，AB

'B和B'C'的中心。分別為A

//平面A'ACC'（I）證明：MN；

BC'

B

C

'?MN?C（II）若二面角A為直二面角，求?的值。

在中位線法中由底邊與中位線端點連線延長線的交點確定用到的三角形。（2）平行四邊形法（45套D5套）

（2010安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF?FB，AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H為BC的中點。

EF

DC

A

求證：FH∥平面EDB；

(2010北京)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥，CE=EF=1.求證：AF∥平面BDE；

通過證明另一組對邊平行且相等來證四邊形為平行四邊形，通過證另一組對邊平行且等于第三條線的一半來證明其平行且相等。

證明垂直

Ⅰ、線面垂直：證線垂直于面就證明線垂直于面內(nèi)一組相交線。（數(shù)學(xué)語言）

性質(zhì)：若直線a垂直于平面α則a垂直于α內(nèi)的所有直線。（證明異面直線平行）

1、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，證明：BD⊥平面PAC。

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=

中點，DC1⊥BD。

（1）證明：DC1⊥平面BCD；

12AA1，D是棱AA1的2Ⅱ、面面垂直：證面面垂直就證面內(nèi)有一條線垂直于另一平面。（數(shù)學(xué)語言）性質(zhì)：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

Ⅲ、證明線線垂直的方法（證明異面直線垂直）

（1）由線面垂直的性質(zhì)（即證線垂直于線就證線垂直于線所在的一個面）

（2012天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.證明PC⊥AD；

DP

（2012·安徽卷）平面圖形ABB1A1C1C如圖1－4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C15.證明：AA1⊥BC

（2）勾股定理（證明共面直線垂直）（11年大綱全國）如圖，棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。

證明：SD⊥平面SAB；

第五篇：初中幾何證明線段和角相等的方法

初中幾何證明線段和角相等的方法大全

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等

下面有好幾種可以證明線段相等的方法，你自己選吧。

（一）常用軌跡中：

①兩平行線間的距離處處相等。

②線段中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等。

③角平分線上任一點到角兩邊的距離相等。

④若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等(圖1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②任意三角形的外心到三頂點的距離相等。

③任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。

④等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

⑤直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半。

⑥有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。

⑦過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊(圖2）。

⑧同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等(圖3）。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點到四頂點的距離相等。

③菱形中四邊相等。

④等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

⑤過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰(圖4）。

（四）正多邊形中：

①正多邊形的各邊相等。且邊長an = 2Rsin(180°/ n)

②正多邊形的中心到各頂點的距離(外接圓半徑R)相等、各邊的距離(邊心距rn)相等。

且rn = Rcos(180°/ n)

（五）圓中：

①同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等。

②同圓或等圓中，等弦所對的弦心距相等，等弦心距所對的弦相等。

③任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。

④自圓外一點所作圓的兩切線長相等。

⑤兩相交或外切或外離圓的二公切線的長相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長也相等。

⑥兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。

⑦兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點到三切點的距離相等（圖6）。⑧兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點平分（圖7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切對應(yīng)線段（對應(yīng)的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑……）都相等。

（七）線段運算：

①對應(yīng)相等線段的和相等；對應(yīng)相等線段的差相等。

②對應(yīng)相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。

③兩線段的長具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二線段相等。