第一篇：離散數(shù)學(xué)試卷二十三試題與答案

試卷二十三試題與答案

一、單項(xiàng)選擇題：（每小題1分，本大題共10分）

1．命題公式P?(Q?P)是（）。

A、矛盾式；B、可滿足式；C、重言式；D、等價(jià)式。

2．下列各式中哪個(gè)不成立（）。

A、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)；

B、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)；

C、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)；

D、?x(P(x)?Q)??xP(x)?Q。

3．謂詞公式?x(P(x)??yR(y))?Q(x)中的 x是（）。

A、自由變元；B、約束變元；

C、既是自由變元又是約束變元；D、既不是自由變元又不是約束變元。

4．在0 ?之間應(yīng)填入（）符號。

A、=；B、?；C、?；D、?。

5．設(shè)< A，? > 是偏序集，B?A，下面結(jié)論正確的是（）。

A、B的極大元b?B且唯一；B、B的極大元b?A且不唯一；

C、B的上界b?B且不唯一；D、B的上確界b?A且唯一。

6．在自然數(shù)集N上，下列（）運(yùn)算是可結(jié)合的。

（對任意a,b?N）

A、a?b?a?b；B、a?b?max(a,b)；

C、a?b?a?5b；D、a?b?a?b。

7．Q為有理數(shù)集N，Q上定義運(yùn)算*為a*b = a + b – ab ,則的幺元為（A、a；B、b；C、1；D、0。

8．給定下列序列，（）可以構(gòu)成無向簡單圖的結(jié)點(diǎn)度數(shù)序列。

A、（1，1，2，2，3）；B、（1，1，2，2，2）；

C、（0，1，3，3，3）；D、（1，3，4，4，5）。

9．設(shè)G是簡單有向圖，可達(dá)矩陣P(G)刻劃下列（）關(guān)系。

A、點(diǎn)與邊；B、邊與點(diǎn)；C、點(diǎn)與點(diǎn)；D、邊與邊。

10．一顆樹有兩個(gè)2度結(jié)點(diǎn)，1個(gè)3度結(jié)點(diǎn)和3個(gè)4度結(jié)點(diǎn)，則1度結(jié)點(diǎn)數(shù)為（A、5；B、7；C、9；D、8。

。）。）

二、填空：（每空1分，本大題共15分）

1．在自然數(shù)集中，偶數(shù)集為N1、奇數(shù)集為N2，則N1?N2=；

N1?N2 =。

2．設(shè)X?{1,2,3,4},R?{?1,2?,?2,4?，?3,3?}，則

r(R)=；s(R)= ；t(R)=。

3．設(shè)R為集合A上的等價(jià)關(guān)系，對?a?A，集合[a]R=，稱

為

元

素

a

形

成的R

等

價(jià)

類，[a]R??，因

為。

4．任意兩個(gè)不同小項(xiàng)的合取為，全體小項(xiàng)的析取式為。

5．設(shè)Q(x):x為偶數(shù)，P(x):x為素?cái)?shù)，則下列命題：（1）存在唯一偶素?cái)?shù)；（2）至多有一個(gè)偶素?cái)?shù)；分別形式化：（1）；

（2）。

6．設(shè)T為根樹，若，則稱T為m元樹；

若則稱T為完全m叉樹。

7．含5個(gè)結(jié)點(diǎn)，4條邊的無向連通圖（不同構(gòu)）有 個(gè)，它們是。

三、判斷改正題：（每小題2分，本大題共20分）

1．命題公式(A?(A?B))?B是一個(gè)矛盾式。（）2．任何循環(huán)群必定是阿貝爾群，反之亦真。（）3．根樹中最長路徑的端點(diǎn)都是葉子。（）4．若集合A上的關(guān)系R是對稱的，則R

?

1也是對稱的。（）

5．?dāng)?shù)集合上的不等關(guān)系（≠）可確定A的一個(gè)劃分。（）6．設(shè)集合A、B、C為任意集合，若A×B = A×C，則B = C。（）7．函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算“?！睗M足結(jié)合律。（）8．若G是歐拉圖，則其邊數(shù)e合結(jié)點(diǎn)數(shù)v的奇偶性不能相反。（）9．圖G為（n , m）圖，G的生成樹TG必有n個(gè)結(jié)點(diǎn)。（）10．使命題公式P?(Q?R)的真值為F的真值指派的P、Q、R值分別是T、F、F。（）

四、簡答題（每小題5分，本大題共25分）

1．設(shè)?H,??和?K,??都是群?G,??的子群，問?H?K,??和?H?K,??是否是

?G,??的子并說明理由。

3，4，9}，B?{2，4，7，10,12}，從A到B的關(guān)系 2．設(shè)A?{2，R?{?a,b?a?A,b?B,且a整除b}，試給出R的關(guān)系圖和關(guān)系矩陣，并說明此

關(guān)系是否為函數(shù)？為什么？

3．設(shè)?S,??是半群，OL是左零元，對任x?S,x?OL是否是左零元？為什么？

4．某次會議有20人參加，其中每人至少有10個(gè)朋友，這20人擬圍一桌入席，用圖論知識說明是否可能每人鄰做的都是朋友？（理由）

5．通過主合取范式，求出使公式?(?P?Q)?R的值為F的真值指派。

五、證明題：（共30分）

1．設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，如果R是反自反的和可傳遞的，則R一定是反對稱的。

2．試證明若?G,??是群，H?G，且任意的a?H，對每一個(gè)x?G，有a?x?x?a，則?H,??是?G,??的子群。

3．設(shè)G是每個(gè)面至少由k（k?3）條邊圍成的連通平面圖，試證明為結(jié)點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)。

4．符號化下列各命題，并說明結(jié)論是否有效（用推理規(guī)則）。任何人如果他喜歡美術(shù)，他就不喜歡體育。每個(gè)人或喜歡體育，或喜歡音樂，有的人不喜歡音樂，因而有的人不喜歡美術(shù)。答案

e?

k(v?2)k?

2，其中v

一、單項(xiàng)選擇題：

1．N

2;

?。r(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?1,1?,?2,2?,?4,4?}，2．

s(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?2,1?,?4,2?}，R?R?R?{?1,4?,?3,3?}，R?R?R?{?3,3?}，R?R?R?{?3,3?}，所以，t(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?1,4?}。

3．[a]R?{xx?A,aRx}；a?[a]R。4．永假式（矛盾式），永真式（重言式）。5．（1）?x((Q(x)?P(x))??y(Q(y)?P(y)?x?y))。（2）?x?y(Q(x)?P(x)?Q(y)?P(y)?x?y)。

6．每個(gè)結(jié)點(diǎn)的出度都小于等于m；除葉子外，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的出度都等于m。7．3。

三、判斷改正題：

1．×命題公式(A?(A?B))?B是一個(gè)重言式。2．×任何循環(huán)群必定是阿貝爾群，但反之不真。3．×根樹中最長路徑的端點(diǎn)不都是葉子。

4．√5．×≠不能確定A的一個(gè)劃分。6．√7．√

8．×歐拉圖其邊數(shù)e和結(jié)點(diǎn)數(shù)v的奇偶性可以相反。9．√10．√

四、簡答題

1．解：?H?K,??是 ?G,??的子群，?H?K,??不一定是?G,??的子群。??a,b?H?K,則的子群，a,b?H,a,b?K,由

?H,??和?K,??都是?G,??

?

a?b

?

1?H且a?b

?1

?K,?a?b

?1

?H?K,??H?K,??是?G,??的子群。

如：G = {1，5，7，11}，?：模12乘，則?G,??為群。且H = {1，5}，K = {1，7}，?H,??和?K,??皆為?G,??的子群，但H?K?{1,5,7}，?H?K,??不是?G,??的子群。因?yàn)?5?7?11?H?K，即運(yùn)算不封閉。

2．解：R?{?2,2?,?2,4?,?2,10?,?2,12?,?3,12?,?4,4?,?4,12?}則R的關(guān)系圖為： R的關(guān)系矩陣為

?1??0??

0??0?

1010

0000

1000

1??1?1??0??

M

R

關(guān)系R不是A到B的函數(shù)，因?yàn)?/p>

元素2，4的象不唯一（或元素9無象）

3．解：x?OL仍是左零元。因?yàn)?y?S，由于OL是左零元，所以，OL?y?OL，又?S,??為半群，所以*可結(jié)合。

所以，(x?OL)?y?x?(OL?y)?x?OL，所以，x?OL仍是左零元。

4．解：可能。將人用結(jié)點(diǎn)表示，當(dāng)兩人是朋友時(shí)相應(yīng)結(jié)點(diǎn)間連一條邊，則得一個(gè)無向圖

G??V,E?，20人圍一桌，使每人鄰做都是朋友，即要找一個(gè)過每個(gè)點(diǎn)一次且僅

一次得回路。由題已知，?u,v?V,deg(u)?10,deg(v)?10，?deg(u)?deg(v)?20，由判定定理，G中存在一條漢密爾頓回路。即所談情況可能。

5．解：

原式??(P?Q)?R?(?P??Q)?R?(?P?R)?(?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R)?M100?M110?M

010

∴使公式?(?P?Q)?R的值為F的真值指派為：

?P:1

?

?Q:0?R:0?；

?P:1

?

?Q:1?R:0?；

?P:0

?

?Q:1?R:0?。

五、證明題：

1．證明：假設(shè)R不是反對稱的，則 ??x,y??R,性，∴ ?x,x??R 此與R反自反矛盾，∴R反對稱。

?y,x??R,x?y 由R的傳遞

2．證明：（1）設(shè)群?G,??的幺元為e，則?x?G有 x?e?e?x，∴e?H即H非空。（2）?a,b?H，則 ?x?G 有 a?x?x?a,b?x?x?b，從而

(a?b

?1)?x?(a?b

?1

?1?1)?x?(b?b

?1)

?a?(b?b)?x?b

?1

?(a?x)?b

?1

?1

?x?(a?b),?a?b?H

故 ?H,??是?G,??的子群。

3．解：設(shè)連通平面圖G有t個(gè)面：r1,r2,?,rt則有 v?e?r?2，deg(ri)?k,2k

?

tt

又有題意，deg(ri)?kt

i?1

又

e?

?deg(r)?2e

i

i?1，∴2e?kt，t?ev?e?

2k

e?2

kk?2

(v?2)

。從而，∴。

4．解：設(shè)P(x)：x喜歡美術(shù)，Q(x)：x喜歡體育，R(x)：x喜歡音樂。論域：人。

命題形式化為：前提：?x(P(x)??Q(x))，?x(Q(x)?R(x))，?x?R(x)結(jié)論：?x?P(x)。證明：（1）?x?R(x)P(2)?R(a)ES(1)(3)?x(Q(x)?R(x))P(4)Q(a)?R(a)US(4)(5)Q(a)T(2)(4)I(6)?x(P(x)??Q(x))P(7)P(a)??Q(a)US(6)(8)?P(a)T(5)(7)I(9)?x?P(x)EG(8)∴ 結(jié)論有效。

第二篇：離散數(shù)學(xué)試卷1（范文）

離散數(shù)學(xué)試題（1）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1．下列是兩個(gè)命題變元p，q的小項(xiàng)是（）

A．p∧┐p∧qB．┐p∨q

C．┐p∧qD．┐p∨p∨q

2．令p：今天下雪了，q：路滑，則命題“雖然今天下雪了，但是路不滑”可符號化為（）

A．p→┐q

C．p∧q

B．p∨┐q D．p∧┐q B．x+y=10 D．x mod 3=2 3．下列語句中是命題的只有（）A．1+1=10C．sinx+siny<0

4．下列等值式不正確的是（）

A．┐(?x)A?(?x)┐A

B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)

C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)

D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y)

5．謂詞公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量詞?x的轄域是（）

A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z))

B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z)

C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)

D．Q(x,z)

6．設(shè)R為實(shí)數(shù)集，函數(shù)f：R→R，f(x)=2x，則f是（）

A．滿射函數(shù)

C．雙射函數(shù)B．入射函數(shù) D．非入射非滿射

7．設(shè)A={a,b,c,d}，A上的等價(jià)關(guān)系R={,,,}∪IA，則對應(yīng)于R的A的劃

分是（）

A．{{a},{b,c},3i350bn}B．{{a,b},{c},u7xtnph}

C．{{a},,{c},z1ifntb}D．{{a,b},{c,d}}

8．設(shè)A={?}，B=P(P(A))，以下正確的式子是（）

A．{?,{?}}∈B

C．{{?},{{?}}}∈BB．{{?,?}}∈B D．{?,{{?}}}∈B

9．設(shè)X，Y，Z是集合，一是集合相對補(bǔ)運(yùn)算，下列等式不正確的是（）

A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)

B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y

C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)

D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)

10．設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算，稱Z是A上關(guān)于運(yùn)算*的零元，若（）

A．?x?A,有x*Z=Z*x=Z

B．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z

C．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=x

D．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z

離散數(shù)學(xué)試題（1）

11．在自然數(shù)集N上，下列定義的運(yùn)算中不可結(jié)合的只有（）

A．a(chǎn)*b=min(a,b)

B．a(chǎn)*b=a+b

C．a(chǎn)*b=GCD(a,b)(a,b的最大公約數(shù))

D．a(chǎn)*b=a(mod b)

12．設(shè)R為實(shí)數(shù)集，R={x|x∈R∧x>0}，*是數(shù)的乘法運(yùn)算，是一個(gè)群，則下列集

合關(guān)于數(shù)的乘法運(yùn)算構(gòu)成該群的子群的是（）

A．{R中的有理數(shù)}

+C．{R中的自然數(shù)}

A．是交換群 +++

B．{R中的無理數(shù)} D．{1，2，3} B．是加法群 D．*對?是可分配的 +13．設(shè)是環(huán)，則下列正確的是（）C．?對*是可分配的14．下列各圖不是歐拉圖的是（）

15．設(shè)G是連通平面圖，G中有6個(gè)頂點(diǎn)8條邊，則G的面的數(shù)目是（）

A．2個(gè)面B．3個(gè)面

C．4個(gè)面D．5個(gè)面

第二部分非選擇題（共85分）

二、填空題（本大題共10小題，每空1分，共20分）

請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．一公式為之充分必要條件是其析取范式之每一析取項(xiàng)中均必同時(shí)包含一命題變元及其否定；一公式為之充分必要條件是其合取范式之每一合取項(xiàng)中均必同時(shí)包含 一命題變元及其否定。

17．前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)?(QnVn)A，其中Qi(1≤i≤n)為，A為的謂詞公式。

18．設(shè)論域是{a,b,c}，則(?x)S(x)等價(jià)于命題公式；(?x)S(x)等價(jià)于命題公式。

19．設(shè)R為A上的關(guān)系，則R的自反閉包。

20．某集合A上的二元關(guān)系R具有對稱性，反對稱性，自反性和傳遞性，此關(guān)系R，其關(guān)系矩陣是。

21．設(shè)是一個(gè)偏序集，如果S中的任意兩個(gè)元素都有和，則稱S關(guān)于≤

構(gòu)成一個(gè)格。

22．設(shè)Z是整數(shù)集，在Z上定義二元運(yùn)算*為a*b=a+b+a·b，其中+和·是數(shù)的加法和乘法，則代數(shù)系統(tǒng)的幺元是，零元是。

23．如下平面圖有2個(gè)面R1和R2，其中deg(R1)=，deg(R2)=。

24．無向圖G具有一條歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G是。

25．在下圖中，結(jié)點(diǎn)v2的度數(shù)是，結(jié)點(diǎn)v5的度數(shù)是。

三、計(jì)算題（本大題共6小題，第26—27小題每小題4分，第28、30小題每小題5分，第29、31小題每小題6分，共30分）

26．（4分）求出從A={1,2}到B={x,y}的所有函數(shù)，并指出哪些是雙射函數(shù)，哪些是滿射函

數(shù)。

27．（4分）如果論域是集合{a,b,c}，試消去給定公式中的量詞：(?y)(?x)(x?y?0)。

28．（5分）設(shè)A={a,b,c }，P（A）是A的冪集，?是集合對稱差運(yùn)算。已知

是群。

在群

中，①找出其幺元。②找出任一元素的逆元。③求元素x使?jié)M足{a}?x=。

29．（6分）用等值演算法求公式┐(p→q)?

?(p→┐q)的主合取范式

30．（5分）畫出5個(gè)具有5個(gè)結(jié)點(diǎn)5條邊的非同構(gòu)的無向連通簡單圖。

31．（6分）在偏序集中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除關(guān)系，求集合D={2,3,4,6}的極大元，極小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。

四、證明題（本大題共3小題，第32~33小題每小題6分，第34小題8分，共20分）

32．（6分）用等值演算法證明((q∧s)→r)∧(s→(p∨r))?(s∧(p→q))→r

33．（6分）設(shè)n階無向樹G=中有m條邊，證明m=n-1。

34．（8分）設(shè)P={?,{1},{1,2},{1,2,3}}，?是集合P上的包含關(guān)系。

（1）證明：

是偏序集。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上證明

是全序集

五、應(yīng)用題(15分）

35．（9分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：每個(gè)在學(xué)校讀書的人都獲得知識。所以如

果沒有人獲得知識就沒有人在學(xué)校讀書。（個(gè)體域：所有人的集合）

第三篇：離散數(shù)學(xué)試卷

誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！華南理工大學(xué)期末考試 《離散數(shù)學(xué)》試卷A 注意事項(xiàng)：1.考前請將密封線內(nèi)填寫清楚；2.所有答案請直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共五大題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘

一、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24分)1．求合式公式?xP(x)→?xQ(x,y)的前束范式________________。2．設(shè)集合A={a, b, {a,b}, ?}, B = {{a,b}, ?}，求B-A=_____________． 3．設(shè)p與q的真值為0,r,s的真值為1則命題?(s?(q?(r??p)))?(r??p)的真值是__________.4．設(shè)R是在正整數(shù)集合Z?上如下定義的二元關(guān)系R???x,y(x,y??Z)?(x?y?1?，0)則它一共有個(gè)有序?qū)?，且有自反性、對稱性、傳遞性、反自反性和反對稱性各性質(zhì)中的性質(zhì)。5．公式?x(P(x)→Q(x,y))→S(x)中的自由變元為________________，約束變元為________________。6．設(shè)有命題T(x): x 是火車，C(x): x是汽車，Q(x, y): x跑得比y快，那么命題“有的汽車比一些火車跑得快”的邏輯表達(dá)式是______________________.7．設(shè)G是n階m條邊的無向圖，若G連通且m=__________則G是無向樹.8．設(shè)X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，則f-1?g=________________，g?f=________________。9.不能再分解的命題稱為________________，至少包含一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的命題稱為《離散數(shù)學(xué)》試卷A

________________．

10.連通無向圖G含有歐拉回路的充分必要條件是 11．設(shè)集合A={?,{a}}，則A的冪集P(A，|P(A)|=_____________________________。

12.設(shè)G = , G’ = 為兩個(gè)圖(同為無向圖或有向圖), 若E’ ? E且_______________, 則稱G’是G的子圖, 若E’ ? E且_______________, 則稱G’是G的生成子圖。

二、單選題(本大題共12小題，每小題2分，共26分)

1．下列命題公式為重言式的是（）

A.(p∨┐p)→q．B．p→(p∨q)C．q∧┐qD．(p→?p)→?q

2．下列語句中為命題的是()

A．你好嗎？

B．人有6指.C．我所說的是假的.D．明天是晴天.3.設(shè)D=為有向圖，V={a, b, c, d, e, f}, E={, , , ,}是（）

A．強(qiáng)連通圖

C．弱連通圖 B．單向連通圖 D．不連通圖

4．集合A＝{a，b，c}上的下列關(guān)系矩陣中符合偏序關(guān)系條件的是()

?10

1?011A．?

?001

??1100??101??101??111??0? B．?010?C．?110?D．?010? ??????1??????101???001???011??1?

5．設(shè)A={1，2，3}，A上二元關(guān)系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，則S是（）

A．自反關(guān)系 B．傳遞關(guān)系C．對稱關(guān)系D． 反自反關(guān)系

6.設(shè)A={a,b,c,d}，A上的等價(jià)關(guān)系R={, , , }∪IA，則對應(yīng)于R的A的劃分是（）

A．{{a},{b, c},rczl2os}

C．{{a},,{c},ion2pz6} B．{{a, b},{c}, zfi30kp} D．{{a, b}, {c,d}}

7.以下非負(fù)整數(shù)列可簡單圖化為一個(gè)歐拉圖的是()

A.{2, 2, 2, 2, 0}B.{4, 2, 6, 2, 2}

C.{2, 2, 3, 4, 1}D.{4, 2, 2, 4, 2}

8.設(shè)論域D＝{a，b }，與公式?xA(x)等價(jià)的命題公式是()

A．A(a)∧A(b)B．A(a)→A(b)C．A(a)∨A(b)D．A(b)→A(a)

9.一棵樹有3個(gè)4度頂點(diǎn)，4個(gè)2度頂點(diǎn)其余都是樹葉，求這棵樹有多少個(gè)樹葉頂點(diǎn)()

A.12B.8C.10D.1

310.有ABC三個(gè)人猜測甲乙丙三個(gè)球隊(duì)中的冠軍.各人的猜測如下:

A: 冠軍不是甲,也不是乙.B: 冠軍不是甲,而是丙.C: 冠軍不是丙,而是甲.已知其中有一個(gè)人說的完全正確.一個(gè)人說的都不對,而另外一人恰有一半說對了.據(jù)此推算,冠軍應(yīng)該是()

A．甲B.乙C.丙D.不確定

11．如第11題圖所示各圖，其中存在哈密頓回路的圖是()

12．設(shè)C(x): x是國家級運(yùn)動員，G(x): x是健壯的，則命題“沒有一個(gè)國家級運(yùn)動員不是健壯的”可符號化為()

(A)??x(C(x)??G(x))(B)??x(C(x)??G(x))

(C)??x(C(x)??G(x))(D)??x(C(x)??G(x))

三．計(jì)算題(30分)

1．用等值演算法求取求下列公式：(?P?Q)?(P∨?Q)的合取范式（5分）

2．圖G如下圖所示，求圖G的最小生成樹.（5分）

3．有向圖D如圖所示，求D的關(guān)聯(lián)矩陣M(D)（5分）

4.化簡表達(dá)式(((A?(B?C))?

A)?(B?(B?A)))?(C?A)（7分）

5．設(shè)R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)和s(R)，并作出它們及R的關(guān)系圖(8分)

五．證明題(22分)

1．構(gòu)造下面推理的證明(5分)

前提：p?q，p??r，s?t，?s?r，?t

結(jié)論：q

2．設(shè)A={1, 2, 3, 4}, 在A?A定義的二元關(guān)系R，??u,v?,?x,y??A?A, uRxuy +xv

證明R是A?A上的等價(jià)關(guān)系。(5分)

3．已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)（6分）

4． 無向圖G = ，且|V|=n, |E|=m, 試證明以下兩個(gè)命題是等價(jià)命題

1）G中每對頂點(diǎn)間具有唯一的通路，2）G連通且n=m+1。（6分）

第四篇：離散數(shù)學(xué)試題與答案

《離散數(shù)學(xué)》試題及答案

一、選擇題：本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.命題公式(P?Q)?Q為()

(A)矛盾式(B)可滿足式(C)重言式(D)合取范式

2．設(shè)P表示“天下大雨”，Q表示“他在室內(nèi)運(yùn)動”，則命題“除非天下大雨，否則他不在室內(nèi)運(yùn)動”符號化為（）。

(A)． P?Q；(B)．P?Q；(C)．?P??Q；(D)．?P?Q．

3.設(shè)集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，則下式為真的是()

(A)1?A(B){1,2, 3}?A

(C){{4,5}}?A(D)??A

4.設(shè)A＝{1,2},B={a,b,c},C={c,d}, 則A×(B?C)=()

(A){<1,c>,<2,c>}(B){,<2,c>}(C){,}(D){<1,c>,}

5.設(shè)G如右圖：那么G不是().(A)哈密頓圖；(B)完全圖；

(C)歐拉圖；(D)平面圖.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20

6.設(shè)集合A={?,{a}}，則A的冪集P(A7.設(shè)集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的關(guān)系R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B},那么R1＝－

8.在“同學(xué)，老鄉(xiāng)，親戚，朋友”四個(gè)關(guān)系中_______是等價(jià)關(guān)系.9.寫出一個(gè)不含“?”的邏輯聯(lián)結(jié)詞的完備集.10.設(shè)X＝{a,b,c}，R是X上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣為

?101??，那么R的關(guān)系圖為 MR＝?100????100??

三、證明題（共30分）

11.（10分）已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

12.（10分）構(gòu)造證明：(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S

（0,1）13.（10分）證明與[0,1)，[0,1)與[0,1]等勢。

四、解答題(共35分)

14.（7分）構(gòu)造三階幻方（以1為首項(xiàng)的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)正好布滿一個(gè)3?3方陣，且方陣中的每一行, 每一列及主、副對角線上的各數(shù)之和都相等.）

15.（8分）求命題公式(P?Q)?(?P??Q)的真值表.16.（10分）設(shè)R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元關(guān)系，R2是A2到A3＝{?,?}的二元關(guān)系，R1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R2={,}

畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷

求R1?R2的集合表達(dá)式.17.（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？

三個(gè)條件：(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)

1.B2.C3.C4.A5.B

二、填空題(每小題4分，共20分)

6.{?,{?},{{a}},{?,{a}}}

7.{<6,3>,<8,4> }8.老鄉(xiāng)

9.{?,?}或{?,?} 或 {?}或 {?}

10.見

f(0)?0??111?························································································ 10分 ,n?1,?A ·?f()?n?1n?n

??f(x)?x,x?[0,1)?A

14.85 1 2 7 6

填對每個(gè)格得1分。

15.表中最后一列的數(shù)中，每對1個(gè)數(shù)得2分.?110?16.MR1???,(2分)001??

MR2?01??(4分)??01????00??

?01??01???01?(6分)???00?????00???110? MR1?R2????001?

R1?R2?{?1,??}(10分)

17.解設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?2分 因此(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))

?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)

?T ··································································································································· 8分

畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷

故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?10分

畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷

第五篇：離散數(shù)學(xué)考試試題(A卷及答案)

離散數(shù)學(xué)考試試題（A卷及答案）

一、（10分）判斷下列公式的類型（永真式、永假式、可滿足式）？ 1)((P?Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q)2)?((Q?P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)?R)?((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可滿足式。

二、（8分）個(gè)體域?yàn)閧1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。

解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））

?（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））?（0∨0）∧（0∨1）?1∧1?0

三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元關(guān)系數(shù)是多少？A到B的函數(shù)數(shù)是多少？

解：因?yàn)閨P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元關(guān)系有2mn個(gè)。因?yàn)閨BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函數(shù)mn個(gè)。

四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>} t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}

五、(10分)75個(gè)兒童到公園游樂場，他們在那里可以騎旋轉(zhuǎn)木馬，坐滑行鐵道，乘宇宙飛船，已知其中20人這三種東西都乘過，其中55人至少乘坐過其中的兩種。若每樣乘坐一次的費(fèi)用是0.5元，公園游樂場總共收入70元，求有多少兒童沒有乘坐過其中任何一種。

解 設(shè)A、B、C分別表示騎旋轉(zhuǎn)木馬、坐滑行鐵道、乘宇宙飛船的兒童組成的集合，|A∩B∩C|＝20，|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|＝55，|A|＋|B|＋|C|＝70/0.5＝140。

由容斥原理，得

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|＋|A∩B∩C| 所以

|A∩B∩C|＝75－|A∪B∪C|＝75－(|A|＋|B|＋|C|)＋(|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|)＋|A∩B∩C|＝75－140＋55＋20＝10 沒有乘坐過其中任何一種的兒童共10人。

六、（12分）已知R和S是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，試證：1）R∩S是A上的等價(jià)關(guān)系；2）對a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：?x∈A，因?yàn)镽和S是自反關(guān)系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反的。

?x、y∈A，若∈R∩S，則∈R、∈S，因?yàn)镽和S是對稱關(guān)系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是對稱的。?x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，則∈R、∈S且∈R、∈S，因?yàn)镽和S是傳遞的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是傳遞的。

總之R∩S是等價(jià)關(guān)系。

2）因?yàn)閤∈[a]R∩S?∈R∩S?∈R∧∈S? x∈[a]R∧x∈[a]S? x∈[a]R∩[a]S 所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

七（10分）設(shè)A、B、C、D是集合，f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，令h：A×C?B×D且?∈A×C，h()＝。證明h是雙射。

證明：1）先證h是滿射。

?∈B×D，則b∈B，d∈D，因?yàn)閒是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()＝＝，所以h是滿射。

2）再證h是單射。

?、∈A×C，若h()＝h()，則＝，所以f(a1)＝f(a2)，g(c1)＝g(c2)，因?yàn)閒是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是單射。綜合1）和2），h是雙射。

八、（12分）是個(gè)群，u∈G，定義G中的運(yùn)算“?”為a?b=a*u-1*b，對任意a,b∈G，求證：也是個(gè)群。

證明：1）?a,b∈G，a?b=a*u-1*b∈G，運(yùn)算是封閉的。

2）?a,b,c∈G，（a?b）?c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a?（b?c），運(yùn)算是可結(jié)合的。3）?a∈G，設(shè)E為?的單位元，則a?E=a*u-1*E=a，得E=u，存在單位元。

4）?a∈G，a?x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，則x?a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每個(gè)元素都有逆元。所以也是個(gè)群。

九、（10分）已知：D=，V={1,2,3,4,5}，E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,4>,<3,5>,<5,1>}，求D的鄰接距陣A和可達(dá)距陣P。

解：D的鄰接距陣A和可達(dá)距陣P如下：

A= 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0

P= 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

十、（10分）求葉的權(quán)分別為2、4、6、8、10、12、14的最優(yōu)二叉樹及其權(quán)。

解：最優(yōu)二叉樹為

權(quán)＝148

離散數(shù)學(xué)考試試題（B卷及答案）

一、（10分）求命題公式?(P∧Q)??(?P?R)的主合取范式。

解：?(P∧Q)??(?P?R)?（?(P∧Q)??(?P?R)）∧（?(?P?R)??(P∧Q)）?（(P∧Q)∨(?P∧?R)）∧（(P∨R)∨(?P∨?Q)）?(P∧Q)∨(?P∧?R)?(P∨?R)∧（Q∨?P）∧（Q∨?R）

?(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)∧（?P∨Q∨R）∧（?P∨Q∨?R）?M1∧M3∧M4∧M5

二、（8分）敘述并證明蘇格拉底三段論

解：所有人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。符號化：F（x）：x是一個(gè)人。G（x）：x要死的。A：蘇格拉底。命題符號化為?x（F（x）?G（x）），F(xiàn)（a）?G（a）證明：

（1）?x(F(x)?G(x))P（2）F(a)?G(a)T(1),US（3）F(a)P（4）G(a)T(2)(3),I

三、（8分）已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)證明：∵x? A∩（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）

? x? A∧（x?B∨x?C）

?（x? A∧x?B）∨（x? A∧x?C）? x?（A∩B）∨x? A∩C ? x?（A∩B）∪（A∩C）

∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，試證：1）R∩S是A上的等價(jià)關(guān)系；2）對a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：?x∈A，因?yàn)镽和S是自反關(guān)系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反的。

?x、y∈A，若∈R∩S，則∈R、∈S，因?yàn)镽和S是對稱關(guān)系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是對稱的。

?x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，則∈R、∈S且∈R、∈S，因?yàn)镽和S是傳遞的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是傳遞的。

總之R∩S是等價(jià)關(guān)系。

2）因?yàn)閤∈[a]R∩S?∈R∩S?

∈R∧∈S? x∈[a]R∧x∈[a]S? x∈[a]R∩[a]S 所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、(10分)設(shè)A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{，，，，，，，} s(R)＝R∪R＝{，，，，，} R＝{，，，} R＝{，，，} R＝{，，，}＝R

t(R)＝?R＝{，，，，，，，，} i?1?i

4232-

1六、(15分)設(shè)A、B、C、D是集合，f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，令h：A×C?B×D且?∈A×C，h()＝。證明h是雙射。

證明：1）先證h是滿射。

?∈B×D，則b∈B，d∈D，因?yàn)閒是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()＝＝，所以h是滿射。

2）再證h是單射。

?、∈A×C，若h()＝h()，則＝，所以f(a1)＝f(a2)，g(c1)＝g(c2)，因?yàn)閒是A到B的雙射，g是C到D的雙射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是單射。

綜合1）和2），h是雙射。

七、(12分)設(shè)是群，H是G的非空子集，證明是的子群的充要條件是若a，b?H，則有a*b?H。

證明：? ?a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。??a∈H，則e=a*a∈H-1-

1-1-1a=e*a∈H ∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*（b）∈H ∵H?G且H≠?,∴*在H上滿足結(jié)合律 ∴是的子群。

八、（10分）設(shè)G=是簡單的無向平面圖，證明G至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)小于等于5。

解：設(shè)G的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)都大于等于6，則2|E|=?d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，與簡單無向平面圖-

1-1

-1-1-1的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)小于等于5。九.G=,A={a,b,c},*的運(yùn)算表為：(寫過程，7分)

（1）G是否為阿貝爾群？

（2）找出G的單位元；（3）找出G的冪等元（4）求b的逆元和c的逆元 解：（1）(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c)(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)(b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c)所以G是阿貝爾群

（2）因?yàn)閍*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的單位元是a（3）因?yàn)閍*a=a 所以G的冪等元是a（4）因?yàn)閎*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b

十、(10分)求葉的權(quán)分別為2、4、6、8、10、12、14的最優(yōu)二叉樹及其權(quán)。

解：最優(yōu)二叉樹為

權(quán)＝148 5