第一篇：專題：不等式的證明——反證法

專題：不等式的證明問題 ——反證法

反證法證明不等式 ? 方法介紹：

從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理導(dǎo)出矛盾，證實(shí)否定的結(jié)論是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的。? 規(guī)律點(diǎn)撥：

① 必須先否定結(jié)論，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，要分類討論各種可能的情況。

② 否定結(jié)論之后，必須要從否定的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾。

③ 推導(dǎo)出的矛盾多種多樣?？赡芘c已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與公理事實(shí)相矛盾等等。動筆前先審視題目中可能利用的矛盾類型，可以令思路更清晰。

④ 當(dāng)結(jié)論是：“都是。?！?、“都不是。。”、“至少。。”、“至多。?！钡刃问綍r常用反證法。? 典型題例

1.設(shè)a，b，c?R，且a?b?c?0，ab?bc?ac?0，abc?0。求證：

1?ba、1?ab

中至少有一個小于2。

4.已知a、b、c?(0,1)，求證：

(1?a)b、(1?b)c、(1?c)a不能同時大于1/4.5.a，b，c?R，求證：

a?2c、b?2a、c?2b三個式子中至

少有一個不小于?1。

a，b，c均大于零。

2.設(shè)

f(x)?x?px?q(p,q?R)

證明：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個不小于1/2。

3.已知a?0，b?0且a?b?2，求證：學(xué)林家教

八年家教經(jīng)驗(yàn)、一流的專職老師授課一個月單科成績提高10-15分

先上課，滿意輔導(dǎo)質(zhì)量再收費(fèi)三個月幫助改善學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率

***（黃老師）

第二篇：用反證法證明不等式

用反證法證明不等式

一、反證法的含義

反證法是指“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果．這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立．”這種證明的方法，叫做反證法．

二、反證法的嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)證明方法可分為直接證法和間接證法，從原命題所給的條件出發(fā)，根據(jù)已有的公理、定義、法則、公式，通過一系列的推理，一直推到所要證明的命題的結(jié)論，這種證法叫做直接證法．有些命題不易用直接證法去證明，這時可通過證明它的等價命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法．?dāng)?shù)學(xué)中常用的間接證法有反證法．

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題的．

三、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1、假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

2、從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3、由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．

即：提出假設(shè)——推出矛盾——肯定結(jié)論．

四、反證法的分類

反證法中有歸謬法和窮舉法兩種．

原命題的結(jié)論的否定只有一種情況，只要把這種情況推翻，就可以肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法；如果原命題的結(jié)論的否定不止一種情況，那么就必須把這幾種情況一一否定，才能肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法．

五、反證法中常見的矛盾形式

（1）與已知條件即題設(shè)矛盾；

（2）與假設(shè)即反設(shè)矛盾；

（3）與已知的定義、公理和定理矛盾，即得出一個恒假命題；`

（4）自相矛盾．

六、反證法的適用范圍

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；

（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時；

（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時；

（6）關(guān)于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時，其反面常會較多、較具體、較容易．

反證法有進(jìn)也用于整個命題論證過程的某個局部環(huán)節(jié)上．

七、用反證法證明不等式舉例

例 已知、、、，且

.求證：、、、中至少有一個是負(fù)數(shù).選題意圖：本題考查利用反證法證明不等式.證明：假設(shè)、、、都是非負(fù)數(shù)，∵

∴

又

∴

這與已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一個是負(fù)數(shù).

第三篇：放縮法、反證法證明不等式10

放縮法、反證法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)：

掌握放縮法和反證法證明不等式 教學(xué)難點(diǎn)：

放縮法和反證法 教學(xué)過程：

一、簡要回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾種不等式證明的方法

提出課題：放縮法與反證法

二、放縮法： 例

一、若a, b, c, d?R+，求證：1?證：記m =

abcd????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c∵a, b, c, d?R+

∴m?abcd????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?cabcd????2 a?ba?bc?dd?c

∴1 < m < 2

即原式成立

m?例

二、當(dāng) n > 2 時，求證：logn(n?1)logn(n?1)?

1證：∵n > 2

∴l(xiāng)ogn(n?1)?0,logn(n?1)?0

?logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)? ∴l(xiāng)ogn(n?1)logn(n?1)???

???22????2?log?nn????1

2??22

2∴n > 2時, logn(n?1)logn(n?1)?1 例

三、求證：

證：

∴1111??????2 122232n21111??? n2n(n?1)n?1n1111111111??????1?1????????2??2 2222223n?1nn123n

三、反證法：

1例

四、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

4111證：設(shè)(1 ? a)b >,(1 ? b)c >,(1 ? c)a >, 4441則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

①

641?(1?a)?a?又∵0 < a, b, c < 1

∴0?(1?a)a?? ??24??同理：(1?b)b?11,(1?c)c? 4

與①矛盾 642以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤∴原式成立

例

五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0

證：設(shè)a < 0，∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 則b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc < 0

與題設(shè)矛盾

又：若a = 0，則與abc > 0矛盾，∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0

四、作業(yè)：證明下列不等式：

1． 設(shè)x > 0, y > 0,a?2． lg9?lg11 < 1

x?yxy?, b?，求證：a < b

1?x?y1?x1?y3．logn(n?1)logn(n?1)?1

114???0 a?bb?cc?a1111????2?1(n?R?,n?2)5．?nn?1n?2n1111?????1 6．?2n?1n?22n7．設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b,不可能同時大于1 4．若a > b > c, 則8．若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個小于2 xy

第四篇：證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

§4.2.3證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

能熟練運(yùn)用反證法與放縮法來證明不等式。

【新知探究】

1．反證法的一般步驟：反設(shè)——推理——導(dǎo)出矛盾（得出結(jié)論）；

2．放縮法：欲證A?B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個或多個中間量使得，要注意放縮的適度，B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）

常用的方法是：①舍去或加上一些項(xiàng)；②將分子或分母放大（或縮?。?/p>

??

??

1n2?1n(n?1);1

n2?1n(n?1)

【自我檢測】

1．設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個實(shí)數(shù)大于1”的條件是____________.2．A?1????

?n?N?)的大小關(guān)系是．

【典型例題】

例1.已知x,y?0,且x?y?2,求證：

變式訓(xùn)練：若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時大于

–“學(xué)海無涯苦作舟，書山有路勤為徑” 1?x1?y中至少一個小于2。,yx1

4例2.已知實(shí)數(shù)a,b,c，a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?0,求證：a?0,b?0,c?0.變式訓(xùn)練：課本P29頁，習(xí)題2.3第4題 例3.已知a,b,c?R?,求證1?aa?b?d?b

b?c?a?c

c?b?d?d

d?a?c?2.變式訓(xùn)練：

x?y

1?x?y

32設(shè)x?0、y?0，A?例4．求證：1?

122,B?1n2x1?x?y1?y，則A、B大小關(guān)系為________。???????2(n?N)

例5．已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于 12。

–“天下事，必作于細(xì)”

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時則有神奇的功效。