2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)

學(xué)（文史類）（福建卷）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},則A∩B等于

A.{x|0＜x＜1}

B.{x|0＜x＜3}

C.{x|1＜x＜3}

D.￠

（2）“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

（3）設(shè)|an|是等左數(shù)列，若a2=3,a1=13,則數(shù)列{an}前8項的和為

A.128

B.80

C.64

D.56

（4）函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2,則f(-a)的值為

A.3

B.0

C.-1

D.-2

(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是

A.B.C.D.(6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為

A.B.C.D.（7）函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為

A.-sinx

B.sinx

C.-cosx

D.cosx

(8)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+c2-b2ac,則角B的值為

A.B.C.或

D.或

(9)某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為

A.14

B.24

C.28

D.48

(10)若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是

A.（0，2）

B.（0，2）

C.(2,+∞)

D.[2，+∞)

（11）如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么

導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能是

（12）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PE2|，則雙曲線離心率的取值范圍為

A.（1，3）

B.（1，3）

C.（3，+∞）

D.[3，+∞]

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.（13）（x+）9展開式中x2的系數(shù)是

.（用數(shù)字作答）

（14）若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是

.（15）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是

.（16）設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題：

①數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；

②整數(shù)集是數(shù)域；

③若有理數(shù)集QM,則數(shù)集M必為數(shù)域;

④數(shù)域必為無限集.其中正確的命題的序號是

.（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）

已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值；

(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域.（18）（本小題滿分12分）

三人獨立破譯同一份密碼.已知三人各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響.(Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率；

(Ⅱ)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.（19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.（20）（本小題滿分12分）

已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+，求證：bn

·bn+2＜b2n+1.(21)（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象過點（-1，-6），且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.(22)（本小題滿分14分）

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值.2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)

學(xué)（文史類）（福建卷）參考答案

一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.（1）A

（2）C

(3)C

(4)B

(5)C

(6)D

（7）A

（8）A

(9)A

(10)D

(11)A

(12)B

二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.（13）84

（14）（15）9（16）①④

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等基本知識，考查運(yùn)算能力，滿分12分.解：（Ⅰ）由題意得

m·n=sinA-2cosA=0,因為cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因為xR,所以.當(dāng)時，f(x)有最大值，當(dāng)sinx=-1時，f(x)有最小值-3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是

（18）本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.滿分12分.解：記“第i個人破譯出密碼”為事件A1(i=1,2,3)，依題意有

且A1，A2，A3相互獨立.（Ⅰ）設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有

B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3

彼此互斥

于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）

＝

＝.答：恰好二人破譯出密碼的概率為.（Ⅱ）設(shè)“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D.D＝··，且，互相獨立，則有

P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.（19）本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以O(shè)B＝，在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=

設(shè)點A到平面PCD的距離h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：

（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，（Ⅲ）設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），則　　n·＝0，所以-x0+

x0=0,n·＝0，-x0+

y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).又=(1,1,0).從而點A到平面PCD的距離d＝

（20）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查推理與運(yùn)算能力.滿分12分.解法一：

（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2n-1+2n-2+···+2+1

＝=2n-1.因為bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：

（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因為b2=1,bn·bn+2-

b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-

b

=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1

＝2n（bn+1-2n+1）

=2n（bn+2n-2n+1）

=2n（bn-2n）

=…

=2n（b1-2）

=-2n〈0，所以bn-bn+2

（21）本小題主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.解：（1）由函數(shù)f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n=-3,……①

由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;

而g(x)圖象關(guān)于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0

X

(-∞.0)

0

(0,2)

(2,+

∞)

f′(x)

+

0

－

0

＋

f(x)

極大值

極小值

由此可得：

當(dāng)0

當(dāng)a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無極值；

當(dāng)1

當(dāng)a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無極值.綜上得：當(dāng)0

（Ⅰ）由題設(shè)a=2,c=1,從而b2=a2-c2=3,所以橢圓C前方程為.(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),=1.……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.設(shè)M(x0,y0),則有

n(x0-1)-(m-1)y0=0,……②

n(x0-4)+(m-4)y0=0,……③

由②，③得

x0=.所以點M恒在橢圓G上.(ⅱ)設(shè)AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.設(shè)A(x1,y1),M（x2，y2），則有：y1+y2=

|y1-y2|=

令3t2+4=λ(λ≥4),則

|y1-y2|＝

因為λ≥4，0<

|y1-y2|有最大值3，此時AM過點F.△AMN的面積S△AMN=

解法二：

（Ⅰ）問解法一：

（Ⅱ）（?。┯深}意得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0,……②

n(x-4)-(m-4)y=0,……③

由②，③得：當(dāng)≠.……④

由④代入①，得=1（y≠0）.當(dāng)x=時，由②，③得：

解得與a≠0矛盾.所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.（Ⅱ）同解法一.