2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

第I卷（共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

（1）“”是“”的（）

Ａ．充分而不必要條件

Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件

Ｄ．既不充分也不必要條件

【答案】：A

【分析】：由可得,可得到,但得不到.故選A.（2）若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：由由

故選D.（3）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：D

【分析】：解法一(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為(2-x,y)

在直線上,化簡得故選答案D.解法二：根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線選答案D.（4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪

都能噴灑到水．假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】B

【分析】：因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36π，正方形面積為256,故至少三個(gè)龍頭。

由于，故三個(gè)龍頭肯定不能

保證整個(gè)草坪能噴灑到水。當(dāng)用四個(gè)

龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)小正方形，同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心，由于，故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水。

（5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）

A．

B．

C．

D，【答案】：A

【分析】：由又

故選A.（6）若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）

Ａ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行

Ｂ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直

Ｃ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交

Ｄ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面

【答案】：B

【分析】：設(shè)過點(diǎn)P的直線為，若與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

由于l、m只有惟一的公垂線，而過點(diǎn)P與

公垂線平行的直線只有一條，故B正確。

對(duì)于選項(xiàng)C、D可參考右圖的正方體，設(shè)AD為直線l，為直線m;

若點(diǎn)P在P1點(diǎn)，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

若P在P2點(diǎn)，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

（7）若非零向量滿足，則（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：C

【分析】：

由于是非零向量，則必有故上式中等號(hào)不成立。

∴。故選C.（8）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：檢驗(yàn)易知A、B、C均適合，D中不管哪個(gè)為均不成立。

（9）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：B

【分析】：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn).在中，又,化簡得,故選答案B

（10）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：C

【分析】：要的值域是，則又是二次函數(shù)，定義域連續(xù)，故不可能同時(shí)結(jié)合選項(xiàng)只能選C.第II卷（共100分）

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

（11）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)

．

【答案】：

【分析】：

（12）已知，且，則的值是

．

【答案】：

【分析】：本題只需將已知式兩邊平方即可?！?/p>

∴兩邊平方得：，即，∴

.（13）不等式的解集是

．

【答案】：

【分析】：

（14）某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志

（每種至多買一本，10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是

（用數(shù)字作答）．

【答案】：266

【分析】：根據(jù)題意，可有以下兩種情況：①用10元錢買2元1本共有

②用10元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有

故210+56=266.（15）隨機(jī)變量的分布列如下：

其中成等差數(shù)列，若則的值是

．

【答案】：

【分析】：成等差數(shù)列，有

聯(lián)立三式得

（16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且．若對(duì)于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是

．

【答案】：

【分析】：設(shè)直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只

有作于H,則面,故為.（17）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是

．

【答案】：

【分析】：作圖易知,設(shè)若不成立;

故當(dāng)且斜率大于等于時(shí)方成立.三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（18）（本題14分）已知的周長為，且．

（I）求邊的長；

（II）若的面積為，求角的度數(shù)．

解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得．

（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以．

（第19題）

（19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．

方法一：

（I）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以．

又平面，所以．

（II）解：過點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點(diǎn)，連結(jié)，．是直線和平面所成的角．

因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槠矫?，所以，則平面，因此．

設(shè)，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，所以，，得是直角三角形，其中，所以．

在中，所以，故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，．，．

（I）證明：因?yàn)?，所以，故?/p>

（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，即，．

因?yàn)椋?，即，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是．

（第20題）

（20）（本題14分）如圖，直線與橢圓

交于兩點(diǎn)，記的面積為．

（I）求在，的條件下，的最大值；

（II）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程．

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，．

②

設(shè)到的距離為，則，又因?yàn)椋?，代入②式并整理，得，解得，代入①式檢驗(yàn)，故直線的方程是

或或，或．

（21）（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．

（I）求，，；

（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）記，求證：．

本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分15分．

（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，所以．

（II）解：

．

（III）證明：，所以，．當(dāng)時(shí)，，同時(shí)，．

綜上，當(dāng)時(shí)，．

（22）（本題15分）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；

（Ⅲ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力．滿分15分．

（I）解：．由，得．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對(duì)任意固定的，令，則，由，得．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，時(shí)，，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立．

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使

對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，①

又因?yàn)椋坏仁舰俪闪⒌某浞直匾獥l件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．