2020年高三年級第一次診斷性測試

文科數(shù)學(xué)

（卷面分值：150分

考試時間：120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的第Ⅰ卷（選擇題

共60分）

1.設(shè)集合，則

2.若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則

3.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是

若，則

若，則

若，且，則

若，且，則

4.設(shè)，，則有

5.已知向量，且，則

6.已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為，為虛軸的一個端點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為

7.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的8.從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中隨機(jī)選擇兩個不同的數(shù)字，則它們之和為偶數(shù)的概率為

9.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，若，則

10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于說法正確的是

最大值為1，圖象關(guān)于直線對稱

在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)

在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

周期是，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

11.已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)P在拋物線上，且，延長PF交C于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為

12.已知函數(shù)，若對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分

13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_______

14.已知，為銳角，則_______

15.已知數(shù)列滿足：（），若，則____

16.如圖，已知正方體的棱長為2，E、F、G分別為AB、AD、的中點(diǎn)，給出下列命題：

①異面直線EF與AG所成的角的余弦值為；

②過點(diǎn)E、F、G作正方體的截面，所得的截面的面積是；

③平面

④三棱錐的體積為1

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過計(jì)算步驟

17.△ABC的內(nèi)角的對邊分別是，且

（Ⅰ）求∠C的值

（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值；

18.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M為PD的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：CM//平面PAB

（Ⅱ）若△PBD是邊長為2的等邊三角形，求點(diǎn)C到平面PBD的距離

19.“團(tuán)購”已經(jīng)滲透到我們每個人的生活，這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展，下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務(wù)量（億件：精確到0.1）及其增長速度（%）的數(shù)據(jù)

（Ⅰ）試計(jì)算2012年的快遞業(yè)務(wù)量；

（Ⅱ）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現(xiàn)已知與t具有線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于t的回歸直線方程；

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業(yè)務(wù)量

附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計(jì)公式分別為：，20.已知橢圓C：過點(diǎn)，左焦點(diǎn)F

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線與橢圓C交于PQ兩點(diǎn)（P點(diǎn)在軸上方），若△的面積與△的面積之比為2：3，求直線的方程

21.已知函數(shù)

（Ⅰ）若時，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍

選考題：共10分，二選一

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），其中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系。

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）設(shè)，的極坐標(biāo)方程，A，B分別為直線與曲線異于原點(diǎn)的公共點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的斜率；

23.函數(shù)

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值為，且實(shí)數(shù)滿足，求證：