第一篇：高中函數(shù)應(yīng)用題模型全總結(jié)

高中函數(shù)應(yīng)用題模型全總結(jié)

函數(shù)應(yīng)用題主要有以下幾種常見模型：

1.一次函數(shù)模型

例1某家報刊售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.5元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社。在一個月（30天）里，有20天每天可以賣出400份，其余每天只能賣出250份。設(shè)每天從報社買進的報紙的數(shù)量相同，則每天應(yīng)從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算該銷售點一 個月最多可賺多少元？

2二次函數(shù)模型

例2某工廠生產(chǎn)的商品A，若每件定價為80元，則每年可銷售80萬件，政府稅務(wù)部門對市場銷售的商品A要征收附加稅，為增加國家收入又要有利于生產(chǎn)發(fā)展，必須合理確定稅率，根據(jù)市場調(diào)查，若政府對商品A征收附加稅率為p%時，每年銷售額將減少10p萬件。據(jù)此，試問：（1）若稅務(wù)部門對商品A征收的稅金不少于96萬元，求p的范圍；（2）若稅務(wù)部門僅僅考慮每年所獲得的稅金最高，求此時p的值。

3指數(shù)函數(shù)模型

例3某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：（1）寫出該城市人口總數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；（2）計算10年以后該城市人口總數(shù)（精確到0.1萬人）；（3）計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人（精確到1年）；（4）如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年增長率應(yīng)該控制在多少？

第二篇：應(yīng)用題模型

學習內(nèi)容和要求：

1、了解一元一次方程這條內(nèi)容的知識系統(tǒng)，理解等式、方程、方程的解、解方程、一元一次方程的標準形式和解的情況

2、掌握解一元一次方程的方法步驟

3、掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

4、認識到用代數(shù)方法解決數(shù)字問題的優(yōu)越性。

學習重點：有關(guān)一元一次方程的概念及解一元一次方程的基本方法

學習難點：靈活運用解方程的變形步驟及解應(yīng)用題

1、行程問題：

[解題指導]

（1）行程問題中的三個基本量及其關(guān)系： 路程=速度×時間。

（2）基本類型有

1）相遇問題；

2）追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。

（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。

例1：甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。

（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？

（2）兩車同時開出，相背而兩車相距600公

（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向

（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車行多少小時后里？

而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ 的后面，多少小時后快車追上慢車？

（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？

此題關(guān)鍵是要理解清楚相向.相背.同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。

（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：

等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。

解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480

解這個方程，230x=390

∴ x=1

答：快車開出1 小時兩車相遇。

（2）分析：相背而行，畫圖表示為：

等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。

解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600

解這個方程，230x=120

∴ x=

答：

車相距600公

解：設(shè)x

由題意得，(140-90)x+480=600

小時后兩

里。

（3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程-慢車所走路程+480公里=600公里。

小時后兩車相距600公里，50x=120

∴ x=2.4

答：2.4小時后兩車相距600公里。

（4）分析；追及問題，畫圖表示為：

等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。

解：設(shè)x小時后快車追上慢車。

由題意得，140x=90x+480

解這個方程，50x=480

∴ x=9.6

答：9.6小時后快車追上慢車。

（5）分析：追及問題，相等關(guān)系與（4）類似。

解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。

由題意得，140x=90(x+1)+480

50x=570

∴ x=11.4

答：快車開出11.4小時后追上慢車。

例2：甲、乙二人同時從A地去往相距51千米的B地，甲騎車，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍還多1千米/時，甲到達B地后停留1小時，然后從B地返回A地，在途中遇見乙，這時距他們出發(fā)的時間恰好6個小時，求二人速度各是多少？

分析：本題屬于相遇問題，用圖表示（甲用實線，乙用虛線表示）。注意：甲在B地還停留1

等量關(guān)系為：甲走路程+乙走路程=51×2。

解：設(shè)乙速為x千米/小時，則甲速為(3x+1)千米/小時，小時。A、B兩地相距51千米。

由題意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2

解這個方程，6x+(3x+1)×=102

12x+27x+9=204

39x=195

∴

3x+1=15+1=16

答：甲速為16千米/時，乙速為5千米/時。

例3：某船從A碼頭順流而下到達B碼頭，然后逆流返回，到達A、B兩碼頭之間的C碼頭，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為7.5千米時，水流速度為2.5千米/時。A、C兩碼頭之間的航程為10千米，求A、B兩碼頭之間的航程。

分析：這屬于行船問題，這類問題中要弄清（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。

解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米，由題意得，+=7

解這個方程，+=7，3x=90

∴

答：A、B兩碼頭之間的航路為30千米。

例4：環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度。

分析：這是環(huán)形問題，本題類似于追及問題，距離差為環(huán)城一周20千米。相等關(guān)系為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千米。

解；設(shè)最慢的人速度為x千米/時，則最快的人的速度為x千米/時，由題意得，x×-x×=20 解這個方程，×x=20

∴ x=10

x=35

答：最快的人的速度為35千米/時，最慢的人的速度為10千米/時。

8、配套問題：

[解題指導]：這類問題的關(guān)鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關(guān)系。

例5：某車間有工人85人，平均每人每天可以加工大齒輪8個或小齒輪10個，又知1個大齒輪和三個小齒輪配為一套，問應(yīng)如何安排勞力使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好成套？

分析：這個問題的等量關(guān)系為：小齒輪個數(shù)=3倍大齒輪個數(shù)

解：設(shè)應(yīng)安排x個工人加工大齒輪，則有(85-x)個工人加工小齒輪，由題意得，(85-x)×10=3×8x

解這個方程，850-10x=24x

34x=850

∴ x=25

85-x=85-25=60

答：應(yīng)安排25個工人加工大齒輪，其余60人加工小齒輪，才能使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好成套。

第二階段

9、其他實際應(yīng)用問題：

[解題指導]這類問題的關(guān)鍵是理解所給問題中的實際關(guān)系

例7：某商品的進價為1600元，原售價為2200元因庫存積壓需降價出售，若每件商品仍想獲得10%的利潤需幾折出售。

分析：等量關(guān)系為：原價×折扣=進價×（1+10%）

解：設(shè)需x折出售，由題意得，2200×=1600(1+10%)

220x=1600×1.10

x=8

答：需8折出售。

例8：已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元。因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調(diào)價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少？

分析：甲原單價×（1-10%）+乙原單價×（1+5%）=100×（1+2%）。

解：設(shè)甲商品原單價為x 元，則乙商品原單價為(100-x)元。

由題意得，(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%)

解這個方程，0.9x+1.05(100-x)=102

90x+10500-105x=10200

15x=300

∴

100-x=80

答：甲商品原單價20元，乙商品原單價為80元。

注意：實際生活中的問題是千變?nèi)f化的，因此我們要想學好列方程解應(yīng)用題，就要學會觀察事物，關(guān)心日常生產(chǎn)生活中的各種問題，如市場經(jīng)濟問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，認真審題，適當設(shè)元，尋找等量關(guān)系，從而列出方程，解出方程，使問題得解。

列方程解應(yīng)用題是初一代數(shù)學習的重點和難點，受小學算術(shù)解法的影響，同學們習慣于題目中求什么就設(shè)什么，即直接設(shè)未知數(shù)，這給有些問題的解決帶來了不便，下面向同學們介紹“設(shè)間接未知數(shù)”解應(yīng)用題的一般思路與方法。

一、求整體時，可設(shè)其中的某部分為未知數(shù)

例9 一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為11，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么得到的新數(shù)就比原數(shù)大63，求原來的兩位數(shù)。

分析 此題若直接設(shè)原來兩位數(shù)為未知數(shù)，顯然不易求解，對這種求整體的問題可設(shè)其中的某部分為未知數(shù)，這樣可使問題獲得簡便的解答。

略解 設(shè)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為11-x，由題意有：10x+ll-x=10(11-x)+x+63，解得x=9。

答：所求兩位數(shù)為29。

第三階段

二、若求其中的某部分時，可設(shè)其整體為未知數(shù)

例10 某三個數(shù)中每兩個數(shù)之和分別為27、28、29，求這三個數(shù)。

分析 這是求部分的問題，如果直接設(shè)這三個數(shù)分別x、y, z，就要列出一個三元一次方程組，但若采用間接設(shè)元法設(shè)這三個數(shù)的和為未知數(shù)，問題就變得異常簡捷。

略解設(shè)這三個數(shù)的和為x，則這三個數(shù)分別為x-

27、x-

28、x-29，由題意有：(x-27)+(x-28)+(x-29)=x，解得x=42。

答：這三個數(shù)分別為15、14、13。

三、當題設(shè)條件中含有“比”時，通常可設(shè)其中的一份為x

例11 甲、乙、丙三數(shù)的比為7：9：12，甲、乙兩數(shù)的和減去丙數(shù)的差等于20求此三數(shù)。

分析 因為7+9+12=28，說明三數(shù)的和為28份，甲、乙、丙分別占7份、9份、12份，這樣，可設(shè)每份為x，則甲、乙、丙三數(shù)分別為7x、9x、12x，由題意得：7x+9x-12x=20，以下略。

四、設(shè)而不求,巧用間接未知數(shù)“過渡”

解應(yīng)用題必須對題目的條件和關(guān)系進行深入的分析，認真的思考，然后合理地選擇未知數(shù)，并注意發(fā)揮未知數(shù)的橋梁“過渡”作用，才能使復雜的問題變得簡單，從而促成問題的解決。

例12 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。問購甲、乙、丙各1件共需多少元?

分析 若直接設(shè)購甲、乙、丙各1件共需n元，則列方程較為繁難，而若設(shè)甲、乙、丙三種貨物的單價分別為x、y、z元，則由題意有：

由于本題的要求是求出x+y+z，因此我們可以不去求x、y、z的具體值(設(shè)而不求)，而采用整體化的數(shù)學思想，直接求出結(jié)果：

將方程組變形為

，解之得x+y+z=1.05。(注：本題有點難)

五、直難則間，妙用間接未知數(shù)“轉(zhuǎn)換”

解決較為復雜的應(yīng)用題，在直接設(shè)元布列方程感到困難時，應(yīng)及時變換思考的角度，調(diào)整和轉(zhuǎn)變原有的思想和方法，合理地設(shè)置間接未知數(shù)設(shè)法進行轉(zhuǎn)化，以尋求新的解決問題的途徑和方法。

例13 四盤蘋果共100個，把第一盤的個數(shù)加上4，第二盤的個數(shù)減去4，第三盤的個數(shù)乘以4，第四盤的個數(shù)除以4，所得的數(shù)目一樣，問原來四盤蘋果各多少個?

分析 本題若從四盤蘋果考慮直接設(shè)未知數(shù)，需要列出四元一次方程組，解起來不勝繁難。如果由“所得的數(shù)目一樣”這個條件逆想，則由此可推出四盤蘋果的數(shù)目，因此，設(shè)間接未知數(shù)x表示這個數(shù)目，則容易得到四盤蘋果原來的個數(shù)分別為x-4, x+4, , 4x, 于是很方便地列出方程：(x-4)+(x+4)+ +4x=100。以下略。

設(shè)間接未知數(shù)解應(yīng)用題，當然不限于上述幾種情況，但由上足見選擇適當?shù)拈g接未知數(shù)在列方程解應(yīng)用題中的重要作用，同學們應(yīng)給以足夠的重視。

專題輔導

典型應(yīng)用題練習

1．某車間原計劃每周裝配36臺機床，預(yù)計若干周完成任務(wù)。在裝配了三分之一以后，改進操作技術(shù)，工效提高了一倍，結(jié)果提前一周半完成任務(wù)。求這次任務(wù)需裝配機床總臺數(shù)。

2．某班同學參加平整土地勞動，運土人數(shù)比挖土人數(shù)的一半多3人。若從挖土人員中抽出6人運土，則兩者人數(shù)相等。求原來運土和挖土各多少人。

3．某年級三個班為災(zāi)區(qū)捐款。（1）班捐了380元，（2）班捐款數(shù)是另兩個班級的平均數(shù)，（3）班捐款數(shù)是三個班總數(shù)的，求（2）班，（3）班捐款數(shù)。

4．一輪船航行于兩個碼頭之間，逆水需10小時，順水需6小時。已知該船在靜水中每小時航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離。

5．有一批長度均為50厘米的鐵錠，截面都是長方形，一邊長10厘米，另一邊各不相同，現(xiàn)要鑄造一個42.9千克的零件，應(yīng)選截面另一邊長為多少的鐵錠（鐵錠每立方厘米重7.8克）？

6．甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習長跑，兩人速度分別為200米/分和160米/分。兩人同時從起點同向出發(fā)。當兩人起跑后第一次并肩時經(jīng)過了多少時間？這時他們各跑了多少圈？

7．檢修一處住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天。前7天由甲、乙兩人合做，但乙中途離開了一段時間，后2天由乙、丙合作完成。問乙中途離開了幾天？

8．某商場甲、乙兩個柜組十二月份營業(yè)額共64萬元。一月份甲增長了20%，乙增長了15%，營業(yè)額共達到75萬元。求兩柜組各增長多少萬元。

9．某行軍縱隊以8千米/時的速度行進，隊尾的通訊員以12千米/時的速度趕到隊伍前送一個文件。送到后立即返回隊尾，共用14.4分鐘。求隊伍長。

10．一個兩位數(shù)，十位數(shù)比個位數(shù)字的4倍多1。將兩個數(shù)字調(diào)換順序后所得數(shù)比原數(shù)小63。求原數(shù)。

11．一橋長1000米，一列火車從車頭上橋到車尾離橋用了一分鐘時間，整列火車完全在橋上的時間為40秒。求火車的長度及行駛速度。

12．甲從學校出發(fā)到相距14千米的A地。當?shù)竭_距學校2千米的B地時發(fā)現(xiàn)遺忘某物品。打電話給乙，乙隨即出發(fā)在C地追上甲后立即返回。當乙回到學校時甲距A地還有3千米。求學校到C地的距離。

答案：

1．解題策略：本題主要等量關(guān)系是“提前一周半完成任務(wù)”。即原計劃周數(shù)-實際完成任務(wù)周數(shù)=1。只需設(shè)元后分別列出左邊兩表達式即可。

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是通過數(shù)量關(guān)系的研究，將實際問題轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學問題來解決，因此常有面目迥然不同而問題實質(zhì)相同。在練習中要注意比較，歸納，提高我們的分析、解題能力。

解法一：設(shè)這次任務(wù)需裝配機床總臺數(shù)為x臺，則原計劃裝配周，現(xiàn)在實際裝配的前一段時間為

周，后一段時間為 周，則根據(jù)題意，得

解這個方程：

3x-x-x=162

x=162

經(jīng)檢驗，它是所列方程的解，也符合題意。

答：這次任務(wù)需裝配機床總數(shù)為162臺。

解法二：如解法一設(shè)元，注意到提前的時間實質(zhì)是完成后任務(wù)中所提前的，解法三：設(shè)裝配了以后還余x臺，則總?cè)蝿?wù)是x÷ x(臺)，根據(jù)題意，得。

錯誤辨析：涉及“多少”、“快慢”等數(shù)量關(guān)系，要注意辨清有關(guān)量的大小。本題易將被減數(shù)與減數(shù)搞錯。尤其當分子相同，分母不同時要注意。

2．解題策略：本題等量關(guān)系明顯，設(shè)元后只要把相應(yīng)語句“譯”成等式，即所需方程，不妨可稱作“譯式”問題。解題要注意設(shè)元要有利于列方程，并盡量應(yīng)用原始的等量關(guān)系。如本題不宜運土人數(shù)為x。

解：設(shè)挖土同學原為x人，則運土人數(shù)原為(x+3)人。

根據(jù)題意，得x-6=x+3+6，解這個方程：x-x=3+6+6

x=30

x+3=18

經(jīng)檢驗適合所列方程，也符合題意。

答：原來運土18人，挖土30人。

錯誤辨析：勞力調(diào)配問題中需注意一隊調(diào)出人員是否調(diào)入另一隊。本題易忽視運土人數(shù)的增加而列成x-6=x+3。

3．解題策略：解應(yīng)用題中的設(shè)元要善于應(yīng)用已知條件，在列方程時要能通過分析，尋找隱含的等量關(guān)系，使方程簡單、易解。

解法一：設(shè)（3）班捐款x元，則（2）班捐款元，根據(jù)題意，得x=，解這個方程：5x=760+2x+380+x

2x=1140

x=570

=475

答：（2）班捐款475元，（3）班捐款570元。

解法二：同上法設(shè)元，注意到（2）班的捐款數(shù)也是三個班級的平均數(shù)，則三個班捐款數(shù)是其3倍。

可設(shè)方程x= ·3·。

解法三：設(shè)三個班捐款總數(shù)為x元，則（2）班為

求得x=1425后再求各班捐款數(shù)。

元，根據(jù)題意，得 x-380=x。

4．解題策略：涉及航行中的順、逆流問題，基本關(guān)系是：船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度；船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度。然后根據(jù)行程問題的一般法則求解。

解法一：設(shè)水流速度為x千米/時，根據(jù)題意，得6(12+x)=10(12-x)，解這個方程，得x=3，路程為6(12+x)=90。

答：水流速度是3千米/時，兩碼頭間路程90千米。

解法二：設(shè)兩個碼頭間路程為x千米，根據(jù)題意，得-12=12-，解這個方程，得x=90。

5．解題策略：幾何體變換問題的關(guān)鍵是注意變換前后的體積等量關(guān)系，并且要熟悉常見幾何體的體積公式。本題要由鑄造零件的規(guī)格給出重量，應(yīng)有一個轉(zhuǎn)換過程，并注意單位名稱一致。

解：設(shè)需要截面另一邊長為x厘米的鐵錠，則鐵錠體積為50×10x立方厘米，所鑄零件重量為42.9千克，則其體積為立方厘米，根據(jù)題意，得50×10x=

解這個方程，得x=11。

答：需要截面另一邊長為11厘米的鐵錠。

錯誤辨析：方程右邊易漏乘1000，未將單位化為一致。

6．解題策略：環(huán)形線路上的相遇問題與直線情形相仿。其同時同地同向的追及問題關(guān)鍵在于理解速度較快者每追上較慢者一次，即多行一圈。其余關(guān)系與通常的追及、相遇問題一致。

解：設(shè)兩人到第一次并肩時花了x分鐘。根據(jù)題意，得200x-160x=400。

解這個方程，得x=10。

這時甲、乙跑的圈數(shù)分別是10×200÷400=5和10×160÷400=4。

答：兩人起跑后第一次并肩花了10分鐘時間，甲，乙兩人分別跑了5圈和4圈。

7．解題策略：做一項工作，但沒有具體數(shù)量指標，只提完成與否的，通常稱作工程問題。工作總量用1表示。基本等量關(guān)系是工作量=工作效率×工作時間。其中工作效率是單位時間內(nèi)完成的工作量，通常是單獨完成時間的倒數(shù)。如本題甲的工作效率是，乙的工作效率為題，也屬此類。，丙的工作效率為。涉及到幾個施工單位合作、先后工作等，在建立方程時取其工作量之和。常見的水池進出水問

解：設(shè)乙中途離開了x天，則乙工作了(7-x+2)天，其工作量是，甲的工作量是，丙的工作量是。根據(jù)題意，得。

解這個方程：

9+9-x+3=18

x=3

答：乙中途離開了3天。

8．解題策略：一次增長（減少）百分率問題的基本關(guān)系是原有量×(1±p%)=現(xiàn)有量，這里p%是增長或減少的百分率。要注意原有量與現(xiàn)有量的相互換算。這類問題還需注意設(shè)元的合理性，簡化計算。

解法一：設(shè)一月份營業(yè)額甲柜組增加x萬元，則乙柜組增加了(75-64-x)萬元。

根據(jù)題意，得=64，解這個方程，得x=5.6，則11-x=5.4。

答：甲、乙兩柜組分別增加了5.6萬元和5.4萬元。

解法二：設(shè)甲、乙兩柜組十二月份營業(yè)額為x萬元和(64-x)萬元。根據(jù)題意，得

20%·x+15%·(64-x)=75-64，解得x=28，則20%x=5.6，15%·(64-x)=5.4。

錯誤辨析： 這類題要防止所設(shè)未知數(shù)與列出方程不符。如本題不能按解法一設(shè)元，而列得解法二的方程。

9．解題策略：對行程問題中的追及和相遇兩類基本等量關(guān)系我們應(yīng)熟練掌握，并能通過對綜合問題的分析，靈活應(yīng)用。本題通訊員趕到隊前實質(zhì)為在追趕隊前第一人，所花時間為路程（隊伍長）除以速度差；同理，返回時可視為通訊員與隊末一人作相向運動至相遇為止。

解：設(shè)隊伍長為x千米，根據(jù)題意，得

解這個方程：，25x+5x=24，x=0.8。

答：隊伍長0.8千米。

錯誤辨析：列方程時易將右邊誤寫作14.4。這類問題一般單位不一致，應(yīng)注意互化。

10．解題策略：對多位數(shù)應(yīng)用題一般不能設(shè)直接未知數(shù)，而應(yīng)采用位值制設(shè)元（即如一個三位數(shù)的百位數(shù)字a,十位數(shù)字b，個數(shù)數(shù)字c，則這個三位數(shù)是100a+10b+c）。然后通?？捎伞白g式”列得方程。有時在解題中還要注意字母的取值范圍。

解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為4x+1，這個兩位數(shù)是10(4x+1)+x。

根據(jù)題意，得[10(4x+1)+x]-[10x+(4x+1)]=63。

解這個方程，得x=2。

故原數(shù)為10(4x+1)+x=92。

答：這個兩位數(shù)是92。

11．解題策略：這類問題通?？紤]短時間內(nèi)火車與通道的相對運動，關(guān)鍵要辨明實際路程，且要重視對關(guān)鍵語句的透徹理解。如本題“從車頭上橋到車尾離橋”即告訴我們所要考慮的路程應(yīng)是橋與火車的長度之和（如圖1所示）。而“火車完全在橋上”，則路程為橋與火車的長度之差（如圖2）。這類問題若確定一個點觀察，如果設(shè)以車尾一人（圖中畫“Δ”處）作標準，則關(guān)系更明顯。

解法一：設(shè)火車長為x，根據(jù)題意，得

解這個方程，得x=200。

=20。

答：火車長度為200米，火車行駛速度為20米/秒。

解法二：設(shè)火車行駛速度為x米/秒。

根據(jù)題意，得60x-1000=1000-40x。

解這個方程，得x=20。

12．解題策略：這類題通常已知量極少。連同所求未知數(shù)往往只涉及行程問題三個基本量中的一個。難以用常規(guī)方法列出方程?？煽紤]兩條途徑：（1）大膽設(shè)“輔助元”，在解方程過程中通?？勺匀幌ィ唬?）應(yīng)用比例尋求等量關(guān)系。如相同時間下路程與速度成正比例，相同路程下速度與時間成反比例等。

解法一：設(shè)學校到C地的距離為x千米，甲的速度為a千米/分，乙的速度為b千米/分。

由乙追甲至C地時間相等可得，同理可得。

比較兩式，得

即x-2=11-x。

解得x=6.5。，答：學校到C地距離為6.5千米。

解法二：同上法設(shè)元。

因甲從B地到C地與乙從學校到C地時間相等，故他們所行路程比等于速度比，得，同理，所以。

因為x≠0，可解得結(jié)果。

解法三：設(shè)B、C間距離為x千米，則學校到C地距離為(x+2)千米。因甲后來所行兩段路程的時間都等于乙人學校到C地的時間，故這兩段路程應(yīng)相等。得2+2x+3=14。

錯誤辨析：這類題忌不加分析，亂套行程問題的任一模式。

反饋練習

1．下列各式中，是方程的有（）

①3x+4=7 ②5y+3 ③a(b+c)=ab+ac ④8x-2y=3 ⑤s=vt

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

2．在下列方程中，與3x-2=1的解相同的有（）

A.5x+3=6 B.5x-2=4 C.4x-3=1 D.3x+2=1

3．下列解法中，正確的是（）

5、某幼兒園小班給孩子們分蘋果，若每人分5個還少2個，若每人分4個則多出8個，問這個班共有多少個孩子？現(xiàn)有蘋果多少個？

答案：

1、C

2、C

3、C

4、x=36

5、解：設(shè)這個班有x個孩子，則5x-2=4x+8，解得x=10(個)∴5x-2=5×10-2=48(個)答：這個班有10個孩子，現(xiàn)有蘋果48個。

第三篇：函數(shù)應(yīng)用題的幾種常見模型教案

函數(shù)應(yīng)用題的幾種常見模型

函數(shù)應(yīng)用題主要有以下幾種常見模型：

1、一次函數(shù)模型

例1某家報刊售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.5元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社。在一個月（30天）里，有20天每天可以賣出400份，其余每天只能賣出250份。設(shè)每天從報社買進的報紙的數(shù)量相同，則每天應(yīng)從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算該銷售點一個月最多可賺多少元？

注：現(xiàn)實生活中很多事例可以用一次函數(shù)模型表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長和拉力的關(guān)系等，對一次函數(shù)來說，當一次項系數(shù)為正時，表現(xiàn)為勻速增長,即為增函數(shù)，一次項系數(shù)為負時為減函數(shù)。

2、二次函數(shù)模型

例2某工廠生產(chǎn)的商品A，若每件定價為80元，則每年可銷售80萬件，政府稅務(wù)部門對市場銷售的商品A要征收附加稅，為增加國家收入又要有利于生產(chǎn)發(fā)展，必須合理確定稅率，根據(jù)市場調(diào)查，若政府對商品A征收附加稅率為p%時，每年銷售額將減少10p萬件。據(jù)此，試問：

（1）若稅務(wù)部門對商品A征收的稅金不少于96萬元，求p的范圍；（2）若稅務(wù)部門僅僅考慮每年所獲得的稅金最高，求此時p的值。

注：在第二問即二次函數(shù)求最值問題，一定要注意隱含條件。所以應(yīng)用題中變量的取值范圍是一個非常值得重視的問題。

3、指數(shù)函數(shù)模型

例3某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：（1）寫出該城市人口總數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；

（2）計算10年以后該城市人口總數(shù)（精確到0.1萬人）；

（3）計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人（精確到1年）；

（4）如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年增長率應(yīng)該控制在多少？

注：在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示。通?？梢员硎緸閥?N(1?p)(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式。

x4、分段函數(shù)模型

例4通過研究學生的學習行為，專家發(fā)現(xiàn)，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散，設(shè)f(t)表示學生注意力隨時間t（分鐘）的變化規(guī)律（f(t)越大，表明學生注意力越大），經(jīng)過實驗分析得知：

??t2?24t?100,0?t?10?f(t)??240,10?t?20, ??7t?380,20?t?40?（1）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能堅持多少分鐘？

（2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？

（3）一道數(shù)學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

注：對于一些較復雜的問題，有時僅構(gòu)造一個數(shù)學模型還不能根本解決問題，需先后或年同時構(gòu)造、利用幾個函數(shù)模型，即分段函數(shù)模型方可。

5、冪函數(shù)模型

例5在固定電壓差（電壓差為常數(shù)）下，當電流通過圓柱體電線時，其強度I與電線半徑r的三次方成正比。

（1）寫出函數(shù)解析式；

（2）若電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強度為320安，求電流通過半徑為r毫米的電線時，其電流強度的表達式；

（3）已知（2）中的電流通過的電線半徑為5毫米，計算該電流的強度。注：本題是以物理概念為背景建立函數(shù)關(guān)系的問題，關(guān)鍵是分清各個量的物理意義及相關(guān)關(guān)系。

6、對數(shù)函數(shù)模型

例6燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v?5log2O，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量。10（1）計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？

（2）當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？

第四篇：建立二次函數(shù)模型

建立二次函數(shù)模型

〖課標要求〗：會根據(jù)實際情況建立簡單的二次函數(shù)模型。

〖教學目標〗：

知識與技能：掌握二次函數(shù)的概念，、正確理解ａ≠0的作用與要求，初步體會二次函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別；能夠依據(jù)實際情況建立于次函數(shù)關(guān)系式。

過程與方法：經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)的關(guān)系的過程，進一步體驗如何用數(shù)學的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。

情感態(tài)度與價值觀：在與一元二次方程的類比學習的過程中，培養(yǎng)縝密的思維習，形成類比思想，體會數(shù)學的價值。

〖教學重點〗：二次函數(shù)模型的形成過程。

〖教學難點〗：尋找、發(fā)現(xiàn)實際生活中的二次函數(shù)問題，理解變量之間的對應(yīng)關(guān)系?！冀虒W流程〗：

一、導入

請同學們欣賞20頁的圖，說說籃球有空中運行的路線是什么曲線？你能建一個函數(shù)模型來刻畫這條曲線嗎？

二、自主學習

1、閱讀課本頁到頁內(nèi)容，劃記重點內(nèi)容，將不懂的問題記錄在“我的疑問”欄目中。

2、小組合作討論，完成學研指導案“學習新知”1～5題。

3、釋疑和質(zhì)疑預(yù)見性問題：

①二次函數(shù)定義中的a、b、c有怎樣的要求？

②當a＝0時，這個函數(shù)還是二次函數(shù)嗎？

③b或c能為0嗎？

三、合作探究

1、小組合作交流討論，完成《學研指導案》中“合作探究”

1、2題。

2、小組展示《學研指導案》中“合作探究”的2個問題。

教師點拔合作探究中存在的問題。

二次函數(shù)定義中二次項系數(shù)ａ≠0，而b、c可以是任意實數(shù)，因為a＝0函數(shù)變?yōu)榱艘淮魏瘮?shù)，b、c都為0時是最簡單的二次函數(shù)。

四、歸納整理

二次函數(shù)的概念

1、知識歸納： 建立二次函數(shù)模型 二次函數(shù)的一般形式

二次函數(shù)自變量的取值范圍

2、方法歸納：判斷二次函數(shù)是否為二次函數(shù)，關(guān)鍵有三點：

（1）含有一個自變量，且自變量的最高次數(shù)為2；

（2）二次項系數(shù)不等于0；

（3）等式兩邊都是整式。

五、自測評估

1、學生自主完成《學研指導案》中“課堂目標達成”的1～4題

2、學生展示解題結(jié)果。

3、教師點拔學生的解題過程

4、教師對學生的解題給予恰當?shù)脑u價。

六、教學反思

第五篇：函數(shù)圖像及部分應(yīng)用題

函數(shù)的圖像及部分應(yīng)用題

一、選擇題(本大題共7小題，共21.0分)

1.向某一容器中注水，注滿為止，表示注水量與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則該容器可能是（）

A.B.C.D.A B C D 2.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.下面哪一幅圖可大致反映短跑運動員在比賽中從起跑到終點的速度變化情況（）

A.x≥-1

B.x＞-1且x≠

C.x≥-1且x≠

D.x≥-1 3.相信大家還記得龜兔賽跑的故事，如圖表示烏龜和兔子賽跑過程中它們各自的路程y（單位：米）隨時間x（分鐘）的變化關(guān)系，小珂根據(jù)圖象寫出了四條是信息： ①烏龜和兔子賽跑的路程為2000米

②烏龜爬到兔子睡覺的地點用了50.2分鐘； ③兔子前4分鐘的速度是烏龜速度的12.8倍；

④假如兔子睡覺前后的速度不變，那么兔子在途中睡了75分鐘 其中，正確的有（）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

4.如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點P從C出發(fā)，在正方形的邊上沿著C?B?A的方向運動（點P與A不重合）．設(shè)P的運動路程為x，則下列圖象中△ADP的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系（）

A B C D

5.下列平面直角坐標系中的圖象，不能表示y是x的函數(shù)的是（）

A B C D

7.明明騎自行車去上學時，經(jīng)過一段先上坡后下坡的路，在這段路上所走的路程s（單位：千米）與時間t（單位：分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．放學后如果按原路返回，且往返過程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回來時，走這段路所用的時間為（）

A.12分

B.10分

C.16分

D.14分

8.看圖說故事．如圖，設(shè)計一個問題情境，使情境中出

現(xiàn)的一對變量滿足圖示的函數(shù)關(guān)系．結(jié)合圖象，說出這對變量的變化過程的實際意義．

9.據(jù)統(tǒng)計，2013年某地區(qū)建筑商出售商品房后的利潤率(即利潤除以成本)為25％。（1）2013年該地區(qū)一套總售價為60萬元的商品房，成本是多少？

（2）2014年第一季度，該地區(qū)商品房每平方米價格上漲了2a元，每平方米成本僅上漲了a元，這樣60萬元所能購買的商品房的面積比2013年減少了20平方米，建筑商的利潤率達到三分之一。求2014年該地區(qū)建筑商出售的商品房每平方米的利潤.初中數(shù)學試卷第1頁，共2頁 10.全民健身和醫(yī)療保健是社會普遍關(guān)注的問題，2014年，某社區(qū)共投入30萬元用于購買健身器材和藥品．

（1）若2014年社區(qū)購買健身器材的費用不超過總投入的，問2014年最低投入多少萬元購買藥品？

（2）2015年，該社區(qū)購買健身器材的費用比上一年增加50%，購買藥品的費用比上一年減少，但社區(qū)在這兩方面的總投入仍與2014年相同． ①求2014年社區(qū)購買藥品的總費用；

②據(jù)統(tǒng)計，2014年該社區(qū)積極健身的家庭達到200戶，社區(qū)用于這些家庭的藥品費用明顯減少，只占當年購買藥品總費用的，與2014年相比，如果2015年社區(qū)內(nèi)健身家庭戶數(shù)增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分比相同，那么，2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的，求2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù)．

11、某條公路分作兩段由甲、乙兩隊同時開始分別施工修建，上級要求兩隊同時完成各自的任務(wù)．施工開始后兩隊用30天時間共修了1500米，其中甲隊的施工進度比乙隊快了50％(施工進度指每天修路的長度，單位：米／天)．由于兩隊繼續(xù)按這樣施工進度修路，將不能同時完成各自的任務(wù)，所以從第31天起，通過合理調(diào)配，降低甲隊的施工進度并提高兩隊的總施工進度(兩隊施工進度之和)，其中甲隊的施工進度降低的百分數(shù)恰為總施工進度增加的百分數(shù)，這樣剛好使兩隊同時完成各自的任務(wù).如果一開始兩隊就按調(diào)配后各自的施工進度修路，則完成各自的任務(wù)甲隊比乙隊需多用50天．(1)求調(diào)配前兩隊各自的施工進度；(2)求調(diào)配后兩隊各自的施工進度．

12.【函函游園記】

函函早晨到達上海世博園D區(qū)入口處等待開園，九時整開園，D區(qū)入口處有10n條安全檢查通道讓游客通過安檢入園，游客每分鐘按相同的人數(shù)源源不斷到達這里等待入園，直到中午十二時D區(qū)入口處才沒有排隊人群，游客一到就可安檢入園。九時二十分函函通過安檢進入上海世博園時，發(fā)現(xiàn)平均一個人通過安全檢查通道入園耗時20秒?！九抨牭乃伎肌?/p>

（1）若函函在九時整排在第3000位，則這時D區(qū)入口安檢通道可能有多少條？

（2）若九時開園時等待D區(qū)入口處的人數(shù)不變：當安檢通道是現(xiàn)有的1.2倍且每分鐘到達D區(qū)入口處的游客人數(shù)不變時，從中午十一時開始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園；當每分鐘到達D區(qū)入口處的游客人數(shù)增加了50%，仍要求從十二時開始游客一到D區(qū)入口處就可安檢入園，求這時需要增加安檢通道的數(shù)量。（10分）

初中數(shù)學試卷第2頁，共2頁