第一篇：函數(shù)模型的應(yīng)用實例教學(xué)設(shè)計[定稿]

函數(shù)模型的應(yīng)用實例教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)：

1、能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題.2、感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法,對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價.3、體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價值.教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

通過一個情境，了解建立一次函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)型模型。一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)，不只是理論上的數(shù)學(xué)問題，它們都與現(xiàn)實世界有著緊密的聯(lián)系，我們?nèi)绾卫眠@些函數(shù)模型來解決實際問題？利用這些函數(shù)模型預(yù)測未來，改造世界。

二、實例分析

實例

1、一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示:(1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實際含義;設(shè)問：圖中每一個矩形的面積的意義是什么? 單位時間內(nèi)行駛的路程。

陰影部分的面積為360，陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km(2)試建立汽車行駛路程 S km與時間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.設(shè)問：如何建立函數(shù)關(guān)系式？根據(jù)S= vt建立函數(shù)關(guān)系。單位小時內(nèi)速度不同，所以構(gòu)成了一次函數(shù)的分段形式.（3）假設(shè)這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù) s km與時間 t h的函數(shù)解析式，與（２）的結(jié)論有何關(guān)系？

汽車的行駛里程=里程表讀數(shù)-2004，分段函數(shù)的定義域是指每個范圍的并集.說明：1.本例所給出的函數(shù)模型是一個速度-時間圖象，向另一種圖象模型和解析式模型轉(zhuǎn)化，建立了分段函數(shù)模型。

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；

②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； ③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

④還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義．

實例2.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長

y ?y0e提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

r?t(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增

長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符;設(shè)問：描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的,確定這種函數(shù)模型需要幾個因素? y0和r 設(shè)問：根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型? 先求1951-1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定y0的值,從而確定人口增長模型.y?55196e得到馬爾薩斯人口增長模型：

0.0221t,t?N設(shè)問：對所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗?根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)作出如何評價? 作出人口增長函數(shù)的圖象,再在同一直角坐標(biāo)系上根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖,觀察散點是否在圖象上.由圖可以看出,所得模型1950-1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.(2)如果按數(shù)據(jù)表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億? 該模型只能大致描述自然狀態(tài)下的人口增長情況，而對于受到人為影響的人口增長情況，如計劃生育。如果不實行計劃生育，我國將面臨難以承受的壓力，計劃生育政策，利國利民.設(shè)問：如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時期的人口數(shù),實質(zhì)是何種計算方法? 已知函數(shù)值,求自變量的值.設(shè)問：依據(jù)表中增長趨勢，你算一算我國2050年的人口數(shù)？ 利用函數(shù)模型既能解決現(xiàn)實問題，也可預(yù)測未來走向.說明：本題體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，檢驗?zāi)Ｐ?，更體現(xiàn)模型的實際應(yīng)用價值。

練習(xí)1：某人開汽車以60km/h的速率從A地到150km遠(yuǎn)處的 B 地，在B地停留1小時后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽車與A地的距離S表示為從A地出發(fā)時開始經(jīng)過的時間t（小時）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。

?60t?0?t?2.5??S??150?2.5?t?3.5??150?50(t?3.5)?3.5?t?6.5??練習(xí)2：水庫蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)有t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量V(t)(單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

(1)該水庫的蓄求量小于40的時期稱為枯水期.以 i?1?t?i2???t?14t?0?t?10?V(t)????4?t?10??3t?40??40?10?t?12?

i月份 ?i?1,2，12?表示第 問一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？

(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量.設(shè)問：想一想：生活中我們該如何節(jié)約用水？

三、小結(jié)： 本節(jié)重點是：

1、體驗函數(shù)模型是用來解決客觀世界中存在的有關(guān)實際問題；

2、建立分段函數(shù)的函數(shù)模型時，要注意定義域“不重、不漏”的原則；

3、利用函數(shù)模型既能解決現(xiàn)實問題，也可預(yù)測未來走向。

4、建立（確定）函數(shù)模型的基本步驟： 第一步：審題

讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，尤其是理解題中所給的圖形、表格的現(xiàn)實意義，進(jìn)而把握住新信息，確定相關(guān)變量的關(guān)系。第二步：建模

確定相關(guān)變量后，根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：求模

利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。第四步：還原再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。

四、作業(yè):（1）教材107頁1、2、4.（2）社會實踐題：找到身邊的函數(shù)應(yīng)用模型實例兩例。

第二篇：3．2 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題.2.過程與方法 進(jìn)一步感受運用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價.2.教學(xué)重點/難點

重點 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實際問題.難點 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價.3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題.現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系來建立.對于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析評價，驗證數(shù)學(xué)模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度.（二）實例嘗試，探求新知

例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示.1）寫出速度v關(guān)于時間t的函數(shù)解析式；

2）寫出汽車行駛路程y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象； 3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s與時間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.本例所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題.教師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征.注意培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式.例2.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798，英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

其中t表示經(jīng)過的時間，表示

時的人口數(shù)，r表示人口的年均增長率.下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）

1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；

2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達(dá)到13億？ 探索以下問題：

1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？

2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？

3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？

4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評價？ 如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？

本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型

解決實際問題的一類問題，引

與t.導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個參數(shù)完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器.在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時，可引導(dǎo)學(xué)生利用計算器或計算機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生認(rèn)識到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式.引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)測，實質(zhì)上是通過求一個對數(shù)值來確定t的近似值.課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量t與月份的x關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.探索以下問題：

1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？ 2）如何對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行評價？

本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是對函數(shù)模評價的依據(jù).本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培養(yǎng)學(xué)生有意識地運用.三.歸納小結(jié)，發(fā)展思維.利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題的方法； 1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價； 4）根據(jù)實際問題對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程.圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式.在實際應(yīng)用時，經(jīng)常需要將函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化.（四）布置作業(yè)：教材P120習(xí)題32（A組）第6~9題.課堂小結(jié)

1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價； 4）根據(jù)實際問題對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?課后習(xí)題

作業(yè)：教材P107習(xí)題3.2（A組）第5、6題.板書 略

第三篇：3．2 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能 能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實際問題。

2、過程與方法 體驗收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會函數(shù)擬合的思想方法。

3、情感、態(tài)度、價值觀 深入體會數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活及各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及其重要價值。

2.教學(xué)重點/難點

重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。難點：對數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，建立起函數(shù)模型，并進(jìn)行模型修正。

3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)過程 教學(xué)設(shè)想

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應(yīng)用軟件。

這一數(shù)學(xué)模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計算仿真，結(jié)果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關(guān)重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬人。這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢預(yù)測動力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預(yù)測。本例建立教學(xué)模型的過程，實際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。

（二）嘗試實踐

探求新知

例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表（身高：cm；體重：kg）

1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。

2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為4375px，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？ 探索以下問題：

1）借助計算器或計算機，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點圖； 2）觀察所作散點圖，你認(rèn)為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近？ 3）你認(rèn)為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重數(shù)關(guān)系比較合適？

4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗和評價.5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？

本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導(dǎo)學(xué)生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷.根據(jù)散點圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進(jìn)行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對模型進(jìn)行適當(dāng)修正，并做出一定的預(yù)測.此外，注意引導(dǎo)學(xué)生體會本例所用的數(shù)學(xué)思想方法.與身高的函例2.將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：

1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象；

2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫y（℃）關(guān)于時間x的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會降到10℃？對此結(jié)果，你如何評價？ 本例意圖是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會，利用擬合函數(shù)解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.課堂練習(xí)：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好.為了在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量，你能解決這一問題嗎？ 探索過程如下：

1）首先建立直角坐標(biāo)系，畫出散點圖；

2）根據(jù)散點圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型： 一次函數(shù)模型：二次函數(shù)模型：

冪函數(shù)模型：

指數(shù)函數(shù)模型：

（＞0，）利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進(jìn)行分析評價，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學(xué)分工合作，最后再一起討論確定.（三）歸納小結(jié)，鞏固提高.通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下：

（四）布置作業(yè)：

作業(yè)：教材P107習(xí)題32（B組）第1、2題：

課堂小結(jié)

通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下：

課后習(xí)題 作業(yè)：

教材P107習(xí)題32（B組）第1、2題：

板書 略

第四篇：3.4 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

函數(shù)應(yīng)用

2.教學(xué)重點/難點

函數(shù)應(yīng)用建模

3.教學(xué)用具 4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

1．某企業(yè)去年銷售收入1000萬元，年成本為生產(chǎn)成本500萬元與年廣告成本200萬元兩部分．若年利潤必須按p%納稅，且年廣告費超出年銷售收入2%的部分也按p%納稅，其他不納稅．已知該企業(yè)去年共納稅120萬元．則稅率p%為

()A．10%

B．12% C．25%

D．40% 解析：利潤300萬元，納稅300·p%萬元，年廣告費超出年銷售收入2%的部分為 200－1000×2%＝180(萬元)，納稅180·p%萬元，共納稅300·p%＋180·p%＝120(萬元)，p%＝＝25%.答案：C 2．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為

()A．36萬件

B．18萬件

C．22萬件

D．9萬件

解析：利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值． 答案：B 3．某商店已按每件80元的成本購進(jìn)某商品1000件，根據(jù)市場預(yù)測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為每件

()A．100元

B．110元 C．150元

D．190元 解析：設(shè)售價提高x元，則依題意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500.故當(dāng)x＝90時，ymax＝60 500，此時售價為每件190元． 答案：D 4．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，汽車離開A地的距離x(千米)與時間t(小時)之間的函數(shù)表達(dá)式是

()A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝

解析：到達(dá)B地需要＝2.5小時，所以當(dāng)0≤t≤2.5時，x＝60t； 當(dāng)2.5＜t≤3.5時，x＝150；

當(dāng)3.5＜t≤6.5時，x＝150－50(t－3.5)． 答案：D 5．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是

()A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100 解析：根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型． 答案：C

二、填空題

6．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為________．

解析：依題意知：＝，即x＝(24－y)，∴陰影部分的面積

S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴當(dāng)y＝12時，S有最大值為180.答案：180 7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是________．

解析：七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據(jù)題意有

3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：20

三、解答題

8．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)： R(x)＝.其中x是儀器的月產(chǎn)量．

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)解：(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20 000＋100x，從而f(x)＝.(2)當(dāng)0≤x≤400時，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，∴當(dāng)x＝300時，有最大值25 000；

當(dāng)x＞400時，f(x)＝60 000－100x是減函數(shù)，f(x)＜60 000－100×400＜25 000.∴當(dāng)x＝300時，f(x)的最大值為25 000.∴每月生產(chǎn)300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25 000元．

9．當(dāng)前環(huán)境問題已成為世界關(guān)注的焦點，2009年哥本哈根世界氣候大會召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說污染非常?。F(xiàn)有以下數(shù)據(jù)：

①當(dāng)前汽油價格為2.8元/升，市內(nèi)出租車耗油情況是一升汽油大約跑12千米；②當(dāng)前液化氣價格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑15～16千米；③一輛出租車日平均行程為200千米． 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答問題：

(1)從經(jīng)濟角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟(即省錢)；(2)假設(shè)出租車改裝液化氣設(shè)備需花費5000元，請問多長時間省出的錢等于改裝設(shè)備花費的錢？

解：(1)設(shè)出租車行駛的時間為t天，所耗費的汽油費為W元，耗費的液化氣費為W′元，由題意可知，W＝200×＝(t≥0，t∈N＋)，200×≤W′≤200×，即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N＋)，又>40t，即W>W′，所以使用液化氣比使用汽油省錢．(2)①設(shè)37.5t＋5 000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N＋，所以t＝546.②設(shè)40t＋5 000＝，解得t＝750.所以，若改裝液化氣設(shè)備，則當(dāng)行駛天數(shù)t∈[546,750]且t∈N＋時，省出的錢可以等于改裝設(shè)備花費的錢．

10．某人要做一批地磚，每塊地磚(如圖1所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)E、F在什么位置時，做這批地磚所需的材料費用最?。?/p>

解：(1)證明：圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE.∴△CFE為等腰直角三角形． ∴四邊形EFGH是正方形．(2)設(shè)CE＝x，則BE＝0.4－x，每塊地磚的費用為W，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，W＝x2·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋ a ＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，由a＞0，當(dāng)x＝0.1時，W有最小值，即總費用最?。?答：當(dāng)CE＝CF＝0.1米時，總費用最?。?/p>

第五篇：高中數(shù)學(xué)論文集A版高一年級函數(shù)模型的應(yīng)用實例內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計

A版高一年級函數(shù)模型的應(yīng)用實例內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計

寧波市武嶺中學(xué)

楊建軍 315502 yjianjunls@163.com 一個實際問題的解決方案應(yīng)該是有多種的，因此本課采用“預(yù)設(shè)和生成”的教育理念，兼容多種方案，使學(xué)生真正能夠在利用函數(shù)模型來解決實際問題的同時，如何來處理與采納某種方案。本教學(xué)設(shè)計注重了學(xué)生的探究能力的培養(yǎng)，突出了學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)了新課程的其它新的理念。

本課是在學(xué)習(xí)了初中一次、二次及反比例函數(shù)與高中基本函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，通過建立和運用函數(shù)基本模型，體驗數(shù)學(xué)建模、擬合等數(shù)學(xué)基本思想，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。本授課班級雙基能力較強，但是由于學(xué)生剛剛接觸對數(shù)型函數(shù)等新知識點，有可能對于建立這些函數(shù)模型比較困難。1 教學(xué)三維目標(biāo)、重點、難點、準(zhǔn)備。1．1教學(xué)三維目標(biāo)

（1）知識與技能：使學(xué)生學(xué)會建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象或?qū)τ嘘P(guān)發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。

（2）過程與方法：通過例題與作業(yè)中的具體實例，讓學(xué)生了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

（3）情感態(tài)度與價值觀：利用函數(shù)模型解決問題前，進(jìn)行擬合檢驗，培養(yǎng)學(xué)生的負(fù)責(zé)態(tài)度。

1．2教學(xué)重點：由面臨的實際問題建立函數(shù)模型，檢驗函數(shù)模型，并利用得到的函數(shù)模型解決問題。

1．3教學(xué)難點：如何根據(jù)面臨的實際問題建立函數(shù)模型。1．4教學(xué)準(zhǔn)備：PPT制作與幾何畫板制作。2 教學(xué)過程。

（學(xué)生）：（對5種基本初等函數(shù)進(jìn)行回顧）（教師）：（打開PPT）函數(shù)建模的基本思想與方法：

把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題，得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的形式是多樣的。解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)建模，把實際問題通過分析、聯(lián)想、抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。函數(shù)知識內(nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛，不僅數(shù)學(xué)問題，而且社會生活、生產(chǎn)和自然科學(xué)領(lǐng)域中有許多問題都需要用函數(shù)知識來解決，如成本最底、利潤最高、用料最省、路程最短等?？蓺w納為函數(shù)的最值問題。

運用建模思想解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是： 讀(閱讀材料，審題，找基本量或關(guān)系)；

建(提取信息，抽象成數(shù)學(xué)語言，根據(jù)相關(guān)定義及數(shù)學(xué)知識建立模型)； 求(根據(jù)數(shù)學(xué)思想和方法，求解函數(shù)模型，得出結(jié)論)；

還(把數(shù)學(xué)結(jié)論還原到實際問題中，通過分析、判斷、檢驗得到實際正確解答，寫出答案)。

一.由變量之間的依存關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系；

二.由所掌握的數(shù)據(jù)資料,即根據(jù)確定性,隨機性數(shù)據(jù)建立函數(shù)關(guān)系,這種往往要畫散點圖。

例：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn),并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，1.37萬件。由于產(chǎn)品質(zhì)量好服裝款式新穎，因此前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好，為使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量，假如你是廠長，將會采用什么辦法？

（學(xué)生）：畫散點圖。（學(xué)生們接下來畫散點圖，過1分鐘。）板書：畫散點圖

圖1（教師）：（打開幾何畫板），如圖1所示各點：把4個點分別記為A、B、C、D。觀察這4個點有何聯(lián)系？

（學(xué)生）：這4個點基本上在同一條直線上。（學(xué)生）：應(yīng)該是一次函數(shù)，是y?ax?b,(a?0)。

板書：由圖可知：①用一次函數(shù)f(x)?ax?b,(a?0)擬合，把B、C坐標(biāo)值代入，得 2 ?f(2)?2a?b?1.2?a?0.1，故f(x)?0.1x?1。????f(3)?3a?b?1.3?b?1∴f(1)?1.1與實際的誤差為0.1，f(4)?1.4與實際的誤差為0.03（教師）：（打開幾何畫板），如圖1藍(lán)線所示：

（教師）：我們仔細(xì)地觀察圖形，發(fā)現(xiàn)A、D都在直線的下方，我們可以——（學(xué)生）：二次函數(shù)可以嗎？（有點不肯定）

板書：②用二次函數(shù)g(x)?ax2?bx?c,(a?0)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值代入，得?g(1)?a?b?c?1?a??0.05??2?g(2)?4a?2b?c?1.2??b?0.35，故g(x)??0.05x?0.35x?0.7 ?g(3)?9a?3b?c?1.3?c?0.7??∴g(4)??0.05?42?0.35?4?0.7?1.3與實際誤差為0.07（教師）：（打開幾何畫板），如圖1黑線所示。

（教師）：觀察這些數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著自變量的增加函數(shù)值也在增加，但是增加的速度是越來越慢的，那我們可以——

（學(xué)生甲）：對數(shù)函數(shù)。（學(xué)生乙）：冪函數(shù)。（學(xué)生丙）：指數(shù)函數(shù)。（教師）：要求掌握的是可以用

11次的冪函數(shù)，從經(jīng)過的點來看不是次的冪函數(shù)，但是我們221次的冪型函數(shù)來擬合。212板書：③用冪型函數(shù)q(x)?ax?b,(a?0)擬合，把A、B坐標(biāo)值代入，得

1?q(1)?a?b?1?a?0.48，故q(x)?0.48x2?0.52 ????q(2)?2a?b?1.2?b?0.52∴q(3)?1.35與實際誤差為0.05，q(4)?1.48與實際誤差為0.11，（教師）：（打開幾何畫板），如圖1紅線所示：

（教師）：因為圖象不經(jīng)過(0,1)這個點，可以肯定不是指數(shù)函數(shù)。

（學(xué)生）：課本上有個例子是用y?a?b來擬合的，是不是這個也可以的？（學(xué)生基本上已經(jīng)開始打開思路）

板書：④用指數(shù)型函數(shù)s(t)?a?b?c,(a?0)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值代入，得

xx 3

(1)?s(1)?a?b?c?1?2?s(2)?a?b?c?1.2(2)，?s(3)?a?b3?c?1.3(3)??a?b2?a?b?0.2?a??0.8（2）-（1）、（3）-（1）得?，∴c?1.4 ??3b?0.5??a?b?a?b?0.3故s(x)??0.8?0.5x?1.4。∴s(4)?1.35與實際的誤差為0.02

（教師）：（打開幾何畫板），如圖1綠線所示：

（學(xué)生）：（議論，基本能想到在整個函數(shù)式子后面加一個常數(shù)，很少想到圖象的左右平移，即在x后邊加一個常數(shù)）

（教師）：同學(xué)們都能想到在整個式子后加一個常數(shù)，我們知道這是圖象的上下平移；難道同學(xué)們就不能想到圖象的左右平移，那這樣的式子應(yīng)該是——

（學(xué)生）：x后邊加一個常數(shù)。

板書：⑤用對數(shù)型函數(shù)t(x)?loga(x?b)?c,(a?0且a?1)擬合，把A、B、C坐標(biāo)值

??t(1)?loga(1?b)?c?1(1)?loga?代入，得?t(2)?loga(2?b)?c?1.2(2)，（2）-（1）、（3）-（1）得??t(3)?log(3?b)?c?1.3(3)?logaa???0.22?b?a?1?b(4)2?b33?b2)?()，∵(a0.2)3?(a0.3)2，∴(??3?b1?b1?b(5)?a0.3?1?b?2?b52?0.38250.25)?()?123，∴b??0.382，a?(a)?(1?b1?0.382,b??0.382代入（1）得c?1.100，把a?1232?b?0.21?b，3?b?0.31?b故t(x)?log123(x?0.382)?1.100，∴t(4)?1.367與實際的誤差為0.003（教師）：剛才我們算了一個比較小的誤差，現(xiàn)在這個誤差是更小的。（教師）：（打開幾何畫板），如圖1墨綠線所示：

（教師）：從圖象中我們可以看到D點更加接近于曲線，所以說假如你們作為廠長的話，你們選擇的函數(shù)模型應(yīng)該是t(x)?log123(x?0.382)?1.100，以這個函數(shù)模型作為依據(jù)來估計以后幾個月的需求量。由實際的趨勢我們也可以知道當(dāng)一種新的產(chǎn)品投入市場后的一段時間內(nèi)，假如產(chǎn)品好的話，肯定會比較暢銷。過了這段時間由于市場飽和及工廠設(shè)備或另一 4 種新的產(chǎn)品出現(xiàn)等情況，必定要導(dǎo)致原來產(chǎn)品的平穩(wěn)期。所以說我們也應(yīng)該選擇這一函數(shù)模型。在剛才的函數(shù)模擬中有同學(xué)提出是否可以在式子前乘上一個系數(shù)，這是完全可以的。由于時間的關(guān)系我們就不繼續(xù)展開了，同學(xué)們可以在課后去研究一下是否可行。

實際上對于這樣一個具體的問題，我們假如繼續(xù)去模擬新的函數(shù)模型有可能會更加吻合。這里只能說沒有最好的，只有更好的，所以說答案也是不一定唯一的。馬爾薩斯人口增長模型也是在他經(jīng)過無數(shù)次的擬合后得到的一個模型。

下面我們來看一下我們剛才的基本過程：（打開PPT）（如圖2）（說明：各方塊在PPT中是逐一出現(xiàn)的）

圖2 實行了新的課程之后，我們要學(xué)習(xí)的一門重要學(xué)科就是《研究性學(xué)習(xí)》。剛才的過程給了我們一個比較好的實例，如何來解決實際的問題，對于同學(xué)們搜集到的數(shù)據(jù)如何進(jìn)行處理。

（打開PPT）小結(jié)：（1）（2）（3）（說明：小結(jié)部分可由學(xué)生自己總結(jié)得到）作業(yè)：某廠生產(chǎn)一種機器的固定投入為0.5萬元,但每生產(chǎn)100 臺,需要另投入0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的需求量為500臺,銷售收入函數(shù)為1R(x)?5x??x2(萬元),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺).2(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);(2)年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?(3)年產(chǎn)量是多少時,工廠才不會虧本?

3 板書設(shè)計

函數(shù)建模： ③ 小結(jié)： 步驟： ④ 解：① ⑤ 作業(yè)：

② 4 教學(xué)反思。

作為新課改下的一節(jié)研究性的課堂教學(xué)，主要有以下幾個理念的體現(xiàn)：（1）“預(yù)設(shè)和生成”的教育理念

一個問題擺上講臺，首先要有自己的一份思想，同時人與人的思想都不相同，總是有許多學(xué)生能夠提出新的問題，這時我們要學(xué)會去引導(dǎo)與解決。

（2）導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式

新課程里倡導(dǎo)的是學(xué)生的主動探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。這節(jié)課里的5種函數(shù)模型基本上都是學(xué)生在主動探索中來發(fā)現(xiàn)，這樣有助于發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。

（3）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

同學(xué)們在運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題時，不斷地運用了直觀感知、數(shù)據(jù)處理、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、反思與建構(gòu)等思維過程。

（4）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

越來越多的學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)已經(jīng)是越來越?jīng)]用了。實際上數(shù)學(xué)越來越多地在生活、經(jīng)濟、政治、文化等領(lǐng)域中發(fā)揮了不可替代的作用。

（5）與時俱進(jìn)地體現(xiàn)“雙基”

我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。新課改要求著我們繼續(xù)發(fā)揚這種傳統(tǒng)，但也要適當(dāng)?shù)母淖?。例如一些計算可以由計?shù)器來完成，不加入一些人為性的計算技巧等。

（6）注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。本節(jié)課中的散點圖以及各函數(shù)圖象如果不是在幾何畫板中來完成就會影響了時間又影響了各函數(shù)擬合效果。

參考文獻(xiàn)：1.課標(biāo)教案 數(shù)學(xué)A版 必修1 人民教育出版社、延邊教育出版社 2006.7 2.數(shù)學(xué)教材標(biāo)準(zhǔn)學(xué)案 數(shù)學(xué) 必修1 中國廣播電視出版社 2006.6 3.數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)講義 內(nèi)蒙古人民出版社 2005.8 4.數(shù)學(xué)1 必修 人民教育出版社 2004.5 5.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 人民教育出版社 2003.4