第一篇：3．2 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.過程與方法 進(jìn)一步感受運(yùn)用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價(jià).2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn) 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實(shí)際問題.難點(diǎn) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價(jià).3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題.現(xiàn)實(shí)生活中有些實(shí)際問題所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊(yùn)含的關(guān)系來建立.對于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析評價(jià)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度.（二）實(shí)例嘗試，探求新知

例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.1）寫出速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式；

2）寫出汽車行駛路程y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象； 3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；

4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s與時(shí)間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.本例所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊(yùn)含的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題.教師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨(dú)立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征.注意培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式.例2.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798，英國經(jīng)濟(jì)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，表示

時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年均增長率.下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）

1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達(dá)到13億？ 探索以下問題：

1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？

2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個(gè)因素？

3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？

4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評價(jià)？ 如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個(gè)時(shí)間的人口數(shù)，用的是何種計(jì)算方法？

本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型

解決實(shí)際問題的一類問題，引

與t.導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個(gè)參數(shù)完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因?yàn)橛?jì)算較繁，可以借助計(jì)算器.在驗(yàn)證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生認(rèn)識(shí)到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式.引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)測，實(shí)質(zhì)上是通過求一個(gè)對數(shù)值來確定t的近似值.課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量t與月份的x關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.探索以下問題：

1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？ 2）如何對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行評價(jià)？

本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是對函數(shù)模評價(jià)的依據(jù).本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用.三.歸納小結(jié)，發(fā)展思維.利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法； 1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價(jià)； 4）根據(jù)實(shí)際問題對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?從以上各例體會(huì)到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個(gè)基本過程.圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，經(jīng)常需要將函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化.（四）布置作業(yè)：教材P120習(xí)題32（A組）第6~9題.課堂小結(jié)

1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價(jià)； 4）根據(jù)實(shí)際問題對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?課后習(xí)題

作業(yè)：教材P107習(xí)題3.2（A組）第5、6題.板書 略

第二篇：3．2 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能 能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問題。

2、過程與方法 體驗(yàn)收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會(huì)函數(shù)擬合的思想方法。

3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀 深入體會(huì)數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活及各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及其重要價(jià)值。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn)：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：對數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，建立起函數(shù)模型，并進(jìn)行模型修正。

3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)過程 教學(xué)設(shè)想

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動(dòng)“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項(xiàng)目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應(yīng)用軟件。

這一數(shù)學(xué)模型利用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計(jì)算仿真，結(jié)果指出，將患者及時(shí)隔離對于抗擊非典至關(guān)重要、分析報(bào)告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個(gè)病人和一個(gè)潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬人。這項(xiàng)研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢預(yù)測動(dòng)力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預(yù)測。本例建立教學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。

（二）嘗試實(shí)踐

探求新知

例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表（身高：cm；體重：kg）

1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。

2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為4375px，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？ 探索以下問題：

1）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點(diǎn)圖； 2）觀察所作散點(diǎn)圖，你認(rèn)為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近？ 3）你認(rèn)為選擇何種函數(shù)來描述這個(gè)地區(qū)未成年男性體重?cái)?shù)關(guān)系比較合適？

4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)和評價(jià).5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？

本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導(dǎo)學(xué)生借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫圖，幫助判斷.根據(jù)散點(diǎn)圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進(jìn)行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對模型進(jìn)行適當(dāng)修正，并做出一定的預(yù)測.此外，注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)本例所用的數(shù)學(xué)思想方法.與身高的函例2.將沸騰的水倒入一個(gè)杯中，然后測得不同時(shí)刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：

1）描點(diǎn)畫出水溫隨時(shí)間變化的圖象；

2）建立一個(gè)能基本反映該變化過程的水溫y（℃）關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點(diǎn)畫出的圖象的吻合程度如何.3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會(huì)降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會(huì)降到10℃？對此結(jié)果，你如何評價(jià)？ 本例意圖是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.課堂練習(xí)：某地新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況良好.為了在推銷產(chǎn)品時(shí)，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，你能解決這一問題嗎？ 探索過程如下：

1）首先建立直角坐標(biāo)系，畫出散點(diǎn)圖；

2）根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型： 一次函數(shù)模型：二次函數(shù)模型：

冪函數(shù)模型：

指數(shù)函數(shù)模型：

（＞0，）利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進(jìn)行分析評價(jià)，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計(jì)算量較多，可同桌兩個(gè)同學(xué)分工合作，最后再一起討論確定.（三）歸納小結(jié)，鞏固提高.通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的基本過程如下：

（四）布置作業(yè)：

作業(yè)：教材P107習(xí)題32（B組）第1、2題：

課堂小結(jié)

通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的基本過程如下：

課后習(xí)題 作業(yè)：

教材P107習(xí)題32（B組）第1、2題：

板書 略

第三篇：3.4 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

函數(shù)應(yīng)用

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

函數(shù)應(yīng)用建模

3.教學(xué)用具 4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

1．某企業(yè)去年銷售收入1000萬元，年成本為生產(chǎn)成本500萬元與年廣告成本200萬元兩部分．若年利潤必須按p%納稅，且年廣告費(fèi)超出年銷售收入2%的部分也按p%納稅，其他不納稅．已知該企業(yè)去年共納稅120萬元．則稅率p%為

()A．10%

B．12% C．25%

D．40% 解析：利潤300萬元，納稅300·p%萬元，年廣告費(fèi)超出年銷售收入2%的部分為 200－1000×2%＝180(萬元)，納稅180·p%萬元，共納稅300·p%＋180·p%＝120(萬元)，p%＝＝25%.答案：C 2．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為

()A．36萬件

B．18萬件

C．22萬件

D．9萬件

解析：利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值． 答案：B 3．某商店已按每件80元的成本購進(jìn)某商品1000件，根據(jù)市場預(yù)測，銷售價(jià)為每件100元時(shí)可全部售完，定價(jià)每提高1元時(shí)銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為每件

()A．100元

B．110元 C．150元

D．190元 解析：設(shè)售價(jià)提高x元，則依題意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500.故當(dāng)x＝90時(shí)，ymax＝60 500，此時(shí)售價(jià)為每件190元． 答案：D 4．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，汽車離開A地的距離x(千米)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)表達(dá)式是

()A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝

解析：到達(dá)B地需要＝2.5小時(shí)，所以當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，x＝60t； 當(dāng)2.5＜t≤3.5時(shí)，x＝150；

當(dāng)3.5＜t≤6.5時(shí)，x＝150－50(t－3.5)． 答案：D 5．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是

()A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100 解析：根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型． 答案：C

二、填空題

6．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為________．

解析：依題意知：＝，即x＝(24－y)，∴陰影部分的面積

S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值為180.答案：180 7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是________．

解析：七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據(jù)題意有

3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：20

三、解答題

8．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)： R(x)＝.其中x是儀器的月產(chǎn)量．

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)解：(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20 000＋100x，從而f(x)＝.(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，∴當(dāng)x＝300時(shí)，有最大值25 000；

當(dāng)x＞400時(shí)，f(x)＝60 000－100x是減函數(shù)，f(x)＜60 000－100×400＜25 000.∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)的最大值為25 000.∴每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為25 000元．

9．當(dāng)前環(huán)境問題已成為世界關(guān)注的焦點(diǎn)，2009年哥本哈根世界氣候大會(huì)召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實(shí)行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說污染非常小．現(xiàn)有以下數(shù)據(jù)：

①當(dāng)前汽油價(jià)格為2.8元/升，市內(nèi)出租車耗油情況是一升汽油大約跑12千米；②當(dāng)前液化氣價(jià)格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑15～16千米；③一輛出租車日平均行程為200千米． 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答問題：

(1)從經(jīng)濟(jì)角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟(jì)(即省錢)；(2)假設(shè)出租車改裝液化氣設(shè)備需花費(fèi)5000元，請問多長時(shí)間省出的錢等于改裝設(shè)備花費(fèi)的錢？

解：(1)設(shè)出租車行駛的時(shí)間為t天，所耗費(fèi)的汽油費(fèi)為W元，耗費(fèi)的液化氣費(fèi)為W′元，由題意可知，W＝200×＝(t≥0，t∈N＋)，200×≤W′≤200×，即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N＋)，又>40t，即W>W′，所以使用液化氣比使用汽油省錢．(2)①設(shè)37.5t＋5 000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N＋，所以t＝546.②設(shè)40t＋5 000＝，解得t＝750.所以，若改裝液化氣設(shè)備，則當(dāng)行駛天數(shù)t∈[546,750]且t∈N＋時(shí)，省出的錢可以等于改裝設(shè)備花費(fèi)的錢．

10．某人要做一批地磚，每塊地磚(如圖1所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)E、F在什么位置時(shí)，做這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？

解：(1)證明：圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE.∴△CFE為等腰直角三角形． ∴四邊形EFGH是正方形．(2)設(shè)CE＝x，則BE＝0.4－x，每塊地磚的費(fèi)用為W，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a、2a、a(元)，W＝x2·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋ a ＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，由a＞0，當(dāng)x＝0.1時(shí)，W有最小值，即總費(fèi)用最省． 答：當(dāng)CE＝CF＝0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省．

第四篇：函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)[定稿]

函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2、感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法,對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價(jià).3、體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

通過一個(gè)情境，了解建立一次函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)型模型。一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)，不只是理論上的數(shù)學(xué)問題，它們都與現(xiàn)實(shí)世界有著緊密的聯(lián)系，我們?nèi)绾卫眠@些函數(shù)模型來解決實(shí)際問題？利用這些函數(shù)模型預(yù)測未來，改造世界。

二、實(shí)例分析

實(shí)例

1、一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示:(1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實(shí)際含義;設(shè)問：圖中每一個(gè)矩形的面積的意義是什么? 單位時(shí)間內(nèi)行駛的路程。

陰影部分的面積為360，陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km(2)試建立汽車行駛路程 S km與時(shí)間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.設(shè)問：如何建立函數(shù)關(guān)系式？根據(jù)S= vt建立函數(shù)關(guān)系。單位小時(shí)內(nèi)速度不同，所以構(gòu)成了一次函數(shù)的分段形式.（3）假設(shè)這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù) s km與時(shí)間 t h的函數(shù)解析式，與（２）的結(jié)論有何關(guān)系？

汽車的行駛里程=里程表讀數(shù)-2004，分段函數(shù)的定義域是指每個(gè)范圍的并集.說明：1.本例所給出的函數(shù)模型是一個(gè)速度-時(shí)間圖象，向另一種圖象模型和解析式模型轉(zhuǎn)化，建立了分段函數(shù)模型。

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；

②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； ③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

④還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義．

實(shí)例2.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長

y ?y0e提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

r?t(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增

長模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長模型,并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符;設(shè)問：描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的,確定這種函數(shù)模型需要幾個(gè)因素? y0和r 設(shè)問：根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型? 先求1951-1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定y0的值,從而確定人口增長模型.y?55196e得到馬爾薩斯人口增長模型：

0.0221t,t?N設(shè)問：對所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)?根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)作出如何評價(jià)? 作出人口增長函數(shù)的圖象,再在同一直角坐標(biāo)系上根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)是否在圖象上.由圖可以看出,所得模型1950-1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.(2)如果按數(shù)據(jù)表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億? 該模型只能大致描述自然狀態(tài)下的人口增長情況，而對于受到人為影響的人口增長情況，如計(jì)劃生育。如果不實(shí)行計(jì)劃生育，我國將面臨難以承受的壓力，計(jì)劃生育政策，利國利民.設(shè)問：如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個(gè)時(shí)期的人口數(shù),實(shí)質(zhì)是何種計(jì)算方法? 已知函數(shù)值,求自變量的值.設(shè)問：依據(jù)表中增長趨勢，你算一算我國2050年的人口數(shù)？ 利用函數(shù)模型既能解決現(xiàn)實(shí)問題，也可預(yù)測未來走向.說明：本題體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，更體現(xiàn)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

練習(xí)1：某人開汽車以60km/h的速率從A地到150km遠(yuǎn)處的 B 地，在B地停留1小時(shí)后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽車與A地的距離S表示為從A地出發(fā)時(shí)開始經(jīng)過的時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。

?60t?0?t?2.5??S??150?2.5?t?3.5??150?50(t?3.5)?3.5?t?6.5??練習(xí)2：水庫蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)有t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量V(t)(單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

(1)該水庫的蓄求量小于40的時(shí)期稱為枯水期.以 i?1?t?i2???t?14t?0?t?10?V(t)????4?t?10??3t?40??40?10?t?12?

i月份 ?i?1,2，12?表示第 問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？

(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量.設(shè)問：想一想：生活中我們該如何節(jié)約用水？

三、小結(jié)： 本節(jié)重點(diǎn)是：

1、體驗(yàn)函數(shù)模型是用來解決客觀世界中存在的有關(guān)實(shí)際問題；

2、建立分段函數(shù)的函數(shù)模型時(shí)，要注意定義域“不重、不漏”的原則；

3、利用函數(shù)模型既能解決現(xiàn)實(shí)問題，也可預(yù)測未來走向。

4、建立（確定）函數(shù)模型的基本步驟： 第一步：審題

讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解題中所給的圖形、表格的現(xiàn)實(shí)意義，進(jìn)而把握住新信息，確定相關(guān)變量的關(guān)系。第二步：建模

確定相關(guān)變量后，根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：求模

利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。第四步：還原再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答。

四、作業(yè):（1）教材107頁1、2、4.（2）社會(huì)實(shí)踐題：找到身邊的函數(shù)應(yīng)用模型實(shí)例兩例。

第五篇：建立二次函數(shù)模型教學(xué)設(shè)計(jì)

《建立二次函數(shù)模型》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能

1.掌握二次函數(shù)的概念。

2.能根據(jù)實(shí)際情況列出二次函數(shù)表達(dá)式，并確定自變量的取值范圍。

（二）過程與方法

1.經(jīng)歷探索和表示二次函數(shù)關(guān)系的過程。2.體驗(yàn)如何用二次函數(shù)表示變量之間的關(guān)系。

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.積極參與探索活動(dòng)、樂于和同伴交流與合作，敢于在交流中發(fā)表意見，并能聽取別人的不同見解。

2.體驗(yàn)二次函數(shù)模型是描述實(shí)際生活的有效工具。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1.教學(xué)重點(diǎn)： 二次函數(shù)的概念。2.教學(xué)難點(diǎn)：

根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并確定二次函數(shù)自變量的范圍

三．教學(xué)方法：

目標(biāo)教學(xué)法 四．教學(xué)用具： 多媒體

五、教學(xué)過程

（一）激趣導(dǎo)入

籃球在空中運(yùn)行的路線、美麗的橋孔、迷人的彩虹、歡騰的噴泉都是什么曲線呢？你能建立一個(gè)函數(shù)模型來刻畫這些曲線嗎？這就是本章要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像。

（二）探究新知

1、二次函數(shù)的定義

(Ⅰ)由實(shí)際生活中的兩例問題，引入二次函數(shù)的定義，從而指出二次函數(shù)自變量的取值范圍。(Ⅱ)典型例題：

【例1】下列函數(shù)中（x,t是自變量），哪些是二次函數(shù)？(1)y=-0.5+3x2 ,(2)y=x(x+1)-x2 +2(3)y=22+2x,(4)s=1+t+5t2(5)y=(m-1)x2+3x(m為任意實(shí)數(shù)）(6)y=-3x2(Ⅲ)變式練習(xí)一

2、建立二次數(shù)學(xué)模型(Ⅰ)典型例題：

【例2】 某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元．當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫出 y與x的函數(shù)關(guān)系式.(Ⅱ)變式練習(xí)二

三、拓展延伸

在例2中，我們求出了 y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-20x2+100x+6000.若你是該商場的經(jīng)理，請你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，決策降價(jià)多少元時(shí)，能獲取最大利潤？最大利潤是多少？

四、小結(jié)： 本節(jié)課你有什么收獲？

五、課堂檢測

1、二次函數(shù)的一般形式是y=________________

2y?(m?n)x?mx?n是二次函數(shù)的條件是（）

2、函數(shù)A．m、n是常數(shù)，且m≠０ B．m、n是常數(shù)，且m≠n C．m、n是常數(shù)，且n≠０ D．m、n可以為任何常數(shù)

3、下列不是二次函數(shù)的是（）

x2y?2y?3(x?1)?12 A． B．2y?x?5 D．y?(x?1)(x?1)C．

4、下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)模型的是（）A．在一定距離內(nèi)，汽車行駛的速度與行使的時(shí)間的關(guān)系 B．電壓一定時(shí)，電流也電阻之間的關(guān)系

C．矩形周長一定時(shí)，矩形面積和矩形邊長之間的關(guān)系 D．圓的周長與半徑之間的關(guān)系

5、設(shè)圓柱的高為6 cm，寫出圓柱的體積V（cm3）與底面半徑為r(cm)的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)圓柱體積為54πcm3時(shí)半徑r的值？