第一篇：高中數(shù)學《數(shù)列的極限》教學設計

高中數(shù)學《數(shù)列的極限》教學設計

一、教學目標

1.知識與能力目標

①使學生理解數(shù)列極限的概念和描述性定義。

②使學生會判斷一些簡單數(shù)列的極限，了解數(shù)列極限的“e-N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數(shù)列的極限。

③通過觀察運動和變化的過程，歸納總結(jié)數(shù)列與其極限的特定關(guān)系，提高學生的數(shù)學概括能力和抽象思維能力。

2.過程與方法目標

培養(yǎng)學生的極限的思想方法和獨立學習的能力。

3.情感、態(tài)度、價值觀目標

使學生初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。

二、教學重點和難點

教學重點：數(shù)列極限的概念和定義。

教學難點：數(shù)列極限的“ε―N”定義的理解。

三、教學對象分析

這節(jié)課是數(shù)列極限的第一節(jié)課，足學生學習極限的入門課，對于學生來說是一個全新的內(nèi)容，學生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》內(nèi)容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學生在以往的數(shù)學學習中主要接觸的是關(guān)于“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導他們作出描述性定義“當n無限增大時，數(shù)列｛an｝中的項an無限趨近于常數(shù)A，也就是an與A的差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數(shù)列的極限。但要使他們在一節(jié)課內(nèi)掌握“ε-N”語言求極限要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，歸納研究一些簡單的數(shù)列的極限。使學生理解極限的基本概念，認識什么叫做數(shù)列的極限以及數(shù)列極限的定義即可。

四、教學策略及教法設計

本課是采用啟發(fā)式講授教學法，通過多媒體課件演示及學生討論的方法進行教學。通過學生比較熟悉的一個實際問題入手，引起學生的注意，激發(fā)學生的學習興趣。然后通過具體的兩個比較簡單的數(shù)列，運用多媒體課件演示向?qū)W生展示了數(shù)列中的各項隨著項數(shù)的增大，無限地趨向于某個常數(shù)的過程，讓學生在觀察的基礎上討論總結(jié)出這兩個數(shù)列的特征，從而得出數(shù)列極限的一個描述性定義。再在教師的引導下分析數(shù)列極限的各種不同情況。從而對數(shù)列極限有了直觀上的認識，接著讓學生根據(jù)數(shù)列中各項的情況判斷一些簡單的數(shù)列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習鞏固，通過這樣的一個完整的教學過程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學生逐步地了解極限這個新的概念，為下節(jié)課的極限的運算及應用做準備，為以后學習高等數(shù)學知識打下基礎。在整個教學過程中注意突出重點，突破難點，達到教學目標的要求。

五、教學過程

1.創(chuàng)設情境

課件展示創(chuàng)設情境動畫。

今天我們將要學習一個很重要的新的知識。

情境

1、我國古代數(shù)學家劉徽于公元263年創(chuàng)立“割圓術(shù)”，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

情境

2、我國古代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之???如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完?

大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。

2.定義探究

展示定義探索(一)動畫演示。

問題1：請觀察以下無窮數(shù)列，當n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點?

(1)1/2,2/3,3/4,?n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n??

問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數(shù)列隨項數(shù)n的增大項有那些特點?

師生一起歸納總結(jié)出以下結(jié)論：數(shù)列(1)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1；數(shù)列(2)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1。

那么就把1叫數(shù)列(1)的極限，1叫數(shù)列(2)的極限。這兩個數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項數(shù)n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數(shù)，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的極限。

那么，什么叫數(shù)列的極限呢?對于無窮數(shù)列an，如果當n無限增大時，an無限趨向于某一個常數(shù)A，則稱A是數(shù)列an的極限。

提出問題3：怎樣用數(shù)學語言來定量描述呢?怎樣用數(shù)學語言來描述上述數(shù)列的變化趨勢?

展示定義探索(二)動畫演示，師生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數(shù)。無論預先指定多么小的正數(shù)e，如取e=O-1，總能在數(shù)列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0。0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數(shù)列(1)的極限。最后，師生共同總結(jié)出數(shù)列的極限定義中應包含哪量(用這些量來描述數(shù)列1的極限)。

數(shù)列的極限為：對于任意的ε>0，如果總存在自然數(shù)N，當n>N時，不等式｜an-A｜n的極限。

定義探索動畫(一)：

課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應的數(shù)列第n項的值，并且動畫演示數(shù)列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。

定義探索動畫(二)課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應的數(shù)列第n項的值和I an一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。

3.知識應用

這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。

例1.已知數(shù)列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5??,(-1)n+11/n，??

(1)計算|an-0|(2)第幾項后面的所有項與0的差的絕對值都小于0.017都小于任意指定的正數(shù)。

(3)確定這個數(shù)列的極限。

例2.已知數(shù)列：

已知數(shù)列：3/2,9/4,15/8??，2+(-1/2)n，??。

猜測這個數(shù)列有無極限，如果有，應該是什么數(shù)?并求出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1，從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.017

例3.求常數(shù)數(shù)列一7，一7，一7，一7，??的極限。

5.知識小結(jié)

這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對數(shù)列極限有了初步的認識。數(shù)列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數(shù)列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變之間的辯證關(guān)系在這里得到了充分的體現(xiàn)。

課后練習：

(1)判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)課本練習1，2。

6.探究性問題

設計研究性學習的思考題。

提出問題：

芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當阿基里斯追到O.1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里??這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎?

這里是研究性學習內(nèi)容，以學生感興趣的悖論作為課后作業(yè)，鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，進一步提高了學生學習數(shù)列的極限的興趣。同時也為學生創(chuàng)設了課下交流與討論的情境，逐步培養(yǎng)學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了數(shù)學來源于生活，又服務于生活的實質(zhì)，逐步養(yǎng)成用數(shù)學的知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。

第二篇：數(shù)列極限教學設計

數(shù)列極限教學設計

復習目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會用“”定義證明簡單數(shù)列的極限。

2.掌握三個最基本的極限和數(shù)列極限的運算法則的運用。

3.理解無窮數(shù)列各項和的概念。

4.培養(yǎng)學生的推理論證能力、運算能力，提高學生分析問題，解決問

題的能力。

教學過程：

問題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？

數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列{an},如果存在一個常數(shù)A，無論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于，（即當n>N時，記<恒成立），則常數(shù)A叫數(shù)列{an}的極限。——“”定義。問題2：“作用？ 正數(shù)”定義中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定義的兩個基本特征。

時，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，<的幾何意義是什么？

因為< 即A-n,所以無論區(qū)間（A-，A+）多么小，當n>N時，an對應的點都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內(nèi)。”定義來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ <恒成關(guān)鍵是對任意的要找到滿足條件的N。（條件是當n>N時，立）。

問題6

：無窮常數(shù)數(shù)列有無極限？數(shù)列呢？數(shù)列

（<1）呢？

三個最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數(shù)列極限的運算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個數(shù)列都有極限，那么這兩個數(shù)列對應項的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。

問題9：無窮數(shù)列各項和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數(shù)列的前n項和，特別地，對無窮等比數(shù)列（<1），s=。注意它的含義和成立條件。例1

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計算：

（++）=0，求實數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為

<1)的等比數(shù)列，它的前n項和為，是首項為1，公比為q（記=+++，若（-）=1，求d , q。

小結(jié)：本節(jié)課復習了數(shù)列極限的概念，運算法則，三個最基本的極限，無窮數(shù)列各項和的概念，以及它們的運用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡單數(shù)列的極限，利用運算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無窮數(shù)列各項和。

第三篇：上海高中數(shù)學數(shù)列的極限

7.6

數(shù)列的極限

課標解讀：

1、理解數(shù)列極限的意義；

2、掌握數(shù)列極限的四則運算法則。

目標分解：

1、數(shù)列極限的定義：一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列限地趨近于某個常數(shù)注：

?an?的項an無a(即|ann?a|無限地接近于0)，那么就說數(shù)列?an?以a為極限。

a不一定是?a?中的項。

1lim?0limC?Cn??n2、幾個常用的極限：①n??(C為常數(shù))；②；③limqn?0(|q|?1)n??；

3、數(shù)列極限的四則運算法則：設數(shù)列?an?、?bn?，當liman?an??，limbn?bn??時，n??limlim(an?bn)?a?b；

lim(an?bn)?a?bn??ana?(b?0)n??bbn；

4、兩個重要極限：

①c?0?01?limc??1c?0n??n?不存在c?0?

|r|?1?0?nlimr?1r?1 ②n????不存在|r|?1或r??1? 問題解析：

一、求極限：

例1：求下列極限：

2(1)lim4n?n?1lim3n3?nn??2n2?3

(2)

n??2n4?n(3)

nlim??(n2?n?n)

例2：求下列極限：(1)nlim??(1n2?4n2?73n?2n2???n2)；

(2)lim1n??[2?5?15?8?18?11???1(3n?1)?(3n?2)]

例3：求下式的極限：

limcosn??sinn?n??cosn??sinn?,??(0,?2)

二、極限中的分數(shù)討論：

例4：已知數(shù)列?an?是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1?3，lgan?lgan?1?lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)。

(1)求數(shù)列?an?的通項公式及前n項和Sn；

且滿足2n?1?an(2)求lim的值。n??2n?an?1

三、極限的應用：

1(1?)p?1n例5：已知p、q是兩個不相等的正整數(shù)，且q?2，求lim的值。

n??1q(1?)?1n

知識內(nèi)化：

1、limn?2?__________________。

n??1?2???n113n?2lim[????]?______________。

2、n??n(n?1)n(n?1)n(n?1)2n?1?n?3n?___________________。

3、limn?1n?1n??2?n?3

4、下列四個命題中正確的是（）

2A、若liman?A，則liman?A

n??n??2B、若an?0，liman?A，則A?0

n??2C、若liman?A，則liman?A

n??2n??nnD、若lim(a?b)?0，則liman?limbn

n??n??n??q，q?1，5、已知數(shù)列?an?、公比分別為p、其中p?q且p?1，?bn?都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，設cn?an?bn，Sn為數(shù)列?cn?的前n項和，求lim

能力遷移：

Sn。

n??Sn?1

1、數(shù)列?an?、?bn?都是無窮等差數(shù)列，其中a1?3，b1?2，b2是a2與a3的等差中項，且liman1111????)的值。?，求極限lim(n??n??ba1b1a2b2anbn2n

基本練習：

一、填空題：

n2?2n?___________________。

1.limn??b2n2?3 2.若lim(2x?1)的極限存在，則實數(shù)x的取值范圍__________________。

n??nn2?1?an?b)?1，則a=______________，b=____________________。

3.lim(n??n?1 4.數(shù)列?an?中，a1?3，且對任意大于1的正整數(shù)n，點(an,則liman?1)在直線x?y?3?0上，an?__________________。

n??(n?1)2f(n2)5.已知f(n)?1?2???n，則lim?__________________。

n??[f(n)]2an?n2 6.數(shù)列?an?的公差d是2，前n項的和為Sn，則lim?_________________。

n??Sn 7.設數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim ______________________。

anb?b2???b2n等于 ?2，則lim1n??bn??na3nnn?3n1

8、將lim，則實數(shù)x的取值范圍是__________________。?n??n(x?2)n?n?3n?1?3n3

9、已知數(shù)列?an?： 112123129????，…，那么數(shù)列，?，??，…，233444101010?1???的所有項的和為________________。?an?an?1?

10、已知等比數(shù)列?an?的首項a1，公比q，且有l(wèi)im(n??a11?qn)?，則首項a1的取值范圍 1?q2 是__________________。

二、選擇題

bn2?can2?c?3，則lim211、已知a、b、c是實常數(shù)，且lim2的值是（）

n??cn?bn??cn?a A、2 B、3

C、1

2D、6 ?1,1?n?100012、?a中，a??n?n??n2，則數(shù)列?an?的極限值（）?n2 ??n2?2n,n?1001 A、等于0

B、等于1

C、等于0或1 13、1111nlim??[n(1?3)(1?4)(1?5)?(1?n?2)]等于（）A、0 B、1

C、2

D、3

14、已知lim2n?ann??2n?an?1，a?R，則a的取值范圍是（）A、a?0 B、a??2，a?2

C、?2?a?2

a??2

三、解答題

15、已知等差數(shù)列前三項為a、4、3a，前n項和為Sn，Sk?2550

(1)求a及k的值；(2)求lim11n??(S????1)1S2Sn16、曲線C:xy?1(x?0)與直線l:y?x相交于A1，作A1B1?l交x輛于B1，作B1A2//l交曲線C于A2……依此類推。

D、不存在

D、a?2且(1)求點A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐標；(2)猜想An的坐標，并加以證明；(3)求lim |BnBn?1|

n??BBn?1n17、已知數(shù)列{an}滿足(n?1)an?1?(n?1)(an?1)且a2?6，設bn?an?n(n?N?)(1)求{bn}的通項公式；(2)求lim(n?? 1111?????)的值。b2?2b3?2b4?2bn?23(an?1)(n?N)。數(shù)列{bn}的通項公式為bn?4n?3(n?N)2Tn?

18、設Tn為數(shù)列{an}前n項的和，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若c?{a1,a2,a3?,an,?}?{b1,b2,b3?,bn,?}，則c稱為數(shù)列{an}，{bn}的公共項，將數(shù)列{an}與{bn}的公共項按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列{cn}的通項公式為cn?32n?1(n?N)；(3)設數(shù)列{cn}中的第n項是數(shù)列{bn}中的第m項，Bm為數(shù)列{bn}前m項的和；Dn為數(shù)列{cn}前n項的和，且An?Bm?Dn；求：lim

An。

n??(a)4n

第四篇：數(shù)列的極限_教學設計

數(shù)列的極限 教學設計

西南位育中學 肖添憶

一、教材分析

《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學中最重要和最基本的概念之一，因為極限理論是微積分學中的基礎理論，它的產(chǎn)生建立了有限與無限、常量數(shù)學與變量數(shù)學之間的橋梁，從而彌補和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運算法則、無窮等比數(shù)列各項和的求解也要用到數(shù)列極限的運算與性質(zhì)來推導，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。

課本在內(nèi)容展開時，以觀察n??時無窮等比數(shù)列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發(fā)展趨勢為出發(fā)點，結(jié)合數(shù)n21的發(fā)展趨勢，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個常用極限。但引入部分的表述如“無限趨近于0，但它永遠不會成為0”、“不管n取值有多大，點（n，an）始終在橫軸的上方”可能會造成學生對“無限趨近”的理解偏差。

二、學情分析

通過第七章前半部分的學習，學生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對于學生來說，數(shù)列極限是一個全新的內(nèi)容，學生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡的階段。

由于已有的學習經(jīng)驗與不當?shù)耐评眍惐?，學生在理解“極限”、“無限趨近”時可能產(chǎn)生偏差，比如認為極限代表著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學中“極限”的含義相差甚遠。在學習數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與數(shù)列中“無限趨近”的含義有所差異，學生往往會因為常數(shù)列能達到某一個常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實。

三、教學目標與重難點 教學目標：

1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學知識的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來龍去脈；

2、經(jīng)歷極限定義在漫長時期內(nèi)發(fā)展的過程，體會數(shù)學家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；

3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項公式來考察數(shù)列的極限；掌握三個常用極限。教學重點：理解數(shù)列極限的概念

教學難點：正確理解數(shù)列極限的描述性定義

四、教學策略分析

在問題引入時著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”在認知上的矛盾，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學習內(nèi)容。在極限概念形成時，結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學，讓學生意識到數(shù)學理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學的歷史發(fā)展過程與學生的認知過程有著一定的相似性，學生在某些概念上的進展有時與數(shù)學史上的概念進展平行。比如部分學生的想法與許多古希臘的數(shù)學家一樣，認為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合，它的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系列觀點，能幫助學生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程以認知角度加以分析，有助于學生學習數(shù)學家的思維方式，了解數(shù)學概念的發(fā)展，進而建構(gòu)推理過程，使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習診斷部分，不但要求回答問題，還需對選擇原因進行辨析，進而強化概念的正確理解。

五、教學過程提綱與設計意圖 1.問題引入

讓一名學生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動距講臺距離的一半，在黑板上寫出表示學生到講臺距離的數(shù)列。這名學生是否能走到講臺呢？類比“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”，莊子認為這樣的過程是永遠不會完結(jié)的，然而“講臺永遠走不到”這一結(jié)果顯然與事實不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學家們是如何思考的?！驹O計意圖】

改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并引出本節(jié)課的學習內(nèi)容

2.極限概念的發(fā)展與完善

極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因“無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實數(shù)理論的形成，嚴格的極限理論至此才真正建立?！驹O計意圖】

教師引導學生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，了解數(shù)學家們提出觀點的時代背景，對照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點與現(xiàn)今數(shù)學界認可的觀點時，會使學生產(chǎn)生認知沖突。從而可能使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學教學中，結(jié)合數(shù)學史展開教學可以讓學生意識到數(shù)學理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學生概念轉(zhuǎn)變的動機。

3.數(shù)列極限的概念

極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實踐的需要，不是哪一名數(shù)學家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴格定義經(jīng)歷了相當漫長的時期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對于極限的闡述。

定義：在n無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列{an}中的an無限趨近于一個常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列{an}的極限，或叫做數(shù)列{an}收斂于A，記作liman?A，讀作“n趨向于

n??無窮大時，an的極限等于A”。

在數(shù)列極限的定義中，可用|an-A|無限趨近于0來描述an無限趨近于A。

如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。

【設計意圖】

通過比較歷史上不同觀點下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學生進一步明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習診斷

由數(shù)列極限的定義得到三個常用數(shù)列的極限:(1)limC?C(C為常數(shù))；

n??(2)lim1?0(n?N*)； n??nnn??(3)當|q|<1時，limq?0.練習<1>判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請說明理由

20162016（1）an?；

nsinn?； n（3）1,1,1,1,?,1（2）an?（4）an????4(1?n?1000)

?4(n?1001)?1?1-，n為奇數(shù)（5）an??n

?? 1，n為偶數(shù)注：

（1）、（2）考察三個常用極限

（3）考查學生是否能清楚認識到數(shù)列極限概念是基于無窮項數(shù)列的背景下探討的。當項數(shù)無限增大時，數(shù)列的項若無限趨近于一個常數(shù)，則認為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)列的項數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個概念。

（4）引用柯西的觀點，解釋此處無限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項數(shù)的增加，數(shù)列的項與某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項無關(guān)且無窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。

（5）擴充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學生將趨近誤解為項數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習<2>若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，則以下對A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數(shù)

B、A的精確值為1 C、A的近似值為1

選擇此選項的原因是_________ ①由于A的小數(shù)位都是 9，找不到比A大但比1小的數(shù)；

②A是由無限多個正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2；

③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的極限；

④1與A的差等于 0.00…01。

注：此題是為考查學生對于無窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學家們曾長時期陷入對無窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對極限概念的理解。學生學習極限概念時可能也會遇到類似的誤區(qū)。

練習<3>順次連接△ABC各邊中點A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點 A2、B2、C2并順次連接又得到一個新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進行下去，那么最終得到的圖形是_________.A、一個點

B、一個三角形

C、不確定

選擇此選項的原因是_________.①

無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于 0 但不可能等于 0。②

當操作一定次數(shù)后，三角形的三點會重合。

③

該項操作可以無限多次進行下去，因而總能作出類似的三角形。

④

無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。

注：此題從無限觀的角度考察學生對極限概念的的理解。學生容易忽視極限概念中的實無限，他們在視覺上采用無窮疊加的形式，但是會受最后一項的慣性思維，導致采用潛無限的思辨方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過程或無窮整體。相對地，潛無限是指把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著不斷產(chǎn)生出來的東西。它永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在的。持有潛無限觀點的學生在理解極限概念時，會將極限理解為是一個漸進過程，或是一個不可達到的極值。

通過習題，分析總結(jié)以下三個注意點：

（1）數(shù)列{an}有極限必須是一個無窮數(shù)列，但無窮數(shù)列不一定有極限存在；

1}可以說隨著n的無限增大，n1數(shù)列的項與-1會越來越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說lim??1；

n??n（2）“無限趨近”不能用“越來越接近”代替，例如數(shù)列{（3）數(shù)列{an}趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形式。

【設計意圖】

通過例題與選項原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū)：

第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學生對于數(shù)列趨向于極限方式的錯誤認知。第三類是對于無限的錯誤認知。

5.課堂小結(jié)

極限的描述性定義與注意點 三個常用的極限

6.作業(yè)布置

1>任課老師布置的其他作業(yè)

2>學習魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義，并用該定義證明習題<1>的第一第二小問 【設計意圖】

通過與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問題，完善極限概念的體系，為學生創(chuàng)設課后自主探究平臺，感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的數(shù)學家的智慧。

第五篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:

當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴格寫法應該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?