第一篇：數列極限定義的教學設計探討(科技創(chuàng)新導報)

聯系方法：浙江杭州臨安浙江林學院理學院 顧慶鳳 郵編 311300 聯系電話：*** 郵箱：ganzhougirl@163.com

數列極限定義的教學過程設計探討?

顧慶鳳

（浙江林學院理學院，浙江臨安 311300）

摘要：數列極限是高等數學的基礎，理解和掌握好數列極限的定義對大學生高等數學的學習起著至關重要的作用，而數列極限定義中的符號關系復雜，不易理解。為幫助學生深刻理解數列極限的定義，我們這里對數列極限定義教學過程的設計進行了探討。關鍵詞：數列；數列極限；描述性定義；?-N定義

數列極限是高等數學的基礎，是高等數學中最重要的概念之一，它是研究微分學和積分學的必備工具，對它的理解和掌握關系到高等數學這門課的學習，也關系到對后繼課程理解的程度。另外，由于學生剛入學不久的高等數學課就要接觸極限概念，而且數列極限的?-N定義中符號關系復雜，不易理解，如果不能理解好數列極限的?-N定義，這將會影響學生學習高數的信心。怎樣教數列極限，才能讓學生真正了解它的直觀背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定義，機械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引導學生從數列極限的描述性定義向?-N定義過渡和轉化。筆者總結多年教學經驗，對數列極限定義的教學過程進行了如下設計：

1.導入新知—-讓學生體會極限的思想方法及極限定義發(fā)生發(fā)展的過程

介紹我國古代數學家對數列極限思想所作的貢獻。如公元前四世紀，我國古代的哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”，這句話用數量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺數是一個無窮等比數列1111?1?1，2,3,?,n?，然后啟發(fā)學生思考由無窮數列?n?的變化趨勢怎樣去解釋“萬世2222?2?不竭”的含義。通過思考，學生最后得出結論：“

1越來越接近0，但永遠不等于0，所以n2萬世不竭。又介紹我國魏晉時期大數學家劉徽利用圓的內接正多邊形來推算圓的面積的方法—割圓術，就是用到極限思想研究幾何問題。他首先作圓的內接正六邊形，再作圓的內接正十二邊形、內接正二十四邊形、內接正四十八邊形?，當邊數無限增大時，從圖形上看，內接正多邊形無限接近于圓，從數值上看，內接正多邊形的面積無限接近于一個常數，這個常數就是該圓的面積。通過模擬割圓術，使學生比較具體的感受到“無窮數列的變化趨勢”，加深了學生對“變化趨勢”、“無限接近”、“極限”等感性的認識。

2.無窮數列的概念—-讓學生理解數列也是一種函數，我們主要關心其變化趨勢

這里告訴學生：數列?xn?可以看作自變量為正整數n的函數，即xn?f(n),n?Z.?這樣后面函數極限定義的講解可以從數列極限定義自然地過度。然后，讓學生對數列 ?1 作者簡介：顧慶鳳（1979.1）,女,碩士,講師,碩士,研究方向：排隊論。n?1??(?1)?nn?n?,??,(?1),2考察：當n??時，這些數列分別無限接近多少。從而讓學?2??n?????生明白：對于數列?xn?，我們主要關心當n無限增大時，數列xn無限接近什么？

3.通過觀察引出極限的描述性定義

通過第2部分的例子讓學生直觀地歸納出數列的描述性定義：“如果n無限增大時，數列xn無限接近于一個常數a，則稱該數列以a為極限，記作limxn?a或xn?a(n??).n??如果這樣的常數a不存在，則稱數列?xn?沒有極限。這里指出描述性定義易懂但不精確，科學的極限定義必須超越直觀與想象，在運算和推理論證中具有可操作性，所以必須將“無限增大”、“無限接近”這些定性描述的語句轉換為定量的刻畫。

4.從極限的描述性定義向?-N定義轉化

結論“xn無限接近于一個常數a”的轉換：該語句等價于“距離xn?a可以任意小”，因此表達成“???0,xn?a??”，但此式的成立是以“n無限增大”為前提的，這個前提條件表達成“?N(某項數)，當n?N時”。所以“n無限增大時，數列xn無限接近于一個常數a”的轉換成：“???0,?N(某項數)，當n?N時，有xn?a??”。這相當于說，???0,n?1,2,?N時不必有xn?a??，從N?1項起后面的所有項皆有xn?a??，即xN?1?a??，xN?2?a??，?。

5.?-N定義的進一步分析

教師還須對?-N定義作進一步的解釋，要指出：

①?是事先給定的任意小的正數，它具有兩重性。一是它的任意性，因此它不是一個固定的常數，它是用來刻畫xn無限接近于常數a的程度的；二是它的相對固定性，?一經取定，就相對固定了下來，以便根據它去求出N。

②N的相對存在性。N由相應的?確定，一般?越小，N越大，有時N也記成N(?),但并不意味著N由?唯一確定。N重要的是存在，而不在乎其大小。

③?與N的關系：?任意給定后，才能找到相應的N，當n滿足n?N時，才有xn?a??，其中N是?給定后才確定的。

6.從理性認識又回歸感性認識，對定義作出幾何解釋

介紹極限定義的幾何意義，將數學語言轉化為幾何語言：不管?多么小，總能找到一個正整數N，從N?1項開始后面的所有項xn都落在點a的?鄰域內，在鄰域外最多只有有限項x1,x2,?,xN.通過對極限定義的幾何表達，學生對于圖像這樣的具體表現形式更容易接受和理解。

7.用極限的?-N定義來證明數列的極限

首先分析如何用?-N定義來證明limxn?a.任意給定了?之后，問題的關鍵就是找正

n??整數N，使得當n?N時，就有xn?a??都成立。那么怎么找N呢？問題轉化為根據?去找N，也就是說，從不等式xn?a??出發(fā)，去解一個關于n的不等式，一定要推出n?h(?)的形式，這樣的[h(?)]就是我們要找的N。

n2然后師生按?-N定義證明極限lim?0;lim2?1;limqn?0,q?1。

n??n??n?1n??n1指出論證的目的是對任意給出的?考察相應的N是否存在，總結解題步驟，初步學習證明數列極限的方法，其中涉及不等式適當放大的技巧。

8.課余討論題

讓學生討論問題“?的功能可否用a?來替代，可否限制0???a(其中a為某正數)，n?N可否寫成n?N？”，讓學生進一步體會?，N的本質。

9.布置作業(yè)

書后的習題約3到4題。

在這樣的教學過程中，極限的?-N定義的難度得到了合理的分解，學生循序漸進，最終達到理解、掌握和運用的目標，為后繼學習準備了必要的基本工具。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].上冊.第六版.高等教育出版社.2007.[2] 同濟大學數學系.高等數學習題全解指南[M].上冊.第六版.高等教育出版社.2007.[3]王家軍.高等數學 [M].上冊.第一版.中國農業(yè)出版社.2009.

第二篇：數列極限的定義

第十六教時

教材：數列極限的定義

目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學會用??N語言來說明數列的極限，從而使學生在學習數學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當n無限增大時，圓的內接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數列的極限考察下面的極限

1? 數列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當n無限增大時，相應的項1

n可以“無限趨近于”常數0

2? 數列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當n無限增大時，相應的項n

n?1可以“無限趨近于”常數1

3? 數列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當n無限增大時，相應的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數

引導觀察并小結，最后抽象出定義：

一般地，當項數n無限增大時，無窮數列?an?的項an無限地趨近于某

個數a（即an?a無限地接近于0），那么就說數列?an?以a為極限，或者說a是數列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數列才有極限）

數列1的極限為0，數列2的極限為1，數列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數列是遞增、遞減還是擺動數列；再看這個數列當n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數。

練習：（共四個小題，見課本）

四、有些數列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a1?(?1)n1?(?1)n

n?22．an?2

3．an?an(a?R)

n

4．a1)n?1?3?5?

n?(?n5．an?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數列?an?的極限為5

五、關于“極限”的感性認識，只有無窮數列才有極限

六、作業(yè)：習題1

補充：寫出下列數列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第三篇：數列極限的定義

Xupeisen110高中數學

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

?

1n

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任

意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數學

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時

n??

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設?是任意給定的小正數

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當n?N時，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第四篇：數列極限教學設計

數列極限教學設計

復習目的：1.理解數列極限的概念，會用“”定義證明簡單數列的極限。

2.掌握三個最基本的極限和數列極限的運算法則的運用。

3.理解無窮數列各項和的概念。

4.培養(yǎng)學生的推理論證能力、運算能力，提高學生分析問題，解決問

題的能力。

教學過程：

問題1：根據你的理解，數列極限的定義是如何描述的？

數列極限的定義：對于數列{an},如果存在一個常數A，無論事先指定多么小的正數，都能在數列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于，（即當n>N時，記<恒成立），則常數A叫數列{an}的極限。——“”定義。問題2：“作用？ 正數”定義中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定義的兩個基本特征。

時，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，<的幾何意義是什么？

因為< 即A-n,所以無論區(qū)間（A-，A+）多么小，當n>N時，an對應的點都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內?！倍x來證明數列極限的關鍵是什么？ <恒成關鍵是對任意的要找到滿足條件的N。（條件是當n>N時，立）。

問題6

：無窮常數數列有無極限？數列呢？數列

（<1）呢？

三個最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數列極限的運算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個數列都有極限，那么這兩個數列對應項的和，差，積，商組成新數列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項作為除數的數列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。

問題9：無窮數列各項和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數列的前n項和，特別地，對無窮等比數列（<1），s=。注意它的含義和成立條件。例1

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計算：

（++）=0，求實數a,b的值。+，例5．已知數列是首項為1，公差為d的等差數列，它的前n項和為

<1)的等比數列，它的前n項和為，是首項為1，公比為q（記=+++，若（-）=1，求d , q。

小結：本節(jié)課復習了數列極限的概念，運算法則，三個最基本的極限，無窮數列各項和的概念，以及它們的運用，主要是利用數列極限概念證明簡單數列的極限，利用運算法則求數列的極限，（包括已知極限求參數），求無窮數列各項和。

第五篇：數列極限的定義教案

第十七教時

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

n

1．以數列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點越來越接近

2只要n充分大，表示點a(?1)n即：n與原點的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進而：就是可以小于預先給定的任意小的正數 n

2．具體分析：(1)如果預先給定的正數是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數列??(?1)n??n??的第10項之后的所有項都滿足

(2)同理：如果預先給定的正數是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預先給定的正數是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無限增大時

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結論：常數數列的極限是這個常數本身

例四 這是一個很重要的結論

四、用定義證明下列數列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設?是任意給定的小正數

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對數 n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數 2n?12n當n?N時，2n?1??恒成立

∴l(xiāng)im?1n??2n?1

證明2：設?是任意給定的小正數

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當n?N時，2n?1?2??恒成立

∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32