第一篇：《利用圖形求等比數(shù)列之和》教案

教學內(nèi)容：

人教版小學數(shù)學教材六年級上冊第107～108頁例2及相關練習。

教學目標：

1．在學習過程中引導學生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會利用圖形來解決一些有關數(shù)的問題。

2．讓學生經(jīng)歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。

重點難點：

探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來解決有關數(shù)的問題。

教學準備：

教學課件。

教學過程：

一、直接導入，揭示課題

同學們，上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，今天我們繼續(xù)研究有關數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。（板書課題：數(shù)與形）

【設計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節(jié)課學習的內(nèi)容和方向。

二、探索發(fā)現(xiàn)，學習新知

（一）教師與學生比賽算題

1．教師：你知道等于多少嗎？（學生：）

教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。

2．只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規(guī)律寫下去，不管有多少個分數(shù)相加，我都能立馬算出結(jié)果。有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了方便，我請我們班計算最快的同學跟我一起算，看看結(jié)果是否相同。誰來出題？

學生出題。預設

在學生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學生感到很驚奇。

3．知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？

【設計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，且每次老師勝利，使學生產(chǎn)生好奇心，再通過教師幽默的語言，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。另一方面，為接下來學習例題做好鋪墊。

（二）借助正方形探究計算方法

1．這件法寶就是（師邊說邊課件出示一個正方形），讓我們來把它變一變，聰明的同學們一定能看明白是怎么回事了。

2．進行演示講解。

（1）演示：用一個正方形表示1，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關系呢？（涂色部分等于1減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說。

（2）繼續(xù)演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？

根據(jù)學生回答，板書。

（3）演示：那么計算就可以得到？（）。

3．看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

4．小結(jié)：按照這樣的規(guī)律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。

5．這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？

6．嘗試練習

【設計意圖】將復雜的數(shù)量運算轉(zhuǎn)化為簡單的圖形面積計算，轉(zhuǎn)繁為簡，轉(zhuǎn)難為易，引導學生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系，讓學生體會到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學思想方法。

（三）知識提升，探索發(fā)現(xiàn)

1．感受極限。

（1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？（）再接著加，一直加到，得數(shù)等于？（）隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越？（大）無數(shù)個這樣的數(shù)相加，和會是多少呢？

（2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會不會就等于1了。）

（3）想象一下，如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來越？（?。┒可糠值拿娣e越來越接近？（1）也就是求和的得數(shù)越來越接近？（1）最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來證明得數(shù)就是1？

（學情預設：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）

2．利用線段圖直觀感受相加之和等于1。

（1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的意思嗎？請你想一想，然后告訴大家你的想法。

（2）學生看書思考。

（3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分數(shù)不斷加下去，總和就是1。

【設計意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合，讓學生直觀體會極限數(shù)學思想，并讓學生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于1，到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于1的過程，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生探索新知的精神。3．課堂小結(jié)。

對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？

教師小結(jié)：是的，數(shù)與形有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題時，你會發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡單。

4．舉一反三。

其實在以前的學習中，我們也常用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學生有困難，教師舉例：一年級加法，分數(shù)的認識，復雜的路程問題線段圖等。）

【設計意圖】讓學生體會數(shù)形結(jié)合是數(shù)學學習中常用的方法。

三、練習鞏固

1．基礎練習。

（1）學生獨立計算。

（2）全班交流反饋。

【設計意圖】通過練習，回顧新知，鞏固新知，使學生對新知識掌握得更扎實。

2．小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經(jīng)下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？

解決問題

（1）全班讀題，學生獨立思考。

（2）指名回答。

（3）根據(jù)學生回答情況，連線（課件演示）。

（4）結(jié)合連線圖得出：小剛一共下了2盤，分別和小林、小強下的。

【設計意圖】讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的直觀性和變難為易的特點。

四、課堂總結(jié)

快下課了，請你來說說這節(jié)課有什么收獲？

課后反思：

圖形的直觀形象的特點，決定了化數(shù)為形往往能達到以簡馭繁的目的，例2中，用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，都不能證明無限多項相加結(jié)果為1，但是接近1，但這個無限接近于1的數(shù)是多少呢？電子白板呈現(xiàn)出圓形模型和線段模型來表示1，使學生結(jié)合分數(shù)意義，在圓上和線段上分別有規(guī)律地表示這些加數(shù)，當這個過程無止境地持續(xù)下去時，所有的扇形和線段就會把整個圓和整條線段占滿，即和為1，用畫圖的方法來表示計算過程和結(jié)果，讓學生感受到什么叫無限接近，什么叫直觀形象，同時，一個極其抽象的極限問題，變得十分直觀和便捷。

第二篇：《利用圖形求等比數(shù)列之和》教學設計

《利用圖形求等比數(shù)列之和》教學設計

浙江省諸暨市暨陽街道暨陽小學 盧慧飛（初稿）浙江省諸暨市實驗小學教育集團 陳菊娣（修改）浙江省諸暨市教育局教研室 湯 驥（統(tǒng)稿）

教學內(nèi)容：人教版小學數(shù)學教材六年級上冊第107～108頁例2及相關練習。教學目標：

1．在學習過程中引導學生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會利用圖形來解決一些有關數(shù)的問題。

2．讓學生經(jīng)歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。

教學重難點：探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來解決有關數(shù)的問題。教學準備：教學課件。教學過程：

一、直接導入，揭示課題

同學們，上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，今天我們繼續(xù)研究有關數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。（板書課題：數(shù)與形）

【設計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節(jié)課學習的內(nèi)容和方向。

二、探索發(fā)現(xiàn)，學習新知

（一）教師與學生比賽算題

1．教師：你知道等于多少嗎？（學生：）

教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。

2．只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規(guī)律寫下去，不管有多少個分數(shù)相加，我都能立馬算出結(jié)果。有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了方便，我請我們班計算最快的同學跟我一起算，看看結(jié)果是否相同。誰來出題？

學生出題。預設：，，??

在學生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學生感到很驚奇。3．知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？ 【設計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，且每次老師勝利，使學生產(chǎn)生好奇心，再通過教師幽默的語言，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。另一方面，為接下來學習例題做好鋪墊。

（二）借助正方形探究計算方法

1．這件法寶就是（師邊說邊課件出示一個正方形），讓我們來把它變一變，聰明的同學們一定能看明白是怎么回事了。

2．進行演示講解。

（1）演示：用一個正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。

想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說。

（2）繼續(xù)演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？

根據(jù)學生回答，板書。（3）演示：那么計算就可以得到？（）。

3．看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

4．小結(jié)：按照這樣的規(guī)律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。

5．這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？ 6．嘗試練習：

；

。

【設計意圖】將復雜的數(shù)量運算轉(zhuǎn)化為簡單的圖形面積計算，轉(zhuǎn)繁為簡，轉(zhuǎn)難為易，引導學生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系，讓學生體會到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學思想方法。

（三）知識提升，探索發(fā)現(xiàn) 1．感受極限。

（1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？（）再接著加，一直加到，得數(shù)等于？（）隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越？（大）無數(shù)個這樣的數(shù)相加，和會是多少呢？

（2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會不會就等于1了。）

（3）想象一下，如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來越？（小）而涂色部分的面積越來越接近？（1）也就是求和的得數(shù)越來越接近？（1）最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來證明得數(shù)就是1？

（學情預設：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）2．利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。（1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的意思嗎？請你想一想，然后告訴大家你的想法。

（2）學生看書思考。

（3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分數(shù)不斷加下去，總和就是1。

【設計意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合，讓學生直觀體會極限數(shù)學思想，并讓學生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”，到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過程，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生探索新知的精神。

3．課堂小結(jié)。

對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？

教師小結(jié)：是的，“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題時，你會發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡單。

4．舉一反三。

其實在以前的學習中，我們也常用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學生有困難，教師舉例：一年級加法，分數(shù)的認識，復雜的路程問題線段圖等。）

【設計意圖】讓學生體會“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學學習中常用的方法。

三、練習鞏固 1．基礎練習。

（1）學生獨立計算。（2）全班交流反饋。

【設計意圖】通過練習，回顧新知，鞏固新知，使學生對新知識掌握得更扎實。2．小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經(jīng)下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？

解決問題：（1）全班讀題，學生獨立思考。（2）指名回答。

（3）根據(jù)學生回答情況，連線（課件演示）。

（4）結(jié)合連線圖得出：小剛一共下了2盤，分別和小林、小強下的?！驹O計意圖】讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的直觀性和變難為易的特點。

四、課堂總結(jié)

快下課了，請你來說說這節(jié)課有什么收獲？

第三篇：等比數(shù)列教案

等比數(shù)列（復習課）學案

一.基本要求： ① 理解等比數(shù)列的概念；② 掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及應用③ 了解等比數(shù)

列與指數(shù)函數(shù)的關系

發(fā)展要求：①掌握等比數(shù)列的典型性質(zhì)及應用。②能用類比觀點推導等比數(shù)列的性質(zhì)

二．教學過程

（1）、知識回顧

1基礎訓練題

*（1）等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn(n?N)，若a3?

（2）在等比數(shù)列?an?中，an?0，且a1?a2?1,S4?10，則a4?a5=()

A．16Ｂ．27Ｃ．36Ｄ．8

1（3）②設{an}是遞增的等比數(shù)列，a1?an?66,a2an?1?128，前ｎ項和Sｎ＝126，求n和公比q.（4）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99；

（5）.已知數(shù)列{an}滿足：a1?2,an?1?2an?1；

（1）求證：數(shù)列{an?1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和。

32,S3?92，求數(shù)列的首項與公比.2能力提高題

1（08浙江）已知?an?是等比數(shù)列，a2?2，a5?

4，則a1a2?a2a3???anan?1=（）

（A）16（1?4?n）（B）16（1?2?n）（C）

3（1?4?n）（D）

323

（1?2?n）

D．(4n?1)

22．數(shù)列{an}的前n項和Sn?2n?1,則a12?a2???an?

（）

A．(2n?1)2

{a}

B．

(2?1)

n

C．4n?1

3.在等比數(shù)列n中，若1 A．100B．80

a?a2?40,a3?a4?60,則a7?a8

=（）

C．95D．13

54（2007陜西）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則

S40等于（）

（A）80（B）30(C)26(D)16

5.等比數(shù)列{an}中，an?0且a5a6?81，則log3a1?log3a2????log3a10的值是（）

A．20

B．10

C． 5

3116,a3?

14,則

1a1

?1

D．40

a2

?1a3

?1a4

?1a5

6.在等比數(shù)列{an}中，若a1?a2?a3?a4?a5?

=_________________。

7.在正項等比數(shù)列?an?中，a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a40a50a60的值為（）A．32B．64C．?64D．256 變1： 在等比數(shù)列{an}中, 若a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩根,則a5的值為（）

A．3B．±3C．3D．±

3變2： 等比數(shù)列{an}中，a3，a9是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a6=（）A．3B．±3C．?D．以上皆非

變3：設{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的兩根，則

a2006?a2007?

_____.3．思考題

1.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則2.設f(n)?2?2?2?

2數(shù)列?an?中，a1?2,a2?3,且數(shù)列 ?anan?1?是以3為公比的等比數(shù)列，設bn?a2n?1?a2n(n?N)

?

a1?a3?a9a2?a4?a10

27的值是

4710

???2(8

n?

13n?10

(n?N)，則f(n)等于（）

27(8

n?3

（A）

(8?1)（B）

n

?1)（C）?1)（D）(8

n?

4?1)

3.(1)求a,a的值

（2）求證?bn?是等比數(shù)列

典型例題精析

題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定 1． 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1,an+1=

n?2n

Sn, 求證：{

Snn

是等比數(shù)列．

2．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立．

（Ⅰ）證明：由題設an?1?4an?3n?1，得an?1?(n?1)?4(an?n)，n?

*

N．

?an?n?是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．

n?1

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4，于是數(shù)列?an?的通項公式為a所以數(shù)列?an?的前n項和S?4?1?n(n?1)．

又a1?1?1，所以數(shù)列

n

n

n

?4

n?1

?n．

（Ⅲ）證明：對任意的n?N

*，Sn?1?4Sn?

n?1

?1

?

(n?1)(n?2)

?4n?1n(n?1)? ?4???

32??

??

*2

(3n?n?4)≤0．所以不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

題型二 等差、等比數(shù)列中基本量的計算

3．在等比數(shù)列{an}中a1+an=66，a2an-1=128，且前n項和為Sn=126，求n和公比q．

4．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4=1，S8=17，求通項公式．

過關訓練

1．已知數(shù)列a，a(1－a)，a(1－a)2，a(1－a)3，?是等比數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為

________________________．

*

2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，2an＋1＋an＝0(n∈N)，則an＝______________．

23．在等比數(shù)列{an}中，已知首項a1an＝q，則項數(shù)n＝_______．

34．在等比數(shù)列{an}中，(1)a6＝6，a9＝9，則a3＝_________；

(2)a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a40·a50·a60＝______．

5．①“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；②“公比為；③“a，b，c三數(shù)成等比數(shù)

列的充要條件是b2＝ac”；④“a，b，c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b＝a＋c”，以上四個命題中，正確的有_____________．

6．已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，a2a4＋2 a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________． 7．等比數(shù)列{an}中，已知a9＝－2，則此數(shù)列前17項之積為___________． 8．一個三角形的三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍為_________________．

9．設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為

_____________． 10．首項為6的三個數(shù)成等比數(shù)列，若將它們依次分別減去4，3，2，則成等差數(shù)列，則此三個數(shù)是_________________．

ac

11．已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c＝______．

xy

n

12．設數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，則它的通項公式是an＝_______________．

4710

13．設f(n)＝2＋2＋2＋2＋…＋23n＋10，則f(n)＝_______________． 14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝pn2－2n＋q．

(1)當q＝__________時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

(2)在(1)的條件下，若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an＝2log2bn，則數(shù)列的{bn}前n項和Tn＝______________．

等比數(shù)列的前n項和

選擇題

1．等比數(shù)列an中，S4?4，S8?8，則a17?a18?a19?a20的和為（）

A．4B． 3

C．16D．2

42已知等比數(shù)列的前n項和Sn?4?a，則a的值等于（）

A．－4B．－3 C．0D．

13．在等比數(shù)列?an?中，a1?4,q?5，使Sn?10的最小值n是（）

7n

??

A．11B．10 C．12D．9

4．在等比數(shù)列?an?中，Sn表示前n項和，若a3?2S2?1,a4?2S3?1，則公比q?（）A．3B．－3 C．－1D．1

5．在等比數(shù)列an中a1?8，q?，an?，則Sn等于（）

C．8D．1

56．等比數(shù)列1，2，4，?從第5項到第10項的和是（）

A．1024B．127 C．1000D．1008

7．等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，若a1?81，a5?16，則它的前5項的和是（）

A．179B．211 C．243D．275 8．等比數(shù)列an的前n項和Sn中（）

A．任意一項都不為零 B．必有一項為零 C．至多有有限為零

A．31B．

????

D．可以有無數(shù)項為零

9、某工廠總產(chǎn)值月平均增長率為p，則年平均增長率為（）

A、pB、12pC、(1?p)12D、(1?p)12?

1填空題

10．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的公和。已知數(shù)列?an?是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為，這個數(shù)列的前21項和S21的值為。

11、某種產(chǎn)品計劃每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，則現(xiàn)在的成本是。

12、等比數(shù)列{an}中，a5?a6?a7?a5?48，那么這個數(shù)列的前10項和S10=。

解答題

13、在等比數(shù)列{an}中，已知S3?4,S6?36，求an。

14、在等比數(shù)列{an}中，已知a1?an?66，a2an?1?128

23n

?,an成等差數(shù)列（n為正整數(shù)）

15、已知f(x)?a1x?a2x?a3x???anx，且a1，a2，a3。又f(1)?n2，Sn

?126求n與q。

（1）求an。（2）比較f()與3的大小。f(?1)?n。

答案：

1、A2、B3、A4、A5、B

6、D7、B8、D9、D 10、3.52a11、3(1?q%)

12、1023

13、Sn?

?

2n?

114、n的值為6，q為2或

1215、（1）an?2n?1（2）f()?3

第四篇：等比數(shù)列教案

2.4 等比數(shù)列

（一）（一）教學目標

1．知識與技能：理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式,理解這種數(shù)列的模型應用。

２.過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數(shù)列模型，經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個具體數(shù)列的等比關系，歸納出等比數(shù)列的定義，通過與等差數(shù)列的通項公式的推導類比，探索等比數(shù)列的通項公式。

３.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。

（二）教學重、難點

重點：等比數(shù)列的定義和通項公式

難點：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系

（三）學法與教學用具

學法：首先由幾個具體實例抽象出等比數(shù)列的模型，從而歸納出等比數(shù)列的定義；與等差數(shù)列通項公式的推導類比，推導等比數(shù)列通項公式。

教學用具：投影儀

教學過程： [溫故知新] 我們已經(jīng)學習過一種特殊的數(shù)列——等差數(shù)列，具備怎樣特征的數(shù)列才是等差數(shù)列呢？（學生齊答）

[情景設置] 實例

1、有三種投資方案可供選擇，它們的回報情況如下： 方案1:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元； 方案2:每天回報100元；

方案3:第一天回報0.1元,以后每天的回報金額比前一天翻一番。提問：應該選擇哪種方案，才能使收益最大化？

☆處理：設置情景，讓學生積極參與其中。通過羅列3種方案回報金額構(gòu)成的數(shù)列，既復習了等差數(shù)列，又自然地引入了等比數(shù)列。

方案1：10 20 30 40 50 60 ? 方案2：100 100 100 100 100 100 ? 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 ?

實例

2、觀察細胞分裂的過程：

構(gòu)成數(shù)列：1，2，4，8?

實例3《莊子》中有這樣的論述：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”

1111，，… 構(gòu)成數(shù)列：1，24816實例

4、計算機病毒傳播問題：

構(gòu)成數(shù)列：1，20，202，203，204，?

實例

5、按銀行支付利息的復利方式計算本利和，若存入銀行1萬元錢,年利率是1.98%，每年本利和構(gòu)成數(shù)列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198?

34提問：上述5組數(shù)列有什么共同的特點？ 答：從第2項起,上述5組數(shù)列中每一項與前一項的比分別都等于常數(shù)2，2，1/2，20,1.0198。共同特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)?！钐幚恚河蓪W生自己觀察發(fā)現(xiàn)每個實例中隱藏的數(shù)列及其特征，并歸納總結(jié)出5組數(shù)列的共同特征，從而引出等比數(shù)列定義。

[探究新知]

一、等比數(shù)列定義:若一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,常用字母q表示。

an?q(n?2)an?1☆處理：類比等差數(shù)列定義，由學生自己總結(jié)等比數(shù)列定義，并將定義的文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學符號語言。

例、判斷下列幾組數(shù)列是否為等比數(shù)列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，?

（3）-1，2，-4，8，?（4）1，x，x，x?

（5）a, a, a, a ?

設計思路：趁熱打鐵，鞏固等比數(shù)列概念。學生可能認為數(shù)列(4)(5)也一定是等比數(shù)列，在糾錯的同時，自然地引出兩個注意事項。(2)(3)中的數(shù)列讓學生直觀地體會公比的正負對等比數(shù)列各項符號的影響。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0時各項同號,q<0時各項正負相間。

(2)各項不為0的常數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列。

二、等比數(shù)列通項公式: 設計思路：先復習等差數(shù)列通項公式的各種推導方法，讓學生圍繞定義，仿照等差數(shù)列推導等比數(shù)列的通項公式。（學生分小組討論，根據(jù)各組討論情況，選三位同學演板并講解自己的推導思路。）

方法

一、歸納法 方法

二、累積法 方法

三、迭代法 23a2?a1qa3?a2q?a1q2aa2?q,3?qa1a2an?an?1q?(an?2q)q?an?2q2?(an?3q)q2?an?3q3??????ana4?q,?q3aa a4?a3q?a1q

3n?1ana2a3a4???????qn?1a1a2a3an?1a?aqn?1n1an?a1qn?1?a1qn?12

通項公式：若等比數(shù)列｛an｝的首項是a1，公比是q，則其通項公式為an?a1qn?1 設計思路：（1）回顧實例1中的三個數(shù)列，求出其通項公式。

（2）復習等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系，通過計算機模擬演示，展示等比數(shù)列圖像，引導學生分析等比數(shù)列圖像與指數(shù)函數(shù)圖像的關系。（3）通過圖像和具體數(shù)據(jù)的計算讓學生體會指數(shù)爆炸現(xiàn)象。關于通項公式的兩點注意：

(1)函數(shù)思想：等比數(shù)列{an}的圖像是其對應的指數(shù)型函數(shù)y?上的一些孤立的點。

(2)方程思想：an,a1,q,n這四個量會知三求一。

[典例分析] 例

1、由右邊框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項,并建立數(shù)列遞推公式。此數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 若是,求其通項公式。分析:本題將算法知識介于其中，既體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系性，又巧妙地引出了一個等比數(shù)列，而遞推關系也包含在程序框圖中。引導學生通過類比等差，體會要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列,只需證明對于任意正整數(shù)n,a1x?q qan?1是an一個常數(shù)即可。

例

2、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留量是原來的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)？

分析: 要幫助學生發(fā)現(xiàn)實際問題中數(shù)列的等比關系,抽象出其數(shù)學模型。通項公式反映了數(shù)列的本質(zhì)特征,因此關于等比數(shù)列的問題首先應想到它的通項公式an=a1qn-1，對于通項公式中的四個量要求會知三求一。

例

3、一個等比數(shù)列的第３項和第４項分別是12和18,求它的第１項和第２項。分析:由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出通項公式，再由通項公式求得數(shù)列的任一項，這個過程可以幫助學生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系。

[演練天地]

1、求出引例2—5中等比數(shù)列的通項公式。

2、等比數(shù)列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8與an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求項數(shù)n 912

[課堂小結(jié)]

1、理解與掌握等比數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：

an?q(n?2)an?

12、會推導等比數(shù)列的通項公式并掌握其基本應用an?a1qn?1

3、函數(shù)思想:等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系

[課后鞏固] 54頁 A組 7,8

[新課預知] 類比等差數(shù)列推導等比數(shù)列的相關性質(zhì)

[課后反思] 從全面提高學生的素質(zhì)考慮，本節(jié)課把等比數(shù)列定義及通項公式的探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等思維過程的暴露、知識形成過程的揭示作為教學重點；將類比、從特殊到一般的歸納等數(shù)學思想始終貫穿其中。這樣的設計不像將知識和盤托出那么容易，而是要求教師精心設計問題層次，由淺入深，循序漸進，不斷地激發(fā)學生思維的積極性和創(chuàng)造性，使學生自行發(fā)現(xiàn)知識、“創(chuàng)造”知識。這是不僅是對教師，也是對學生更高層次的要求。

第五篇：等比數(shù)列教案

等比數(shù)列教案（第一課時）

彭水第一中學校

賀巧

教材分析：

三維目標：知識與技能：1.理解等比數(shù)列的定義；2.掌握等比數(shù)列的通項公式，會解決知道an，a1，q，n中的三個，求另一個的問題．

過程與方法：通過觀察具體數(shù)列的規(guī)律，從特殊到一般得到等比數(shù)列的定義；再由等比數(shù)列定義，引導學生推導出等比數(shù)列的通項公.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生的觀察與表達能力，通過等比數(shù)列通項的推導，訓練學生的邏輯思維能力。

重點：1.等比數(shù)列概念的理解與掌握；2.等比數(shù)列的通項公式的推導及應用． 難點：等比數(shù)列＂等比＂的理解、把握和應用．

易錯點：1.忽略公比q?0.2.將通項公式an?a1qn?1錯記為an?a1qn.前后銜接：上節(jié)中學習了等差數(shù)列，用類比的方法研究等比數(shù)列.命題傾向與經(jīng)典題型：命題傾向于填空選擇題；主要是“知三求二”的題型，以及用累 乘法求一般數(shù)列通項公式.學情分析：

學生知識儲備：學生已經(jīng)比較熟悉數(shù)列，會用觀察法求數(shù)列通項公式；通過等差數(shù)列的學習，已有研究特殊數(shù)列的一般方法與思路.預習及學法指導：建議學生用研究等差數(shù)列的方法與思路去預習看書，比較等差數(shù)列與 等比數(shù)列的異同點.教學方法：

如何突出重點：歸納類比，累乘法，典例講解，變式訓練.如何突出難點：關鍵在于緊扣定義，類比等差數(shù)列的相關知識，來發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.如何辨析易錯點：1.準確理解等比數(shù)列定義.2.掌握等比數(shù)列通項公式的推導方法.教學過程：

一.新課引入

觀察下列數(shù)列，看其有何共同特點？

（1）1,2,4,8,16,32，?；

111***1-，-，（3），?.2481632（2）1，，，?；

數(shù)列（1）從第二項起，后一項與前一項的比值都為2；數(shù)列（2)從第二項起，后一項與前一項的比值都為11；數(shù)列（3）從第二項起，后一項與前一項的比值都為-.32總結(jié)：以上數(shù)列的共同特點從第二項起，后一項與前一項的比值都為同一個常數(shù).二.新課講解

1．等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0）.思考：（1）為什么q≠0？

（2）怎樣用數(shù)學表達式表示等比數(shù)列定義？

答案：(1)由于分母不能為0，再根據(jù)等比數(shù)列的定義知q不可能為0.(2)an?1?q(q為常數(shù)且q?0).an判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：（1）2,2,2,2,2，?；（2）0,0,0,0,0，?；（3）2,4,8,0,16，?.由此說明?等比數(shù)列中任何項都不能為0；?非零的常數(shù)列既是等比數(shù)列（公比為1）也是等差數(shù)列（公差為0）.2.探究等比數(shù)列的通項公式

觀察法：由等比數(shù)列的定義，有：a2?a1q； a3?a2q?(a1q)q?a1q2； a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；

? ?

觀察序號n與q的次方數(shù)的關系，不難發(fā)現(xiàn)：an?a1?qn?1(a1，q?0)累乘法：有等比數(shù)列的定義，有

aa2aa?q；3?q；4?q；?；n?q a1a3an?1a2

所以a2a3a4a???n?qn?1，即an?a1?qn?1(a1，q?0)a1a2a3an?1因此得到等比數(shù)列的通項公式1：an?a1?qn?1(a1，q?0)思考：類比等差數(shù)列，若已知am，q，則an?.am?a1?qm?1，則a1?amamn?1n?1n?m.，所以a?a?q??q?a?qn1mm?1m?1qqn?m由此得到等比數(shù)列的通項公式2：an?am?q(n?m)

請學生寫出“引入”中，（1),(2),(3)的通項公式.3.例題講解

例1 一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：?aa18332216??q? ?a2?3?12??8,a1?2?8??.1222q3q33例2 已知等比數(shù)列{an}中，a2?6,a5?162，求a3,an.解：法一 方程組思想???a1?q?6?a1?2n?1，?，?a?18，a?2?3?3n4?a1?q?162?q?3

法二 應用等比數(shù)列通項公式2 ?a5?a2?q5?2，?q?3，?a3?a2?q?18，an?a2?qn?2?2?3n?1

三．課堂訓練

基礎題：人教版A版教材P52，練習1；

中檔題：在等比數(shù)列{an}中，a3?6，a4?18，則a1?a2?.拔高題：在等比數(shù)列{an}中，a7?1求{an}的通項公式.，且a4，a5?1，a6成等差數(shù)列，四．課堂小結(jié)

1.等比數(shù)列的定義；

2.等比數(shù)列的通項公式． 五．作業(yè)布置

1.人教版A版課后習題2.4 A組第1題； 2.在數(shù)列{an}中，a1?六．板書設計

§2.4 等比數(shù)列

一．定義 例1 課堂訓練1.二．通項公式 例2 2.累乘法 3.七．教學反思

本堂課預設目標與內(nèi)容順利完成。從學生的反應來看，大部分學生能夠掌握，會計算求等比數(shù)列的通項公式。少部分學生在計算上不熟練，因為前面等差數(shù)列中都是加減消元求首項和公差，而這節(jié)中要采用兩式相除求公比。課后還要多加練習才行。

1，an?1?2an?0，求a4，an.5