第一篇：求等比數(shù)列的參數(shù)及證明等比數(shù)列

求等比數(shù)列的參數(shù)及證明等比數(shù)列

例

1、（Ⅰ）已知數(shù)列?Cn?，其中Cn?2n?3n，且數(shù)列?Cn?1?pCn?為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

（Ⅱ）設(shè)?an?、?bn?是公比不相等的兩個等比數(shù)列，Cn?an?bn，證明數(shù)列?Cn?不是等比數(shù)列

分析：要求常數(shù)p使數(shù)列?Cn?1?pCn?為等比數(shù)列，可從等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)入手進(jìn)行推理運(yùn)算．

解：（Ⅰ）因?yàn)?Cn?1?pCn?是等比數(shù)列，故有(Cn?1?pCn)2?(Cn?2?pCn?1)(Cn?pCn?1)，將Cn?2n?3n代入上式，得

?2n?1?3n?1?p(2n?3n)?

2?2n?2?3n?2?p(2n?1?3n?1)?2n?3n?p(2n?1?3n?1)，即(2?p)2n?(3?p)3n

n?1???????(2?p)2?2?(3?p)3n?1?(2?p)2n?1?(3?p)3n?1 ???

整理得

解得 1(2?p)(3?p)?2n?3n?0，6p?2或p?3.（Ⅱ）設(shè)?an?、?bn?的公比分別為p、q，p?q，Cn?an?bn

2欲證?Cn?不是等比數(shù)列，只需證C2?C1?C

3事實(shí)上，2C2?(a1p?b1q)

2?a12p2?b12q2?2a1b1pq

C1?C3?(a1?b1)(a1p2?b1q2)

?a1p?b1q?a1b1(p?q)222222

22由于p?q，p?q?2pq，又a1、b1不為零，因此 2C2?C1?C3，故?Cn?不是等比數(shù)列．

小結(jié)：本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識邏輯能力，第（2）題中證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列，即證明數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)不滿足等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用反例證明使數(shù)學(xué)常用的一種方法．

第二篇：證明等比數(shù)列

證明等比數(shù)列

記Cn=an*a(n+1)

cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=

3a(2n-1)=3*a(2n-3)

a(2n)=3*a(2n-2)

bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)

因此bn/b(n-1)=3，所以bn為等比數(shù)列，公比為3。

2設(shè)數(shù)列{a的第n項(xiàng)}的前n項(xiàng)和Sn=1/3(a的第n項(xiàng)-1)，n屬于自然數(shù)

求證：數(shù)列{a的第n項(xiàng)}為等比數(shù)列

Sn=1/3(an-1)

S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)

Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/

2所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列

3已知前三項(xiàng)是2，4,8，數(shù)列滿足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1項(xiàng)等于第n項(xiàng)加上2n)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。這兒沒有告訴你數(shù)列是等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式之前必須證明它是等比數(shù)列，請問怎么證明?

因?yàn)椋?/p>

a(n+1)-an=2n

所以：

a2-a1=2

a3-a2=

4a4-a3=6

a5-a4=8

.....a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗(yàn)證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項(xiàng)和它相鄰項(xiàng)的比值是一個不依賴項(xiàng)次的固定比值就可以了.所以第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因?yàn)楸戎凳?,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.5數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

第三篇：等比數(shù)列的證明

等比數(shù)列的證明

數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗(yàn)證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項(xiàng)和它相鄰項(xiàng)的比值是一個不依賴項(xiàng)次的固定比值就可以了.所以第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因?yàn)楸戎凳?,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.5數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

第四篇：等差等比數(shù)列的證明

專題：等差（等比）數(shù)列的證明

1.已知數(shù)列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數(shù)列?2n?為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n??

項(xiàng)和S.n

2.已知數(shù)列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?為等差數(shù)列；

3.已知數(shù)列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?1?為等比數(shù)列；

4．?dāng)?shù)列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數(shù)列{an?1?an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?前n項(xiàng)和為

1a且n是和S2Sn，首項(xiàng)為a1，n的等差中項(xiàng).求數(shù)列?a?的通項(xiàng)公式； n

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； 7.設(shè)數(shù)列?an?的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數(shù)列的前n項(xiàng)和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

8.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列；（2）.證明數(shù)列{n－2}

是等差數(shù)列

(3)設(shè)cn＝

9.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數(shù)列．

10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數(shù)列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{的前n項(xiàng)和Tn，an·an+1

11.設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n?N*）的前n項(xiàng)和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設(shè)bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數(shù)列{1是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.bn

13.已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列

15.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

第五篇：等比數(shù)列題

等比數(shù)列

【做一做1】 等比數(shù)列3,6,12,24的公比q＝__________.2．通項(xiàng)公式

等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則通項(xiàng)公式為an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比數(shù)列{an}中，a1＝2，q＝3，則an等于()

n－1A．6B．3×2

n－1nC．2×3D．6

【做一做3】 4與9的等比中項(xiàng)為()

A．6B．－6C．±6D．36

題型一求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【例題1】 在等比數(shù)列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.分析：設(shè)公比q，列出關(guān)于a1和q的方程組來求解．

題型二等比數(shù)列的判定和證明

【例題2】 已知數(shù)列{an}滿足lg an＝3n＋5，求證：{an}是等比數(shù)列． 反思：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：

①定義法：an＋1anq(q≠0，且是常數(shù))或q(q≠0，且是常數(shù))(n≥2)anan－1{an}為等比

數(shù)列．此法適用于給出通項(xiàng)公式的數(shù)列，如本題．

*②等比中項(xiàng)法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N){an}為等比數(shù)列．此法適用于通項(xiàng)公

式不明確的數(shù)列．

n－1*③通項(xiàng)法：an＝a1q(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N){an}為等比數(shù)列．此法適用于

做選擇題和填空題．

題型四易錯辨析

【例題4】 23與2－3的等比中項(xiàng)是__________．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()

A．243B．128C．81D．64

111，則其第8項(xiàng)是__________． ?，248

9123在等比數(shù)列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，則n＝__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比數(shù)列前3項(xiàng)為