第一篇：實(shí)系數(shù)一元二次方程 教案

實(shí)系數(shù)一元二次方程

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、理解實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中解的情況；會在復(fù)數(shù)集中解實(shí)系數(shù)一元二次方程。

2、掌握當(dāng)??0時，實(shí)系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

3、培養(yǎng)類比推理的思想方法及探索精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程。

三、教學(xué)難點(diǎn)：共軛虛根的應(yīng)用

四、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)舊知：

1、師問：我們初中學(xué)習(xí)了解一元二次方程ax?bx?c?0(a、b、c?R且a?0)，對這個方程，我們有哪些認(rèn)識？

生答：①當(dāng)??b?4ac?0時，方程有兩個不相等的實(shí)根：x??②當(dāng)??b?4ac?0時，方程有兩個相等的實(shí)根； ③當(dāng)??b?4ac?0時，方程無實(shí)根。

根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩個根為x1,x2，則有x1?x2??ba2222b2a?b?4ac2a2；，x1x2?ca

2、上一節(jié)課學(xué)習(xí)了“復(fù)數(shù)的平方根與立方根”，大家知道-1的平方根是:?i.師問：一元二次方程x?1?0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有沒有解？ 師問：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)如何解一元二次方程x?x?1?0？ 引出本節(jié)課的課題：實(shí)系數(shù)一元二次方程

（二）講授新課

1、實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C中解的情況：（1）回憶求解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的過程

設(shè)一元二次方程ax?bx?c?0(a、b、c?R且a?0).222因?yàn)閍?0，所以原方程可變形為 x?2bax??ca，配方得(x?b2a)?(2b2a2)?2ca，即(x?b2a)?2b?4ac4a2.2（1）當(dāng)??b?4ac?0時，原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x??2b2a?b?4ac2a；

（2）當(dāng)??b?4ac?0時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根x??22b2a；

2、師問：當(dāng)??b?4ac?0時，你能有上述過程及上節(jié)課的知識推倒出方程的根的情況嗎？ 生：當(dāng)b?4ac4a222?0，由上一堂課的教學(xué)內(nèi)容知，2b?4ac4a22的平方根為?4ac?b2ai，即x?b2a??4ac?b2ai，2此時原方程有兩個不相等的虛數(shù)根：x??2b2a?4ac?b2ai 為一對共軛虛數(shù)根

3、師問：??b?4ac?0根與系數(shù)的關(guān)系成立嗎？（類比，猜想）

帶領(lǐng)學(xué)生證明根與系數(shù)的關(guān)系：x1?x2??ba，x1x2?ca（證明）

結(jié)論：（1）實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)必有兩個解：當(dāng)??0時，有兩個實(shí)根；當(dāng)??0時，有一對共軛虛根.（2）韋達(dá)定理仍然適用。

例1：在復(fù)數(shù)集中解方程：（1）x?x?1?0

（2）2x?4x?5?0 學(xué)生練習(xí)：（1）x?5?0

（2）x?2x?3?0 2222小結(jié)：強(qiáng)化鞏固在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程 變式：在復(fù)數(shù)集中解方程：x2?3x?5m?0(m?R)小結(jié)：滲透含參問題分類討論的思想方法。

例2：已知實(shí)系數(shù)一元二次方程2x?ax?b?0的一個根為2i?3，求a,b的值． 小結(jié)：共軛虛根及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

例3：已知x1,x2是實(shí)系數(shù)方程x?x?p?0的兩根，且滿足|x1?x2|?3，求實(shí)數(shù)p的值。

小結(jié)：法一：題目中沒有講明根的虛實(shí)，需對根的情況分類討論

法二：利用復(fù)數(shù)性質(zhì)|z|2?|z2|轉(zhuǎn)化，在利用根與系數(shù)的關(guān)系，可避免對根的情況討論。

思考題：已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x?kx?k?3k?0有一個模為2的根，求實(shí)數(shù)k的值

（三）課堂小結(jié)：

（四）回家作業(yè) 練習(xí)冊配套作業(yè)

2222

第二篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、探索、運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數(shù)，提升學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊(duì)精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會整體代換的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思考與問題解決：

通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，注重由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學(xué)生參與“韋達(dá)定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明等整個數(shù)學(xué)思維過程。

一、自學(xué)互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；評價、鼓勵、調(diào)動學(xué)生參與的主動性和積極性。

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案，觀察、對比、發(fā)現(xiàn)問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學(xué)成果。【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過程，即感性認(rèn)識過程。通過幾個具體的方程，經(jīng)過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣和注重自主加合作的學(xué)習(xí)方式。【學(xué)案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項(xiàng)系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù) ?（）二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項(xiàng)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；鼓勵學(xué)生參與合作學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生合作交流的主動性和積極性。

學(xué)生小組合作完成導(dǎo)學(xué)案，通過推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實(shí)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過程；分小組匯報合作學(xué)習(xí)成果。【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過程，即理性認(rèn)識過程。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探索過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，團(tuán)隊(duì)精神和合作意識，促進(jìn)學(xué)生的相互交流、學(xué)習(xí)?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標(biāo)達(dá)成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并適時點(diǎn)撥、強(qiáng)調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學(xué)生搭建電子白板、實(shí)物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學(xué)生能多種方法解決問題，促進(jìn)發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)1】：學(xué)生先獨(dú)立完成，組長檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報、評價。（學(xué)生利用一體機(jī)白板演示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學(xué)生利用實(shí)物投影展示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學(xué)生利用黑板展示解題過程）

【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實(shí)踐過程，即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、檢測過程。設(shè)計了三個不同難度且有梯度的“目標(biāo)”，讓學(xué)生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，以及合作學(xué)習(xí)意識與數(shù)學(xué)語言的表述能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

【目標(biāo)1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標(biāo)2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標(biāo)3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補(bǔ)缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學(xué)生談所學(xué)所想所獲，集體分享學(xué)習(xí)成果，歸納課堂所學(xué)知識點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中仍然存在的問題和困惑?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過程。目的是幫助所有學(xué)生總結(jié)回顧、查漏補(bǔ)缺，形成知識體系，培養(yǎng)學(xué)生及時小結(jié)、善于歸納梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力和口頭表達(dá)能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問題。__________________

第三篇：復(fù)習(xí)教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，并會靈活運(yùn)用它們解決問題.二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程根的韋達(dá)定理.（二）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題.三、復(fù)習(xí)過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實(shí)數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負(fù)

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項(xiàng)系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根及的值。

解：設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負(fù)。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負(fù)，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負(fù)根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格式，學(xué)生完成過程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問，再進(jìn)一步，已知代數(shù)式的值，求另一個代數(shù)式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學(xué)生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實(shí)數(shù)）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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第四篇：《一元二次方程》參考教案

21.1 一元二次方程教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．

教學(xué)目標(biāo)

知識技能

探索一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠辨別各項(xiàng)系數(shù)；能夠從實(shí)際問題中抽象出方程知識．

數(shù)學(xué)思考

在探索問題的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個模型，體會方程與實(shí)際生活的聯(lián)系．

解決問題

培養(yǎng)學(xué)生良好的研究問題的習(xí)慣，使學(xué)生逐步提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

情感態(tài)度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用．

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

重點(diǎn)：一元二次方程的定義、各項(xiàng)系數(shù)的辨別，根的作用． 難點(diǎn)：根的作用的理解．

關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題

學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容

教學(xué)過程

一、情境引入 【問題情境】

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊(duì)之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)該邀請多少個隊(duì)參賽？ 【活動方略】

教師演示課件，給出題目．

學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識，通過分析設(shè)出合適的未知數(shù)，列出方程回答問題． 【設(shè)計意圖】

由實(shí)際問題入手，設(shè)置情境問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生初步感受一元二次方程，同時讓學(xué)生體會方程這一刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型．

二、探索新知 【活動方略】

學(xué)生活動：請口答下面問題．

（1）上面幾個方程整理后含有幾個未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程．

歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，?經(jīng)過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

【設(shè)計意圖】

主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關(guān)概念．

三、范例點(diǎn)擊 例1 將方程3x(x?1)?5(x?2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)． 解：去括號得

0

3x2?3x?5x?1，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式

3x2?8x?10?0．

其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－8，常數(shù)項(xiàng)是－10． 【活動方略】 學(xué)生活動：

學(xué)生自主解決問題，通過去括號、移項(xiàng)等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項(xiàng)系數(shù)．

教師活動：

在學(xué)生指出各項(xiàng)系數(shù)的環(huán)節(jié)中，分析可能出現(xiàn)的問題（比如系數(shù)的符號問題）． 【設(shè)計意圖】

進(jìn)一步鞏固一元二次方程的基本概念． 例2 猜測方程x2?x?56?0的解是什么？ 【活動方略】 學(xué)生活動：

學(xué)生可以采取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x＝1、2、3、4、5等，發(fā)現(xiàn)x＝8時等號成立，于是x＝8是方程的一個解，如此等等．

教師活動：

教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)： 使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【設(shè)計意圖】

探究一元二次方程根的概念以及作用．

四、反饋練習(xí)課本P4 練習(xí)1、2題 補(bǔ)充習(xí)題：

1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．

2．你能根據(jù)所學(xué)過的知識解出下列方程的解嗎？（1）x2?36?0；

【活動方略】

學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立解題．

教師巡視、指導(dǎo)，并選取兩名學(xué)生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學(xué)生的解答過程）

【設(shè)計意圖】

檢查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況.五、應(yīng)用拓展

例3：求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．

證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

例4：有人解這樣一個方程(x?5)(x?1)?7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

由(x?5)(x?1)?7得到x+5=1或x－1=7，應(yīng)該是x+5=1且x－1=7，同時成立才行，此時得到x=－4且x=8，顯然矛盾，因此上述解法是錯誤的．

【活動方略】

教師活動：操作投影，將例

3、例4顯示，組織學(xué)生討論． 學(xué)生活動：合作交流，討論解答?！驹O(shè)計意圖】

使學(xué)生進(jìn)一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x2?9?0． 作業(yè)：

第五篇：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的九年級教案

一、復(fù)習(xí)引入

導(dǎo)語：一元二次方程的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，早在16世紀(jì)法國的杰出數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)嗎？

二、探究新知

1.課本思考

分析：將（x-x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0與x2+px+q=0對比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程如果有實(shí)數(shù)根，則一次項(xiàng)系數(shù)等于兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)等于兩根之積.2.跟蹤練習(xí)

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數(shù)之間有類似的關(guān)系嗎？

分析：這個方程的二次項(xiàng)系數(shù)等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗(yàn)上面的結(jié)論是否成立，若不成立，新的結(jié)論是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數(shù)之間有第3題中的關(guān)系嗎？

分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a，b，c的關(guān)系，即韋達(dá)定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.求根公式是在一般形式下推導(dǎo)得到，根與系數(shù)的關(guān)系由求根公式得到，因此，任何一個一元二次方程化為一般形式后根與系數(shù)之間都有這一關(guān)系.5.跟蹤練習(xí)

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展練習(xí)

1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是-1，3，則b=,c=.2已知關(guān)于x的方程x2+x-2=0的一個根是1，則另一個根是,的值是.3若關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根互為相反數(shù)，則p=若兩個根互為倒數(shù)，則q=.分析：方程中含有一個字母系數(shù)時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數(shù)；方程中含有兩個字母系數(shù)時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)是1時，若方程的兩根互為相反數(shù)或互為倒數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得方程的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)