第一篇：一元二次方程根與系數的關系導學案

一元二次方程根與系數的關系導學案

1、請寫出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1=_____________,x2=____________.則x1+x2=_______________；x1?x2=________________.2、例題：求下列方程的兩根x1,x2的和與積

⑴x2-6x-15=0⑵3x2+7x-9=0⑶5x-1=4x

23不解方程，求下列方程的兩個根的和與積

⑴x2-3x=15⑵3x2+2=1-4x⑶ 5x2-1=4x2+x⑷2x2-x+2=3x+

1⑸ x2-3x+2=10⑹5x2+x-5=0⑺x2+x=5x+6⑻7x2-5=x+84、能力提高

已知方程2x2+kx-1=0的一個根是x1=?1?，求k的值。2

已知關于x的方程2x2+5x=m的一個根是-2，求它的另一個根及m的值

設x1，x2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，不解方程，求下列各式的值

（1）（x1+1）（x2+1）（2）x2x1? x1x2

第二篇：一元二次方程根與系數的關系說課稿

一元二次方程根與系數的關系說課稿

作為一名教學工作者，通常會被要求編寫說課稿，說課稿有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數的關系說課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學階段我們研究的多項式函數中有二次函數，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內容。一元二次方程有根與系數關系，求根公式向我們揭示了兩根與系數間的密切關系，而根與系數還有更進一步的發(fā)現，這一發(fā)現在數學學科中具有極強的實用價值，本節(jié)內容既是代數式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又蘊含有豐富的數學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎。

[學生分析]

進入了初二下半學期，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數的關系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學生，他們有著較強的認知力與求知欲，

基于以上思考，我在設計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。

[教學目標]

在學生探求一元二次方程根與系數關系的活動中，經歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與系數的關系。

能利用一元二次方程根與系數的關系檢驗兩數是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數。

理解數學思想，體會代數論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。

[教學重難點]

發(fā)現并掌握一元二次方程根與系數的關系，包括知識從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過程

[教學過程]

一、復習導入

請學生求解表格內的方程，完成解法的交流以及求根公式的復習，求根公式向我們揭示了兩根與系數間的關系，那么一元二次方程根與系數間是否還有更深一層的聯系呢?由此疑問，導入新課。

二、探求新知

數學學科中由數到式的結構編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項系數為1的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之后將結果匯總展示，共同觀察與系數的聯系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發(fā)現這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數，而且每一組兩根和(積)都與系數有著密切的聯系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產生關注，經歷了對二次項系數為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項系數的相反數,兩根積等于常數項?！睂τ谶@一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項系數非1的一元二次方程。學生的質疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數的關系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積后產生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式著手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭并進，當前者通過不斷驗證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴格意義下，說明了此結論的正確性。對于論證中學生出現的問題，我們在第一時間內揪錯指正，

在知識初探與再探后，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數的關系，

三、訓練感悟

我將之前從學生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據已有經驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數的關系，不解方程檢驗兩數是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習，更明確了只有當兩數和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數據丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數。為了將材料修復，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經驗，學生們會利用根與系數關系，不解方程，求出另一根及系數。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學生們在選擇了恰當的方法后，修復了材料也鞏固了新知。

四、總結提升

由學生回顧知識的發(fā)生發(fā)展及應用過程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導領會數學的思想。我還會自豪的告訴他們，數學家們還發(fā)現了存在于一元n次方程中的根與系數的普遍關系，這一內容將在高數中有所涉及，激勵奮進五、分層作業(yè)，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個根，利用根與系數關系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內容作下鋪墊。

[設計意圖]

現在的設計較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動入口不同

過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數學后曾有學生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數的關系，而不是其它?”這種疑問的產生一定與過去設計指定了學生的活動過程有關，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數的研究更顯合理，現在的設計中主要體現了由數到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進一步的探究。這種設計正是從數學內部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數學本身上培養(yǎng)了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項系數為1，非1的一元二次方程分兩次出現，分別放置與知識初探和再探兩個環(huán)節(jié)，這樣設計的原因有一：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到復雜，在這里，當a=1時，易找規(guī)律，當a ≠1后造成的認知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的`完善。其實這一串，由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規(guī)律，也是一種研究性學習的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識”這一客觀世界認知論的基本規(guī)律。便是我如此設計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結果，優(yōu)選出對和積的研究。初探中二次項系數為1的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數的關系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數據研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數論證的方法;當然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。

放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。

[尾聲]

但原學生們帶著對數學的興趣與喜愛，在學的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞臺上，不斷求索。多由學生所想來引導;多設角度空間去探究;多從細節(jié)處滲透數學思想，充分利用數學課堂來達成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協調統一。

第三篇：一元二次方程根與系數的關系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個正的實數根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個實數根，求代數式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關于x的方程x-92x+m=0有兩個實數根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實數x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個實數根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數m，使關于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個實數根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個實數根，求ΔABC的周長。

第四篇：《一元二次方程根與系數的關系》教案

《一元二次方程根與系數的關系》教案

教學目標：

1、發(fā)現、了解一元二次方程的根與系數的關系，培養(yǎng)學生善于獨立思考、合作交流的學習習慣。

2、探索、運用一元二次方程的根與系數關系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數，提升學生的合作意識和團隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數式的值，并從中體會整體代換的數學思想，促進學生數學思維的養(yǎng)成。教學重點：

一元二次方程的根與系數的關系及簡單應用。教學難點：

一元二次方程的根與系數的關系的推導。數學思考與問題解決：

通過創(chuàng)設一定的問題情境，注重由學生自己發(fā)現、探索，讓學生參與“韋達定理”的發(fā)現、不完全歸納驗證以及演繹證明等整個數學思維過程。

一、自學互研 探索發(fā)現（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發(fā)現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；評價、鼓勵、調動學生參與的主動性和積極性。

學生獨立完成導學案，觀察、對比、發(fā)現問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數的關系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學成果?！驹O計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數的關系”的發(fā)現過程，即感性認識過程。通過幾個具體的方程，經過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數的關系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學生發(fā)現問題、探求規(guī)律的學習習慣和注重自主加合作的學習方式。【學案內容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數?（）

二次項系數常數項?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項系數

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數 ?（）二次項系數比一比，你發(fā)現了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數項?（）

二次項系數比一比，你發(fā)現了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發(fā)現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；鼓勵學生參與合作學習，調動學生合作交流的主動性和積極性。

學生小組合作完成導學案，通過推導證明前面的結論；實現一元二次方程的根與系數的關系感性認識到理性認識的轉變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導過程；分小組匯報合作學習成果。【設計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數的關系”的證明過程，即理性認識過程。讓學生自己發(fā)現問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗證，經歷從特殊到一般的科學探索過程，培養(yǎng)學生科學、嚴謹的求學態(tài)度，團隊精神和合作意識，促進學生的相互交流、學習?！緦W案內容】：

（1）根據以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標達成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發(fā)現問題、了解學生導學案完成情況并適時點撥、強調；充分利用現有設施設備，為學生搭建電子白板、實物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學生能多種方法解決問題，促進發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導學案【目標1】：學生先獨立完成，組長檢查，后組內交流，全班匯報、評價。（學生利用一體機白板演示解題過程）

導學案【目標2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用實物投影展示解題過程）

導學案【目標3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用黑板展示解題過程）

【設計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數的關系”的實踐過程，即教學目標的達成、檢測過程。設計了三個不同難度且有梯度的“目標”，讓學生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數的關系的理解和應用，強調學生對科學的嚴謹性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學生對所學知識的應用意識和應用能力，以及合作學習意識與數學語言的表述能力?！緦W案內容】：

【目標1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實數根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補缺 總結提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學生談所學所想所獲，集體分享學習成果，歸納課堂所學知識點，解決學習中仍然存在的問題和困惑?！驹O計意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結提高過程。目的是幫助所有學生總結回顧、查漏補缺，形成知識體系，培養(yǎng)學生及時小結、善于歸納梳理的學習習慣，提高學生運用數學語言的能力和口頭表達能力?！緦W案內容】：

請你談談本節(jié)課的收獲或存在的問題。__________________

第五篇：復習教案 一元二次方程根與系數關系

第十三課時 一元二次方程根與系數關系

一、復習目標：掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理，并會靈活運用它們解決問題.二、復習重點和難點：

（一）復習重點： 一元二次方程根的韋達定理.（二）復習難點：靈活運用韋達定理解決問題.三、復習過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數的關系（韋達定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實數根（即??b?4ac?0），設兩實數根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數的關系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數的聯系：

若二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點，分別設為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點坐標，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點坐標的橫坐標。

強調：應用一元二次方程根與系數的關系時，應注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項系數a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應用根與系數的關系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。

解：設方程的另一個根為x1，根據題意，利用韋達定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們如果利用根與系數的關系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實數根。設這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數關系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值，這種應用與根的判別結合在一起。例4（1）已知關于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這里主要說明解題格式，學生完成過程.（2）已知關于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數的關系.小結：1.求方程兩根所組成的代數式的值，關鍵在于把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實數根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數m,使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關？（勾股道理、解直角三角形、根與系數的關系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設存在——推理論證——得出結論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數關系解決一元二次方程與二次函數的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實數）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，則對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根，將問題轉化為求一元二次方程有兩個不相等的實數根m應滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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