第一篇：數(shù)學(xué)：1.2《極坐標(biāo)系》教案(新人教A版選修4-4)

參數(shù)方程 目標(biāo)點(diǎn)擊：

1． 理解參數(shù)方程的概念，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義；

2． 熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則；

3． 會選擇最常見的參數(shù)，建立最簡單的參數(shù)方程，能夠根據(jù)條件求出直線、圓錐曲線等常用曲線的一些參數(shù)方程并了解其參數(shù)的幾何意義； 4． 靈活運(yùn)用常見曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)的問題.基礎(chǔ)知識點(diǎn)擊：

1、曲線的參數(shù)方程

在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，(1)并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組(1)所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程組(1)叫做這條曲線的參數(shù)方程.聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).2、求曲線的參數(shù)方程 求曲線參數(shù)方程一般程序：

(1)設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)選參：選擇合適的參數(shù)；

(3)表示：依據(jù)題設(shè)、參數(shù)的幾何或物理意義，建立參數(shù)與x，y的關(guān)系

式，并由此分別解出用參數(shù)表示的x、y的表達(dá)式.(4)結(jié)論：用參數(shù)方程的形式表示曲線的方程

3、曲線的普通方程

相對與參數(shù)方程來說，把直接確定曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲線C的普通方程.4、參數(shù)方程的幾個(gè)基本問題

(1)消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程.(2)由普通方程化為參數(shù)方程.(3)利用參數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程.(4)常見曲線的參數(shù)方程.5、幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)直線的參數(shù)方程

(ⅰ)過點(diǎn)P0()，傾斜角為 的直線的參數(shù)方程是

（t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段 的數(shù)量，P()為直線上任意一點(diǎn).(ⅱ)過點(diǎn)P0()，斜率為 的直線的參數(shù)方程是

（t為參數(shù)）（2）圓的參數(shù)方程

(ⅰ)圓 的參數(shù)方程為(為參數(shù))的幾何意義為“圓心角”(ⅱ)圓 的參數(shù)方程是

（為參數(shù)）的幾何意義為“圓心角”（3）橢圓的參數(shù)方程

(ⅰ)橢圓

()的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）(ⅱ)橢圓

()的參數(shù)方程是

（為參數(shù)）的幾何意義為“離心角”

(4)雙曲線的參數(shù)方程(ⅰ)雙曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）(ⅱ)雙曲線 的參數(shù)方程是

（為參數(shù)）的幾何意義為“離心角”（5）拋物線的參數(shù)方程

(p>0)的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

其中t的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜

率的倒數(shù)（頂點(diǎn)除外）.考點(diǎn)簡析：參數(shù)方程屬每年高考的必考內(nèi)容，主要考查基礎(chǔ)知識、基本技能，從兩個(gè)方面考查（1）參數(shù)方程與普通方程的互化與等價(jià)性判定；（2）參數(shù)方程所表示的曲線的性質(zhì).題型一般為選擇題、填空題.一、參數(shù)方程的概念 一）目標(biāo)點(diǎn)擊：

1、理解參數(shù)方程的概念，能識別參數(shù)方程給出的曲線或曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則；

3、能掌握消去參數(shù)的一些常用技巧：代人消參法、三角消參等；

4、能了解參數(shù)方程中參數(shù)的意義，運(yùn)用參數(shù)思想解決有關(guān)問題； 二）概念理解：

1、例題回放： 問題1：（請你翻開黃崗習(xí)題冊P122,閱讀例題）

已知圓C的方程為，過點(diǎn)P1(1,0)作圓C的任意弦，交圓C于另一點(diǎn)P2,求P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程.書中列舉了六種解法，其中解法六運(yùn)用了什么方法求得M點(diǎn)的軌跡方程？此種方法是如何設(shè)置參數(shù)的，其幾何意義是什么？

設(shè)M()，由，消去k,得，因M與

P1不重合，所以M點(diǎn)的軌跡方程為（）

解法六的關(guān)鍵是沒有直接尋求中點(diǎn)M的軌跡方程 ,而是通過引入第三個(gè)變量k（直線的斜率），間接地求出了x與y的關(guān)系式，從而求得M點(diǎn)的軌跡方程.實(shí)際上方程（1）和（）（2）都表示同一個(gè)曲線，都是M點(diǎn)的軌跡方程.這兩個(gè)方程是曲線方程的兩種形式.方程組（1）是曲線的參數(shù)方程，變數(shù)k是參數(shù)，方程（2）是曲線的普通方程.由此可以看出參數(shù)方程和普通方程是同一曲線的兩種不同的表達(dá)形式.我們對參數(shù)方程并不陌生，在求軌跡方程的過程中，我們通過設(shè)參變量k,先求得曲線的參數(shù)方程再化為普通方程，進(jìn)而求得軌跡方程.參數(shù)法是求軌跡方程的一種比較簡捷、有效的方法.問題2：幾何課本3.1曲線的參數(shù)方程一節(jié)中，從研究炮彈發(fā)射后的運(yùn)動規(guī)律，得出彈道曲線的方程.在這個(gè)過程中，選擇什么量為參數(shù)，其物理意

義是什么？參數(shù)的取值范圍？

通過研究炮彈發(fā)射后彈道曲線的方程說明：

1）形如 的方程組，描述了運(yùn)動軌道上的每一個(gè)位置()

和時(shí)間t的對應(yīng)關(guān)系.2）我們利用“分解與合成”的方法研究和認(rèn)識了形如 的方程組表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律.3)參數(shù)t的取值范圍是由t的物理意義限制的.2、曲線的參數(shù)方程與曲線C的關(guān)系

在選定的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程

t

（*）與曲線C滿足以下條件：（1）對于集合D中的每個(gè)t0，通過方程組（*）所確定的點(diǎn)（）

都在曲線C上；

（2）對于曲線C上任意點(diǎn)（），都至少存在一個(gè)t0，滿足

則

曲線C

參數(shù)方程

t

3、曲線的普通方程與曲線的參數(shù)方程的區(qū)別與聯(lián)系

曲線的普通方程 ＝0是相對參數(shù)方程而言，它反映了坐標(biāo)變量 與y之間的直接聯(lián)系；而參數(shù)方程

t 是通過參數(shù)t反映坐標(biāo)變量 與y之間的間接聯(lián)系.曲線的普通方程中有兩個(gè)變數(shù)，變數(shù)的個(gè)數(shù)比方程的個(gè)數(shù)多1；曲線的參數(shù)方程中，有三個(gè)變數(shù)兩個(gè)方程，變數(shù)的個(gè)數(shù)比方程的個(gè)數(shù)多1個(gè).從這個(gè)意義上講，曲線的普通方程和參數(shù)方程是“一致”的.參數(shù)方程

普通方程

； 普通方程

參數(shù)方程 這時(shí)普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式.問題3：方程（）；方程（）是參數(shù)方程嗎？

參數(shù)方程與含參數(shù)的方程一樣嗎？

方程（）表示圓心在原點(diǎn)的圓系，方程（）表示共漸近線的雙曲線系。曲線的參數(shù)方程

（t為參數(shù)，t）是表示一條確定的曲線；

含參數(shù)的方程 ＝0卻表示具有某一共同屬性的曲線系，兩者是有原則區(qū)別的.三）基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥：

例1：已知參數(shù)方程

[0,2)判斷點(diǎn)A(1,)和B(2,1)是否在方

程的曲線上.解：把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入方程得

(1)，(2)，在[0,2)內(nèi)，方程組(1)的解是，而方程組(2)無解，故A點(diǎn)在方程的曲線上，而B點(diǎn)不在方程的曲線上.1、參數(shù)方程化普通方程

例2：化參數(shù)方程（t≥0,t為參數(shù)）為普通方程，說明方程的曲線是什么圖形.解:

由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得

(y≥1)即

(y≥1)方程的曲線是頂點(diǎn)為(0,1),對稱軸平行于x軸，開口向左的拋物線的一部分.點(diǎn)撥：先由一個(gè)方程解出t，再代入另一個(gè)方程消去參數(shù)t,得到普通方程，這種方法是代入消參法.例3：當(dāng)t R時(shí)，參數(shù)方程（t為參數(shù)），表示的圖形是（）

A

雙曲線

B 橢圓

C 拋物線

D 圓

解法1：原方程可化為(1)÷(2)得：代入(2)

得(y≠-1)

答案選B 解法2： 令tg =

Z)則

消去，得(y≠-1)點(diǎn)撥：解法1使用了代數(shù)消元法，解法2觀察方程（1）、（2）的“外形”很像 三角函數(shù)中的萬能公式，使用了三角消參法.當(dāng)x和y是t的有理整函數(shù)時(shí)，多用代入或加減消元法消去參數(shù)；

當(dāng)x和y是t的有理分式函數(shù)時(shí)，也可以用代入消參法，但往往需要做

些技巧性的處理.至于三角消參法，只在比較巧合的情況下使用.例4：將下列方程化為普通方程：

(1)

（為參數(shù)）

(2)

（t為參數(shù)）

解:(1)做 ＝(cos2 +sin2 +sin)－(1+sin)＝0

＝0，但由于，即0≤ ≤.∴參數(shù)方程只表示拋物線的一部分，即（0≤ ≤）

(2)解方程組得(1)

(2)

(1)×(2)得 ＝1

從

知 ≥1（提示應(yīng)用均值定理）

所求的普通方程為 ＝1(≥1)點(diǎn)撥：(1)從方程組的結(jié)構(gòu)看含絕對值，三角函數(shù)，通過平方去絕對值，利用三 角消參法化為普通方程；

(2)觀察方程組的結(jié)構(gòu)，先利用消元法，求出，,再消t.方法總結(jié)：將參數(shù)方程化普通方程方法：（基本思想是消參）

(1)代入消參法；(2)代數(shù)變換法（＋，－，×，÷，乘方）

(3)三角消參法

注意：參數(shù)取值范圍對 取值范圍的限制.(參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性）

2、普通方程化參數(shù)方程

例5：設(shè)，為參數(shù)，化方程 為參數(shù)方程。

解： 消y得

∴

由于

R，所以 和所確定的 取值范圍是一致的，故主要任選其一構(gòu)成參數(shù)方程即可.所求的參數(shù)方程為

R 例6：以過點(diǎn)A(0,4)的直線的斜率k為參數(shù)，將方程4 ＝16化成參數(shù)的 方程是

.解：設(shè)M()是橢圓4 ＝16上異于A的任意一點(diǎn)，則，(≠0）以 代入橢圓方程，得 =0, ∴

另有點(diǎn)

∴所求橢圓的參數(shù)方程為

或

方法總結(jié)：將普通方程化參數(shù)方程方法：

已知

四）基礎(chǔ)知識測試：

1、曲線（t為參數(shù)）與 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A（1，4）

B（，0）

C（1，－3）

D（±，0）

2、在曲線（t為參數(shù)）上的點(diǎn)是（）

A（0，2）

B（－1，6）

C（1，3）

D（3，4）

3、參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線是（）

A 直線

B 拋物線

C 橢圓

D 雙曲線

4、與參數(shù)方程（t為參數(shù), t R）表示同一曲線的方程是（）

A

（t為參數(shù), t R）

B

（t為參數(shù), t R）

C

（為參數(shù)，R）

D

（t為參數(shù), t R）

5、曲線

（0< <1）的參數(shù)方程是（）

A

（為參數(shù), ,k Z）

B

（t為參數(shù), t≠0）

C（為參數(shù), 為銳角）D

（為參數(shù), , k Z）

6、根據(jù)所給條件，把下列方程化為參數(shù)方程：(1),設(shè)，是參數(shù)，為正常數(shù)；(2), ，t為參數(shù)；(3)，是參數(shù).7、已知動圓方程（為參數(shù)）那么圓心軌跡是（）

A

橢圓

B 橢圓的一部分

C 拋物線

D 拋物線的一部分

8、（提高）已知曲線系C的方程16x2+4y2-32xcos-16ysin2-4sin22 =0（為任意值）求曲線系中各條曲線中心的軌跡.五）同步練習(xí)：

1、解析幾何習(xí)題冊：P46,一

參數(shù)方程

2、黃岡習(xí)題冊：P156、演練平臺；P157演練平臺.

第二篇：高中語文：1.2《湘夫人》教案(新人教選修)

屈原《湘夫人》

教案

一、導(dǎo)入

湘君和湘夫人是湘江的一對戀人神，傳說湘君就是古帝舜，他南巡時(shí)死于蒼梧，葬于九嶷山。舜的妻子是堯帝的二女娥皇、女英，她們追隨丈夫到沅湘，夫死而苦，淚水落在竹子上，使竹竿結(jié)滿了斑點(diǎn)，“斑竹”之名即由此而來。屈原根據(jù)這個(gè)美麗的傳說寫作了一首詩歌《湘夫人》，讓我們一起來學(xué)習(xí)。

二、常識介紹

介紹屈原、楚辭和背景知識

三、把握詩歌情感，理解詩歌主題

（一）播放錄音，學(xué)生結(jié)合課后注釋朗讀詩歌。

（二）（1）師問：這首詩歌講述的是一個(gè)什么樣的故事？

生答：講了湘君和湘夫人的苦戀故事，全詩以湘君的口吻，抒寫了他自己在約會地點(diǎn)沒有等到湘夫人的憂愁、煩惱感情和一系列的心里活動。（2）師問：詩人是以怎樣的情感來講述這個(gè)故事的？為什么會用這樣的情感講述這個(gè)苦戀故事？（啟發(fā)學(xué)生用“知人論世、以意逆志”來把握詩人情感、理解詩歌主旨）生答：幽怨 哀婉

生答：詩言志，詩人借講述這個(gè)哀婉、動人的苦戀故事，來表達(dá)他政治理想不能實(shí)現(xiàn)的幽怨，借湘君對愛情的堅(jiān)貞不渝來表達(dá)他對理想執(zhí)著追求的情愫。附屈原其人其事：

屈原一生經(jīng)歷了楚威王、楚懷王、頃襄王三個(gè)時(shí)期，而主要活動于楚懷王時(shí)期。這個(gè)時(shí)期正是中國即將實(shí)現(xiàn)大一統(tǒng)的前夕，“橫則秦帝，縱則楚王。”屈原因出身貴族，又明于治亂，嫻于辭令，故而早年深受楚懷王的寵信，位為左徒、三閭大夫。屈原為實(shí)現(xiàn)楚國的統(tǒng)一大業(yè)，對內(nèi)積極輔佐懷王變法圖強(qiáng)，對外堅(jiān)決主張聯(lián)齊抗秦，使楚國一度出現(xiàn)了一個(gè)國富兵強(qiáng)、威震諸侯的局面。但是由于在內(nèi)政外交上屈原與楚國腐朽貴族集團(tuán)發(fā)生了尖銳的矛盾，由于上官大夫等人的嫉妒，屈原后來遭到群小的誣陷和楚懷王的疏遠(yuǎn)。懷王十五年（前304），張儀由秦至楚，以重金收買靳尚、子蘭、鄭袖等人充當(dāng)內(nèi)奸，同時(shí)以“獻(xiàn)商於之地六百里”誘騙懷王，致使齊楚斷交。懷王受騙后惱羞成怒，兩度向秦出兵，均遭慘敗。于是屈原奉命出使齊國重修齊楚舊好。此間張儀又一次由秦至楚，進(jìn)行瓦解齊楚聯(lián)盟的活動，使齊楚聯(lián)盟未能成功。懷王二十四年，秦楚黃棘之盟，楚國徹底投入了秦的懷抱。屈原亦被逐出郢都，到了漢北。

懷王三十年，屈原回到郢都。同年，秦約懷王武關(guān)相會，懷王遂被秦扣留，最終客死秦國，頃襄王即位后繼續(xù)實(shí)施投降政策，屈原再次被逐出郢都，流放江南，輾轉(zhuǎn)流離于沅、湘二水之間。頃襄王二十一年（公元前278），秦將白起攻破郢都，屈原悲憤難捱，遂自沉汨羅江，以身殉了自己的政治理想。（3）師生研討詩歌主題。

本詩以男女水神等候?qū)Ψ綖榫€索，表現(xiàn)了他們因思而不見而在不斷的彷徨迷惘中產(chǎn)生的深長的幽思之情，但仍對愛情堅(jiān)貞不渝的主題！詩歌反應(yīng)了當(dāng)時(shí)人民的真實(shí)感情和美好愿望，也滲透了詩人屈原執(zhí)著追求理想的情愫。

四、學(xué)習(xí)情景交融的寫法，意象在表達(dá)情感、營造意境上的作用 1．朗讀第一段，通過“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮木葉下”、“鳥萃兮蘋中，罾何為兮木上”，分析情景關(guān)系。2．“秋風(fēng)”、“木葉”這都是令人感傷的意象，作者為了表現(xiàn)他的幽怨、哀婉，自然要選擇這些哀景，可是后面為什么還要寫很多的香草？ 生答：寄予理想

五、布置作業(yè) 1．背誦課文。

2．整理屈原詩歌中的名句?！毒鸥?湘夫人》教案周建忠

一、《九歌》的來源及其演變

《九歌》的發(fā)展和形成經(jīng)歷了漫長的四個(gè)階段。第一階段稱為“原始《九歌》”或“巫術(shù)《九歌》”；第二階段是“中原《九歌》”，我們稱之為“夏代經(jīng)典《九歌》”；第三階段是“楚地《九歌》”，也稱“民間《九歌》”；第四階段是“屈原《九歌》”。

我們解讀《九歌》最大的難點(diǎn)就是要把這四個(gè)層次理清楚，如果不能把這四個(gè)層次理清楚，把屈原的《九歌》和夏代《九歌》等同或跟原始《九歌》等同，那樣就不能很好的解讀《九歌》?！毒鸥琛返拿Q起源很早，《離騷》中講到的“啟《九辯》與《九歌》兮”，是說夏代開國君王夏啟，把天庭樂歌《九歌》偷回人間。其實(shí)在夏代《九歌》之前還有“原始《九歌》”或“巫術(shù)《九歌》”。到目前為止，我們還沒有發(fā)現(xiàn)楚國人把《九歌》作為國家所用的祭歌的記載，但《九歌》和國家的祭祀還是有一些關(guān)系的。北京大學(xué)教授金開誠曾說，《九歌》可能是大型祭禮的余續(xù)，是大型祭禮結(jié)束以后再來唱的，既有大型祭祀典禮的肅穆與端莊，又有娛人的作用。這種說法我人為是比較有力的。《九歌》既和國家祀典有關(guān)，又和國家祀典有所區(qū)別，但到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)《九歌》與楚國的國家祭典有直接的關(guān)系。屈原在楚地民間祭歌的基礎(chǔ)之上創(chuàng)作了《九歌》。屈原在長期流放的過程中能夠感受到，也能夠接觸到楚國的傳統(tǒng)祭歌。

屈原創(chuàng)作《九歌》的摹本，可以毫無疑問地說就是楚地民間《九歌》，這在東漢王逸的《楚辭章句》和宋代朱熹的《楚辭集注》中都有明確論述。屈原在楚地民間《九歌》的基礎(chǔ)上創(chuàng)作了組詩《九歌》，而楚地的民間《九歌》顯然保留了夏代中原《九歌》和巫術(shù)《九歌》以及原始《九歌》的某些內(nèi)容和風(fēng)格，因此我們從屈原《九歌》中能發(fā)現(xiàn)原始《九歌》和夏代《九歌》的一些痕跡。因此，對于屈原的《九歌》，可以這樣表述：屈原《九歌》是在原始《九歌》、中原《九歌》、楚地《九歌》基礎(chǔ)之上的獨(dú)立的文學(xué)創(chuàng)作。

二、《九歌》的內(nèi)容

《九歌》是組詩，盡管我們一直認(rèn)為它是可以唱的。王國維、聞一多都認(rèn)為《九歌》是中國戲劇的萌芽，但我們應(yīng)該看到，《九歌》的戲劇因素并不明顯，而是實(shí)實(shí)在在的組詩。聞一多研究《九歌》一共做了兩件事。

第一、他認(rèn)為《九歌》中的末篇《禮魂》只有五句，是前十首每篇唱完后的共享唱詞，相當(dāng)于我們今天音樂的“過門”曲。在前十篇中，除《東皇太一》是祭祀至上神，《國殤》是祭祀衛(wèi)國犧牲的將士外，其余八篇中的神靈可以配成四對：湘君與湘夫人，大司命與少司命，河伯與山鬼，東君和云中君。后來姜亮夫認(rèn)為東君和云中君配成一對很勉強(qiáng)，于是就認(rèn)為《九歌》中的神靈可以配成三對。其實(shí)，《九歌》中真正能夠配成對的神靈只有湘君和湘夫人，其它都是牽強(qiáng)的，但聞一多和姜亮夫?qū)Α毒鸥琛费芯康淖畲筘暙I(xiàn)是，他們都發(fā)現(xiàn)了《九歌》中的八篇都涉及到男女之情。《九歌》是借男女情愛來表達(dá)人生體悟，人生追求和人生苦惱的觀點(diǎn)顯然是沒有問題的。

聞一多《九歌》研究的另一件比較重要的成果就是寫了《九歌歌舞劇懸解》，可能他自己也不太有把握，所以說“懸解”。他把《九歌》中的神靈都轉(zhuǎn)換成戲劇角色，然后用戲劇分幕的方式把《九歌》改寫了。這種方式啟發(fā)了我們現(xiàn)在很多人對于從戲劇的角度研究《九歌》的興趣。實(shí)際上還是王國維說得比較準(zhǔn)確，《九歌》僅僅是戲劇的萌芽，是戲劇的化石，但它本身不是戲劇，所以我研究的結(jié)論是：“《九歌》是一組詩?！?/p>

《九歌》中留下了原始婚姻男女自由約會的痕跡。人類早期的愛情多以水邊為背景。在甲骨文中就有“妻人于河”的記載，在河邊祭祀就是把漂亮的女孩子扔到河里去。大家所熟知的《西門豹治鄴》講的就是這樣的事情?！断婢?、《湘夫人》從內(nèi)容上看就是講他們兩個(gè)人約會不成的事情。用我們今天的話來說，就是有一個(gè)時(shí)間差而造成了他們的愛情悲劇。對于他們的愛情悲劇，我把它理解為：第一，這是人間正常生活的反映。像湘君、湘夫人這樣約會而不能見面的情況，在生活中是非常常見的。第二，也是更主要的，屈原是受到了古代大舜和他的兩個(gè)妻子娥皇、女英悲劇故事的制約。屈原正是在這個(gè)古代神話故事的基礎(chǔ)之上創(chuàng)作了《九歌》中的《湘君》、《湘夫人》。我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)《九歌》的任何一篇，要想把它解釋的比較通達(dá)，能夠自圓其說，就肯定要把它和原始《九歌》，夏代《九歌》和楚地民間祭歌聯(lián)系起來。

三、《湘君》《湘夫人》的故事背景

在中國文學(xué)史上，總有一些特殊的地點(diǎn)，由于一些特殊的故事和一些名人之作跟它聯(lián)系在一起，使它成為千百年的名勝古跡?！断娣蛉恕饭适掳l(fā)生的自然景觀背景就是八百里煙波浩淼的洞庭湖。自古以來，洞庭湖的“洞庭”就是“神仙洞府”之意，洞庭湖的最大特點(diǎn)就是湖外有湖湖中有山，景色極其優(yōu)美。它的北面是長江，因此洞庭湖的水是流入長江里面的。洞庭湖有四條有活水流入的支流，古代稱為湘水、沚水、沅水、澧水，也就是現(xiàn)在的湘江、沚水、沅江、澧江。我們在中學(xué)里學(xué)過的范仲淹的《岳陽樓記》中寫的“予觀夫巴陵勝狀，在洞庭一湖，銜遠(yuǎn)山，吞長江，浩浩湯湯，橫無際涯；朝暉夕陰，氣象萬千?！笨梢姸赐ズ吧利?。洞庭湖中有君山，又叫洞庭山。君山得名的由來就是和堯的兩個(gè)女兒，舜的兩位妻子娥皇女英的神話傳說有關(guān)。山上有二妃墓和湘妃寺，這都和《九歌》中的湘君、湘夫人神話傳說有關(guān)。在二妃墓和湘妃寺周圍生長著高低起伏，郁郁蔥蔥，蒼翠茂盛的斑竹，在這些竹子上長滿淚痕似的斑點(diǎn)，有人說這是全國乃至全國世界獨(dú)一無二的景觀。神話傳說中，娥皇女英追到君山，聽說虞舜已經(jīng)死在蒼梧之野，她們投江而死之前哭泣的淚痕就化成了現(xiàn)在的斑竹。

由于對屈原及楚辭的研究和實(shí)地考察，我對這一帶的美景是深有體會的。值得指出的是，汨羅江就是湘江的一條支流，屈原最后流放的地點(diǎn)就是汨羅江一帶。他渡過了長江，經(jīng)過了洞庭湖，來到了沅江，又來到湘江，最后來到汨羅江北邊的玉石山，這就是屈原最后的流放地點(diǎn)。對于屈原自沉的汨羅江，我下水過三次，由于水流湍急，雖然江面只有五十多米寬，我被水流向下游沖走了兩百多米最終也沒有游到對岸，雖然我是從小在長江邊長大的，很會游泳，但我也沒能夠潛到汨羅江的江底，可見，江水是極深的。因此我相信，當(dāng)年屈原自沉以后，人們打撈他的尸體是絕對撈不到的。后來我沿著汨羅江一直走到頭，發(fā)現(xiàn)它的盡頭不是湘江而是洞庭湖，我拿著地圖左看右看不明白是怎么回事，因?yàn)榈貓D明明白白標(biāo)著汨羅江是流入湘江的。經(jīng)過詢問當(dāng)?shù)厝?，證明我看到的是對的，原來1958年興修水利，已把汨羅江直接引入洞庭湖。

湘江是一條非常大的河流，它是橫貫整個(gè)河南省甚至還流經(jīng)河北的一些地方的一條大河。

洞庭湖特殊的自然景觀，由于其獨(dú)特的美景以及瑰麗的神話傳說以及一些古代的文人（如范仲淹等）在文章中的贊美和歌頌，因而就顯得特別有名。我們要講的《湘夫人》就是跟洞庭湖有關(guān)。在我們所知道的歷代文人中和洞庭湖關(guān)系最密切的，影響最早的就是屈原的 神話悲劇故事《湘君》和《湘夫人》。根據(jù)《山海經(jīng)》、《尚書》的記載，在傳說的三皇五帝時(shí)代，堯考察他的接班人舜，用了二十年的時(shí)間，還把自己的兩個(gè)女兒娥皇和女英嫁給舜，后來舜外出巡行生了重病，娥皇、女英就趕去看望他，當(dāng)她倆趕到洞庭湖中君山的時(shí)候，那邊傳來消息說大舜已經(jīng)崩于蒼梧，娥皇女英悲痛哭泣，然后就投江而死。正因?yàn)檫@個(gè)故事太感人了，再加上我們的社會是一個(gè)以男性作家為創(chuàng)作主體的社會，所以后代以這個(gè)神話傳說創(chuàng)作的作品可以說是數(shù)不勝數(shù)。在以男性作家為主的文壇上，這樣的題材多少寄予了作者對社會、對人生、對婚姻愛情的一種期待、理解和渴望，所以這個(gè)題材歷久不衰。如果我們撇開這個(gè)題材的共同性再來看屈原的創(chuàng)作，就可以發(fā)現(xiàn)它處在了一個(gè)很高的層次。他沒有流于這個(gè)題材的這樣的一個(gè)悲劇故事傳說，而是虛擬了兩位湘水配偶神的約會?！断婢肥菍懴娣蛉说竭_(dá)約會地點(diǎn)沒有見到湘君而對湘君的思念；《湘夫人》是寫湘君前來和湘夫人約會兒沒有見到湘夫人而對湘夫人的思念。相比較而言，我覺得兩篇當(dāng)中《湘夫人》更好一些，所以我們選講《湘夫人》。

在這一篇中，屈原以湘君這個(gè)男性的視角來寫，所以寫的很有層次，也很有變化。1922年，梁啟超在東南大學(xué)（也就是南京大學(xué)的前生）演講時(shí)說：“最感到奇怪的是屈原在他的作品種有豐富細(xì)膩的愛情婚姻體驗(yàn)而從不涉及他的家人?！痹谶@里，梁啟超點(diǎn)出了一個(gè)問題，就是屈原沒有為我們留下任何有關(guān)他自己愛情婚姻和家庭的線索，他把自己豐富細(xì)膩的愛情婚姻體驗(yàn)轉(zhuǎn)到對古典神話傳說及民間文學(xué)的繼承上，并把它塑造出生動典型的藝術(shù)形象。這就是我們解讀《湘君》、《湘夫人》的背景。

九嶷、斑竹、娥皇、女英、二妃墓、大舜等僅僅時(shí)屈原創(chuàng)作這兩首詩的原型和背景。在此原型和背景上，屈原進(jìn)行了再創(chuàng)造，從而創(chuàng)作出優(yōu)美的詩篇。北京大學(xué)的林庚教授（他自己就是一位詩人）曾經(jīng)講過，湘君、湘夫人的神話傳說完全可以把它故事化，但在屈原的筆下完全被詩化了。在《湘君》《湘夫人》中，只有一個(gè)瞬間的情節(jié)——一個(gè)約會的片段，別的都是豐富的內(nèi)心活動。屈原正式截取這個(gè)悲劇故事的一個(gè)片段，憑著精神的流動而創(chuàng)作了這兩首優(yōu)美的詩篇。

四、《湘夫人》解讀

《湘夫人》一共有四十句，我將它分成三段。第一段為前十八句，即從開頭到“將騰駕兮偕逝”第二段十四句，即從“筑室兮水中”至“建芳馨兮廡門”。第三段是余下的八句。每段可以用一個(gè)字來概括：第一段寫“望”；第二段寫“迎”，即作迎接的種種準(zhǔn)備；第三段寫“等”。我的段落劃分跟現(xiàn)在所有注本或研究性文章的劃分都不相同。

第一段是采用一種跳躍性的節(jié)奏，來寫對湘夫人的盼望。敘述在這里呈跳躍性、倒裝性的不規(guī)則狀態(tài)。在這種跳躍性、不規(guī)則的敘述狀態(tài)下，強(qiáng)烈地抒發(fā)了渴望和期待之情。有人說，“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”抵得上了唐人絕句千萬首，它的特點(diǎn)就在于跳躍的、不規(guī)則的節(jié)奏。從敘事的角度，第一段的最后兩句“聞佳人兮召予，將騰駕兮偕逝”才是敘事的起點(diǎn)。湘君約會湘夫人不得，卻先說降臨北渚看到的是落葉飄零，洞庭湖水漂渺無邊，失望的思緒和眼前的景色融為一體，然后說登高遠(yuǎn)望，布置陳設(shè)，最后說聽到湘夫人約見的音訊自己毫不猶豫，馬上前往。可見倒裝的痕跡非常明顯。如果講“詩眼”的話，“偕逝”就是這首詩的詩眼，正因?yàn)閷Ψ經(jīng)]有到來，整個(gè)的痛苦就只能有一個(gè)人承擔(dān)，第一段中的第二個(gè)情節(jié)點(diǎn)是“朝馳余馬兮江皋，夕濟(jì)兮西澨”。在古詩中，詩人比較喜歡用“早”“晚”來表示時(shí)間的快速流逝。例如《木蘭詩》只中用了四句話，兩個(gè)“旦”和兩個(gè)“暮”就寫出了木蘭不遠(yuǎn)萬里，離別家鄉(xiāng)奔赴前線的漫長的時(shí)間和空間跨度。“馳”是使動用法，使自己的馬快速奔馳，是對上句“騰駕”的形象化描寫?！敖蕖?，江邊的高地，“濟(jì)”，抵達(dá)。讓我的馬在江邊的高地上飛馳，傍晚就到達(dá)了西邊的渡口

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予。裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下?！边@應(yīng)該是第一段詩歌的第三個(gè)情節(jié)點(diǎn)。寫出了湘君等待湘夫人時(shí)那種久等不至，悵然若失的失落和焦急的心境。強(qiáng)烈的失望帶來了對自然景觀的一種感情化的描寫。自然界的景色在這里和詩中主人公的主觀感受完全吻合，所以湘君就只能是“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮潺湲”，“登白薠兮騁望，與佳期兮夕張?！?/p>

我們可以看到，在第一段的十八句當(dāng)中有十句是用來勾連情節(jié)的。第一組是“聞佳人兮召予，將騰駕兮偕逝”，它點(diǎn)出了約會的對象和對約見成功后行為的想象。

第二組是“朝馳余馬兮江皋，夕濟(jì)兮西澨”。第三組是“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予”。對方相約而不見，所以我惆悵而失落。接著是“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮嬋媛”，帶著迷茫惆悵的失落心情向遠(yuǎn)處眺望，只能看到江水在流淌。

最后是“登白薠兮騁望，與佳期兮夕張”，再一次登上長滿白薠的更高的堤岸向遠(yuǎn)處眺望，情人還是沒有來，雖然如此，我還要來為了她的到來而做好準(zhǔn)備。

如果說這首詩有第二個(gè)詩眼的話那就是“張”。在黃昏即將降臨的時(shí)候，我在這兒做好各種準(zhǔn)備，等待心上人的到來。這個(gè)“張”就是做各種準(zhǔn)備。這樣就領(lǐng)起了第二段，去造一個(gè)完整的房子：“筑室兮水中，葺之兮荷蓋。”這樣，我們把五組情節(jié)鏈勾連起來就可以看到湘君對湘夫人的那種一往情深，纏綿悱惻的情緒在流動，同時(shí)也可以看出他因沒能見到湘夫人而顯得非常失落和悲傷。這五組十句的情節(jié)勾連又是用不規(guī)則的、跳躍的、倒裝的甚而至于無序的方式來形成這樣一個(gè)抒情的結(jié)構(gòu)。可以這樣說，這首詩中寫得最好的地方就是開頭的第一段，第一段中最好的是開頭四句。

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予?！?帝子，指湘夫人，古代女子也可以稱子?！对娊?jīng)》中寫道齊國國君的女兒出嫁時(shí)“之子于歸，百輛御之”可證。因?yàn)橄娣蛉耸巧耢`所以說“降”，它一方面跟湘夫人的神靈身份相吻合，同時(shí)也符合湘君等待約會湘夫人的感情期待，表現(xiàn)了對湘夫人急切的期待的心情?！俺钣琛保刮覙O度的悲傷；眇眇，望眼欲穿而又模糊迷茫看不清楚的狀態(tài)。上下句之間存在著極大的感情落差，上句寫出了自己前所未有的渴望和幸運(yùn)之感，下句寫因沒有看到對方的到來而一下子跌到了感情的深淵。沒有見到心上人，看到的卻是“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”的蕭瑟悲涼的深秋景色。瑟瑟秋風(fēng)、浩渺的秋水、蕭蕭落葉使湘君的心情更加惆悵萬分。這種寫法啟發(fā)了無數(shù)的后來人，如杜甫的“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”；晏殊的“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路”等等。所以說“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”是中國古典詩詞中經(jīng)久不衰的名句，秋風(fēng)、落葉也就成了表達(dá)失落、惆悵之情的最敏感且最富表現(xiàn)力的詞匯，同時(shí)也成為最能喚起人們悲愁情感的自然景觀。歷代都有無數(shù)的文人藝術(shù)家對這兩句詩做出高度的評價(jià)和贊美，并以之為題材創(chuàng)作出無數(shù)的詩文畫等藝術(shù)珍品。需要說明的是，古人對自然的理解是比較單一的，在他們的心中乃至作品中，所有的花都在一個(gè)季節(jié)開放，那就是春天；所有的樹都在一個(gè)季節(jié)落葉，那就是秋天。其實(shí)，這兩種理解是完全違背自然界現(xiàn)象和自然界的客觀規(guī)律的，因?yàn)槊恳惶於加袠淙~在落，一年四季每一季節(jié)甚至每一天都有花開?！把U裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下。”

首先，它點(diǎn)明季節(jié)；其次它寫出了無窮的境界，那種秋水初漲，浩渺無邊，一望無際景象如在眼前；再次，它寄寓了自己身后的情感，這種情感跟那種憂愁的情緒和寥落的自然景 觀是完全吻合的。范仲淹在《岳陽樓記》中表現(xiàn)出了兩種不同的情感。其一是心曠神怡、寵辱皆忘、把酒臨風(fēng)、喜氣洋洋的快樂情緒；另一種是去國懷鄉(xiāng)、憂讒畏譏、滿目蕭然、感極而悲的失落和愁苦情感?？梢钥闯?，范仲淹在《岳陽樓記》中表達(dá)的美好的景觀和暢快的心情是極其抽象的，而表現(xiàn)得悲傷失落情緒則非常具體，非常生動，表達(dá)的非常到位，所以也就非常感人?！叭鴳燕l(xiāng)、憂讒畏譏、滿目蕭然、感極而悲”都是極其具體而鮮明的意象。《湘夫人》所要表達(dá)的情感正是這樣。進(jìn)而推廣到幾乎所有作家，他們對于高興喜悅的感情，描寫和表達(dá)的都極其抽象，描寫痛苦和失落之情都極其細(xì)膩和有層次，極其具體和生動?！把U裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”正是這種感情表達(dá)的早期范式和絕佳典型。

“鳥何萃兮蘋中,罾何為兮木上”

寫的是反?，F(xiàn)象，暗示了失望的必然結(jié)果。我們從《詩經(jīng)》的《關(guān)雎》和《氓》等篇中就已經(jīng)知道，當(dāng)時(shí)涉及到男女愛情一般都在水邊。而《湘君》、《湘夫人》更是以水為大背景，這里面的鳥和罾（捕魚的網(wǎng)）都是愛情隱語，這在民歌里面很多的。

“沅有茝兮醴有蘭，思公子兮未敢言”

是寫自己思念的情緒。這句詩是這首詩中除“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”外的第二個(gè)名句，表現(xiàn)了兩情未通的單相思的苦悶，它與越地民歌《越人歌》中的“山有木兮木有枝，心悅君兮君不知”有異曲同工之妙處。這里的“不敢言”不是不敢說，而是因?yàn)槟銢]有來，因此我沒有機(jī)會對你講。“茝”和“蘭”是兩種花草。這兩句詩運(yùn)用了諧音和雙關(guān)的修辭手法。表達(dá)了自己對愛情的忠貞和執(zhí)著。

“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮潺湲”之后繼續(xù)寫反常現(xiàn)象：“麋何食兮庭中，蛟何為兮水裔？”鹿在庭院中吃草為什么是反?，F(xiàn)象呢？因?yàn)槁雇ǔ?yīng)該在野外吃草。《詩經(jīng)?小雅》中有《鹿鳴》一篇中“呦呦鹿鳴，食野之蘋”可證。蛟龍由于是雌性龍，所以一般都深潛水底而不會來到水邊上。

第一段中，在五組情節(jié)鏈的基礎(chǔ)之上，抒發(fā)了作者對湘夫人的思念和渴望。湘君的情緒由非常高興，盼湘夫人的降臨——“帝子降兮北渚”，一下子跌落到感情低落的低谷——“目眇眇兮愁予”，然后情緒又發(fā)生了很多的變化，所有的變化都是悲傷的，并多次用反問句式表達(dá)自己因?qū)Ψ剿s而帶來的痛苦之情，用眼前蕭瑟冷落的景象和一些反常的生活場景來襯托自己的失落心情。所以，第一段主要是用盼望對方來而對方卻沒有來，表達(dá)了一種情緒的極度低落。

第一段譯文：

湘夫人將要降臨北洲上，放眼遠(yuǎn)眺呵使我分外惆悵。秋風(fēng)陣陣，柔弱細(xì)長，洞庭波涌，落葉飄揚(yáng)。

登上長滿白薠的高地放眼望。我與佳人約會，一直忙得月昏黃。鳥兒啊為何聚集在蘋草邊?魚網(wǎng)啊為何掛到樹枝上?沅水有白芷，澧水有幽蘭，懷念湘夫人啊無法講。心思恍惚，望穿秋水，只見那洞庭水慢慢流淌。野麋尋食，為何來到庭院?蛟龍游戲，為何來到淺灘?清晨我騎馬在江邊奔馳，傍晚我渡大江西岸旁。聽說佳人召喚我，我將快速飛馳與你同往。通過翻譯，我們不難發(fā)現(xiàn)第十七、十八句才是一個(gè)完整的真正的情節(jié)的開頭。這也是我讀《湘夫人》無數(shù)遍以后我自己揣摩出來的。它的情節(jié)是倒裝的，不規(guī)則的，跳躍性的，然后在此基礎(chǔ)之上有何情緒的流動聯(lián)系在一起。他的情節(jié)完全受制于情感。

第二段比較簡單，就是造一所房子，只不過是把地面上的房子造到了水中，然后再裝飾了更多的花草。這一段中的每一句都和建筑有關(guān)，它的難點(diǎn)是其中有許多比較冷僻的字。在這一段中，我們可以見到很多有關(guān)建筑學(xué)的專門術(shù)語，如“室”、“蓋”、“壇”、“堂”、“棟”、“橑”、“屋”、“庭”、“廡門”等等，它們完全符合地面一般建筑的名稱和特點(diǎn)。我們通過《湘夫人》第二段中描寫所涉及到的建筑學(xué)上的術(shù)語，可以說明他所建的房子也就是一般的房子，但又是建給最心愛的、盼望已久的人住的，用我們今天的話來說就是迎新用的房子，所以用料考究，裝飾精美，用花草裝飾了一層又一層。如果說第一段是通過情節(jié)來描寫，第二段則是通過行動來描寫。這里面的情緒是暗隱其間，僅僅是個(gè)背景。這一段中沒有直接寫自己是如何地失望和難過，而是用建筑速度之，料之精美，裝飾之考究來表達(dá)自己對對方的思念和愛慕，用筑室這種行動來表達(dá)對湘夫人的迎接。

第二段譯文：

把我們的房屋建造在水中，又將荷花葉子苫在房頂上； 用蓀草飾墻，紫貝飾壇，撒布香椒，充滿整個(gè)中堂； 桂樹作棟，蘭樹作椽，辛夷楣門，白芷鋪房； 編結(jié)薜荔作帷帳，分開蕙草做隔扇已安放； 潔白的美玉做鎮(zhèn)席，散放石蘭傳播芬芳；

荷葉做的屋頂呵，加蓋芷草，再把杜衡纏繞在房屋四方。

匯合各種香草充滿庭院，放置各種香草播滿門廊。九嶷山的眾神都來歡迎，為迎接湘夫人眾神如流云一樣。我把那外衣拋到江中去，我把那內(nèi)衣丟在澧水旁。我在小島上采摘杜若，將送給遠(yuǎn)方的人兒表衷腸。美好的時(shí)機(jī)不容易多次得到，我姑且逍遙自在度時(shí)光。] 第三段八句四組，表達(dá)了湘君情緒的變化。第一組是筑室情緒的自然延伸和幻覺的表現(xiàn)； 第二組是幻覺情形而產(chǎn)生的一種失望的情緒；

第三組在恨之深愛之切的情緒的調(diào)動之下，剛剛?cè)恿诵盼镉趾蠡?，趕快去采摘香草，以等待對方的到來；

第四組寫最后湘夫人仍然沒有來。

可以這么說，所有閱讀《九歌》中《湘君》、《湘夫人》的讀者都想探究的是，他們最終為什么沒有能夠見面。我們可以從這樣幾個(gè)方面理解。

第一，這兩首詩的創(chuàng)作受到了虞舜和他的兩個(gè)妻子娥皇女英悲劇故事的制約，這是最主要的因素。

這里我要解釋的是又兩點(diǎn)。首先，我不同意大部分人認(rèn)為的這兩首詩就是寫的是大舜和二妃的悲劇神話傳說。從本質(zhì)上講，屈原寫的不是這個(gè)神話傳說。舜和二妃的故事僅僅是《湘君》《湘夫人》這兩首詩創(chuàng)作的一個(gè)遠(yuǎn)景，一個(gè)背景或原型。其次，屈原用這個(gè)題材來寫的時(shí)候，他仍然被這個(gè)遠(yuǎn)古的悲劇傳說所震撼和感染，所以就情不自禁地采用這樣的雙方不能見面的悲劇情節(jié)。有人從本詩第一句就判斷這首詩寫的是舜和二妃的故事。為什么稱“帝子”呢？這首詩中寫湘夫人共有三種稱呼——帝子、公子和佳人。如果是寫一般的愛情詩，用“公子”、“佳人”等稱呼就很好，但本詩中在第一句就說“帝子降兮北渚”，所以說屈原在創(chuàng)作的時(shí)候情不自禁的運(yùn)用了舜和二妃的悲劇故事，并以之作為詩歌的感情基調(diào)，所以最終湘君和湘夫人是不能夠見面的。

第二，這兩首詩的創(chuàng)作受到了民間流行歌曲基調(diào)的影響。

因?yàn)椤熬鸥琛钡拿Q是從楚國民間祭歌而來，而流行歌曲的基調(diào)是歡快熱烈的，含蓄的描寫實(shí)在是極少極少。兩情相思，兩情未通，表達(dá)一種思念的痛苦是民間流行歌曲表達(dá)的主 要內(nèi)容。這種略帶憂愁，略帶惆悵的歌唱之后是一種情緒的發(fā)泄和消解。有人研究過，唱那些雄赳赳，氣昂昂的情緒高亢之歌，唱完后很累，得不到情緒的緩解，而唱完流行歌曲以后，憂愁的情緒得到了一種自然的消解，所以說湘君、湘夫人最終的不能見面是受到了民歌的那種悲愁、惆悵、迷?；{(diào)的影響，尤其是在悲秋的季節(jié)里表達(dá)那種單相思的情緒。以上兩點(diǎn)從學(xué)理上解決了文章的悲愁傷感的基調(diào)的緣由。此外，在當(dāng)時(shí)的交通條件之下，男女約會的痛苦，不能相見的愁思實(shí)在是極其常見的。且不說是在先秦文學(xué)中，就是在倫理約束比較寬松的元代社會，在元代散曲中，兩情相悅而未通的苦悶還是極其顯著的，鄰居的兩個(gè)男女青年相互約會都是很難成功的。

第三段譯文：

九嶷山的眾神都來歡迎，為迎接湘夫人眾神如流云一樣。我把那外衣拋到江中去，我把那內(nèi)衣丟在澧水旁。我在小島上采摘杜若，將送給遠(yuǎn)方的人兒表衷腸。美好的時(shí)機(jī)不容易多次得到，我姑且逍遙自在度時(shí)光。

第三篇：高中新課程數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教A版)選修4-4《1.2.1極坐標(biāo)系的的概念》教案

二

極坐標(biāo)系

課題：

1、極坐標(biāo)系的的概念 教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：理解極坐標(biāo)的概念

能力目標(biāo)：能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別.德育目標(biāo)：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點(diǎn)：理解極坐標(biāo)的意義

教學(xué)難點(diǎn)：能夠在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)確定點(diǎn)位置 授課類型：新授課

教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教

具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？ 情境2：如圖為某校園的平面示意圖，假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處。

（1）他向東偏60°方向走120M后到達(dá)什么位置？該位置惟一確定嗎？

（2）如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？

問題1：為了簡便地表示上述問題中點(diǎn)的位置，應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標(biāo)系呢？

問題2：如何刻畫這些點(diǎn)的位置？ 這一思考，能讓學(xué)生結(jié)合自己熟悉的背景，體會在某些情況下用距離與角度來刻畫點(diǎn)的位置的方便性，為引入極坐標(biāo)提供思維基礎(chǔ)．

二、講解新課：

從情鏡2中探索出：在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。

1、極坐標(biāo)系的建立：

在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線OX，同時(shí)確定一個(gè)單位長度和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。（其中O稱為極點(diǎn)，射線OX稱為極軸。）

2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定

對于平面上任意一點(diǎn)M，用 ?

表示線段OM的長度，用 ?

表示從OX到OM 的角度，?

叫做點(diǎn)M的極徑，?叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對（?，?）就叫做M的極坐標(biāo)。

特別強(qiáng)調(diào)：由極徑的意義可知?≥0;當(dāng)極角?的取值范圍是[0,2?)時(shí),平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)（?，?）建立一一對應(yīng)的關(guān)系.們約定,極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑?=0,極角是任意角.3、負(fù)極徑的規(guī)定

在極坐標(biāo)系中，極徑?允許取負(fù)值，極角?也可以去任意的正角或負(fù)角 當(dāng)?＜0時(shí)，點(diǎn)M（?，?）位于極角終邊的反向延長線上，且OM=?。M（?，?）也可以表示為(?,??2k?)或(??,??(2k?1)?)

(k?z)

4、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1 寫出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)（見教材14頁）A（4，0）B（2）C（）D（）E（）F（）G（）

①平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少種表示方法？ ③坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？

③ 不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式 約定：極點(diǎn)的極坐標(biāo)是?=0，?可以取任意角。變式訓(xùn)練

在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn) A（3，0）B（6，2?）C（3，5?3?2）D（5，4?3）E（3，5?6）F（4，?）G（6，5?4點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究

例2 在極坐標(biāo)系中，(1)已知兩點(diǎn)P（5，(2)已知M的極坐標(biāo)為（?，?）且?=置。變式訓(xùn)練

1、若?ABC的的三個(gè)頂點(diǎn)為A(5,5?2),B(8,5?6),C(3,7?6),判斷三角形的形狀.），Q(1,R?4)，求線段PQ的長度；

?3，??，說明滿足上述條件的點(diǎn)M 的位

2、若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為(?1,?1),(?2,?2)求AB的長以及?AOB的面積。（O為極點(diǎn)）

例3 已知Q（?，?），分別按下列條件求出點(diǎn)P 的極坐標(biāo)。（1）P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)；（2）P是點(diǎn)Q關(guān)于直線???2的對稱點(diǎn)；

（3）P是點(diǎn)Q關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)。變式訓(xùn)練

1.在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)(?8,A(8,?6)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是

（）

?6)?6),B(8,?5?6),C(?8,5?6),D(?8,?

?4),B(2,54),2在極坐標(biāo)系中，如果等邊?ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A(2,的坐標(biāo)。

求第三個(gè)頂點(diǎn)C

三、鞏固與練習(xí)

四、小

結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．如何建立極坐標(biāo)系。2．極坐標(biāo)系的基本要素是：極點(diǎn)、極軸、極角和度單位。3．極坐標(biāo)中的點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系。

五、課后作業(yè)：

六．課后反思：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容對學(xué)生來說是全新的，因而學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣很濃，課堂氣氛很好。部分學(xué)生還未能轉(zhuǎn)換思維，感到有點(diǎn)吃力。后續(xù)教學(xué)還要加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練。

課題：

2、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式 能力目標(biāo)：會實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的互化

德育目標(biāo)：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點(diǎn)：對極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式的理解 教學(xué)難點(diǎn)：互化關(guān)系式的掌握 授課類型：新授課

教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教

具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

情境1：若點(diǎn)作平移變動時(shí)，則點(diǎn)的位置采用直角坐標(biāo)系描述比較方便;情境2：若點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變動時(shí)，則點(diǎn)的位置采用極坐標(biāo)系描述比較方便 問題1：如何進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化？ 問題2：平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1,3)，這個(gè)點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示？

學(xué)生回顧

理解極坐標(biāo)的建立及極徑和極角的幾何意義

正確畫出點(diǎn)的位置，標(biāo)出極徑和極角，借助幾何意義歸結(jié)到三角形中求解

二、講解新課：

直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位。平面內(nèi)任意一點(diǎn)P的指教坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x,y)和(?,?)，則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式：

{x??cos?y??sin??2?x2?yyx

2{

tan??

說明1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式

2通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取?≥0，0≤?≤2?。

3互化公式的三個(gè)前提條件

1.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2.極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.三．舉例應(yīng)用：

例1．（1）把點(diǎn)M 的極坐標(biāo)(8,（2）把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(變式訓(xùn)練

在極坐標(biāo)系中,已知A(2,?6),B(2,?2?3)化成直角坐標(biāo)

6,?2)化成極坐標(biāo)

?6),求A,B兩點(diǎn)的距離

例2.若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系.(1)已知A的極坐標(biāo)(4,5?3),求它的直角坐標(biāo),(2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,?2)和(0,?15)求它們的極坐標(biāo).(?＞0,0≤?＜2?)變式訓(xùn)練

把下列個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定?＞0,0≤?＜2?)A(?1,1),B(0,?2),C(3,4),D(?3,?4)

2?3

例3.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(6,求A,B中點(diǎn)的極坐標(biāo).變式訓(xùn)練

在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)M(2,??6),B(6,).?3),N(2,0),P(23,?6).判斷M,N,P三點(diǎn)是否在一條直線上.四、鞏固與練習(xí)：課后練習(xí)

五、小

結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換的前提條件；

2．互換的公式；

3．互換的基本方法。

五、課后作業(yè)：

六、課后反思：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能積極應(yīng)對互化的原因、方法，也能較好地模仿操作，但讓學(xué)生獨(dú)立自主完成新的問題的解答，明顯有困難，需要教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)。這點(diǎn)可采取的措施是：小組討論，共同尋找解決問題的方法，很有效。但教學(xué)時(shí)間不足。

第四篇：4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案(新人教選修4-5)

數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)目標(biāo)

1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．

2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟．

3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入

師：從今天開始，我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識什么是歸納法開始．

（板書課題：數(shù)學(xué)歸納法）

（二）什么是歸納法（板書）

師：請看下面幾個(gè)問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)． 問題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？

（可準(zhǔn)備一袋白球、問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好）生：把它倒出來看一看就可以了．

師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做？ 生：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)． 師：對．問題的結(jié)果是什么呢？（演示操作過程）

第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，??，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．

a2，a3，a4。的值，再推測通項(xiàng)an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出）

師：同學(xué)們解決以上兩個(gè)問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點(diǎn)是由特殊→一般（板書）．

師：很好！其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會看到歸納法的運(yùn)用．

在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法．

還應(yīng)該指出，問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個(gè)球，全看了，由此而得到了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然數(shù)有無數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法．

（三）歸納法的認(rèn)識（板書）

歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）．

師：用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點(diǎn)勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3．

問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給出）

（給學(xué)生一定的計(jì)算、思考時(shí)間）

生：經(jīng)過計(jì)算，我的結(jié)論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．

師：你計(jì)算了幾個(gè)數(shù)得到的結(jié)論？ 生：4個(gè)．

師：你算了n=1，n=2，n=3，n=4這4個(gè)數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧？ 生：對．

師：有沒有不同意見？

生：我驗(yàn)了n=8，這時(shí)有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對吧！

師：那你的結(jié)論是什么呢？（動員大家思考，糾正）生：我的結(jié)論是：

當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，7n-3＜6（7n+9）； 當(dāng)n=6，7，8，?時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．

師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

首先要仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)，就作推測．請把你們計(jì)算結(jié)果填入下表內(nèi)：

師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析．由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，?變動時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應(yīng)值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-3＞6（7n+9）會成立的．

師：對問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了．其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，一些世界級的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過失誤．

資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀）

費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)．

但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．

18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測．

師：有的同學(xué)說，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！

再請看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料（仍由學(xué)生閱讀）： 資料2

f（n）=n2+n+41，當(dāng)n∈N時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？

f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，? f（39）=1 601． 但是f（40）=1 681=412是合數(shù)

師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世界級大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對策來．

師：歸納法為什么會出錯(cuò)呢？ 生：完全歸納法不會出錯(cuò)．

師：對！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯(cuò)呢？ 生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢？

生：應(yīng)該予以證明．

師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明．

（四）歸納與證明（板書）

師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考．

生：問題1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了．

師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想．

師：如果這里不是12個(gè)球，而是無數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？

（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來）

師：這類問題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個(gè)正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明．

結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球．

然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”．

這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性．

大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、??拿出的都是白球．

師：對．它使一個(gè)原來無法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明．

生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？ 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲．

（有條件可放一段此種游戲的錄相）

師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：

（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．

用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法．

（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書）

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？ 生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）；

再證明：若對某個(gè)自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個(gè)自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）．

師：這兩步的證明自己會進(jìn)行嗎？請先證明第一步．

（應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)）

師：再證明第二步．先明確要證明什么？

師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求．

師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說，教師板書）：（1）n=1時(shí)，命題成立；

（2）設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．

師：其實(shí)第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當(dāng)n=6，7，8，?時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．第一步應(yīng)證明n=6時(shí)，不等式成立．

（若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時(shí)間可布置學(xué)生課下思考）

（六）小結(jié)

師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：

（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法．

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．

（3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行．

（4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí)．

（七）課外作業(yè)

（1）閱讀課本P112～P115的內(nèi)容．（2）書面作業(yè)P115練習(xí)：1，3． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學(xué)生必然疑慮

重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等．為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識開始，到對不完全歸納法的認(rèn)識，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束．

把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試．

2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究． 3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件．

即n=k+1時(shí)等式也成立．

這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為

以上理解不僅是正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向．

第五篇：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修4-5

第一課時(shí)4.1數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.分析：多米諾骨牌游戲.成功的兩個(gè)條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒.回顧：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（ii）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.2.練習(xí)：已知f(n)?1?3?5????2n?1?,n?N*，猜想f(n)的表達(dá)式，并給出證明？過程：試值f(1)?1，f(2)?4，?，→ 猜想f(n)?n2→ 用數(shù)學(xué)歸納法證明.3.練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1?3?2?4?3?5?......?n(n?2)?

對一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論.二、講授新課：

1.教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：

① 出示例1：求證1?1n(an2?bn?c)611111111??????????????,n?N* 2342n?12nn?1n?22n

分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？ 待證的目標(biāo)式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？ 關(guān)鍵：在假設(shè)n=k的式子上，如何同補(bǔ)？

小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形.nn② 出示例2：求證：n為奇數(shù)時(shí)，x+y能被x+y整除.k+2k+22k2k2kk2k2k 分析要點(diǎn)：（湊配）x+y=x·x+y·y=x(x+y)+y·y－x·y

2kkk222kkk=x(x+y)+y(y－x)=x(x+y)+y·(y+x)(y－x).③ 出示例3：平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，2求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n－n+2個(gè)部分.分析要點(diǎn)：n=k+1時(shí)，在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓C，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓C與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平

22面部分一分為二，故共增加了2k個(gè)平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k－k+2+2k=(k+1)－

(k+1)+2.2.練習(xí)：

① 求證

:(1?1)(1?)?????(1?

131)n∈N*）.2n?1

② 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（Ⅰ）72n?42n?297能被264整除；

（Ⅱ）an?1?(a?1)2n?1能被a2?a?1整除（其中n，a為正整數(shù)）

n③ 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3+9對任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.3.小結(jié)：兩個(gè)步驟與一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時(shí)，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等.三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材501、2、5題2.作業(yè)：教材50 3、4、6題.第二課時(shí)4.2數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1222n2n(n?1)?????,n?N*.1.求證：1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)

2.求證：1?1111?????n?n,n?N*.2342?

1二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結(jié)論.分析：試值n?1,2,3,4,5,6 → 猜想結(jié)論 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明

→ 要點(diǎn)：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2??.小結(jié)：試值→猜想→證明

11② 練習(xí)：已知數(shù)列?an?的各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為前n項(xiàng)和，且Sn?(an?)，歸納出an的公2an

式并證明你的結(jié)論.解題要點(diǎn)：試值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 數(shù)學(xué)歸納法證明

③ 出示例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).要點(diǎn)：|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|

④ 出示例3：證明貝努利不等式.(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

*2.練習(xí)：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N且a、b、c

nnn互不相等時(shí)，均有a+c＞2b.bnn解答要點(diǎn)：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)a=, c=bq(q＞0且q≠1).∴ a+c=?.q

an?cna?cn*當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時(shí)，有2b=a+c，則需證＞()(n≥2且n∈N).2

2ak?1?ck?11k+1k+1k+1k+11?(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)?.當(dāng)n=k+1時(shí)，24

41kka?cka?ca?ck+1=(a+c)(a+c)＞()·()=().4222

3.小結(jié)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮.三、鞏固練習(xí)：

111tan(2n?))(1?)....(1?)?1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1?.cos2?cos4?cos2n?tan?

11112.已知n?N,n?2,??????1.2n?1n?22n

3.作業(yè)：教材P543、5、8題.