第一篇：高中數(shù)學(xué)：2.2.1《綜合法和分析法》教案(新人教A版選修2-2)

數(shù)學(xué)：2.2.1《綜合法和分析法》教案

教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

（二）過程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

第一課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（一）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

11??4”，試請此結(jié)論推廣猜想.aa11112?....?? n2）（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則?a1a2an1112.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9.abc先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點(diǎn)？ 1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號(hào)的處理）→ 討論：證明形式的特點(diǎn)

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？

→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點(diǎn).→ 小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）

2.練習(xí)：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBb?c?aa?c?ba?b?c???3.abctanAtanBA?B?60?.（提示：算3tan(A?B)）

② 已知a?b?c, 求證：

3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題.三、鞏固練習(xí)：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P100 練習(xí)1題）

（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程）

2.?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：

3.作業(yè)：教材P102A組 2、3題.第二課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例

1?

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

2114??.a?bb?ca?c113.??a?bb?ca?b?c（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）a?b(a?0,b?0).2要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1223133③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)?(x?y).先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.④ 出示例2：見教材P97.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例3：見教材P99.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習(xí)：證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面積為?()2，周長為l2?2?ll2l2l2的正方形邊長為，截面積為()，問題只需證：?()>().442?

43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到提示：設(shè)截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習(xí)：

1.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P100 練習(xí)2、3題.第三課時(shí)2.2.2反證法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？

3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過A、B、C三點(diǎn)，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點(diǎn)。

但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學(xué)反證法概念及步驟：

① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?

② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí).2.教學(xué)例題：

?6)?1（成立）.① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數(shù).設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習(xí)：如果a?1為無理數(shù)，求證a是無理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材P1021、2題2.作業(yè)：教材P102A組4題.

第二篇：高中數(shù)學(xué)《2.2.1綜合法和分析法》導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合分析法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.4850

復(fù)習(xí)1：綜合法是由導(dǎo);

復(fù)習(xí)2：基本不等式:

二、新課導(dǎo)學(xué)

※ 學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：分析法

問題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結(jié)：證明含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結(jié)：用題設(shè)不易切入,要注意用分析法來解決問題.※ 動(dòng)手試試

練1.求證:當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大.練2.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結(jié)提升

※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識(shí)拓展

證明過程中分析法和綜合法的區(qū)別:

在綜合法中,每個(gè)推理都必須是正確的,每個(gè)推論都應(yīng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結(jié)論成立,依據(jù)假定尋找結(jié)論成立的條件，這樣從結(jié)論一直到已知條件.※ 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據(jù)這一生活常識(shí)提煉出一個(gè)常見的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設(shè)a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2

第三篇：高中數(shù)學(xué)《2.2.1綜合法和分析法》導(dǎo)學(xué)案2_新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)示例,了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn);

2.學(xué)會(huì)用綜合法和分析法證明實(shí)際問題,并理解分析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系;3.養(yǎng)成勤于觀察、認(rèn)真思考的數(shù)學(xué)品質(zhì).復(fù)習(xí)1：綜合法是由導(dǎo);2：分析法是由索.新課導(dǎo)學(xué)：綜合法和分析法的綜合運(yùn)用

問題：已知?,??k???

2(k?Z),且sin??cos??2sin?,sin??cos??sin

2?, 求證:1?tan2?1?tan2??1?tan2?

2(1?tan2?).新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則上述過程可用框圖表示為：

試試：已知tan??sin??a,tan??sin??b，求證：(a2?b2)2?16ab.反思：在解決一些復(fù)雜、技巧性強(qiáng)的題目時(shí)，我們可以把綜合法和分析法結(jié)合使用.例1： 已知A,B都是銳角，且A?B??

2，(1?tanA)(1?tanB)?2，求證：A?B?45?

變式：已知

1?tan?

2?tan?

?1，求證：3sin2???4cos2?.小結(jié)：牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)是靈活應(yīng)用兩種方法證明問題的前提，本例中，三角公式發(fā)揮著重要作用.例2 在四面體P?ABC中，PD??ABC，AC?BC，D是AB的中點(diǎn)，求證：AB?PC.變式：如果a,b?0，則lga?blga?lgb

2?

2.總結(jié)提升：學(xué)習(xí)小結(jié)

綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運(yùn)用，效果會(huì)更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現(xiàn)，成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一

.小結(jié)：本題可以單獨(dú)使用綜合法或分析法進(jìn)行證明.※ 動(dòng)手試試

練1.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x,y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，求證

ax?c

y

?2.練2.已知A?B?54?，且A,B?k???

(k?Z)，求證：(1?tanA)(1?tanB)?2.三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

1.直接證明包括綜合法和分析法.2.比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑

.※ 知識(shí)拓展

綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運(yùn)用，效果會(huì)更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現(xiàn)，成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.※ 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分： 1.給出下列函數(shù)①y?x?x3，②y?xsinx?cosx,③y?sinxcosx,④y?2x?2?x,其中是偶函數(shù)的有（）.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3 個(gè)D．4個(gè)

2.m、n是不同的直線，?,?,?是不同的平面，有以下四個(gè)命題（）.①???//???//???//? ；②?????

?m//??m??③??m???m//n

?m//????? ；④??

n???m//?

其中為真命題的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是（）.A．a(chǎn)，b均為負(fù)數(shù)，則ab?b

a

?

2B

?2 C．lgx?logx10?2

D．a(chǎn)?R?,(1?a)(1?

1a)?

44.設(shè)α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出四個(gè)命題： ①若m⊥α，m⊥β，則α∥β②若α⊥r，β⊥r，則α∥β

③若m⊥α，m∥β，則α⊥β④若m∥α，n⊥α，則m⊥n 其中真命題是.5.已知p:2x?3?1,q:x(x?3)?0, 則p是q的條件.1.已知a,b,c?R?，a,b,c互不相等且abc?

1.?

1a?11b?c

.2.已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，且a2?b2?1,c2?d2?1，求證：|ac?bc|?1.

第四篇：2.2.1綜合法和分析法

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級：評價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽領(lǐng)導(dǎo)簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

（二）過程與方法: 培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

三、教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

四、教學(xué)過程:

（一）導(dǎo)入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通

過邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點(diǎn)：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。2.分析法的概念： 分析法的特點(diǎn)：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結(jié)合的應(yīng)用：在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條

件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個(gè)例子．

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級：評價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽領(lǐng)導(dǎo)簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結(jié)：

綜合法和分析法的特點(diǎn)：

（四）當(dāng)堂檢測

1．分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明：設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0

B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業(yè)：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a

第五篇：2.2.1 綜合法和分析法

2．2 直接證明與間接證明

2．2.1 綜合法和分析法

整體設(shè)計(jì)

教材分析

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題，但他們對綜合法和分析法的內(nèi)涵和特點(diǎn)不一定非常清楚．本節(jié)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法與分析法的思考過程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學(xué)習(xí)中，能自覺地、有意識(shí)地運(yùn)用綜合法和分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣．

課時(shí)分配

2課時(shí)．第1課時(shí)綜合法，第2課時(shí)分析法．

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)理解綜合法證明的概念；

(2)能熟練地運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題．

2．過程與方法目標(biāo)

(1)通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法的思考過程與特點(diǎn)；

(2)引導(dǎo)學(xué)生歸納出綜合法證明的操作流程圖．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

(1)通過綜合法的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、抽象性、科學(xué)性；

(2)通過綜合法的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成審慎思維的習(xí)慣．

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：(1)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例理解綜合法；

(2)了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)．

難點(diǎn)：(1)對綜合法的思考過程、特點(diǎn)的概括；

(2)運(yùn)用綜合法證明與數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．

教學(xué)過程

引入新課

證明對我們來說并不陌生，我們在上一節(jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對證明數(shù)學(xué)問題的方法形成較完整的認(rèn)識(shí)．

提出問題：給出以下問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明．

請同學(xué)們證明：

已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，找出以上問題的證明方法，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學(xué)生交流．

活動(dòng)結(jié)果：(學(xué)生板書證明過程)

證明：因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因?yàn)閏2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，體會(huì)綜合法證明的思考過程，為引出綜合法的定義做準(zhǔn)備．

探究新知

提出問題：請同學(xué)們回顧，你證明這道題的思維過程．

活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自由發(fā)言．

教師活動(dòng)：整理學(xué)生發(fā)言，得到證明上題的思維過程．

首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式右端是3個(gè)數(shù)a，b，c乘積的四倍，左端為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積，據(jù)此，只要把兩個(gè)數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)的積的形式，就能使不等式兩端出現(xiàn)相同的形式；

其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的知識(shí)，本題應(yīng)用不等式x2＋y2≥2xy就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù)；

最后，給出證明即可．

(在總結(jié)證明上題思維過程的同時(shí)，向?qū)W生灌輸解決問題先粗后細(xì)，先框架，后具體的思想)

這樣，我們可以把上題的證明過程概括為：從已知條件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過推理得出結(jié)論成立．

活動(dòng)結(jié)果：

綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生先表達(dá)綜合法證明的特點(diǎn)，但他們對綜合法的內(nèi)涵和特點(diǎn)表達(dá)不一定非常清楚，因此再由老師整理出綜合法證明的思維特點(diǎn)來，進(jìn)而將問題一般化，得到綜合法的定義．

運(yùn)用新知

例1在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

思路分析：本題首先把已知條件進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，即將A，B，C成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為2B＝A＋C，a，b，c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為b2＝ac，接著把隱含條件顯性化，將A，B，C為△ABC三個(gè)內(nèi)角明確表示為A＋B＋C＝π，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系；利用余弦定理可以把邊和角聯(lián)系起來，建立邊和角的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀．這樣，就可以嘗試直接從已知條件和余弦定理出發(fā)，運(yùn)用綜合法來推導(dǎo)出結(jié)論．

證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比數(shù)列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，從而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC為等邊三角形． 3

點(diǎn)評：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，經(jīng)常要把已知條件進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系，最后運(yùn)用綜合法來推導(dǎo)結(jié)論．

bn1an111設(shè)a＋b>0，n為偶數(shù)，證明＋.abab－－

bn1an111?an－bn??an1－bn1?證明：＝，abab?ab?－－－－

(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

?an－bn??an1－bn1?bn1an111所以≥0，故＋abab?ab?－－－－

(2)當(dāng)ab為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶數(shù)，所以(an－b)(ann－1－bn－1?an－bn??an1－bn1?bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.abab?ab?－－－－n

bn1an111綜合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于綜合法證明的特點(diǎn)，我們有時(shí)也把這種證明方法叫“順推證法”或“由因?qū)Чā保?/p>

(2)框圖表示

P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論．

2如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點(diǎn)．

證明SO⊥平面ABC.思路分析：從已有的定義、定理、公理出發(fā)，推出要證的結(jié)論．

證明：由題設(shè)AB＝AC＝SB＝SC＝SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，從而OA2＋SO2＝

SA2.2又因?yàn)椤鱏BC與△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA為直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.點(diǎn)評：讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉綜合法證明的思維過程與特點(diǎn)，學(xué)習(xí)綜合法證明的規(guī)范證明過

程，同時(shí)熟悉綜合法證明的操作流程圖．

鞏固練習(xí)

11＋已知a，b，c∈R，求證：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋證明：由于a，b，c∈R，則(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

變練演編

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求證：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要證明式子的結(jié)構(gòu)特征，合理運(yùn)用均值不等式，用綜合法證明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋證明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，則＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

點(diǎn)評：學(xué)會(huì)結(jié)合條件及所證的結(jié)論，尋找到解決問題所需的知識(shí)，充分體會(huì)綜合法證明不等式的方法，規(guī)范解題步驟．

達(dá)標(biāo)檢測

1．綜合法：(1)一般的，利用____________，經(jīng)過____________最后________，這種證明方法叫做綜合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，則下列各式中，一定正確的是()

A．a(chǎn)c≥bB．a(chǎn)b≥c

C．bc≥aD．a(chǎn)b≤c

答案：1.已知條件和某些數(shù)學(xué)定義，公理，定理 一系列的推理論證 推導(dǎo)出證明的結(jié)論成立

2．B

課堂小結(jié)

1．綜合法證明是證明題中常用的方法．從條件入手，根據(jù)公理、定義、定理等推出要證的結(jié)論．

2．綜合法證明題時(shí)要注意，要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言等，還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

3．綜合法可用于證明與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關(guān)的問題．

布置作業(yè)

課本本節(jié)練習(xí)1、3.補(bǔ)充練習(xí)

基礎(chǔ)練習(xí)

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求證：△ABC為等邊三角形．

證明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinB?sinA3?π2πA＝.23

3π由cosA＝cosC?A＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC為等邊三角3

形．

拓展練習(xí)

22．已知函數(shù)f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)．對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x

f?x1?＋f?x2?x1＋x2x1、x2，證明當(dāng)a≤0時(shí)，>f(． 2

22證明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得f?x1?＋f?x2?12211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都為正數(shù)，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴l(xiāng)nx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

f?x1?＋f?x2?x1＋x2由①、②、③得． 2

2設(shè)計(jì)說明

本節(jié)通過具體證明實(shí)例，使學(xué)生了解直接證明的基本方法——綜合法，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力；并能用綜合法證明數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．本節(jié)重點(diǎn)突出學(xué)生的自主性，教師主要是點(diǎn)撥思路，與知識(shí)升華，在教師所提問題的引導(dǎo)下，學(xué)生自主完成探究新知和理解新知的過程，加深對知識(shí)的理解和提高證明問題的能力．

備課資料

例1已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1，求證：a＋bc3.思路分析：此題是應(yīng)用綜合法證明不等式問題，需要用到不等式中的均值不等式的知識(shí)來進(jìn)行證明．

證明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.點(diǎn)評：運(yùn)用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是要由已知條件尋找到正確的所需知識(shí)，進(jìn)而來證＋

明問題．

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列；

3(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求證：

21{為等差數(shù)列． bn

思路分析：本題要求證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列，恰當(dāng)處理遞推關(guān)系是關(guān)鍵．

證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比數(shù)列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2時(shí)，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首項(xiàng)為1，公差為 bnbn－13bn3

點(diǎn)評：本題主要考查利用綜合法和數(shù)列的定義，合理處理遞推關(guān)系的數(shù)列證明問題． 例3在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此題事實(shí)上比較簡單，但學(xué)生入手卻有些不知所措．對已知條件(1)a2－c2＝2b左側(cè)是二次的，右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導(dǎo)致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.點(diǎn)評：在解題中應(yīng)注意總結(jié)，提高對問題的分析和解決能力及對知識(shí)的靈活運(yùn)用能力．

(設(shè)計(jì)者：莫靜波)