第一篇：曲線與方程的教學(xué)反思

“曲線與方程”的教學(xué)反思

上海曹楊二中

桂思銘（200062）

一、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的再思考

本內(nèi)容包含“曲線與方程”和“求曲線的方程”。前一小節(jié)引入“曲線的方程”和“方程的曲線”概念,并通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解概念；后一小節(jié)給出求軌跡方程的一般步驟和方法，通過(guò)求軌跡方程幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握曲線方程的概念.在先前的教學(xué)設(shè)計(jì)中，主要考慮貫徹教材編寫意圖問(wèn)題，注重利用學(xué)生在學(xué)習(xí)“直線的方程”“圓的方程”中建立的已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，這樣的安排充分注意了學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，有利于學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建概念。我認(rèn)為這樣的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生理解概念、發(fā)展能力都有積極意義，但做好這一點(diǎn)必須有充足的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行歸納、思考、總結(jié).從實(shí)際的教學(xué)情況來(lái)看,在概念的引入上是比較成功的,學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)和教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)比較一致,這是設(shè)計(jì)中值得肯定的一面.先前的設(shè)計(jì)的不足主要是沒(méi)有充分重視軌跡方程的求解過(guò)程.要完整地體現(xiàn)教材的編寫意圖,在重視概念形成發(fā)展過(guò)程的同時(shí)還需要重視習(xí)題內(nèi)容的處理.我們來(lái)看教材中的一個(gè)習(xí)題(37頁(yè)練習(xí)3): 如圖,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),過(guò)點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)C與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.這個(gè)問(wèn)題的解答途徑主要有兩種:（1）用Rt?ACB和Rt?AOB有公共的斜邊AB這一特性,得出點(diǎn)M到定點(diǎn)O及C的距離相同,得出所求的軌跡就是線段OC的垂直平分線,因此可以利用例2的方法來(lái)求解;（2）引入一個(gè)參數(shù),設(shè)直線AC的斜率為k,然后根據(jù)已有的知識(shí)將點(diǎn)M的坐標(biāo)用k來(lái)表示,最后消去參數(shù).這兩種方法學(xué)生都比較陌生,前一種解法的“平面幾何味道”很濃,有一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程;后一種解法主要是用參數(shù)方程的思想,學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò),沒(méi)有可以模仿的例題,獨(dú)立解決有困難,需要教師的鋪墊與歸納.同樣，學(xué)生獨(dú)立完成教科書上的習(xí)題也有一定的難度。因此，課堂教學(xué)中，通過(guò)例題有效地幫助學(xué)生體會(huì)到“曲線與方程”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法是非常重要的任務(wù).鑒于上述分析,應(yīng)將求軌跡方程的方法列入教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),但一個(gè)課時(shí)無(wú)法完成教學(xué)任務(wù)，需要增加一個(gè)課時(shí).二、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整

基于上面的思考，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)作一個(gè)調(diào)整，將本節(jié)內(nèi)容改成兩節(jié)課完成，兩節(jié)課的內(nèi)容安排如下：

第一課 2.1.1曲線與方程的全部?jī)?nèi)容加上2.1.1求曲線的方程例2;第二課 例3結(jié)合作業(yè)分析,歸納幾種主要的求軌跡方程的方法.下面是修改后的教學(xué)設(shè)計(jì):(一)課前預(yù)習(xí)

在上課前一天布置學(xué)生復(fù)習(xí)回顧下列內(nèi)容，并思考：從中可以歸結(jié)出哪些觀點(diǎn)？ 片斷1 數(shù)學(xué)2第三章中直線與方程的章頭語(yǔ)：

??通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，它是解析幾何中最基本的研究方法。??建立直線方程.然后通過(guò)方程,研究直線的有關(guān)性質(zhì)??.片斷2 第四章 圓與方程的章頭語(yǔ)

??建立圓的方程.通過(guò)圓的方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.片斷3 數(shù)學(xué)2中第97頁(yè)的思考欄目

（1）平面直角系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程來(lái)表示嗎？（2）每一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程都能表示一條直線嗎？(二)概念導(dǎo)入

1．通過(guò)投影呈現(xiàn)上述片斷，讓學(xué)生回答從中可以得出哪些主要信息?(從上述片斷中可以提煉出觀點(diǎn):①解析幾何主要是通過(guò)方程來(lái)研究幾何問(wèn)題;②二元一次方程和直線間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;③片斷3也提供了建立方程和曲線聯(lián)系的途徑;④更一般的,可以先建立曲線的方程，通過(guò)方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì).)2.指出今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,板書標(biāo)題 “曲線與方程”。3.為了幫助學(xué)生給曲線的方程下定義,進(jìn)一步提供以下問(wèn)題:(1)寫出表示下列圖形(實(shí)線部分)的方程：

(i)(ii)(2)作下列方程所表示的圖形：

(i)y??x?1(0?x?2);(ii)y?1?x2.(通過(guò)具體問(wèn)題體會(huì)“純粹性”和“完備性”。教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生的回答情況，通過(guò)追問(wèn)的方式，在上述兩點(diǎn)上幫助學(xué)生深入理解。)4.結(jié)合對(duì)前面問(wèn)題的觀察分析,請(qǐng)學(xué)生給曲線的方程下個(gè)定義：

一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn) 與一個(gè)二元方程f(x,y)?0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).5.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k?0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy??k.(1)先用信息技術(shù)展示“與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k?0)的點(diǎn)的軌跡”，再引導(dǎo)學(xué)生分析，明確解題任務(wù)——要證明軌跡方程為xy??k，就是要證明兩個(gè)命題：軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程xy??k，并且方程xy??k的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上;(2)教師展示證明過(guò)程,幫助學(xué)生規(guī)范證明的書寫,體會(huì)解題過(guò)程.(三)求曲線的方程

1.對(duì)什么是求曲線的方程作簡(jiǎn)單講解(結(jié)合前面的問(wèn)題來(lái)講解,明確求曲線的方程是要做什么工作，要注意哪些問(wèn)題)。

2.通過(guò)投影顯示例2的內(nèi)容,請(qǐng)學(xué)生閱讀例2,學(xué)習(xí)解題的方法(這里將直線看作點(diǎn)的軌跡), 并對(duì)照例2的解題步驟,寫出求曲線方程的一般步驟.(四)鞏固練習(xí)

1.完成教科書第37頁(yè)上的練習(xí)1.2,請(qǐng)學(xué)生談?wù)勥@兩個(gè)題主要幫助自己加深了對(duì)哪些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)? 2.閱讀37頁(yè)上的練習(xí)3,教師用幾何軟件作軌跡圖形(線段OC的垂直平分線)然后幫助學(xué)生形成解題的方法.(設(shè)計(jì)說(shuō)明：前面已分析了學(xué)生解這個(gè)問(wèn)題的困難所在,先用軟件作圖的目的在于啟發(fā)學(xué)生的思維,幫助學(xué)生形成解題策略,有了軌跡可以啟發(fā)學(xué)生用平面幾何的知識(shí)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,同時(shí)也可以對(duì)解題中為什么要引入?yún)?shù),如何引入?yún)?shù)作一些必要的說(shuō)明,讓學(xué)生掌握解題的方法。)目標(biāo)檢測(cè)還是延用原來(lái)的內(nèi)容.家庭作業(yè)習(xí)題2.1 的A組習(xí)題,再補(bǔ)充一個(gè)習(xí)題：

已知在長(zhǎng)為2a線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,以AP、BP為邊在AB的同一側(cè)作等邊三角形?APM、?PNB,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程.(這個(gè)習(xí)題的目的是要求學(xué)生體會(huì)解析法的思想,體會(huì)運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法。)

三、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)中“問(wèn)題串”的思考

本課題在前期研究中確定，教學(xué)設(shè)計(jì)以問(wèn)題串的形式進(jìn)行，這種做法的實(shí)際意義在于：便于課題組成員之間相互借鑒,同時(shí)能促進(jìn)設(shè)計(jì)者更好地思考、把握好教學(xué)的細(xì)節(jié)，在課后也便于總結(jié)回顧和修改.經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的對(duì)“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)的思考，我認(rèn)為“問(wèn)題串”可以有“串聯(lián)”和“并聯(lián)”兩種模式：

串聯(lián)模式

并聯(lián)模式

“串聯(lián)模式”通常是將一個(gè)大的問(wèn)題肢解成若干小問(wèn)題，通過(guò)小問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生步步深入而得出結(jié)論,其優(yōu)勢(shì)是針對(duì)性強(qiáng),學(xué)生容易操作,缺點(diǎn)是不夠開放,有時(shí)會(huì)產(chǎn)生“只見樹木不見森林”的局面;而“并聯(lián)模式”優(yōu)勢(shì)在于學(xué)生的獨(dú)立思考空間較大，更有利于從整體上把握問(wèn)題，但針對(duì)性不如前一種強(qiáng).這兩種模式各有特點(diǎn),我們應(yīng)根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容來(lái)合理的加以運(yùn)用.在本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)中，我希望學(xué)生能通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo)自己得出結(jié)論，這就需要給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)乃夭膩?lái)幫助學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)行概括總結(jié)。在開始階段，我要求學(xué)生回顧過(guò)去學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容，目的是為本課的學(xué)習(xí)提供一個(gè)比較開放的背景，使學(xué)生的思考活動(dòng)有一個(gè)合適的出發(fā)點(diǎn)，知道要研究的問(wèn)題是什么，可以通過(guò)怎樣的方法去研究，從而使學(xué)生明確思考的方向。在這個(gè)大背景下，再結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)一步深入概念的本質(zhì)。因此，我設(shè)計(jì)的“問(wèn)題串”相對(duì)比較開放。在教學(xué)實(shí)施中，我還根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情形，對(duì)“問(wèn)題”作了一些調(diào)整和補(bǔ)充，從實(shí)施過(guò)程看，這種調(diào)整是必要的，教學(xué)效果是好的.4

第二篇：“曲線與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

“曲線與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

深圳中學(xué) 郭慧清

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析 1．內(nèi)容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標(biāo)法的基本思想與簡(jiǎn)單應(yīng)用.2．內(nèi)容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容．在教學(xué)時(shí)，不少人認(rèn)為只是為后面學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線做準(zhǔn)備．盡管學(xué)習(xí)這一內(nèi)容是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線與其方程的基礎(chǔ)，但人們將碰得的曲線遠(yuǎn)非這些．因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過(guò)這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的．因此，學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

在平面直角坐標(biāo)系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點(diǎn)集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達(dá)自己的思想認(rèn)識(shí)提供了一種規(guī)范，這是人們應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)．

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析 1．目標(biāo)：

（1）通過(guò)實(shí)例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系；

（2）通過(guò)實(shí)例體會(huì)求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過(guò)實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線方程的影響，體會(huì)如何“恰當(dāng)”地建立平面直角坐標(biāo)系.（4）通過(guò)一些簡(jiǎn)單曲線的方程及其研究，體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想及簡(jiǎn)單應(yīng)用． 2．目標(biāo)解析：

教學(xué)目標(biāo)（1）和（2）是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教學(xué)時(shí)落實(shí)好目標(biāo)（1）、（2）和（3）是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的前提與保證.學(xué)生通過(guò)函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認(rèn)識(shí)，但這只是一種意會(huì)，我們現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學(xué)目標(biāo)（3）是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易達(dá)到的目標(biāo)，教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度，讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn)．

對(duì)許多與曲線有關(guān)的具體問(wèn)題而言，原本是沒(méi)有坐標(biāo)系的．因此，通過(guò)這樣的問(wèn)題，可以使學(xué)生體會(huì)如何建立坐標(biāo)系，求出問(wèn)題中曲線的方程，并通過(guò)曲線的方程幫助解決問(wèn)題，這應(yīng)該是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的一種較好的方法．

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系”，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“直線與其方程”、“圓與其方程”進(jìn)行說(shuō)明．

2．在求曲線的方程時(shí)，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題，也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一．教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過(guò)實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的基本要點(diǎn)，并用具體問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì)．

3．在將曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程”的問(wèn)題．對(duì)于有些復(fù)雜的等式，化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問(wèn)題，學(xué)生在此極易出錯(cuò)，這是第三個(gè)教學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，因而宜使用信息技術(shù)工具解決這個(gè)問(wèn)題.4．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個(gè)教學(xué)問(wèn)題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng).四、教學(xué)支持條件

1．在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線的方程與圓的方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要基礎(chǔ)，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.2．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算，因此，TI圖形計(jì)算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學(xué)中充分利用這一條件，不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考，而且可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進(jìn)行分析.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引子：如果你邀請(qǐng)朋友在你所在城市的某餐館聚會(huì)，你會(huì)怎樣告訴他（她）聚會(huì)地點(diǎn)？例如，如果聚會(huì)地點(diǎn)在“深圳市筍崗路南，寶安路東的澳葡街”（如圖一），你會(huì)怎樣說(shuō)？

（圖一）

（圖二）

意圖：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來(lái)刻畫點(diǎn)的位置，為后面用點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)研究曲線與方程的關(guān)系作準(zhǔn)備，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法思想。

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，然后通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，給出聚會(huì)地點(diǎn)的坐標(biāo)（如圖二）。[問(wèn)題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？

這是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必修2時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題，你能說(shuō)說(shuō)你現(xiàn)在會(huì)怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？ 意圖：體會(huì)坐標(biāo)法的思想，強(qiáng)調(diào)研究曲線與方程的概念的必要性，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法的好處.師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后讓學(xué)生交流并回答他們的想法，在此基礎(chǔ)上，教師歸納并演示過(guò)程：如圖建立直角坐標(biāo)系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區(qū)域的邊界圓的方程為x+y=9.聯(lián)解上面兩個(gè)方程所成的方程組有一定的困難，可以通過(guò)TI圖形計(jì)算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會(huì)出現(xiàn)危險(xiǎn)．

進(jìn)一步問(wèn)學(xué)生：如果沒(méi)有坐標(biāo)法，沒(méi)有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會(huì)怎樣做？

[問(wèn)題2]我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說(shuō)明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動(dòng)：讓學(xué)生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說(shuō)明所得的方程就是直線的方程．

[問(wèn)題3] 你能說(shuō)明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學(xué)生體會(huì)教師在[問(wèn)題2]中介紹的“說(shuō)明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準(zhǔn)備.師生活動(dòng)：讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生完成說(shuō)明過(guò)程.[問(wèn)題4] 對(duì)一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動(dòng)：讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問(wèn)學(xué)生：

[問(wèn)題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請(qǐng)問(wèn)命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對(duì)曲線的方程與方程的曲線的概念的認(rèn)識(shí).師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師評(píng)析．學(xué)生完成教材P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO（O為原點(diǎn)）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點(diǎn)）的方程”后，提問(wèn)學(xué)生結(jié)論有無(wú)改變？學(xué)生完成P37練習(xí)第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問(wèn)題6] 你能畫出函數(shù)的圖象嗎？圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點(diǎn)都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動(dòng)：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C（可以利用信息技術(shù)工具）；（2）學(xué)生思考“圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術(shù)工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學(xué)生思考“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k的點(diǎn)的軌跡方程是”；（5）證明所得結(jié)論，完成教材P35例1．

[問(wèn)題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內(nèi)容，你能得出什么結(jié)論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)．

[問(wèn)題8]已知平面上的線段BC的長(zhǎng)為所張的角恒為，動(dòng)點(diǎn)A位于線段BC所在直線的同一側(cè)，且向線段BC，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是否有有限長(zhǎng)度？若有，你能求出其長(zhǎng)度嗎？

意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想． 師生活動(dòng)：

（1）教師講解：以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，坐標(biāo)為(x,y)(y>0)，則點(diǎn)A的集合為

．

由于

因?yàn)樗?/p>

所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反過(guò)來(lái)，由于上述的步驟均可逆，所以方程①的解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在集合P中．

所以，點(diǎn)A的軌跡方程是①，點(diǎn)A的軌跡是一段以2為半徑的圓弧，它的長(zhǎng)度是整個(gè)圓的．因此，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡的長(zhǎng)度為

（2）教師根據(jù)上述過(guò)程總結(jié)求曲線的方程的步驟（見教材P36）.（3）提問(wèn)學(xué)生，有無(wú)其它建立坐標(biāo)系的方法使點(diǎn)A的軌跡方程更簡(jiǎn)單，更簡(jiǎn)單的原因是什么？教師歸納總結(jié)建立坐標(biāo)系的一般要點(diǎn)．

（4）提問(wèn)學(xué)生思考：為什么不能把x+(y-1)= 4作為點(diǎn)A的軌跡方程？（5）學(xué)生練習(xí)教材P37練習(xí)第3題．

[問(wèn)題9] 已知一條直線和一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2．一條曲線上面的點(diǎn)到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學(xué)生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動(dòng)：（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標(biāo)系．

（2）讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程．

（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn)或方程中出現(xiàn)多余的解．（4）簡(jiǎn)化求解步驟．

[問(wèn)題10]建立坐標(biāo)系后，是否存在一條曲線有兩個(gè)不同的方程？你能以[問(wèn)題1]和[問(wèn)題8]為例，歸納一下你本節(jié)課學(xué)得的東西嗎？

意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容.師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，教師幫助總結(jié).五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1．教材P37，習(xí)題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長(zhǎng)為的軌跡的長(zhǎng)度嗎？ 2009-03-25 人教網(wǎng)，動(dòng)點(diǎn)A向線段BC所張的角恒為，你能求出動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

第三篇：2.1曲線與方程 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

[1]了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 [2]初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 [3]強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 教學(xué)難點(diǎn)：利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程式曲線的方程

3.教學(xué)用具

多媒體設(shè)備

4.標(biāo)簽

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)引入

【師】在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線，請(qǐng)思考下面問(wèn)題： 【板演/PPT】

思考1 直線y＝x上任一點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等嗎？

思考2 到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)都在直線y＝x上，對(duì)嗎？

思考3 到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？為什么？ 【生】學(xué)生思考交流 2 新知介紹

[1]結(jié)合具體實(shí)例，引入曲線方程和方程曲線概念 【師】：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言總結(jié) 【板演/PPT】 答 y＝±x.理由：在直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)滿足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；

反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等． 【師】思考下面問(wèn)題：

思考4 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解，能否說(shuō)f(x，y)＝0是曲線C的方程？

思考5 判斷下列命題是否正確．

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程是y＝(2)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2.【生】思考總結(jié) 【板演/PPT】

解(1)不正確．設(shè)(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.兩邊開平方取算術(shù)平方根，得的解，則y0＝，即

；

＝r即點(diǎn)(x0，y0)到原點(diǎn)的距離等于r，點(diǎn)(x0，y0)是這個(gè)圓上的點(diǎn)．因此滿足以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．但是，以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)在圓上，卻不是y＝的解，這就不滿足曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都，是方程的解．所以，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程不是y＝而應(yīng)是y＝±

.(2)①、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程︱x︱=2

②、滿足方程︱x︱=2的點(diǎn)不一定在直線上 結(jié)論：過(guò)A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=2 【師】引導(dǎo)學(xué)生交流思想總結(jié)曲線方程的概念 【板演/PPT】

曲線的方程、方程的曲線

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 【師】 引導(dǎo)學(xué)生深入理解定義，從充要條件來(lái)理解這個(gè)定義 【板演/PPT】

定義中的兩個(gè)條件是判定一個(gè)方程是否為所定曲線的方程，一條曲線是否為所定方程的曲線的依據(jù)，缺一不可． 從邏輯知識(shí)來(lái)看：

第一個(gè)條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的必要條件，第二個(gè)條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的充分條件．因此，在判斷或證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時(shí)，必須注意兩個(gè)條件同時(shí)成立． 【板演/PPT】 從集合角度理解為：

定義的實(shí)質(zhì)是平面曲線的點(diǎn)集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．

由曲線和方程的這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，既可以通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)，又可以求曲線的方程 [2]概念應(yīng)用

【師】下面我們看屏幕上的例題 【板演/PPT】 例1：若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題為真命題的是()．

A．不是曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)，一定不滿足方程f(x，y)＝0 B．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)均在曲線C上 C．曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線

D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲線C上的點(diǎn).【師】從定義入手，考慮充要條件 【生】思考回答 【板書/PPT】

解析 ∵題設(shè)命題只說(shuō)明“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)”，∴A，B，C都是假命題，如曲線C：平面直角坐標(biāo)系一、三象限角平分線上的點(diǎn)，與方程f(x，y)＝x2－y2＝0，滿足題設(shè)條件，但卻不滿足選項(xiàng)A，B，C的結(jié)論，根據(jù)逆否命題是原命題的等價(jià)命題知，D是正確的． 【師】規(guī)律方法

(1)判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個(gè)方面著手，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程，二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線上．從而建立方程的解與曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．

(2)定義中的兩個(gè)條件是判定一個(gè)方程是否為指定曲線的方程，一條曲線是否為所給定方程的曲線的準(zhǔn)則，缺一不可．因此，在證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時(shí)，必須證明兩個(gè)條件同時(shí)成立．

【師】為了深刻的理解方程與曲線，我們來(lái)看下列一個(gè)問(wèn)題 【板書/PPT】

[例2] 下列方程表示如圖所示的直線，對(duì)嗎？為什么？不對(duì)請(qǐng)改正．

【生】分析各個(gè)方程所表示的曲線是否與圖中圖象符合 【板書/PPT】 解：不對(duì)，應(yīng)為y=x 【師】引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié) 【板書/PPT】 反思與感悟

判斷方程表示什么曲線，必要時(shí)要對(duì)方程適當(dāng)變形，變形過(guò)程中一定要注意與原方程等價(jià)，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線． 【板書/PPT】

【師】引導(dǎo)學(xué)生思考 【板書/PPT】

方法點(diǎn)撥(1)判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線上，就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是否是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說(shuō)明點(diǎn)在曲線上；若不適合，就說(shuō)明點(diǎn)不在曲線上．

解：帶入驗(yàn)證知P點(diǎn)在此方程所表示的曲線上，Q點(diǎn)不在?！景鍟?PPT】(2)若點(diǎn)在此方程表示的曲線上，求m的值． 解：將點(diǎn)帶入方程后解方程得：

遷移訓(xùn)練（12分）若曲線y2＝xy＋2x＋k通過(guò)點(diǎn)(a，－a)，a∈R，求k的取值范圍．

【師】引導(dǎo)學(xué)生思考

【板書/PPT】

[3] 新知應(yīng)用

【師】為了深刻的理解本節(jié)內(nèi)容，我們來(lái)看下列一個(gè)問(wèn)題 【板書/PPT】

1.曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點(diǎn)中在曲線C上的是（）

A.(0,0)B.(1,5)

C.(4,4)

C.(4,2)2.已知坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么（）A.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f(x，y)＝0 B.凡坐標(biāo)不適合f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在C上 C.不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合f(x，y)＝0 D.不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0 3.下列四個(gè)圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是

【師】 能否根據(jù)引例中的檢驗(yàn)方式進(jìn)行相關(guān)分析 4.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲線為（）

A.一條直線

B.一條射線

C.一條線段

D.不能確定 5.方程x2＋xy＝x表示的曲線是（）

A.一個(gè)點(diǎn)

B.一條直線 C.兩條直線

D.一個(gè)點(diǎn)和一條直線 6.“點(diǎn)M在曲線y2＝4x上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2

”的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 7.請(qǐng)說(shuō)出下列方程表示什么曲線？

答案：CCDBCB

課堂小結(jié)

1.曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個(gè)條件： ①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 2.點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(diǎn)(x0，y0)適合曲線C的方程． 3.曲線和方程質(zhì)檢一一對(duì)應(yīng)的確立，進(jìn)一步把“曲

線”與“方程”統(tǒng)一了起來(lái)，在此基礎(chǔ)

上，我們就可以更多地用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.板書

第四篇：曲線與方程的概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

曲線與方程的概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)分析 1． 教材地位

曲線的方程和方程的曲線是解析幾何的最基本的概念，是坐標(biāo)法的基礎(chǔ)。2． 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：曲線的方程和方程的曲線的概念 難點(diǎn)：兩者的辯證關(guān)系

二、學(xué)情分析

教學(xué)班為實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生思維較為活躍，理解能力較強(qiáng)；但在概念細(xì)節(jié)的理解上比較不在意，容易造成對(duì)概念認(rèn)識(shí)的漏洞。

三、教學(xué)目標(biāo)

1． 理解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2． 通過(guò)對(duì)已知事例的比較，學(xué)生能從中學(xué)會(huì)判斷曲線與方程的方法。3． 教學(xué)中學(xué)生能感受到曲線與方程的辯證關(guān)系。

四、教學(xué)手段：PPT

五、教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題引入：圓是如何定義的？并說(shuō)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 新課題：曲線與方程的概念

探究問(wèn)題：求直角坐標(biāo)系下一三象限的角分線方程，下列方法是否正確？

? 方法1：設(shè)一三象限的角分線上的點(diǎn)為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：

?

?

因此一三象限角平分線的方程為

方法2：設(shè)一三象限的角分線上的點(diǎn)為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：

?

因此一三象限角平分線的方程為 ? 方法3：設(shè)一三象限的角分線上的點(diǎn)為P（x,y）,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：

?

因此一三象限角平分線的方程為

小結(jié)：

? 方法3中兩個(gè)集合的元素之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，人們規(guī)定把具有這種關(guān)系的曲線C和方程f(x,y)=0，分別稱為方程的曲線和曲線的方程

? 一般我們所求的曲線（或軌跡）的方程都必須滿足這樣的條件

定義：

? 一般地，在直角直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 F(x, y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系

? ?

?

?

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 曲線的方程常稱為滿足某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

例題辨析

? 那么曲線C叫做方程F(x, y)=0的曲線；方程F(x, y)=0叫做曲線C的方程

例1

判斷曲線與方程的關(guān)系

? ?（1）曲線：過(guò)點(diǎn)A(2，0)且與y軸的距離等于2的點(diǎn)的軌跡l；

方程：|x|=2

?

（2）曲線C：拋物線（如圖）

?

?

方程：

（3）曲線C：等腰⊿ABC底邊BC的中線（如圖）

?

方程：x=0 例2 甲：“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 f(x，y)=0 的解”，乙：“曲線C是方程f(x，y)=0 的曲線”，則甲是乙的（）(A)充分非必要條件

(B)必要非充分條件

(C)充要條件

(D)非充分也非必要條件

例3 求證：與兩條坐標(biāo)軸的距離的積等于1的點(diǎn)的軌跡方程是|xy|=1

課堂練習(xí)

? 題1 圖示曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

?

（1）曲線C：過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線

?

?

方程：(x-y)(x+y)=0

（2）曲線C：頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線

?

?

方程：

（3）曲線C：Ⅰ, Ⅱ象限內(nèi)到x軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)的軌跡

?

?

方程：

題2 已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求證：三角形內(nèi)角A的平分

線方程是

思考：已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求到角A的兩邊的距離之比為1：

2的點(diǎn)的軌跡方程

課堂小結(jié)

第五篇：曲線與方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

曲線與方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析 1．內(nèi)容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標(biāo)法的基本思想與簡(jiǎn)單應(yīng)用.2．內(nèi)容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容．在教學(xué)時(shí)，不少人認(rèn)為只是為后面學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線做準(zhǔn)備．盡管學(xué)習(xí)這一內(nèi)容是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線與其方程的基礎(chǔ)，但人們將碰得的曲線遠(yuǎn)非這些．因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過(guò)這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的．因此，學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

在平面直角坐標(biāo)系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點(diǎn)集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達(dá)自己的思想認(rèn)識(shí)提供了一種規(guī)范，這是人們應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)．

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析 1．目標(biāo)：

（1）通過(guò)實(shí)例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系；

（2）通過(guò)實(shí)例體會(huì)求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過(guò)實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線方程的影響，體會(huì)如何“恰當(dāng)”地建立平面直角坐標(biāo)系.（4）通過(guò)一些簡(jiǎn)單曲線的方程及其研究，體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想及簡(jiǎn)單應(yīng)用． 2．目標(biāo)解析：

教學(xué)目標(biāo)（1）和（2）是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教學(xué)時(shí)落實(shí)好目標(biāo)（1）、（2）和（3）是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的前提與保證.學(xué)生通過(guò)函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認(rèn)識(shí)，但這只是一種意會(huì)，我們現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學(xué)目標(biāo)（3）是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易達(dá)到的目標(biāo)，教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度，讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn)．

對(duì)許多與曲線有關(guān)的具體問(wèn)題而言，原本是沒(méi)有坐標(biāo)系的．因此，通過(guò)這樣的問(wèn)題，可以使學(xué)生體會(huì)如何建立坐標(biāo)系，求出問(wèn)題中曲線的方程，并通過(guò)曲線的方程幫助解決問(wèn)題，這應(yīng)該是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的一種較好的方法．

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系”，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“直線與其方程”、“圓與其方程”進(jìn)行說(shuō)明．

2．在求曲線的方程時(shí)，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題，也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一．教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過(guò)實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的基本要點(diǎn)，并用具體問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì)．

3．在將曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程”的問(wèn)題．對(duì)于有些復(fù)雜的等式，化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問(wèn)題，學(xué)生在此極易出錯(cuò)，這是第三個(gè)教學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，因而宜使用信息技術(shù)工具解決這個(gè)問(wèn)題.4．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個(gè)教學(xué)問(wèn)題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng).四、教學(xué)支持條件

1．在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線的方程與圓的方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要基礎(chǔ)，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.2．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算，因此，TI圖形計(jì)算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學(xué)中充分利用這一條件，不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考，而且可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進(jìn)行分析.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 引子：

(1)寫出表示下列圖形(實(shí)線部分)的方程

(2)作下列方程所表示的圖形

(i)

;(ii)意圖：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來(lái)刻畫點(diǎn)的位置，為后面用點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)研究曲線與方程的關(guān)系作準(zhǔn)備，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法思想。

[問(wèn)題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？

這是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必修2時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題，你能說(shuō)說(shuō)你現(xiàn)在會(huì)怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？ 意圖：體會(huì)坐標(biāo)法的思想，強(qiáng)調(diào)研究曲線與方程的概念的必要性，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法的好處.師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后讓學(xué)生交流并回答他們的想法，在此基礎(chǔ)上，教師歸納并演示過(guò)程：如圖建立直角坐標(biāo)系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區(qū)域的邊界圓的方程為x+y=9.聯(lián)解上面兩個(gè)方程所成的方程組有一定的困難，可以通過(guò)TI圖形計(jì)算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會(huì)出現(xiàn)危險(xiǎn)．

進(jìn)一步問(wèn)學(xué)生：如果沒(méi)有坐標(biāo)法，沒(méi)有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會(huì)怎樣做？

[問(wèn)題2]我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說(shuō)明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動(dòng)：讓學(xué)生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說(shuō)明所得的方程就是直線的方程．

[問(wèn)題3] 你能說(shuō)明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學(xué)生體會(huì)教師在[問(wèn)題2]中介紹的“說(shuō)明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準(zhǔn)備.師生活動(dòng)：讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生完成說(shuō)明過(guò)程.[問(wèn)題4] 對(duì)一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動(dòng)：讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問(wèn)學(xué)生：

[問(wèn)題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請(qǐng)問(wèn)命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對(duì)曲線的方程與方程的曲線的概念的認(rèn)識(shí).師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師評(píng)析．學(xué)生完成教材P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO（O為原點(diǎn)）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點(diǎn)）的方程”后，提問(wèn)學(xué)生結(jié)論有無(wú)改變？學(xué)生完成P37練習(xí)第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問(wèn)題6] 你能畫出函數(shù)的圖象嗎？圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點(diǎn)都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動(dòng)：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C（可以利用信息技術(shù)工具）；（2）學(xué)生思考“圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術(shù)工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學(xué)生思考“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k的點(diǎn)的軌跡方程是”；（5）證明所得結(jié)論，完成教材P35例1．

[問(wèn)題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內(nèi)容，你能得出什么結(jié)論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)．

[問(wèn)題8] 已知一條直線和一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2．一條曲線上面的點(diǎn)到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學(xué)生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動(dòng)：

（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標(biāo)系．

（2）讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程．（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn)或方程中出現(xiàn)多余的解．（4）簡(jiǎn)化求解步驟．

[問(wèn)題9]建立坐標(biāo)系后，是否存在一條曲線有兩個(gè)不同的方程？你能以[問(wèn)題1]和[問(wèn)題8]為例，歸納一下你本節(jié)課學(xué)得的東西嗎？

意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容.師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，教師幫助總結(jié).五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1．教材P37，習(xí)題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長(zhǎng)為的軌跡的長(zhǎng)度嗎？，動(dòng)點(diǎn)A向線段BC所張的角恒為，你能求出動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)