第一篇：二次三項式的因式分解(用公式法)教學案(一)

二次三項式的因式分解（用公式法）教學案

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點：

1．使學生理解二次三項式的意義；了解二次三項式的因式分解與解一元二次方程的關(guān)系．

2．使學生會利用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)將二次三項式分解因式．

（二）能力訓練點：通過本節(jié)課的教學，提高學生研究問題的能力．

（三）德育滲透點：結(jié)合教材對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，進一步滲透認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．

二、教學重點、難點、疑點及解決辦法

1．教學重點：用公式法將二次三項式因式分解．

2．教學難點：一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關(guān)系． 3．教學疑點：一個二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件．

三、教學步驟

（一）明確目標

二次三項式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但對有些二次三項式，用這兩種方法比較困難，如將二次三項式4x2+8x-1因式分解．在學習了一元二次方程的解法后，我們知道，任何一個有實根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根與二次三項式ax2+bx+c的因式分解有無關(guān)系呢？這就是我們本節(jié)課研究的問題，也就是研究和探索二次三項式因式分解的又一種方法——用公式法．

（二）整體感知

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），觀察方程的特點：左邊是一個二次三項式，曾經(jīng)借助于將左邊二次三項式因式分解來解一元二次方程．反之，我們還可以利用方程的根，來將二次三項式因式分解．即在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通過知識之間的相互聯(lián)系、相互作用和相互促進，對學生進行辯證唯物主義思想教育．

公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依據(jù)是根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基礎(chǔ)．通過因式分解新方法的導出，不僅使學生學習了一個新方法，還能進一步啟發(fā)學生學習的興趣，提高他們研究問題的能力．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程 1．前提測評

（1）寫出關(guān)于x的二次三項式？

（2）將下列二次三項式在實數(shù)范圍因式分解． ①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1． 由④感覺比較困難，引出本節(jié)課所要解決的問題．

2．①引入：觀察上式①，②，③方程的兩個根與方程左邊的二次三項式的因式分解之關(guān)系．

①x2-2x+1=0； 解：原式變形為（x-1）（x-1）=0． ∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0； 解原方程可變?yōu)椋▁-2）（x-3）=0 ∴ x1=2，x2=3． ③6x2+x-2=0 解：原方程可變?yōu)椋?x-1）（3x+2）=0．

觀察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的兩個根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我們可以利用一元二次方程的兩個根來分解相應左邊的二次三項式．

②推導出公式

=a（x-x1）（x-x2）．

這就是說，在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2，然后寫成

ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）． 教師引導學生從具體的數(shù)字系數(shù)的例子，觀察、探索結(jié)論，再從一般的字母系數(shù)的例子得出一般性的推導，由此可知認識事物的一般規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊．

③公式的應用

例1 把4x2+8x-1分解因式 解：∵

方程4x2+8x-1=0的根是

教師板書，學生回答．

由①到②是把4分解成2×2分別與兩個因式相乘所得到的．目的是化簡①．

練習：將下列各式在實數(shù)范圍因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3 學生板書、筆答，評價．

解2 用兩種方程把4x2-5分解因式．

方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二簡單，要求學生靈活選擇，擇其簡單的方法． 練習：將下列各式因式分解．

（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．

學生練習，板書，選擇恰當?shù)姆椒?，教師引導，注意以下兩點：（1）要注意一元二次方程與二次三項式的區(qū)別與聯(lián)系，例如方程2x2-6x-4=0，可變形為x2-3x-2=0；但將二次三項式分解因式時，就不能將3x2-6x-12變形為x2-2x-4．

（2）還要注意符號方面的錯誤，比如上面的例子如果寫成2x2-5x-

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）當△≥0時，方程有兩個實根．當△＜0時，方程無實根．這就決定了：當b2-4ac≥0時，二次三項式ax1+bx+c在實數(shù)范圍內(nèi)可以分解；當b2-4ac＜0時，二次三項式ax2+bx+c在實數(shù)范圍內(nèi)不可以分解．

（四）總結(jié)與擴展

（1）用公式法將二次三項式ax2+bx+c因式分解的步驟是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，再將ax2+bx+c寫成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三項式ax2+bx+c因式分解的條件是：當b2-4ac≥0，二次三項式ax2+bx+c在實數(shù)范圍內(nèi)可以分解；b2-4ac＜0時，二次三項式ax2+bx+c在實數(shù)范圍內(nèi)不可以分解．

（3）通過本節(jié)課結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導、產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學生的探索精神，激發(fā)學生的求知欲望，對學生進行辯證唯物主義思想教育，滲透認識事物的一般規(guī)律．

四、當堂檢測，布置作業(yè)

教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．

五、板書設(shè)計

12.5 二次三項式的因式分解

（一）結(jié)論：在分解二次三項式

例1．把4x2+8x-1分解

因式

ax2+bx+c的因式時 可先用公式求出方程： ax2+bx+c=0的兩個根 x1，x2，然后寫成 ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

解：……… ……

練習：………

第二篇：因式分解公式法(導學案)

因式分解(二)(導學案)（公式法因式分解）

學習目標：

1、會用公式法進行因式分解。

2、了解因式分解的步驟。

學習重點：會用公式法進行因式分解。學習難點：熟練應用公式法進行因式分解。學習過程

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

探討新知：(a?b)(a?b)?

(a?b)2

?把這兩個公式反過來，就得到：

（1）（2）把它們當做公式，就可以把某些多項式進行因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法。

二、深入研究，合作創(chuàng)新

例

1、因式分解：4x2

?25例

2、因式分解：x2

?6ax?9a2

自主練習，小組交流：

216a2?9b2

81x4?y

m2?mn?1

n2239

?x2?4y?4xy

??

?

?

三、小組合作，應用新知 1.辨析運用

（1）下列多項式能否平方差公式進行因式分解的是

①4x2+9y2②81x4-y4③-16x2+y2④-x2-y2⑤a2+2ab+b2

歸納：可運用平方差公式進行因式分解的多項式特點是：①恰好兩項 ②一項正，一項負③可化為的形式。2.下列各多項式能否運用完全平方公式分解因式？

①-2xy+x2+y

2②

②-x2+4xy-4y

2③

③a2

+2ab+4b2

④a2

+a+1

4歸納：完全平方式的特征是：①三項 ②兩平方項同號 ③另一項可化為的形式。3.因式分解：

1、a2b2?0.25c22、9(a?b)2?6(b?a)?

13、a4x2?4a2x2y?4x2y24、(x?y)2?12(x?y)z?36z25、(x?2y)2?(x?2y)2

6計算：992+198+17.982-2

2四、課堂反饋，強化練習

1、因式分解：

（1）(3a?2b)2

?(2a?3b)2

（2）(m2

?n2

?1)2

?4m2

n2

（3）(x2

?4x)2

?8(x2

?4x)?16

1(x2

?2y2)2?2(x2?2y2)y2?2y4

（4）2（5）（x2+x+1）2-1(6)36(x+y)2-49(x-y)

2(7)(x-1)+b2(1-x)（8）3a2(2a+b)2-27a2b2(9)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2

(10)(x+y)(x-1)-xy-y2(11)(x+2)(x+4)+x2-4(12)2m3-8m2、多項式4x2

?x加上一個怎樣的單項式，就成為一個完全平方式？多項式0.25x2

?1呢？

3.已知a,b,c,是三角形ABC的三邊長，試判斷b2

+c2

-a2

+2ab的正負。

4.若a2b2

+a2

+b2

+1-2ab=2ab，求a+b的值。

5.已知a,b是有理數(shù)，試說明a2

+b2

-2a-4b+8的值是正數(shù)。

第三篇：平方差公式法因式分解學案

平方差公式法因式分解

[教學目標] 會用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式

[教學重點]掌握可用平方差公式分解因式的特點，并能使用平方差公式分解因式 [教學難點]使學生能把多項式轉(zhuǎn)換成符合平方差公式的形式進行因式分解。[教學過程]

創(chuàng)設(shè)情景：把如圖卡紙剪開，拼成一張長方形卡紙，作為一幅精美剪紙襯底，怎么剪？你能給出數(shù)學解釋嗎？根據(jù)面積可得到： a2－b2=（a＋b）（a－b）

自學導讀：A因式分解的概念是什么？B平方差公式的內(nèi)容用字母怎樣表示？

1、計算：（1）（a+3）(a-3)（2）(4x-3y)(4x+3y)閱讀課本P167－P168思考：

1、a2-9=？16x2-9y2 =？

bb2、當一個多項式具有什么特點時可用平方差公式因式分解？ 左邊：右邊：

□－△2 2

＝(□＋△)(□－△)

a3、因式分解中的平方差公式和乘法公式中的平方差公式有何區(qū)別和聯(lián)系？

小結(jié)：兩個數(shù)的平方差，等于嘗試探究練習Ⅰ： 1 填空：

(1)a6

=()2

;(2)9x2

=()2

;(3)m8n10

=()2

;(4)254x4

=()2

(5)0.25a2n

=()2

;(6)

3649

x4

-0.81=()2

-()下列多項式可以用平方差公式分解因式嗎？

(1)a2+4b2

;(2)4a2

-b2

;(3)a2

-(-b)2

;(4)–4+a2

;(5)–4-a2

;(6)x2

2n+2

;(7)x

-x2n分解因式：

(1)1-25a2

;(2)-9x2

+y2

;(3)a2b2

-c2

;(4)164

925

x-

y2

.（5）(a+b)2-(a-c)2（6）x4-16（7）3x3-12x（8）(9y2-x２)+(x+3y).練習Ⅱ:4 分解因式：

(1)-a4 + 16(2)6a2b?54b(3)(x+y+z)2-(x-y-z)2

(4)(x-y)3+(y-x).*(5)x2n+2

-x

2n用簡便方法計算：(1)9992-10002

;(2)(1-

1)(1-

11)……(1-

3)(1-

410)

小結(jié)：

1、能使用平方差公式分解因式的多項式形式

2、是能否使用平方差公式進行因式分解，判斷的依據(jù)是：課外作業(yè)

1、已知x2

－y2

=－1，x+y=

1，求x－y的值。

?n?22、你能說明

7???n?5?

能被24整除嗎？

3、解方程：(21x+3)2–(21x–3)2

=36.4、已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)2

－(3m－n)2的值。

第四篇：因式分解教學案(一)

因式分解教學案一

學習目標

1、什么是因式分解，因式分解與整式乘法的區(qū)別。

2、會判斷一種變形是否為因式分解。

3、會尋找公因式。

4、會用提取公因式的方法分解因式。

學習過程

（一）因式分解的定義：

計算下列各題

a(b?c)(x?y)(a?b)

思考您完成的是什么運算。那么你能將此過程倒過來嗎。

ab?acxa?xb?ya? yb

說說您的思路

積

a(b+c)

(x?y)(a?b)

和

ab+ac

xa?xb?ya?yb和 = ab+ac根據(jù)的原理是_____________________________ xa?xb?ya?yb積=a(b+c)根據(jù)的原理是_____________________________(x?y)(a?b)

總結(jié)由積變成和的形式叫做整式乘法，而由和變形成幾個整式積的形式的運算叫做因式分解。

定義：把一個多項式變成幾個整式積的形式叫做把這個多項式分解因式。

（二）提公因式法分解因式

1、公因式的定義。

從字面意思可以得出公因式就是各項公有的因式。

在多項式ab?ac中的公因式是a

試找出下列多項式的公因式：

a+abxy +xy-xy2 x+6 x3pq+15pq xy+6xyz+xyz5abc +15abcab-5ab+9b

總結(jié)：找公因式的方法。

① 系數(shù)取公約：②字母找公有：③指數(shù)找最低；④首項與公因式的符號保持一致。練習

下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）

A、(3?x)(3?x)?9?xB、m?n?(m?n)(m?mn?n)

C、(y?1)(y?3)??(3?y)(y?1)D、4yz?2yz?z?2y(2z?yz)?z

***2332、提取公因式的方法

先回到ab?ac=a(b?c)

ab?ac=a（方法總結(jié) abac?)=a(b?c)aa

提取公因式法分解因式的法則：

提公因式法分解因式，只需將公因式放在括號外把每一項除以公因式的結(jié)果放在括號里邊。

例題

第一類，公因式是單項式直接提取公因式

?28y4?21y3?7y2

注意：分解因式的結(jié)果中的每一個因式均不能再進行分解因式。練習

2x2?4x8m2n?2mn

a2x2y?axy23x3?3x2?9x

－x+xy-xz－4x+8ax+2x

-7ab-14abx+49aby－3ab+6abx－aby

?24x2y?12xy2?28y3?2x2?12xy2?8xy3

?4a3b3?a2b?2ab?3ma3?6ma2?12ma

842?a2bn?1?abn?1?abn333

第二類：公因式是多項式的分解因式

如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)

=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]

=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).練習

(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； 3x(a-b)-2y(b-a)；

4p(1-q)+2(q-1)；32ab(x-y)+ab(x-y).2m2m+1

6(x-2)+x(x-2)5(x-y)-10x(x-y)

?m+n??p-q?-?m+n??p+q?2(x-y)

2+(x-y)3

18b(a-b)-12(a-b)x(x+y)(x-y)-x(x+y)

232

6q(p+q)-4p(p+q)3m(x?y)?n(y?x)

q(1?p)2?2(p?1)22a(a-b)-4b(b-a)33

121a(x?2a)2?a(2a?x)3x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)24

3m(m-7)-(7-m)(m-3)

第三類：

1998?5.2?1998?7.4?199.8?264.45?13.7?445?0.889?44.5?0.26

(?2)n?2(?2)n?139?37?13?34

求證：32007?4?32006?10?32005能被7整除

第五篇：最新《二次三項式的因式分解》教學反思

本節(jié)課的教學目標是讓學生理解一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關(guān)系，掌握公式法分解二次三項式。在教學引入中，通過二次三項式因式分解方法的探究，引導學生經(jīng)歷：觀察思考 歸納 猜想 論證等一系列探究過程，從而讓學生領(lǐng)會和感悟認識問題和解決問題的一般規(guī)律：即由特殊到一般，再由一般到特殊，同時培養(yǎng)了的學生動手能力和觀察思考和歸納小結(jié)的能力。另一方面通過運用一元二次方程根的知識來分解因式，讓學生體會知識間普遍聯(lián)系的數(shù)學美。

總的來說，建立在對所任教的學生仔細分析和對教學大綱認真研究基礎(chǔ)上所作的教材處理和教學預設(shè)是貼近學生實際的，經(jīng)過這節(jié)課的學習，學生較好的達到了教學目標的要求，較好的完成了教學任務，教學效果良好。此外，整節(jié)課比較好地體現(xiàn)了多媒體在教學上的輔助作用，特別是實物投影儀的運用可以直觀快捷地把學生的練習情況反映在全班學生面前，這些都大大提高了教學效率，增大了教學容量，取得了良好的教學效果。

但本節(jié)課也有許多不足之處，如：

1、可以壓縮第1部分，四道題目可以減半，這樣可以節(jié)省一些時間，讓課堂小結(jié)更充分些；

2、作業(yè)布置這一教學環(huán)節(jié)作為重要的一環(huán)應放入課堂上；

3、模仿練習的題目應該把分解好的部分乘出來看是否與左邊相等，做好返回檢驗的工作，這樣更便于學生的理解。

在今后的教學中應該更好更深刻的研究教材、研究教法、研究我們的學生，備課更充分、更完善些，從而更好的提高課堂教學的有效性。