第一篇：等比數(shù)列教案

2.4 等比數(shù)列

（一）（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能：理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式,理解這種數(shù)列的模型應(yīng)用。

２.過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數(shù)列模型，經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個具體數(shù)列的等比關(guān)系，歸納出等比數(shù)列的定義，通過與等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)類比，探索等比數(shù)列的通項公式。

３.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。

（二）教學(xué)重、難點

重點：等比數(shù)列的定義和通項公式

難點：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先由幾個具體實例抽象出等比數(shù)列的模型，從而歸納出等比數(shù)列的定義；與等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)類比，推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式。

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)過程： [溫故知新] 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一種特殊的數(shù)列——等差數(shù)列，具備怎樣特征的數(shù)列才是等差數(shù)列呢？（學(xué)生齊答）

[情景設(shè)置] 實例

1、有三種投資方案可供選擇，它們的回報情況如下： 方案1:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元； 方案2:每天回報100元；

方案3:第一天回報0.1元,以后每天的回報金額比前一天翻一番。提問：應(yīng)該選擇哪種方案，才能使收益最大化？

☆處理：設(shè)置情景，讓學(xué)生積極參與其中。通過羅列3種方案回報金額構(gòu)成的數(shù)列，既復(fù)習(xí)了等差數(shù)列，又自然地引入了等比數(shù)列。

方案1：10 20 30 40 50 60 ? 方案2：100 100 100 100 100 100 ? 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 ?

實例

2、觀察細胞分裂的過程：

構(gòu)成數(shù)列：1，2，4，8?

實例3《莊子》中有這樣的論述：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”

1111，，… 構(gòu)成數(shù)列：1，24816實例

4、計算機病毒傳播問題：

構(gòu)成數(shù)列：1，20，202，203，204，?

實例

5、按銀行支付利息的復(fù)利方式計算本利和，若存入銀行1萬元錢,年利率是1.98%，每年本利和構(gòu)成數(shù)列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198?

34提問：上述5組數(shù)列有什么共同的特點？ 答：從第2項起,上述5組數(shù)列中每一項與前一項的比分別都等于常數(shù)2，2，1/2，20,1.0198。共同特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)?！钐幚恚河蓪W(xué)生自己觀察發(fā)現(xiàn)每個實例中隱藏的數(shù)列及其特征，并歸納總結(jié)出5組數(shù)列的共同特征，從而引出等比數(shù)列定義。

[探究新知]

一、等比數(shù)列定義:若一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,常用字母q表示。

an?q(n?2)an?1☆處理：類比等差數(shù)列定義，由學(xué)生自己總結(jié)等比數(shù)列定義，并將定義的文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號語言。

例、判斷下列幾組數(shù)列是否為等比數(shù)列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，?

（3）-1，2，-4，8，?（4）1，x，x，x?

（5）a, a, a, a ?

設(shè)計思路：趁熱打鐵，鞏固等比數(shù)列概念。學(xué)生可能認為數(shù)列(4)(5)也一定是等比數(shù)列，在糾錯的同時，自然地引出兩個注意事項。(2)(3)中的數(shù)列讓學(xué)生直觀地體會公比的正負對等比數(shù)列各項符號的影響。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0時各項同號,q<0時各項正負相間。

(2)各項不為0的常數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列。

二、等比數(shù)列通項公式: 設(shè)計思路：先復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項公式的各種推導(dǎo)方法，讓學(xué)生圍繞定義，仿照等差數(shù)列推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式。（學(xué)生分小組討論，根據(jù)各組討論情況，選三位同學(xué)演板并講解自己的推導(dǎo)思路。）

方法

一、歸納法 方法

二、累積法 方法

三、迭代法 23a2?a1qa3?a2q?a1q2aa2?q,3?qa1a2an?an?1q?(an?2q)q?an?2q2?(an?3q)q2?an?3q3??????ana4?q,?q3aa a4?a3q?a1q

3n?1ana2a3a4???????qn?1a1a2a3an?1a?aqn?1n1an?a1qn?1?a1qn?12

通項公式：若等比數(shù)列｛an｝的首項是a1，公比是q，則其通項公式為an?a1qn?1 設(shè)計思路：（1）回顧實例1中的三個數(shù)列，求出其通項公式。

（2）復(fù)習(xí)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，通過計算機模擬演示，展示等比數(shù)列圖像，引導(dǎo)學(xué)生分析等比數(shù)列圖像與指數(shù)函數(shù)圖像的關(guān)系。（3）通過圖像和具體數(shù)據(jù)的計算讓學(xué)生體會指數(shù)爆炸現(xiàn)象。關(guān)于通項公式的兩點注意：

(1)函數(shù)思想：等比數(shù)列{an}的圖像是其對應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)y?上的一些孤立的點。

(2)方程思想：an,a1,q,n這四個量會知三求一。

[典例分析] 例

1、由右邊框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項,并建立數(shù)列遞推公式。此數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 若是,求其通項公式。分析:本題將算法知識介于其中，既體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系性，又巧妙地引出了一個等比數(shù)列，而遞推關(guān)系也包含在程序框圖中。引導(dǎo)學(xué)生通過類比等差，體會要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列,只需證明對于任意正整數(shù)n,a1x?q qan?1是an一個常數(shù)即可。

例

2、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留量是原來的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)？

分析: 要幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)實際問題中數(shù)列的等比關(guān)系,抽象出其數(shù)學(xué)模型。通項公式反映了數(shù)列的本質(zhì)特征,因此關(guān)于等比數(shù)列的問題首先應(yīng)想到它的通項公式an=a1qn-1，對于通項公式中的四個量要求會知三求一。

例

3、一個等比數(shù)列的第３項和第４項分別是12和18,求它的第１項和第２項。分析:由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出通項公式，再由通項公式求得數(shù)列的任一項，這個過程可以幫助學(xué)生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系。

[演練天地]

1、求出引例2—5中等比數(shù)列的通項公式。

2、等比數(shù)列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8與an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求項數(shù)n 912

[課堂小結(jié)]

1、理解與掌握等比數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達式：

an?q(n?2)an?

12、會推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式并掌握其基本應(yīng)用an?a1qn?1

3、函數(shù)思想:等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系

[課后鞏固] 54頁 A組 7,8

[新課預(yù)知] 類比等差數(shù)列推導(dǎo)等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)

[課后反思] 從全面提高學(xué)生的素質(zhì)考慮，本節(jié)課把等比數(shù)列定義及通項公式的探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等思維過程的暴露、知識形成過程的揭示作為教學(xué)重點；將類比、從特殊到一般的歸納等數(shù)學(xué)思想始終貫穿其中。這樣的設(shè)計不像將知識和盤托出那么容易，而是要求教師精心設(shè)計問題層次，由淺入深，循序漸進，不斷地激發(fā)學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性，使學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)知識、“創(chuàng)造”知識。這是不僅是對教師，也是對學(xué)生更高層次的要求。

第二篇：等比數(shù)列教案

等比數(shù)列（復(fù)習(xí)課）學(xué)案

一.基本要求： ① 理解等比數(shù)列的概念；② 掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及應(yīng)用③ 了解等比數(shù)

列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

發(fā)展要求：①掌握等比數(shù)列的典型性質(zhì)及應(yīng)用。②能用類比觀點推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)

二．教學(xué)過程

（1）、知識回顧

1基礎(chǔ)訓(xùn)練題

*（1）等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn(n?N)，若a3?

（2）在等比數(shù)列?an?中，an?0，且a1?a2?1,S4?10，則a4?a5=()

A．16Ｂ．27Ｃ．36Ｄ．8

1（3）②設(shè){an}是遞增的等比數(shù)列，a1?an?66,a2an?1?128，前ｎ項和Sｎ＝126，求n和公比q.（4）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99；

（5）.已知數(shù)列{an}滿足：a1?2,an?1?2an?1；

（1）求證：數(shù)列{an?1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和。

32,S3?92，求數(shù)列的首項與公比.2能力提高題

1（08浙江）已知?an?是等比數(shù)列，a2?2，a5?

4，則a1a2?a2a3???anan?1=（）

（A）16（1?4?n）（B）16（1?2?n）（C）

3（1?4?n）（D）

323

（1?2?n）

D．(4n?1)

22．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn?2n?1,則a12?a2???an?

（）

A．(2n?1)2

{a}

B．

(2?1)

n

C．4n?1

3.在等比數(shù)列n中，若1 A．100B．80

a?a2?40,a3?a4?60,則a7?a8

=（）

C．95D．13

54（2007陜西）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則

S40等于（）

（A）80（B）30(C)26(D)16

5.等比數(shù)列{an}中，an?0且a5a6?81，則log3a1?log3a2????log3a10的值是（）

A．20

B．10

C． 5

3116,a3?

14,則

1a1

?1

D．40

a2

?1a3

?1a4

?1a5

6.在等比數(shù)列{an}中，若a1?a2?a3?a4?a5?

=_________________。

7.在正項等比數(shù)列?an?中，a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a40a50a60的值為（）A．32B．64C．?64D．256 變1： 在等比數(shù)列{an}中, 若a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩根,則a5的值為（）

A．3B．±3C．3D．±

3變2： 等比數(shù)列{an}中，a3，a9是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a6=（）A．3B．±3C．?D．以上皆非

變3：設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的兩根，則

a2006?a2007?

_____.3．思考題

1.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則2.設(shè)f(n)?2?2?2?

2數(shù)列?an?中，a1?2,a2?3,且數(shù)列 ?anan?1?是以3為公比的等比數(shù)列，設(shè)bn?a2n?1?a2n(n?N)

?

a1?a3?a9a2?a4?a10

27的值是

4710

???2(8

n?

13n?10

(n?N)，則f(n)等于（）

27(8

n?3

（A）

(8?1)（B）

n

?1)（C）?1)（D）(8

n?

4?1)

3.(1)求a,a的值

（2）求證?bn?是等比數(shù)列

典型例題精析

題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定 1． 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1,an+1=

n?2n

Sn, 求證：{

Snn

是等比數(shù)列．

2．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立．

（Ⅰ）證明：由題設(shè)an?1?4an?3n?1，得an?1?(n?1)?4(an?n)，n?

*

N．

?an?n?是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．

n?1

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4，于是數(shù)列?an?的通項公式為a所以數(shù)列?an?的前n項和S?4?1?n(n?1)．

又a1?1?1，所以數(shù)列

n

n

n

?4

n?1

?n．

（Ⅲ）證明：對任意的n?N

*，Sn?1?4Sn?

n?1

?1

?

(n?1)(n?2)

?4n?1n(n?1)? ?4???

32??

??

*2

(3n?n?4)≤0．所以不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

題型二 等差、等比數(shù)列中基本量的計算

3．在等比數(shù)列{an}中a1+an=66，a2an-1=128，且前n項和為Sn=126，求n和公比q．

4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4=1，S8=17，求通項公式．

過關(guān)訓(xùn)練

1．已知數(shù)列a，a(1－a)，a(1－a)2，a(1－a)3，?是等比數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為

________________________．

*

2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，2an＋1＋an＝0(n∈N)，則an＝______________．

23．在等比數(shù)列{an}中，已知首項a1an＝q，則項數(shù)n＝_______．

34．在等比數(shù)列{an}中，(1)a6＝6，a9＝9，則a3＝_________；

(2)a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a40·a50·a60＝______．

5．①“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；②“公比為；③“a，b，c三數(shù)成等比數(shù)

列的充要條件是b2＝ac”；④“a，b，c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b＝a＋c”，以上四個命題中，正確的有_____________．

6．已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，a2a4＋2 a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________． 7．等比數(shù)列{an}中，已知a9＝－2，則此數(shù)列前17項之積為___________． 8．一個三角形的三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍為_________________．

9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為

_____________． 10．首項為6的三個數(shù)成等比數(shù)列，若將它們依次分別減去4，3，2，則成等差數(shù)列，則此三個數(shù)是_________________．

ac

11．已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c＝______．

xy

n

12．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，則它的通項公式是an＝_______________．

4710

13．設(shè)f(n)＝2＋2＋2＋2＋…＋23n＋10，則f(n)＝_______________． 14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝pn2－2n＋q．

(1)當(dāng)q＝__________時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

(2)在(1)的條件下，若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an＝2log2bn，則數(shù)列的{bn}前n項和Tn＝______________．

等比數(shù)列的前n項和

選擇題

1．等比數(shù)列an中，S4?4，S8?8，則a17?a18?a19?a20的和為（）

A．4B． 3

C．16D．2

42已知等比數(shù)列的前n項和Sn?4?a，則a的值等于（）

A．－4B．－3 C．0D．

13．在等比數(shù)列?an?中，a1?4,q?5，使Sn?10的最小值n是（）

7n

??

A．11B．10 C．12D．9

4．在等比數(shù)列?an?中，Sn表示前n項和，若a3?2S2?1,a4?2S3?1，則公比q?（）A．3B．－3 C．－1D．1

5．在等比數(shù)列an中a1?8，q?，an?，則Sn等于（）

C．8D．1

56．等比數(shù)列1，2，4，?從第5項到第10項的和是（）

A．1024B．127 C．1000D．1008

7．等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，若a1?81，a5?16，則它的前5項的和是（）

A．179B．211 C．243D．275 8．等比數(shù)列an的前n項和Sn中（）

A．任意一項都不為零 B．必有一項為零 C．至多有有限為零

A．31B．

????

D．可以有無數(shù)項為零

9、某工廠總產(chǎn)值月平均增長率為p，則年平均增長率為（）

A、pB、12pC、(1?p)12D、(1?p)12?

1填空題

10．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的公和。已知數(shù)列?an?是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為，這個數(shù)列的前21項和S21的值為。

11、某種產(chǎn)品計劃每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，則現(xiàn)在的成本是。

12、等比數(shù)列{an}中，a5?a6?a7?a5?48，那么這個數(shù)列的前10項和S10=。

解答題

13、在等比數(shù)列{an}中，已知S3?4,S6?36，求an。

14、在等比數(shù)列{an}中，已知a1?an?66，a2an?1?128

23n

?,an成等差數(shù)列（n為正整數(shù)）

15、已知f(x)?a1x?a2x?a3x???anx，且a1，a2，a3。又f(1)?n2，Sn

?126求n與q。

（1）求an。（2）比較f()與3的大小。f(?1)?n。

答案：

1、A2、B3、A4、A5、B

6、D7、B8、D9、D 10、3.52a11、3(1?q%)

12、1023

13、Sn?

?

2n?

114、n的值為6，q為2或

1215、（1）an?2n?1（2）f()?3

第三篇：等比數(shù)列教案

等比數(shù)列教案（第一課時）

彭水第一中學(xué)校

賀巧

教材分析：

三維目標(biāo)：知識與技能：1.理解等比數(shù)列的定義；2.掌握等比數(shù)列的通項公式，會解決知道an，a1，q，n中的三個，求另一個的問題．

過程與方法：通過觀察具體數(shù)列的規(guī)律，從特殊到一般得到等比數(shù)列的定義；再由等比數(shù)列定義，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的觀察與表達能力，通過等比數(shù)列通項的推導(dǎo)，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力。

重點：1.等比數(shù)列概念的理解與掌握；2.等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用． 難點：等比數(shù)列＂等比＂的理解、把握和應(yīng)用．

易錯點：1.忽略公比q?0.2.將通項公式an?a1qn?1錯記為an?a1qn.前后銜接：上節(jié)中學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，用類比的方法研究等比數(shù)列.命題傾向與經(jīng)典題型：命題傾向于填空選擇題；主要是“知三求二”的題型，以及用累 乘法求一般數(shù)列通項公式.學(xué)情分析：

學(xué)生知識儲備：學(xué)生已經(jīng)比較熟悉數(shù)列，會用觀察法求數(shù)列通項公式；通過等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，已有研究特殊數(shù)列的一般方法與思路.預(yù)習(xí)及學(xué)法指導(dǎo)：建議學(xué)生用研究等差數(shù)列的方法與思路去預(yù)習(xí)看書，比較等差數(shù)列與 等比數(shù)列的異同點.教學(xué)方法：

如何突出重點：歸納類比，累乘法，典例講解，變式訓(xùn)練.如何突出難點：關(guān)鍵在于緊扣定義，類比等差數(shù)列的相關(guān)知識，來發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.如何辨析易錯點：1.準(zhǔn)確理解等比數(shù)列定義.2.掌握等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法.教學(xué)過程：

一.新課引入

觀察下列數(shù)列，看其有何共同特點？

（1）1,2,4,8,16,32，?；

111***1-，-，（3），?.2481632（2）1，，，?；

數(shù)列（1）從第二項起，后一項與前一項的比值都為2；數(shù)列（2)從第二項起，后一項與前一項的比值都為11；數(shù)列（3）從第二項起，后一項與前一項的比值都為-.32總結(jié)：以上數(shù)列的共同特點從第二項起，后一項與前一項的比值都為同一個常數(shù).二.新課講解

1．等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0）.思考：（1）為什么q≠0？

（2）怎樣用數(shù)學(xué)表達式表示等比數(shù)列定義？

答案：(1)由于分母不能為0，再根據(jù)等比數(shù)列的定義知q不可能為0.(2)an?1?q(q為常數(shù)且q?0).an判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：（1）2,2,2,2,2，?；（2）0,0,0,0,0，?；（3）2,4,8,0,16，?.由此說明?等比數(shù)列中任何項都不能為0；?非零的常數(shù)列既是等比數(shù)列（公比為1）也是等差數(shù)列（公差為0）.2.探究等比數(shù)列的通項公式

觀察法：由等比數(shù)列的定義，有：a2?a1q； a3?a2q?(a1q)q?a1q2； a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；

? ?

觀察序號n與q的次方數(shù)的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：an?a1?qn?1(a1，q?0)累乘法：有等比數(shù)列的定義，有

aa2aa?q；3?q；4?q；?；n?q a1a3an?1a2

所以a2a3a4a???n?qn?1，即an?a1?qn?1(a1，q?0)a1a2a3an?1因此得到等比數(shù)列的通項公式1：an?a1?qn?1(a1，q?0)思考：類比等差數(shù)列，若已知am，q，則an?.am?a1?qm?1，則a1?amamn?1n?1n?m.，所以a?a?q??q?a?qn1mm?1m?1qqn?m由此得到等比數(shù)列的通項公式2：an?am?q(n?m)

請學(xué)生寫出“引入”中，（1),(2),(3)的通項公式.3.例題講解

例1 一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：?aa18332216??q? ?a2?3?12??8,a1?2?8??.1222q3q33例2 已知等比數(shù)列{an}中，a2?6,a5?162，求a3,an.解：法一 方程組思想???a1?q?6?a1?2n?1，?，?a?18，a?2?3?3n4?a1?q?162?q?3

法二 應(yīng)用等比數(shù)列通項公式2 ?a5?a2?q5?2，?q?3，?a3?a2?q?18，an?a2?qn?2?2?3n?1

三．課堂訓(xùn)練

基礎(chǔ)題：人教版A版教材P52，練習(xí)1；

中檔題：在等比數(shù)列{an}中，a3?6，a4?18，則a1?a2?.拔高題：在等比數(shù)列{an}中，a7?1求{an}的通項公式.，且a4，a5?1，a6成等差數(shù)列，四．課堂小結(jié)

1.等比數(shù)列的定義；

2.等比數(shù)列的通項公式． 五．作業(yè)布置

1.人教版A版課后習(xí)題2.4 A組第1題； 2.在數(shù)列{an}中，a1?六．板書設(shè)計

§2.4 等比數(shù)列

一．定義 例1 課堂訓(xùn)練1.二．通項公式 例2 2.累乘法 3.七．教學(xué)反思

本堂課預(yù)設(shè)目標(biāo)與內(nèi)容順利完成。從學(xué)生的反應(yīng)來看，大部分學(xué)生能夠掌握，會計算求等比數(shù)列的通項公式。少部分學(xué)生在計算上不熟練，因為前面等差數(shù)列中都是加減消元求首項和公差，而這節(jié)中要采用兩式相除求公比。課后還要多加練習(xí)才行。

1，an?1?2an?0，求a4，an.5

第四篇：《等比數(shù)列求和》教案

等比數(shù)列的前n項和（第一課時教案）

一、教材分析

1.從在教材中的地位與作用來看

《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前n項和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進一步學(xué)習(xí)“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準(zhǔn)備。就知識的應(yīng)用價值上來看，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。就內(nèi)容的人文價值上來看，等比數(shù)列的前n項和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。2.從學(xué)生認知角度來看

從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。3.學(xué)情分析

教學(xué)對象是剛進入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。4.重點、難點

教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運用． 教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運用．

公式推導(dǎo)所使用的“錯位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點也是難點。

二、目標(biāo)分析

1．知識與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。

2.過程與方法目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。

3．情感態(tài)度與價值觀：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴謹美。用數(shù)學(xué)的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學(xué)的態(tài)度認識世界。

三、教學(xué)方法與教學(xué)手段

本節(jié)課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)探究，合作學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)等的教學(xué)模式.四、教學(xué)過程分析

學(xué)生是認知的主體，也是教學(xué)活動的主體，設(shè)計教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我按照自主學(xué)習(xí)的教學(xué)模式來設(shè)計如下的教學(xué)過程，目的是在教學(xué)過程中促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和意識，形成自主學(xué)習(xí)的能力。

1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大舍罕為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？

【教師提問】

同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)．帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定． 2．學(xué)生探究，解決情境

263在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，2，?，2是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？

探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)設(shè)s=1+2+22+23+???+26364系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）

探討2： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23+???+263+264，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 有

【設(shè)計意圖】留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．

解決情境問題：經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩

s64?264?1式相減，相同的項就可以消去了，得到：。老師強調(diào)指出：這就是錯位相減法，并 2 要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設(shè)計意圖】經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時也為推導(dǎo)一般等比數(shù)列前n項和提供了方法。3．類比聯(lián)想，解決問題

這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為?an?，公比為q，如何求它的前n項和？讓學(xué)生自主完成，然后對個別學(xué)生進行指導(dǎo)。

一般等比數(shù)列前n項和：Sn?a1?a2?a3????an?1?an??

即Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1??

方法1：錯位相減法

2n?2??a1qn?1?Sn?a1?a1q?a1q??a1q ?23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qa1(1?qn)?(1?q)Sn?a1?a1q?1?q這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時是什么數(shù)列？此時sn=？

n?a1(1?qn)??Sn??1?q?na??1q?1

q?1na1?a1qn在學(xué)生推導(dǎo)完成之后，我再問：由(1?q)Sn?a1?a1q得Sn?

1?q【設(shè)計意圖】在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。4．討論交流，延伸拓展

探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道, sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn-2)那么我們能否利用這個關(guān)系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1 ?a1?q（a1?a1q??a1qn?2）?a1?q（Sn?a1qn?1）?(1?q)Sn?a1?a1qn

根據(jù)等比數(shù)列的定義又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an===?==q，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sna1a2a3an-13

aaa2a?3?4??n?q a1a2a3an?1a2?a3?????anS?a1?q?n(1?q)Sn?a1?anq

S?aa1?a2?????an?1nn??

【設(shè)計意圖】以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qsn?1, 這其實就是關(guān)于Sn的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進作用.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值，從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高。5．鞏固提高，深化認識

（1）口答：

在公比為q的等比數(shù)列{an}中

若a1?2,q?1，則Sn?________，若a1?1，q?1，則Sn?________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a3?1,S3?4（2）判斷是非：

1?(1?2n)①1?2?4?8???(?2)

（）?1?2n23n1?(1?2)②1?2?2?2???2?

（）

1?2③若c?0且c?1，則

n?1121，求a1及q.2c?c?c???c2462n?c2[1?(c2)n]1?c（）

【設(shè)計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識記公式,并加強計算能力的訓(xùn)練。

6．例題講解，形成技能

例1．求和

1?a?a?a??a

1111例2．求等比數(shù)列，，?的第5項到第10項的和．

24816方法1： 觀察、發(fā)現(xiàn)：a5?a6???a10?S10?S4．

方法2： 此等比數(shù)列的連續(xù)項從第5項到第10項構(gòu)成一個新的等比數(shù)列：首項為a5?16，公比為q?2，項數(shù)為n?6．

23n1111變式1：求11，2,3,4,5?的前n項和． 248163212345變式2：求，，?的前n項和．

2481632【設(shè)計意圖】采用變式教學(xué)設(shè)計題組，深化學(xué)生對公式的認識和理解，通過直接套用公 式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學(xué)生新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識．解題時，以學(xué)生分析為主，教師適時給予點撥。7.總結(jié)歸納，加深理解

以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。

【設(shè)計意圖】以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。8．課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做： P129練習(xí)3（1）習(xí)題3.5 第1題 選作： 思考題(1):求和 x+2x2+3x3+?+nxn.（2）畫一個邊長為2cm的正方形, 再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形,依此類推,這樣一共畫了10個正方形, 求這10個正方形的面積的和。

【設(shè)計意圖】布置彈性作業(yè)以使各個層次的學(xué)生都有所發(fā)展.讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)。

五、評價分析

本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項和公式．錯位相減：變加為減，等價轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會到推導(dǎo)過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)，形成學(xué)習(xí)能力。

六、教學(xué)設(shè)計說明 1．情境設(shè)置生活化.本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高一學(xué)生的心理特點以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來源于生活”，采用故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望。2．問題探究活動化．

教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴謹性。3．辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化．

在理解公式的基礎(chǔ)上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過總結(jié)、辨析和反思，強化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進學(xué)生主動建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系。4．鞏固提高梯度化．

例題通過公式的正用和逆用進一步提高學(xué)生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，并進行適當(dāng)?shù)淖兪?可以提高學(xué)生的模式識別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性。5．思路拓廣數(shù)學(xué)化．

從整理知識提升到強化方法，由課內(nèi)鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學(xué)生本位”，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為提高學(xué)生素質(zhì)的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)． 6．作業(yè)布置彈性化．

通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進一步發(fā)展的空間，有利于豐富學(xué)生的知識，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

第五篇：等比數(shù)列求和教案

《等比數(shù)列的前n項和》教學(xué)設(shè)計

教材：人教版必修五§2.5.1

教學(xué)目標(biāo)：（1）知識目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前

n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題；

（2）能力目標(biāo)：提高學(xué)生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方

法，滲透方程思想、分類討論思想；

（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)； 教學(xué)重點：（1）等比數(shù)列的前n項和公式；

（2）等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用； 教學(xué)難點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)； 教學(xué)方法：問題探索法及啟發(fā)式講授法 教 具：多媒體 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

回顧等比數(shù)列定義，通項公式。

（1）等比數(shù)列定義：（2）等比數(shù)列通項公式：

（，（3）等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：倒序相加法。

二、問題引入：

閱讀:課本第55頁“國王賞麥的故事”。

問題:如何計算

引出課題:等比數(shù)列的前n項和。

三、問題探討： 問題：如何求等比數(shù)列的前n項和公式

回顧：等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法。

倒序相加法。

等差數(shù)列

根據(jù)等差數(shù)列的定義

它的前n項和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比數(shù)列的前n項和公式是否能用倒序相加法推導(dǎo)？

學(xué)生討論分析，得出等比數(shù)列的前n項和公式不能用倒序相加法推導(dǎo)。

回顧：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法本質(zhì)。

構(gòu)造相同項，化繁為簡。

探究：等比數(shù)列前n項和公式是否能用這種思想推導(dǎo)？

根據(jù)等比數(shù)列的定義：

變形：

具體：

??

學(xué)生分組討論推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：

由于等比數(shù)列中的每一項乘以公比都等于其后一項。所以將這一特點應(yīng)用在前n項和上。

由此構(gòu)造相同項。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。

（1）

（2）

由此構(gòu)造相同項。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。

當(dāng)q=1時，當(dāng)時，學(xué)生經(jīng)過討論還發(fā)現(xiàn)了其他的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生課后整合自己的思路，將各自的推導(dǎo)過程展示在班級學(xué)習(xí)園地，同學(xué)們共享探究。由等比數(shù)列的通項公式推出求和公式的第二種形式：

當(dāng)

四.知識整合:

時，1．等比數(shù)列的前n項和公式：

當(dāng)q=1時，當(dāng)時，2．公式特征：

⑴等比數(shù)列求和時，應(yīng)考慮

與

兩種情況。

⑵當(dāng)時，等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式,分別都涉及四個量，四個量中“知三求一”。

⑶等比數(shù)列通項公式結(jié)合前n項和公式涉及五個量，五個量中“知三求二”（方程思想）。3．等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)方法：錯位相減法。

五、例題精講：

例1．運用公式解決國王賞麥故事中的難題。

變式練習(xí)：⑴求等比數(shù)列1,2,4,8?的前多少項和是63.⑵求等比數(shù)列1,2,4,8?第4項到第7項的和.，例2．畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依次類推⑴若一共畫了7個正方形，求第7個正方形的面積？

⑵若已知所畫正方形的面積和為畫的最后一個正方形的面積。，求一共畫了幾個正方形，及所 解：由題意得：每個正方形的面積構(gòu)成等比數(shù)列，且

（1）

（2）

答：（1）第七個正方形的面積是。

（2）一共測了5個正方形，所畫的最后一個正方形的面積是。

鞏固練習(xí)：⑴已知等比數(shù)列中，,求。

⑵已知等比數(shù)列

六、課堂小結(jié)：

中，,，求n。

1、等比數(shù)列的前n項和公式：

當(dāng)q=1時，當(dāng)時，2、等比數(shù)列的前n項和推導(dǎo)方法：錯位相減法。

3、數(shù)學(xué)思想：類比，分類討論，方程的數(shù)學(xué)思想。

七、課后作業(yè)：

基礎(chǔ)題：課本P61習(xí)題2.5 A組1，2

提高題：求和（探究與發(fā)現(xiàn)：查閱網(wǎng)絡(luò)，思考等比數(shù)列前n項和公式還有無其它推導(dǎo)方法？