第一篇：2012-2013學(xué)年度第二學(xué)期對(duì)三角恒等變換教學(xué)體會(huì)
三角恒等變換教學(xué)體會(huì)
赫章縣民族中學(xué)：項(xiàng)維
1．精心搞好教學(xué)設(shè)計(jì)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。
本章內(nèi)容的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及在推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的思想方法，同時(shí)它也是難點(diǎn)。為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教學(xué)中可以設(shè)計(jì)一定的教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度，利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角形中的邊角關(guān)系等建立包含α，β，α－β的正弦、余弦值的等量關(guān)系。這個(gè)過程比較復(fù)雜，而且難度也比較大，但對(duì)理解公式的結(jié)構(gòu)特征有促進(jìn)作用，另外還能激發(fā)學(xué)生探索簡(jiǎn)便方法的欲望。
在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中用到向量的數(shù)量積教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意三個(gè)要點(diǎn)：
（1）在回顧求角的余弦的方法時(shí)，有意識(shí)地提醒學(xué)生聯(lián)想向量方法；（2）充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運(yùn)用做好準(zhǔn)備；
（3）探索過程的安排，應(yīng)當(dāng)先把握整體，然后逐步追求細(xì)節(jié)。突破了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)這一難點(diǎn)后，其他所有公式都可以通過學(xué)生自己的獨(dú)立探索而得出。2．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。
與以往的三角恒等變換學(xué)習(xí)相比較，“標(biāo)準(zhǔn)”強(qiáng)調(diào)了用向量方法推導(dǎo)差角的余弦公式，以用三角函數(shù)之間的關(guān)系推導(dǎo)和（差）角公式、二倍角公式，其他公式（積化和差、和差化積、半角公式等）都處理成為三角恒等變換的基本訓(xùn)練。這樣的安排，把重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力上，而對(duì)變換的技巧性要求大大降低。教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把握好這種變化，遵循“標(biāo)準(zhǔn)”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪簡(jiǎn)的知識(shí)點(diǎn)（如半角公式、積化和差與和差化積公式只是作為基本訓(xùn)練的素材，結(jié)果不要求記憶，更不要求運(yùn)用），也不要引進(jìn)那些繁瑣的、技巧性高的變換難題以及強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。3．加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法。
三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)系。推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程比較集中地反映了這種聯(lián)系，從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想。從數(shù)學(xué)變換的角度看，三角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點(diǎn)。相同之處在于它們都是運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)工具對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)其結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行變換。由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上，而且還表現(xiàn)在包含的角及其函數(shù)類型上，因此三角恒等變換常常需要先考慮式子中包含的各個(gè)角之間的關(guān)系，然后以這種關(guān)系為依據(jù)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)娜枪竭M(jìn)行變換，這是三角恒等的主要特點(diǎn)。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生以一般的數(shù)學(xué)（代數(shù)）變換思想為指導(dǎo)，加強(qiáng)換對(duì)三角函數(shù)式特點(diǎn)的觀察過程，在類比、特殊化、化歸等思想方法上多作引導(dǎo)，變同時(shí)要注意體會(huì)三角恒等變換的特殊性。
第二篇：數(shù)學(xué)史論文三角恒等變換論文
數(shù)學(xué)史論文三角恒等變換論文：數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)意
義
摘 要：數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的積極作用，已經(jīng)得到國(guó)內(nèi)外的普遍認(rèn)可，也提出了許多可操作的方法，可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，做出適當(dāng)?shù)倪x擇。新課改的北師大版高中數(shù)學(xué)教材中三角恒等變換開始用解析幾何的方法推導(dǎo)出三角恒等式，教材安排的非常簡(jiǎn)練、嚴(yán)密，但是為了更好地幫助學(xué)生理解和記憶，可以參考數(shù)學(xué)史上不同時(shí)期的數(shù)學(xué)家探索三角變換的過程，會(huì)對(duì)教學(xué)提供一些有益的啟發(fā)。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；三角恒等變換
一、研究的背景
數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的和思辨的，而且數(shù)學(xué)的思想和方法也是抽象和思辨的（亞歷山大洛夫，1988），數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決問題，更要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)中所用到的思想和方法，這是數(shù)學(xué)的靈魂。
歷史上許多大數(shù)學(xué)家都很重視數(shù)學(xué)史知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所起的積極作用，但真正開始系統(tǒng)地研究他們之間的關(guān)系卻是在1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，簡(jiǎn)稱hpm），該小組成立近30年來(lái)，對(duì)于如何
將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育作聯(lián)結(jié)，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的改善和數(shù)學(xué)課程的發(fā)展有所幫助，提供數(shù)學(xué)教師多種可以使用的資源提出了許多建議，受到國(guó)界數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注。
我國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革為我們的hpm研究提供了現(xiàn)實(shí)的背景和實(shí)踐的空間，事實(shí)上新課程標(biāo)準(zhǔn)有對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的要求“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢(shì)，??應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”，因此，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注并引領(lǐng)實(shí)踐的重要內(nèi)容。我國(guó)的李儼、錢寶琮、沈康身、汪曉勤、韓祥林幾位前輩在數(shù)學(xué)史的研究過程中著作頗豐，尤其是汪曉琴、韓祥林兩位教授在hpm研究方面取得了很多成果。對(duì)于怎樣在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史他們介紹了一種注入歷史的教學(xué)法——發(fā)生教學(xué)法（genetic approach to teaching and learning）。該方法需要：（1）數(shù)學(xué)教師了解所教主題的歷史；（2）確定該主題發(fā)展的關(guān)鍵步驟；（3）重新構(gòu)建關(guān)鍵步驟，使之適用于課堂教學(xué)；（4）重構(gòu)步驟按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面問題的基礎(chǔ)上。（如圖1）
二、數(shù)學(xué)史作用于數(shù)學(xué)教學(xué)的案例
如北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換中的內(nèi)容，從教材內(nèi)容來(lái)看，主要是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及簡(jiǎn)單的恒等變換。但是對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，三角變
換成了大堆的公式，成了符號(hào)和文字的組合，學(xué)生對(duì)它的理解也是機(jī)械的記憶，不利于學(xué)生對(duì)三角變換的理解。
為了更好地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容，我們可以參照古希臘天文學(xué)家托勒密為了制作弦表而提出的托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線乘積等于兩對(duì)邊乘積之和。（如圖2）
設(shè)abcd是直徑為1的圓o的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線bd為圓的直徑，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（證明略），差角公式也可以用類似的證明，但是這個(gè)證明的幾何推理相對(duì)比較繁瑣，讓學(xué)生感覺好像是在學(xué)習(xí)習(xí)近平面幾何，有喧賓奪主的感覺，有人參照該證明方法和勾股定理的幾何證明給出了如下的幾何證明差角公式的方法。（如圖3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由該圖容易證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常簡(jiǎn)明直觀的給出了和角公式的幾何意義，雖然這里的角都是銳角的形式，還沒有進(jìn)行角的推廣，如直角、鈍角甚至任意角的情況的證明，但是有助于學(xué)生運(yùn)用先前的平面幾何的知識(shí)迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用類似的方法證明，這里不再贅述。
三、數(shù)學(xué)史支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)
我們可以將數(shù)學(xué)史上的類似知識(shí)同教材中的內(nèi)容相互結(jié)合，更好地促進(jìn)教學(xué)，讓代數(shù)與具體的圖形連接起來(lái)，可
以讓代數(shù)證明不再是抽象的文字游戲，讓代數(shù)結(jié)論展現(xiàn)在直觀的幾何圖形之上，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與抽象公式的具體化。而在數(shù)學(xué)史上還有大量類似的知識(shí)，對(duì)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支持，其中所體現(xiàn)的思想方法對(duì)學(xué)生也有重要的啟發(fā)意義。另外，現(xiàn)代的信息技術(shù)也可為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供了技術(shù)支持，如何在技術(shù)的支持下實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)效果的最優(yōu)化，也是一個(gè)值得探索的問題。
參考文獻(xiàn)：
［1］中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)［m］．北京：人民教育出版社，2003．
［2］汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史.科學(xué)出版社，2002.
第三篇：三角恒等變換與解三角形
一、選擇題
1．已知sin(α＋)＝，<α<，則cos
2α的值為()
A．－ B．－
C．－
D．－
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin
A－bsin
B＝4csin
C，cos
A＝－，則＝()
A．6
B．5
C．4
D．3
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin
B－asin
A＝asin
C，則sin
B為()
A．
B．
C．
D．
4．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于()
A．1
B．
C．
D．2
5.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos
A等于()
A．
B．
C．
D．
6．(多選)下列命題中，正確的是()
A．在△ABC中，若A>B，則sin
A>sin
B
B．在銳角三角形ABC中，不等式sin
A>cos
B恒成立
C．在△ABC中，若acos
A－bcos
B＝0，則△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
二、填空題
7．(2019·濟(jì)南聯(lián)考改編)若tan(α＋2β)＝2，tan
β＝－3，則tan(α＋β)＝________，tan
α＝________．
8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b∈(4，6)，sin
2A＝sin
C，則c的取值范圍為________．
9．(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測(cè))設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(A－C)－cos
B＝，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為________．
三、解答題
10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos
A＋a2cos
B.(1)求角B；
(2)若b＝2，tan
C＝，求△ABC的面積．
11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝2B，cos
B＝.(1)求sin
C的值；
(2)若角A的平分線AD的長(zhǎng)為，求b的值．
12．(2019·高考天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin
B＝4asin
C.(1)求cos
B的值；
(2)求sin的值．
能力提升專練
1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(sin
A－sin
B)＝(c－b)(sin
C＋sin
B)．
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求∠B的大??；
(2)若AM＝，求△AMC的面積．
3．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos
B)＝b.(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍．
第四篇：簡(jiǎn)單的三角恒等變換教案
簡(jiǎn)單的三角恒等變換教案
（一）一．教學(xué)目標(biāo)
1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
3、通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力．
二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力．
教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．
三、教學(xué)設(shè)想：
（一）復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的和（差）公式，倍角公式
（二）新課講授：
1、由二倍角公式引導(dǎo)學(xué)生思考：?與?2有什么樣的關(guān)系？
學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺(tái)．
例
1、試以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．
解：我們可以通過二倍角cos??2cos因?yàn)閏os??1?2sin因?yàn)閏os??2cos22?22?1和cos??1?2sin2?1?cos?； 2?2來(lái)做此題．
?2，可以得到sin?2?2?1，可以得到cos2?2?1?cos?． 2又因?yàn)閠an2?2?2?1?cos?． ?1?cos?cos22sin2?思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？
代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)． 例2．已知sin??例
3、求證：（１）、sin?cos??5?，且?在第三象限，求tan的值。
2131sin??????sin???????； ??2（２）、sin??sin??2sin???2cos???2．
證明：（１）因?yàn)閟in?????和sin?????是我們所學(xué)習(xí)過的知識(shí)，因此我們從等式右邊著手．
sin??????sin?cos??cos?sin?sin??????sin?cos??cos?sin?．
兩式相加得2sin?cos??sin??????sin?????； 即sin?cos??；
1?sin??????sin???????； 2?（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；設(shè)?????,?????，那么?????2,?????2．
把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin思考：在例3證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？
???2cos???2．
例3證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式．
三．練習(xí)：P142面1、2、3題。
四．小結(jié)：要對(duì)變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用．
五．作業(yè)：《習(xí)案》三十三。
第五篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義6 三角恒等變換、解三角形
微專題6 三角恒等變換、解三角形
命
題
者
說(shuō)
考
題
統(tǒng)
計(jì)
考
情
點(diǎn)
擊
2018·全國(guó)卷Ⅱ·T6·解三角形
2018·全國(guó)卷Ⅱ·T15·三角恒等變換
2018·全國(guó)卷Ⅲ·T4·三角恒等變換
2018·全國(guó)卷Ⅲ·T9·解三角形
1.高考對(duì)此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)。
2.若無(wú)解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～9題或第13～15題位置上。
3.高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要從以下方面進(jìn)行：
(1)利用各種三角函數(shù)公式進(jìn)行求值與化簡(jiǎn)，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn)。
(2)利用正、余弦定理進(jìn)行邊和角、面積的計(jì)算，三角形形狀的判定以及有關(guān)范圍的計(jì)算，常與三角恒等變換綜合考查。
考向一
三角恒等變換
微考向1：三角函數(shù)的定義
【例1】(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊。若tanα A． B． C． D． 解析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，利用三角函數(shù)的定義可得 答案 C 當(dāng)題設(shè)條件中出現(xiàn)直線與單位圓相交問題時(shí)，可根據(jù)三角函數(shù)的定義，求函數(shù)的解析式或者判斷函數(shù)的圖象，有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過程。 變|式|訓(xùn)|練 1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－，則＋＝________。 解析 因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，則＋＝－＋＝－。 答案?。?/p> 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|＝() A． B． C． D．1 解析 由題意知cosα>0。因?yàn)閏os2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝±，得|tanα|＝。由題意知|tanα|＝，所以|a－b|＝。故選B。 答案 B 微考向2：三角函數(shù)求角 【例2】(1)已知α為銳角，若cos＝，則cos＝________。 (2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于() A． B． C． D． 解析(1)因?yàn)棣翞殇J角，cos＝>0，所以α＋為銳角，sin＝，而cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝。所以cos＝。 (2)因?yàn)棣?，β均為銳角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝。所以β＝，故選C。 答案(1)(2)C (1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況。 (2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sina＝，則cos2a＝() A． B． C．－ D．－ 解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝。故選B。 答案 B 2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________。 解析 因?yàn)閟inα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1?、伲琧os2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0?、冢伲诘胹in2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。 答案?。?/p> 考向二 解三角形 微考向1：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算 【例3】(1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝() A．4 B． C． D．2 (2)(2018·陜西二模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，則△ABC的面積為________。 解析(1)因?yàn)閏osC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故選A。 (2)由＝1－及正弦定理可得＝1－化簡(jiǎn)可得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝，故A＝。又·＝5，即bccosA＝5，故bc＝10，所以△ABC的面積為bcsinA＝。 答案(1)A(2) 利用正、余弦定理解三角形的思路 (1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則考慮兩個(gè)定理都有可能用到。 (2)關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”。 變|式|訓(xùn)|練 1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝，則B＝() A． B． C． D． 解析 由＝?＝?a2＋c2－b2＝ac?cosB＝＝。因?yàn)? 答案 C 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。若bsinA＋acosB＝0，且ac＝4，則△ABC的面積為() A． B．3 C．2 D．4 解析 由bsinA＋acosB＝0，得sinBsinA＋sinA·cosB＝0，因?yàn)閟inA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面積為acsinB＝×4×＝3。故選B。 答案 B 微考向2：幾何圖形中的邊角計(jì)算 【例4】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，則BD＝________；三角形ABD的面積為________。 解析 在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，則BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，則S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面積為－1。 答案 2?。? 幾何圖形中的邊、角計(jì)算一般要把幾何圖形分解為若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解決。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·成都診斷)如圖，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一點(diǎn)，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，則線段DE的長(zhǎng)度為________。 解析 易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝?CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝×＝×＝6。 答案 6 微考向3：三角形中的最值與范圍問題 【例5】(1)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，且a＝，則b2＋c2的取值范圍是() A．(5,6] B．(3,5) C．(3,6] D．[5,6] (2)已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠BAC＝60°，BC＝1，則△BOC面積的最大值為________。 解析(1)因?yàn)?a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，可化為b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝。因?yàn)锳∈，所以A＝，又因?yàn)閍＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sin。因?yàn)锽∈，所以2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2∈(5,6]。故選A。 (2)因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝180°－＝120°，由余弦定理可得BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°，即OC2＋OB2＝1－OC·OB。又OC2＋OB2≥2OC·OB(當(dāng)且僅當(dāng)OC＝OB時(shí)，等號(hào)成立)，所以O(shè)C·OB≤，所以S△BOC＝OC·OB·sin120°≤，則△BOC面積的最大值為。 答案(1)A(2) 解三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍。 變|式|訓(xùn)|練 在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，BM＝2，AM＝AB－AC，則△ABC的面積的最大值為() A．2 B．2 C．3 D．3 解析 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。在△ABM中，由余弦定理得cosB＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，所以＝，即b2＋c2＝4bc－8，所以cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以當(dāng)bc＝8時(shí)，S△ABC取得最大值2。故選B。 答案 B 1．(考向一)如圖，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，角β＝α＋的終邊與單位圓交于點(diǎn)B(x2，y2)，記f(α)＝y(tǒng)1－y2。若角α為銳角，則f(α)的取值范圍是________。 解析 由題意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sin，所以f(α)＝y(tǒng)1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sin。又因?yàn)棣翞殇J角，即0<α<，所以－<α－<，所以－ 答案 2．(考向一)已知tan(α＋β)＝，tan＝，則的值為() A． B． C． D． 解析 tan(α＋β)＝，tan＝，則＝＝tan＝tan＝＝＝。故選D。 答案 D 3．(考向二)如圖所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足，若DE＝2，則cosA＝() A． B． C． D． 解析 因?yàn)锳D＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝2A。設(shè)AD＝BD＝x。在△BCD中，由＝，可得＝①。在△AED中，由＝，可得＝②。聯(lián)立①②可得＝，解得cosA＝。故選A。 答案 A 4．(考向二)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則角C的取值范圍是________。 解析 因?yàn)閍2＋b2＝2c2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)，所以c2≥ab，所以由余弦定理可得cosC＝＝≥＝，又因?yàn)镃∈(0，π)，所以C∈。 答案 5．(考向二)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若＝sinC，且c＝2，則a＋b的最大值為________。 解析 因?yàn)椋絪inC，所以＝sinC＝2cosC，可得tanC＝。由C∈(0，π)，得C＝，所以＝＝＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，則a＋b＝4sinA＋4sin＝4sin。因?yàn)锳∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以a＋b≤4，當(dāng)A＝時(shí)取等號(hào)。 答案 4
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