第一篇：數(shù)項級數(shù)教案

《數(shù)學分析》教案

第十二章

數(shù)

項

級

數(shù)

教學目的：（1）理解斂散性概念、級數(shù)收斂的性質(zhì)，熟練求一些級數(shù)的和；（2）熟練利用正項級數(shù)的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D`Alembert判別法及其極限形式，積分判別法判別正項級數(shù)的斂散性；（3）理解Leibniz級數(shù)，熟練利用Leibniz級數(shù)，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數(shù)的斂散性。

教學重點：上、下極限及其性質(zhì)，數(shù)項級數(shù)及其斂散性概念，級數(shù)的基本性質(zhì)，正項級數(shù)的判別法，任意項級數(shù)的判別法。

教學難點：判別法的應(yīng)用。

主要教學方法：充分利用教材，采用啟發(fā)式的課堂教學與討論相結(jié)合的形式組織教學，注意講授課時與習題課課時的分配，精講多練，保證必要的習題量。同時，充分利用多媒體輔助教學，注重物理知識背景、幾何意義的介紹和數(shù)學方法的應(yīng)用，提高教學效果。

§1 級數(shù)的收斂性

1． 級數(shù)概念

在初等數(shù)學中，我們知道：任意有限個實數(shù)u1,u2,?,un相加，其結(jié)果仍是一個實數(shù)，在本章將討論——無限多個實數(shù)相加——級數(shù)——所可能出現(xiàn)的情形及特征。如

1111?2?3???n??

從直觀上可知，其和為1。2222又如，1?(?1)?1?(?1)??。

其和無意義； 若將其改寫為：(1?1)?(1?1)?(1?1)??

則其和為：0；

若寫為：

1?[(?1)?1]?[(?1)?1]??

則和為：1。（其結(jié)果完全不同）。問題：無限多個實數(shù)相加是否存在和；

如果存在，和等于什么。

定義

1給定一個數(shù)列?un?，將它的各項依次用加號“+”連接起來的表達式

u1?u2?u3???un??

（1）稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（簡稱級數(shù)），其中un稱為級數(shù)（1）的通項。級數(shù)（1）簡記為：2． 級數(shù)的收斂性 ?un?1?n，或

?un。

《數(shù)學分析》教案

記

Sn???uk?1nk?u1?u2???un

稱之為級數(shù)?un?1n的第n個部分和，簡稱部分和。

?定義若數(shù)項級數(shù)?un?1n的部分和數(shù)列?Sn?收斂于S（即limSn?S），則稱數(shù)項級

n??數(shù)?un?1?n收斂，稱S為數(shù)項級數(shù)

?un?1?n的和，記作

S??un?1?n=u1?u2?u3???un??。

?若部分和數(shù)列?Sn?發(fā)散，則稱數(shù)項級數(shù)例1 試討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）

?un?1n發(fā)散。

?aqn?1?n?1?a?aq?aq2???aqn?1??，(a?0)的收斂性。

例2 討論級數(shù)

1111??????? 1?22?33?4n(n?1)的收斂性。

3． 收斂級數(shù)的性質(zhì)

由于級數(shù)?un?1?n的斂散性是由它的部分和數(shù)列?Sn?來確定的，因而也可以認為數(shù)項級數(shù)

?un?1?n是數(shù)列?Sn?的另一表現(xiàn)形式。反之，對于任意的數(shù)列?an?，總可視其為數(shù)項級數(shù)

?un?1?n?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?? 的部分和數(shù)列，此時數(shù)列?an?與級數(shù)a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)??有 相同的斂散性，因此，有

定理1（級數(shù)收斂的Cauchy準則）

注：級數(shù)（1）發(fā)散的充要條件是：存在某個?0?0，對任何正整數(shù)N，總存在正整數(shù)

m0(?N),p0，有

um0?1?um0?2???um0?p0??0。

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推論

（必要條件）若級數(shù)（1）收斂，則

limun?0。

n??注：此條件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3 討論調(diào)和級數(shù)

1?的斂散性。例4 應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù) 111?????? 23n1?n2收斂。

定理2

若級數(shù)?un?1??n與?vn?1??n都有收斂，則對任意常數(shù)c,d，級數(shù)

?(cun?1?n?dvn)也收斂，且

?(cun?1?n?dvn)?c?un?d?vn。

n?1n?1即對于收斂級數(shù)來說，交換律和結(jié)合律成立。

定理

3去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性。

（即級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限個項無關(guān)，但其和是要改變的）。

若級數(shù)?un?1?n收斂，設(shè)其和為S，則級數(shù)

un?1?un?2??

也收斂，且其和為

?，它代表用Sn代替S時所產(chǎn)生的誤差。Rn?S?Sn。并稱為級數(shù)?un的第n個余項（簡稱余項）n?1定理在收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。

注意：從級數(shù)加括號后的收斂，不能推斷加括號前的級數(shù)也收斂（即去括號法則不成立）。如：(1?1)?(1?1)???(1?1)???0?0???0?? 收斂，而級數(shù)

1?1?1?1?? 是發(fā)散的。

作業(yè)：P5 1、2、5 §2 正 項 級 數(shù)

一

正項級數(shù)收斂性的一般判別原則

同號級數(shù) 正項級數(shù)

定理12-2-

1正項級數(shù)證明：

定理12-2-2（比較原則）設(shè)?un?1?n收斂?部分和數(shù)列?Sn?有界。

?un?1?n和

?vn?1?n均為正項級數(shù)，如果存在某個正數(shù)N，使得對

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?n?N都有

un?vn，則（1）若級數(shù)?vn?1??n收斂，則級數(shù)

?un?1??n也收斂；

（2）若級數(shù)證明： 例1 考察?un?1n發(fā)散，則級數(shù)

?vn?1n也發(fā)散。

1的收斂性。?2n?n?1n?1?推論（比較判別法的極限形式）設(shè)

?un?1?n和

?vn?1?n是兩個正項級數(shù)，若

lim un?l，n??vn則（1）當0?l???時，級數(shù)

?un?1?n、?vn?1?n同時收斂或同時發(fā)散；

（2）當l?0且級數(shù)?vn?1n?n收斂時，級數(shù)

?un?1n?n也收斂；

（3）當l???且?vn?1?發(fā)散時，級數(shù)

?un?1?也發(fā)散。

例2 討論級數(shù) 例3 由級數(shù)1?2n?n 的收斂性。

11sin的發(fā)散性，可知級數(shù)?n?n是發(fā)散的。

二

比式判別法和根式判別法

定理12-2-

3（達朗貝爾判別法，或稱比式判別法）設(shè)

?un為正項級數(shù)，且存在某個正整數(shù)N0及常數(shù)q?(0,1)：

（1）若對?n?N0，有

un?1?q，則級數(shù)?un收斂 ； unun?1?1，則級數(shù)?un發(fā)散。un（2）若對?n?N0，有

(2)證明：

推論（比式判別法的極限形式）設(shè)

?un為正項級數(shù)，且

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limun?1?q，n??unn則（1）當q?1時，級數(shù)?u收斂；

（2）當q?1（可為??）時，級數(shù)（3）當q?1時，級數(shù)例4討論級數(shù)

?un發(fā)散；

11可能收斂，也可能發(fā)散。如：，u?n?n2。?n22?52?5?82?5?8?[2?3(n?1)]??????? 11?51?5?91?5?9?[1?4(n?1)]的收斂性。例5 討論級數(shù)n?1nx?(x?0)的收斂性。

定理12-2-4（柯西判別法，或稱根式判別法）

設(shè)數(shù)N0及正常數(shù)l，（1）若對?n?N0，有（2）若對?n?N0，有 證明：由比較判別法即可得。推論（根式判別法的極限形式）設(shè)

n?un為正項級數(shù)，且存在某個正整

un?l?1，則級數(shù)?un收斂； un?1，則級數(shù)?un發(fā)散。

n?un為正項級數(shù)，且

limnun?l，n??則（1）當l?1時，級數(shù)?un收斂；

（2）當l?1（可為??）時，級數(shù)（3）當q?1時，級數(shù)

?un發(fā)散；

11可能收斂，也可能發(fā)散。如：，u?n?n2。?n2?(?1)n例6 討論級數(shù) ?的斂散性。

2n說明：因 limun?1?q?limnun?q

這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級數(shù)，也能用根式判別n??n??un法來判斷，即根式判別法較之比式判別法更有效。但反之不能，如例6。

三

積分判別法

特點：積分判別法是利用非負函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性。定理12-9 設(shè)f(x)為[1,??)上非負減函數(shù)，則正項級數(shù)

?f(n)與反常積分???1f(x)dx同時收斂或同時發(fā)

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散。

證明：由假設(shè)f(x)為[1,??)上非負減函數(shù)，則對任何正數(shù)A，f(x)在[1，A]上可積，從而有

f(n)??nn?1f(x)dx?f(n?1)，n?2,3,?

依次相加，得

?f(n)??n?2mmm1f(x)dx??f(n?1)??f(n)

n?2n?1mm?1若反常積分收斂，則對?m，有

Sm?于是，知

級數(shù)

反之，若級數(shù)?f(n)?f(1)??f(x)dx?f(1)??n?11m??1f(x)dx。

?f(n)收斂。

m?1n?1?f(n)收斂，則對任意正整數(shù)m(?1)，有

?mf(x)dx?Sm?1??f(n)??f(n)?S。

又因f(x)為[1,??)上非負減函數(shù)，故對任何A?1，有

0?故知，反常積分?A1f(x)dx?Sn?S, n?A?n?1。

???1f(x)dx收斂。

同理可證它們同時發(fā)散。例7 討論下列級數(shù)

?11（1）?p，（2）?，（3）pn?1nn?2n(lnn)?1 ?pn?3n(lnn)(lnlnn)?的斂散性。作業(yè)：P16

1、（1）—（4），2、（1）—（3）

§3 一般 項 級 數(shù)

一 交錯級數(shù)

若級數(shù)的各項符號正負相間，即

稱為交錯級數(shù)。

定理12-3-1（萊布尼茨判別法）若交錯級數(shù)?(?1)n?1?n?1un，(un?0,?n)

?(?1)n?1?n?1un滿足下述兩個條件：

（1）數(shù)列?un?單調(diào)遞減；（2）limun?0。

n??《數(shù)學分析》教案

則級數(shù)證明 ?(?1)n?1?n?1un收斂。且此時有?(?1)n?1un?u1。

n?1?推論

若級數(shù)?(?1)n?1?n?1un滿足萊布尼茨判別法的條件，則其余項估計式為

Rn?k?n?1?(?1)?n?1?k?1uk?un?1。

?11；（2）?(?1)n?1； n?1(2n?1)!n?1例：判別下列級數(shù)的收斂性：（1）

?(?1)?n?1（3）

二 絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì) 若級數(shù)

?(?1)n?1n?1n。n10?un各項絕對值所組成的級數(shù)

?un收斂，則稱原級數(shù)

?un絕對收斂。

定理12-3-2 絕對收斂的級數(shù)一定收斂。

證明：由絕對收斂的定義及級數(shù)收斂的柯西準則即可得。

說明：對于級數(shù)是否絕對收斂，可用正項級數(shù)的各判別法進行判別。例1 對任何實數(shù)?，級數(shù) ?n?1??nn!n是絕對收斂的。

若級數(shù)??un收斂，但級數(shù)n?1?u發(fā)散，則稱級數(shù)

?un條件收斂。

如：?(?1)n?1??11n?1n?1n是條件收斂的；?(?1)和?(?1)是絕對收斂的。nn?1(2n?1)!n?110n?1全體收斂的級數(shù)可分為絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)兩大類。

絕對收斂的級數(shù)有以下性質(zhì)： 1． 級數(shù)的重排 定理12-3-

3設(shè)級數(shù)?un絕對收斂，且其和等于S，則任意重排后所得到的級數(shù)也絕對收斂，且其和也不變。注意：（1）由條件收斂的級數(shù)重排后所得到的級數(shù)，不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂于原來的和數(shù)。

（2）條件收斂的級數(shù)適當重排后，可得到發(fā)散級數(shù)，或收斂于事先指定的任何數(shù)。如：設(shè) ?(?1)n?1n?1?11111111?1??????????A，n23456781?1111An?1

1則

?(?1)???????，2n?1n24682 而 ?(?1)n?1?n?11111113A11?，??(?1)n?1?1????????n325742n2n?1《數(shù)學分析》教案

它正是第1個級數(shù)的重排。2．級數(shù)的乘積 設(shè)有收斂級數(shù)

?u?vn?u1?u2???un???A，（1）?v1?v2???vn???B。

（2）n它們每一項所有可能的乘積為：

u1v1

u1vu1v3

?

u1vn

?

u2v1

u2v2

u2v3

?

u2vn

?

u3v1

u3v2

u3v3

?

u3vn

?

（3）

?

?

?

?

?

?

unv1

unv2

unv3

?

unvn

?

?

?

?

?

?

?

定理12-3-4（柯西定理）若級數(shù)（1）、（2）都絕對收斂，則對（3）中所有乘積uivj按任意順序排列所得到的級數(shù)例2 等比級數(shù)

?wn也絕對收斂，且和等于AB。

12n=1?r?r???r??，r?1 1?r是絕對收斂的，將（?rn2)按（15）的順序排列。則得到

1222nn1?(r?r)?(r?r?r)???(r???r)?? =2???????(1?r)n?1個2n

=1?2r?3r???(n?1)r??.注：（3）中所有乘積uivj可以按各種方法排成不同的級數(shù)，常用的有按正方形順序：

u1v1?u1v2?u2v2?u2v1?u2v3?u2v3?u3v3?u3v2?u3v1??； 或?qū)蔷€順序：

u1v1?u1v2?u2v1?u1v3?u2v2?u3v1??。

三

阿貝耳判別法和狄利克雷判別法

本段介紹兩個判別一般項級數(shù)收斂性的方法，先引進一個公式：

引理（分部求和公式，也稱阿貝爾變換）設(shè)?i，vi(i?1,2,?,n)為兩組實數(shù)，若令

?k?v1?v2???vk，(k?1,2,?,n)

則有下列求和公式成立：

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??vi?1nii?(?1??2)?1?(?2??3)?2???(?n?1??n)?n?1??n?n。

證明：直接計算可得。

推論（阿貝爾引理）若（1）?1,?2,?,?n單調(diào)數(shù)組；

（2）對任一正整數(shù)k(1?k?n)有?k?v1?v2???vk?A，記

{?k}，則有

??maxk

??k?1nkkv?3?A。

證明：由阿貝爾引理即可得。

定理12-3-

5（阿貝爾判別法）若{an}為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)

?bn收斂，則級數(shù)

?abnn?a1b1?a2b2???anbn??

收斂。

證明：由阿貝爾引理及柯西準則即可得。如：由此判別法可知，當級數(shù)?u?n收斂時，級數(shù)

收斂。un?np(p?0)，unn?1

定理12-3-6（狄利克雷判別法）若{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，且liman?0，又級數(shù)

n???bn的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)

?abnn?a1b1?a2b2???anbn??

收斂。

證明：同定理12-3-5。

例3 若數(shù)列{an}為單調(diào)遞減，且liman?0，則級數(shù)

n??

?ansinnx，?ancosnx

對任何x?(0,2?)都收斂。

解：由狄利克雷判別法即得。

本章基本概念：

級數(shù)，正項級數(shù)，任意項級數(shù)，交錯級數(shù)，絕對和條件收斂

本章思考題:

1、如何理解級數(shù)與數(shù)列斂散性之間的關(guān)系？

2、各種判別法的應(yīng)用條件和適用性是什么？

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3、怎樣理解級數(shù)理論的思想和實踐應(yīng)用？

P24

1、（1）—（4）

第二篇：數(shù)學分析 數(shù)項級數(shù)

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第十二章 數(shù)項級數(shù)

教學目的：1.明確認識級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具；2.明確認識無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性。

教學重點難點：本章的重點是級數(shù)斂散性的概念和正項級數(shù)斂散性的判別；難點是一般級數(shù)斂散性的判別法。

教學時數(shù)：18學時

§ 1 級數(shù)的收斂性

一． 概念 ：

1． 級數(shù) ：級數(shù)，無窮級數(shù);通項(一般項 , 第 項), 前

項部分和等概念(與中學的有關(guān)概念聯(lián)系).級數(shù)常簡記為

.2.級數(shù)的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想.以在中學學過的無窮等比級數(shù)為藍本 , 定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念.例1 討論幾何級數(shù) 的斂散性.（這是一個重要例題！）

解 時,.級數(shù)收斂;時, 級數(shù)發(fā)散;

《數(shù)學分析》教案

解

3.級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 :

對應(yīng)部分和數(shù)列{

}，收斂

{

}收斂;，.級數(shù)發(fā)散.對每個數(shù)列{ 于是,數(shù)列{}, 對應(yīng)級數(shù) , 對該級數(shù), 有 收斂.=

.}收斂

級數(shù)

可見 , 級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式.4.級數(shù)與無窮積分的關(guān)系 : , 其中.無窮積分可化為級數(shù);對每個級數(shù), 定義函數(shù) , 易見有

=.即級數(shù)可化為無窮積分.綜上所述 , 級數(shù)和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結(jié)果.可以用其中的一個研究另一個.二.級數(shù)收斂的充要條件 —— Cauchy準則 ：把部分和數(shù)列{

}收斂的Cauchy準則翻譯成級數(shù)的語言，就得到級數(shù)收斂的Cauchy準則.Th(Cauchy準則)

.收斂

和

N，《數(shù)學分析》教案

性質(zhì)2

和

收斂，收斂, 且有

=

.性質(zhì)3 若級數(shù)變.收斂 , 則任意加括號后所得級數(shù)也收斂 ,且和不

§ 2 正項級數(shù)

一.正項級數(shù)判斂的一般原則 :

1.正項級數(shù) : 2.基本定理 : Th 1 設(shè) 散時, 有.則級數(shù)，收斂

.且當

發(fā)

↗;任意加括號不影響斂散性..(證)3.正項級數(shù)判斂的比較原則 : Th 2 設(shè)則

ⅰ>

收斂，收斂;

和

是兩個正項級數(shù) , 且

時有 ，ⅱ> 發(fā)散，發(fā)散.(ⅱ> 是ⅰ>的逆否命題)例1 考查級數(shù)的斂散性.解 有

即

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ⅱ> 可見

往后遞增 ，.推論(檢比法的極限形式)設(shè)則 ⅰ> < , 散.(證)例4 判斷級數(shù)

為正項級數(shù) , 且 ，.發(fā)

收斂;ⅱ> > 或 = 的斂散性.解 ，收斂

.例5 討論級數(shù)的斂散性.解.因此, 當 , 發(fā)散 時,;時,;時, 級數(shù)成為

2.檢根法(Cauchy 判別法): 也是以幾何級數(shù)作為比較的對象建立的判別法.Th 4 設(shè)為正項級數(shù) , 且

及 , 當

時 ，ⅰ> 若 ，收斂;

《數(shù)學分析》教案

⑴.⑵ 對 , 有

.⑶

;特別地 , 有

,.⑷ 時 , 有.⑸.⑹

充分大時 , 有

.例1 判斷級數(shù)

的斂散性.解 時, ,(或).例2 判斷級數(shù)的斂散性 , 其中.解 時 , 有

收斂

;時 ，發(fā)散

.例3 設(shè)數(shù)列

有界.證明

.《數(shù)學分析》教案

二.利用同階或等價無窮小判斂 :

例8 判斷下列級數(shù)的斂散性: ⑴;⑵

;⑶

;⑷

;⑸

.例9 判斷下列級數(shù)的斂散性: ⑴

;⑵

.三． 利用級數(shù)判斂求極限 ：

原理 : 常用判定級數(shù)

收斂的方法證明

或

.例10 證明.例11 證明.例12 設(shè) ↘

.若

收斂，.證 對 , 由

收斂, 有

, 即;，1

絕

《數(shù)學分析》教案

Th 3 ⅰ> 若

，則，.ⅱ> 若 條件收斂 , 則 ,.證 ⅰ> 由

ⅱ> 反設(shè)不真 , 即.由 =.而

三.級數(shù)乘積簡介:

和

和= , , ⅰ> 成立.中至少有一個收斂 , 不妨設(shè)以及 ,與

和

, 收斂 ，條件收斂矛盾.1.級數(shù)乘積 : 級數(shù)乘積 , Cauchy積.[1] P20—21.2．級數(shù)乘積的Cauchy定理:

四.型如的級數(shù)判斂法：

Th(Abel判別法)設(shè) ⅰ> 級數(shù)則 級數(shù) 收斂.收斂，ⅱ> 數(shù)列

單調(diào)有界.證(用Cauchy收斂準則 , 利用Abel引理估計尾項)設(shè) , 有 , 由

收斂 ，對.于是當

時對

時 , 對 有

.由Cauchy收斂準則 ，收斂.2.Dirichlet判別法:

《數(shù)學分析》教案

，時，.可見 得級數(shù)時, 級數(shù)的部分和有界.由Dirichlet判別法推

收斂.收斂.同理可得級數(shù)數(shù)

習題 課

例1 判斷級數(shù)的斂散性.解 注意到 亦可)., 所論級數(shù)絕對收斂 , 故收斂.(用D-判法 例2 考查級數(shù) 的絕對及條件收斂性.解

時為Leibniz型級數(shù), ……, 條件收斂;時 , 絕對收斂.例3 若 斂 ? 解

未必.考查交錯級數(shù)

.交錯級數(shù) 是否必收

.這是交錯級數(shù) , 有

.但該級數(shù)發(fā)散.因為否則應(yīng)有級數(shù)

收斂.《數(shù)學分析》教案

故本題所論級數(shù)發(fā)散.例7 判斷級數(shù)的絕對收斂性.解 由Dirichlet判法,得級數(shù)收斂.但.仿例6 討論,知本題所論級數(shù)條件收斂.例8 設(shè)級數(shù)證 先證數(shù)列收斂.事實上,絕對收斂,收斂.證明級數(shù)

收斂 ,收斂.收斂.令 有 , 則數(shù)列 收斂 ,故有界.設(shè) , 于是由Abel變換, ,(或

而 數(shù)列 和 收斂，數(shù)列 ，部分和數(shù)列

收斂.又

收斂.收斂 , 例9 設(shè)數(shù)列

收斂.收斂 , 級數(shù)

收斂.證明級數(shù)

證 注意到 ，收斂.7，.由

第三篇：2015考研數(shù)學之數(shù)項級數(shù)

2015考研數(shù)學之數(shù)項級數(shù)

數(shù)項級數(shù)是數(shù)一和數(shù)三的考研考點，普明考研數(shù)學崔老師給學員梳理下這部分知識點。

設(shè)?un?是一個數(shù)列，則稱?，簡稱級數(shù)，uuuun?1?2?3?為一個數(shù)項級數(shù)．．．．．．n?1?

或一般項。S稱為級數(shù)的部分和。?u?u?u???uun稱為數(shù)項級數(shù)的通項n123n．．．．．

若其極限值S存在稱級數(shù)收斂，S為該級數(shù)的和；若該極限值不存在，稱級數(shù)發(fā)散。

第四篇：2015考研數(shù)學之數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)

2015考研數(shù)學之數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)

數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)對于判斷級數(shù)是否收斂非常重要，普明考研數(shù)學崔老師給學員梳理下本部分知識點。

??

性質(zhì)1：若級數(shù)?n?1un收斂于S,則級數(shù)?kun也收斂，且其和為kS.n?1

推論：若級數(shù)?ku

n?1?n(k?0)發(fā)散，則?un發(fā)散。n?1

??

性質(zhì)2：若級數(shù)??

n?1un和??n分別收斂于S和?,則級數(shù)?(un??n)也收斂，且收斂于n?1?n?1

S??.注1：若級數(shù)?

???n?1un收斂、??n?1vn 發(fā)散，則必有級數(shù)?(un?1?n?vn)發(fā)散。

注2：若級數(shù)

n?1un與??n?1vn都發(fā)散，則級數(shù)?(un?1?n?vn)可能收斂也可能發(fā)散。

性質(zhì)3：在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項、不會改變級數(shù)的收斂性。

?

性質(zhì)4：如果級數(shù)?un收斂，則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)

n?1

(u??u)?(u??u)??(u??u)? 1nnnn?1n11?12k?1k

仍收斂，且其和不變。

?

性質(zhì)5（：級數(shù)收斂的必要條件）如果級數(shù)?un收斂，則它的一般項un趨于零，即limun?0.n??n?1

第五篇：數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十二章 數(shù)項級數(shù)

《數(shù)學分析》教案

第十二章 數(shù)項級數(shù)

教學目的：1.明確認識級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具；2.明確認識無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性。

教學重點難點：本章的重點是級數(shù)斂散性的概念和正項級數(shù)斂散性的判別；難點是一般級數(shù)斂散性的判別法。

教學時數(shù)：18學時

§ 1 級數(shù)的收斂性

一． 概念 ：

1． 級數(shù) ：級數(shù)，無窮級數(shù);通項(一般項 , 第 項), 前 項部分和等概念(與中學的有關(guān)概念聯(lián)系).級數(shù)常簡記為

.2.級數(shù)的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想.以在中學學過的無窮等比級數(shù)為藍本 , 定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念.例1 討論幾何級數(shù) 的斂散性.（這是一個重要例題?。?/p>

解 時,.級數(shù)收斂;時, 級數(shù)發(fā)散;時, ，《數(shù)學分析》教案

3.級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 :

對應(yīng)部分和數(shù)列{

}，收斂

{

}收斂;對每個數(shù)列{ 于是,數(shù)列{ }, 對應(yīng)級數(shù) , 對該級數(shù), 有 收斂.=

.}收斂

級數(shù)

可見 , 級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式.4.級數(shù)與無窮積分的關(guān)系 : , 其中.無窮積分可化為級數(shù);對每個級數(shù), 定義函數(shù) , 易見有

=.即級數(shù)可化為無窮積分.綜上所述 , 級數(shù)和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結(jié)果.可以用其中的一個研究另一個.二.級數(shù)收斂的充要條件 —— Cauchy準則 ：把部分和數(shù)列{

}收斂的Cauchy準則翻譯成級數(shù)的語言，就得到級數(shù)收斂的Cauchy準則.Th(Cauchy準則)

.收斂

和

N, 由該定理可見, 去掉或添加上或改變(包括交換次序)級數(shù)的有限項 , 不會影響級數(shù)的斂散性.但在收斂時 , 級數(shù)的和將改變.去掉前

項的級數(shù)表為 或

.《數(shù)學分析》教案

性質(zhì)2

和

收斂，收斂, 且有

=

、.問題 :、三者之間斂散性的關(guān)系.收斂 , 則任意加括號后所得級數(shù)也收斂 ,且和不變.(收斂數(shù)列滿足結(jié)合律)性質(zhì)3 若級數(shù) 例8 考查級數(shù) 該例的結(jié)果說明什么問題 ?

從開頭每兩項加括號后所得級數(shù)的斂散性.§ 2 正項級數(shù)

一.正項級數(shù)判斂的一般原則 :

1.正項級數(shù) : 2.基本定理 : Th 1 設(shè) 散時, 有.則級數(shù)，收斂

.且當

發(fā)

↗;任意加括號不影響斂散性..(證)正項級數(shù)斂散性的記法.3.正項級數(shù)判斂的比較原則 : Th 2 設(shè)則

ⅰ>

< ，<

;

和

是兩個正項級數(shù) , 且

時有 ，= ⅱ>

= ，

及 時

《數(shù)學分析》教案

ⅰ> 若 ，<

;ⅱ> 若 ，=

.證 ⅰ> 不妨設(shè) 時就有

成立 , 有

依次相乘 , , 即

.由 , 得 ，<

.ⅱ> 可見

往后遞增 ，.推論(檢比法的極限形式)設(shè)則 ⅰ> < , =

<

為正項級數(shù) , 且 ，.;ⅱ> > 或 =

.(證)註 倘用檢比法判得

= , 則有.檢比法適用于 和 有相同因子的級數(shù),特別是

中含有因子

者.例4 判斷級數(shù) 的斂散性.《數(shù)學分析》教案

檢根法適用于通項中含有與 有關(guān)的指數(shù)者.檢根法優(yōu)于檢比法.例7 研究級數(shù) 的斂散性.解 ，.例8 判斷級數(shù)

和 的斂散性.解 前者通項不趨于零 , 后者用檢根法判得其收斂.3． 積分判別法 ：

Th 5 設(shè)在區(qū)間 積分

上函數(shù)

且↘.則正項級數(shù)

與

共斂散.證 對

且

.例9 討論 級數(shù)的斂散性.解 考慮函數(shù)

積分當

時收斂 ,時收斂 , 時發(fā)散.0時

在區(qū)間 時發(fā)散.上非負遞減.級數(shù)

當

時, , 級數(shù)發(fā)散.《數(shù)學分析》教案

解 時, ,(或).……

例2 判斷級數(shù)的斂散性 , 其中.解 時 , 有;時 ，.例3 設(shè)數(shù)列

有界.證明

.證 設(shè)

.例4 設(shè) 且數(shù)列

有正下界.證明級數(shù)

.證 設(shè)

.例5.若, 則

.證;又

.例6 設(shè) 例7 設(shè)

.若級數(shù)和

收斂 ,則級數(shù)

收斂..證明

《數(shù)學分析》教案

有效的方法是利用等價無窮小判別法.例10

設(shè)函數(shù) 證明:

在點

有連續(xù)的二階導數(shù), 且

.試

⑴

若 , 則級數(shù) 發(fā)散.⑵

若 , 則級數(shù) 收斂.（2002年西北師大碩士研究生入學試題）

解 把函數(shù) 公式, 有間.在點

展開成帶二階Lagrange型余項的Maclaurin, 介于 與 之

⑴

若 數(shù).有 ,則當 充分大時

不變號, 可認為

是同號級 ∽ , 發(fā)散.⑵

若 內(nèi)有界, 設(shè) 注意到 在點

連續(xù)，在點 的某鄰域, 有 |

|=

., 收斂.3

《數(shù)學分析》教案

一.交錯級數(shù) : 交錯級數(shù) , Leibniz型級數(shù).Th 1(Leibniz)Leibniz型級數(shù)必收斂 , 且余和的符號與余和首項相同 , 并有

.證(證明部分和序列 的兩個子列 和

收斂于同一極限.為此先證明 遞增有界.)

, ↗;又 , 即數(shù)列

有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列

收斂.設(shè)

...由證明數(shù)列

有界性可見 ,.余和

亦為型級數(shù)，余和 與 同號, 且

.例1 判別級數(shù)的斂散性.解 時 , 由Leibniz判別法, 收斂;時, 項 , 發(fā)散.二.絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì) :

《數(shù)學分析》教案

ⅱ> 反設(shè)不真 , 即.由 =.而

和= ，中至少有一個收斂 , 不妨設(shè)以及 ,與

和

, 收斂 ，條件收斂矛盾.⑶ 絕對收斂級數(shù)的可重排性: 更序級數(shù)的概念.Th 4 設(shè)且= 是.的一個更序.若, 則，證 ⅰ> 若 互相控制.于是 ,，則

，和

是正項級數(shù) , 且它們的部分和可以, 且和相等.ⅱ> 對于一般的

.正項級數(shù)由 , =.和 , =

分別是正項級數(shù)和 = , 和

= 的更序., 據(jù)Th 1 , , 且有

收斂.由上述ⅰ>所證 , 有，= , 由該定理可見 , 絕對收斂級數(shù)滿足加法交換律.是否只有絕對收斂級數(shù)才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的.Th 5(Riemann)若級數(shù)), 存在級數(shù) 的更序

條件收斂 , 則對任意實數(shù)(甚至是 , 使得

=.證 以Leibniz級數(shù)

為樣本 , 對照給出該定理的證明.關(guān)于無窮和的交換律 , 有如下結(jié)果:

《數(shù)學分析》教案

.證 注意到 , 有

.分部求和公式是離散情況下的分部積分公式.事實上 ，.可見Abel變換式中的

相當于上式中的, 而差 相當于 , 和式相當于積分.引理2(Abel)設(shè)有，則、和

如引理1.若

.單調(diào) , 又對 ,證 不妨設(shè) ↘.9

《數(shù)學分析》教案

不妨設(shè) ↘0 ，對

.此時就有

.由Cauchy收斂準則 , 收斂.取 ↘0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯級數(shù)

收斂.可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例.由Dirichlet判別法可導出 Abel判別法.事實上 , 由數(shù)列 界 , 收斂 , 設(shè)

單調(diào)趨于零 , 斂, 級數(shù)

↘0.證明級數(shù)

有界，級數(shù)

.考慮級數(shù)

收斂 , 又級數(shù)

單調(diào)有, 收

收斂.例4 設(shè) 收斂.和

對

證

，時，.可見 得級數(shù)時, 級數(shù)的部分和有界.由Dirichlet判別法推

收斂.收斂.同理可得級數(shù)數(shù)

《數(shù)學分析》教案 的斂散性.解 從首項開始,順次把兩項括在一起, 注意到

以及 級數(shù)

例5 設(shè)級數(shù)

收斂.證明級數(shù)

收斂.，所論級數(shù)發(fā)散., 證.由Abel或Dirichlet判法, 收斂.例6 , 判斷級數(shù)的斂散性.解., 現(xiàn)證 級數(shù)

收斂 : 因

時不

, 又 ↘ , 由Dirichlet判法，級數(shù)

收斂.故本題所論級數(shù)發(fā)散.例7 判斷級數(shù)的絕對收斂性.解 由Dirichlet判法,得級數(shù)收斂.但.仿例6 討論,知本題所論級數(shù)條件收斂.3

《數(shù)學分析》教案

證法二 ，收斂.↘ ，.由Dirichlet判法，5-