第一篇：高數(shù)級數(shù)的教案

第75、76課時：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念； 2．熟練掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 2．掌握幾何級數(shù)收斂與發(fā)散的條件。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1、常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及幾何級數(shù)；

2、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

【教學(xué)難點(diǎn)】

級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

§12? 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

1．常數(shù)項級數(shù)的定義

給定一個數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?叫做常數(shù)項)無窮級數(shù)? 簡稱常數(shù)項)級數(shù)? 記為?un? 即

n?1??

n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項?

2．級數(shù)的部分和? 作級數(shù)?un的前n項和sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

n?1i?1?n稱為級數(shù)?un的部分和?

n?1??

3． 級數(shù)斂散性定義? 如果級數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s? 即limsn?s?

n?1n??則稱無窮級數(shù)?un收斂? 這時極限s叫做這級數(shù)的和?

n?1?并寫成

s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}沒有極限? 則稱無窮級數(shù)?un發(fā)散?

n?1?

余項? 當(dāng)級數(shù)?un收斂時? 其部分和s n是級數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

n?1n?1??

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 叫做級數(shù)?un的余項?

n?1?

例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ? ?的斂散性? 其中a?0? q叫做級數(shù)的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時? 因為limsn?? 所以此時級數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0?

當(dāng)|q|>1時? 因為limsn??? 所以此時級數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時? sn ?na??? 因此級數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0??

當(dāng)q??1時? 級數(shù)?aqn成為

n?0

a?a?a?a? ? ? ??

當(dāng)|q|?1時? 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時級數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a,|q|?1?綜上所述，級數(shù)?aqn??1?q

n?0?|q|?1???提醒學(xué)生一定要熟練記住上述結(jié)論！

例2 證明級數(shù)

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是發(fā)散的?

證 此級數(shù)的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n??n(n?1)?

2顯然? limsn??? 因此所給級數(shù)是發(fā)散的?

例3 判別無窮級數(shù)

的收斂性?

提示? un?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)1?1?1?

n(n?1)nn?

1二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 如果級數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)?kun也n?1n?1??收斂? 且其和為ks?

性質(zhì)2 如果級數(shù)?un收斂于和s? 則級數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?

n?1n?1????

性質(zhì)3 如果?un?s? 則?kun?ks?

n?1n?1???

性質(zhì)4 如果級數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1s???

性質(zhì)5 如果?un?s、?vn??? 則?(un?vn)?s???

n?1n?1n?1???

性質(zhì)6

在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項? 不會改變級數(shù)的收斂性?

比如? 級數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級數(shù)10000?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)7 如果級數(shù)?un收斂? 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂? 且其和n?1不變?

應(yīng)注意的問題? 如果加括號后所成的級數(shù)收斂? 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂?

例如? 級數(shù)

（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散? 則原來級數(shù)也發(fā)散?

級數(shù)收斂的必要條件?

性質(zhì)8 如果?un收斂? 則它的一般項un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

應(yīng)注意的問題? 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件?

例

4證明調(diào)和級數(shù)

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是發(fā)散的? ?111調(diào)和級數(shù)的斂散性也必須要記熟！

證： 假若級數(shù)?1收斂且其和為s? s是它的部分和?

nnn?1n??n???顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??

但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n21必定發(fā)散?

n?1n?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說明級數(shù)?n??小結(jié)

1.常數(shù)項級數(shù)及其斂散性的概念； 2.常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意常數(shù)項級數(shù)的概念以及重要性質(zhì)，要結(jié)合實例，反復(fù)講解，尤其要熟練的記住等比級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的斂散性。

師生活動設(shè)計P255:3（2）4（1）（2）（3）作業(yè) P255: 3(3)；4(4),(5)

第77、78、79、80、81、82課時：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．熟練掌握正項級數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級數(shù)收斂與發(fā)散的條件。2．熟練掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。3．理解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，記住絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1．正項級數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級數(shù)收斂與發(fā)散的條件；

2．交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；3.任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂 【教學(xué)難點(diǎn)】

1、比較判別法的極限形式；

2、任意項級數(shù)斂散性的判別。

第二篇：高數(shù)1.3教案

§１.３ 數(shù)列的極限

函數(shù)研究兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，而極限則是研究自變量變化時，因變量的變化趨勢。

一.極限思想―割圓術(shù)：用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積

圓內(nèi)接正六邊形面積記為A1

十二 A2

二十四 A3

6?2n?1 An?n?N?

A1,A2,?,An,?構(gòu)成一列有次序的數(shù)――數(shù)列.n→大，An?A(圓面積)。不論n如何大，只要n取定, An?A.設(shè)想n??，即內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于圓，同時An→確定的數(shù)值（即圓的面積）數(shù)學(xué)上就稱為的極限（n??）。

極限方法是高數(shù)中一個基本方法。

二.數(shù)列的極限定義――xn?f?n?，D為正整數(shù)。

1.第一種定義:當(dāng)項數(shù)n無限增大時，如果xn無限接近于一個確定的常數(shù)a，則稱當(dāng)n無限增大時xn的極限是a.2.“??N”def 當(dāng)???0，不論它多么小，總?N?0,?對于n?N的一切xn，恒有xn?a??成立，則limxn?a.如果數(shù)列沒有極限，就稱是發(fā)散的。

n?? *1.?是任意給定（任意性）

*2.N與?有關(guān)，隨?給定而選定，一般地?越小，N越大，N大到何種程度，取決于使xn?a??成立時xn的項數(shù)n的取值，定義中僅要求N有關(guān)，并不一定要找出最小的自然數(shù)N.*3幾何意義：n?N時，所有的xn都落在?a??,a???內(nèi)，即數(shù)列只有有限個（最多只有N個）在區(qū)間之外。*4利用定義不能直接求極限。

三.極限的證明

1例1 證明lim(1?)?1

n??1?n111?1???，?n??1 證：???0，要使1?1?n1?n?111?1?取N?[?1],則當(dāng)n?N時,有1???, 1?n1?n?1 ∴l(xiāng)im(1?)?1

n??1?n limxn?a的證明步驟：

n?? 1)給定???0

2)要使xn?a??,解出N?N(?)3)取N，即N?.4)當(dāng)n?N時，有xn?a??

5)下結(jié)論。n!例2 證明 limn?0

n??nn!證：???0，要使n?0＜?，nn!nn?111只要n?0＝????

nnnnnn!11取 N?[],則當(dāng)n?N=[]時，有n?0??

n??n!∴l(xiāng)imn?0 n??n 例3 證明.limn???n?1?n?0 n?1?n??

?證：???0，要使只要111???,n?2

4?n?1?n2n1取N?[2]

則當(dāng)n?N時有n?1?n??, 4?∴l(xiāng)imn???n?1?n?0.2n?1? 例4 設(shè)q?1，證明等比數(shù)列1,q,q,?,qn?1,?的極限是0。

?? 證：???0???1?∵xn?0?qln?取自然對數(shù)，解得∴n?1?，lnqln?n?1]，則當(dāng)n?N時有xn?0?q?? 取N?[1?lnq limqn??n?1?0。

四.收斂數(shù)列的性質(zhì)

1.極限的唯一性

定理１ 數(shù)列不能收斂于兩個不同的極限。2.有界性

（1）有界概念：數(shù)列xn，若?M?0，對一切xn有xn?M，稱xn有界。

（2）收斂數(shù)列的有界性

定理2 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。

若xn無界?xn發(fā)散。xn有界，則不一定收斂。

如xn???1?n?1,即?1,1,?1,1,?,??1?n?1,?

∴數(shù)列有界是收斂的必要條件，非充分條件。3.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系

子數(shù)列：在數(shù)列?xn?中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的次序，得到的一個數(shù)列為原數(shù)列?xn?的子數(shù)列。xn

k定理3 若?xn?收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

一個發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列。?

小結(jié)：本節(jié)介紹了數(shù)列極限的定義，理解利用定義證明數(shù)列的極限，知道收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。

??

第三篇：高數(shù)1.1教案

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的 1。正確理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式； 2． 正確理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念； 4． 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。教學(xué)重點(diǎn) 分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn) 有界性，初等函數(shù)的判斷。教學(xué)內(nèi)容： 前言

名稱：高等數(shù)學(xué)

教學(xué)過程一學(xué)年

主要內(nèi)容：一元、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、矢量代數(shù)、空間解析幾何、無窮級數(shù)和微分方程。教學(xué)目的：掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識，基本理論，基本計算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，辯證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下一定的基礎(chǔ)，還要為學(xué)習(xí)專業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??}

2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運(yùn)算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B}

C全集I、E

補(bǔ)集A：

集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)

分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)對偶律

(A?B)c?Ac?Bc

(A?B)c?Ac?Bc 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)

閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b???a,b?

有限、無限區(qū)間

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射

1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x),x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

?13)符號函數(shù) y??x?0?0 ??1x?0?

4)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）5)分段函數(shù) y??x?0?2x?1?x0?x?1x?1

2、函數(shù)的幾種特性

1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大小（注：與區(qū)間有關(guān)）

3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的反函數(shù)

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域為D1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運(yùn)算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)

5、初等函數(shù)：

1)冪函數(shù)：y?x

2)指數(shù)函數(shù)：y?a

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

y?sin(x),y

5)反三角函數(shù)

ax?cos(x),y?tan(x),y?cot(x)

y?arcsin(x)，y?arccox)s(y?arctan(x)y?arccot(x)

以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

ex?e?xex?e?x??

shx

chx

22shxex?e?xthx??xchxe?e?x

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：

y?archx y?arthx

第四篇：高數(shù)1.3教案

高

等

數(shù)

學(xué)

第三次課

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極限，無窮小，無窮大 教學(xué)目的：（1）正確了解函數(shù)極限的概念，了解用???（x?x0)與??X（x??)語言驗證函數(shù)極限的步驟。

（2）了解無窮小概念及其與函數(shù)極限的關(guān)系

（3）了解無窮小與無窮大的關(guān)系，函數(shù)的左右極限與函數(shù)極限的關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義、無窮小的概念 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)關(guān)鍵：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)過程：

一、由數(shù)列極限引入函數(shù)極限

根據(jù)自變量情況的不同，函數(shù)的極限分為兩類：

（x??)（1）自變量趨于無窮大的函數(shù)的極限（2）自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

二、定義

1、自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?（無論多么?。偞嬖谡龜?shù)?，使得當(dāng)x滿足不等式0?|x?x0|??時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)（x?x0)時的極限，記做x?x0limf(x)?A或f(x)?A（當(dāng)x?x0)

說明：

1、對于給定的??0，?不唯一

2、f(x)在x0有無極限與有無定義無關(guān)

（2x?3)?5 例

1、limx?1證明：???0,要使|2x?3?5|??,?|2x?3?5|?2|x?1|，?只要2|x?1|??,即|x?1|?例

2、證明極限limx?4

x?22?2，????0,取???2當(dāng)0?|x?1|??時有|2x?3?5|??，得證。

證明：??0,要使|x?4|?? 2考慮x?2時x2的變化趨勢，故不妨設(shè)1

??只要5|x?2|??,即|x?2〈|

5?????0,取??min{1,},當(dāng)0?|x?2|??時，有|x2?4|???得證

5左極限與右極限

（1）當(dāng)x從x0的左邊趨于x0時，f(x)?A，則稱A為f(x)當(dāng) x?x0的左極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

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2013-4-11 徐屹

高

等

數(shù)

學(xué)

（2）當(dāng)x從x0的右邊趨于x0時，f(x)?A，則稱A為f(x)當(dāng) x?x0的右極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

x?x0?f(x0?0)?A 結(jié)論：limf(x0)?A?f(x0?0）（x??)

2、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限x??的三種情況：x???

（x?0）

x???

（x?0）

x??

（|x|??)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?（無論它多?。?，總存在著正數(shù)X，使得當(dāng) x滿足不等式|x|>X時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x??時的極限，記作

limf(x)?A，或f(x)?A（當(dāng)x??)

x??定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?（無論它多小），總存在著正數(shù)X，使得當(dāng) x滿足不等式x>X時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x???時的極限，記作

x???limf(x)?A，或f(x)?A（當(dāng)x???)

說明：類似可以定義函數(shù)的左極限

sinx?0

x??xsinxsinxsinx1?0|??，?|?0|?||?證明：???0,要使| xxx|x|11?只要??,即|x|?

|x|?1sinx????0,取X?當(dāng)|x|?X時有，|?0|?? 所以得證

?x例：利用極限定義證明lim

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、（唯一性）如果limf(x)存在，則此極限唯一。

x?x02、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常數(shù)M>0,和??0，使得當(dāng)0?|x?x0|??時有x?x0|f(x)|?M

證明：因為limf(x)=A，所以取x?x0??1，則???0,當(dāng)0?|x?x0|??時，有|f(x)?A|?1?|f(x)|?|f(x)?A|?|A|?|A|?1 記M=|A|?1，則得證

3、（局部保號性）如果limf(x)=A而且A>0（或A<0）,那么存在常數(shù)??0，使得當(dāng)

x?x00?|x?x0|??時，有f(x)>0(或f(x)?0)徐屹

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2013-4-11

高

等

數(shù)

學(xué)

說明：由此定理可以得到更強(qiáng)的結(jié)論：

如果limf(x)=A（A?0），那么就存在著x0的某一去心鄰域U(x0)，當(dāng)x?U(x0)時，就有x?x0oo|A| 20f(x)?0），而且limf(x)?A，推論：如果x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)?（或那么A?0或（A?0）|f(x)|?x?x0函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：如果limf(x)存在，{xn}為函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)x?x0列，且滿足：x?x0(n?N?)，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}必收斂，且limf(xn)?limf(x)

n??x?x0證明：設(shè)limf(x)=A，則???0,???0,當(dāng)0?|x?x0|??時有，|f(x)?A|

n??由假設(shè)，xn?x0,。故當(dāng)n?N時，0?|x?x0|??，從而|f(xn)?A|??，即limf(xn)?A

n??

四、無窮小與無窮大

1、無窮?。喝绻瘮?shù)f(x)當(dāng)x?x0或（x??)時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x)時的無窮小。0或（x??如x?0時：x2,sinx,tgx,1?cosx為無窮小 如x??時，,e1x?x2為無窮小

說明：1任何一個非零常數(shù)都不是無窮小量

2一個函數(shù)是否為無窮小量，與自變量的變化趨勢有關(guān)

定理

1、在自變量的同一變化過程x?x0或（x??)中，函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+?，其中?是無窮小。

2、無窮大

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域有定義（或|x|大于某一正數(shù)時有定義）。如果對于任意給定的正數(shù)M，總存在正數(shù)?（或正數(shù)X），只要x適合不等式0?|x?x0|??（或|x|?X），對應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式|f(x)|?M，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0(或x??)時的無窮大。注意：無窮大與很大數(shù)的區(qū)別

3、無窮小與無窮大的關(guān)系

定理：在同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1為無窮?。悍粗?，如果f(x)為無窮小，且f(x)f(x)?0，則1為無窮大 f(x)2例：當(dāng)x?0時，x?5為無窮小，1為無窮大。2x?5說明：此定理只使用于同一變化過程。

徐屹 第 3 頁 2013-4-11

第五篇：高數(shù)論文

高數(shù)求極限方法小結(jié)

高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科。在從初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到高等數(shù)學(xué)這種對動態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過程中,研究對象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下,極限作為一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)運(yùn)而生。極限，在學(xué)習(xí)高數(shù)中具有至關(guān)重要的作用。眾所周知,高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是微積分,而極限又是微積分的基礎(chǔ),我們不難從此看出極限與高等數(shù)學(xué)之間的相關(guān)性。同時根限又將高等數(shù)學(xué)各重要內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)一,在高等數(shù)學(xué)中起到了十分重要的作用。極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的概念之一。作為研究分析方法的重要理論基礎(chǔ),它是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定積分的工具,極限的思想和方法也是微積分中的關(guān)鍵內(nèi)容。在理解的基礎(chǔ)上,熟練掌握求極限的方法,能夠提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力。下面，我總結(jié)了一些求極限的方法：

一、幾種常見的求極限方法

1、帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：

1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式。

2、分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：

分子分母同時除以該無窮大量以湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列求極限：用求和公式。

4、分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項的和求極限：列項求和。

5、分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限:看未知數(shù)的次冪，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6、利用等價無窮小代換： 這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：（1）有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小。

（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。（3）非零無窮小與無窮大互為倒數(shù)。（等價無窮小代換（當(dāng)求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮代替。）（5）只能在乘除時使用，但并不是在加減時一定不能用，但是前提必須證明拆開時極限依然存在。）還有就是，一些常用的等價無窮小換

7、洛必達(dá)法則：（大題目有時會有提示要你使用這個法則）

首先它的使用有嚴(yán)格的前提?。。?！

1、必須是X趨近而不是N趨近！?。。ㄋ援?dāng)求數(shù)列極限時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的極限，當(dāng)然，n趨近是x趨近的一種情況而已。還有一點(diǎn)，數(shù)列的n趨近只可能是趨近于正無窮，不可能是負(fù)無窮）

2、必須是函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在！?。。偃绺嬖V你g（x），但沒告訴你其導(dǎo)數(shù)存在，直接用勢必會得出錯誤的結(jié)果。）

3、必須是0/0型或無窮比無窮型?。?！當(dāng)然，還要注意分母不能為零。洛必達(dá)法則分為三種情況： 1、0/0型或無窮比無窮時候直接用 2、0乘以無窮

無窮減無窮（應(yīng)為無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系）所以，無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后就能變成1中的形式了。3、0的0次方

1的無窮次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還是對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來，就是寫成0與無窮的形式了。

（這就是為什么只有三種形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的時候，尤其是含有正余弦的加減的時候，特別要注意?。。。?/p>

E的x展開 sina展開 cosa展開 ln（1+x）展開 對題目簡化有很大幫助

泰勒中值定理：如果函數(shù)f（x）在含有n的某個區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對任意x屬于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。這里的 ke see 是介于x與x0之間的某個值。

9、夾逼定理

這個主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，主要看見極限中的通項是方式和的形式，對之縮小或擴(kuò)大。

10、無窮小與有界函數(shù)的處理方法

面對復(fù)雜函數(shù)的時候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定注意用這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道他的范圍結(jié)果就出來了?。?！

11、等比等差數(shù)列公式的應(yīng)用（主要對付數(shù)列極限）

（q絕對值要小于1）

12、根號套根號型：約分，注意?。e約錯了

13、各項拆分相加：（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。

14、利用兩個重要極限

這兩個極限很重要。。對第一個而言是當(dāng)X趨近于0的時候sinx比上x的值，第二個x趨近于無窮大或無窮小都有對應(yīng)的形式

15、利用極限的四則運(yùn)算法則來求極限

16、求數(shù)列極限的時候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分來求。

17、利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限

（1）、單調(diào)有界數(shù)列必有極限

（2）、單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。

18、直接使用1求導(dǎo)的定義求極限

當(dāng)題目中告訴你F（0）=0，且F（x）的導(dǎo)數(shù)為0時，就暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)的定義：、（1）、設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x在x0處取得增量的他x 時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y與 的他x之比的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在x0處可導(dǎo)并稱這個極限為這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）、在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

19、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求解

數(shù)列極限中是n趨近，面對數(shù)列極限時，先要轉(zhuǎn)化為x趨近的情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種形式而已，是必要條件。（還有數(shù)列的n當(dāng)然是趨近于正無窮的）