第一篇：平方差公式練習題精選(含答案)教案

平方差公式

1、利用平方差公式計算：

（1）(m+2)(m-2)

(2)(1+3a)(1-3a)

(3)(x+5y)(x-5y)

(4)(y+3z)(y-3z)

2、利用平方差公式計算

（1）(5+6x)(5-6x)

(2)(x-2y)(x+2y)

(3)(-m+n)(-m-n)

3利用平方差公式計算

11（1）(1)(-x-y)(-x+y)44

(2)(ab+8)(ab-8)

(3)(m+n)(m-n)+3n2

4、利用平方差公式計算(1)(a+2)(a-2)

(2)(3a+2b)(3a-2b)

(3)(-x+1)(-x-1)

(4)(-4k+3)(-4k-3)

5、利用平方差公式計算

（1）803×797

（2）398×40

27．下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是（）

A．（a+b）（b+a）

B．（－a+b）（a－b）

1C．（a+b）（b－a）

D．（a2－b）（b2+a）

338．下列計算中，錯誤的有（）

①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個 9．若x2－y2=30，且x－y=－5，則x+y的值是（）

A．5

B．6

C．－6

D．－5 10．（－2x+y）（－2x－y）=______． 11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．

12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．

13．兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_____．

14．計算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

完全平方公式

1利用完全平方公式計算： 12（1）（x+y)2

(2)(-2m+5n)2

(3)（2a+5b)2

2利用完全平方公式計算：

12（1）(x-y2)2

31(3)(-a+5b)2

2(4)(4p-2q)2(2)(1.2m-3n)2

(4)(-

322x-y)43(1)(3x-2y)2+(3x+2y)2

(2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2

(a+b)2-(a-b)2

(4)(a+b-c)2

(5)(x-y+z)(x+y+z)

(6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)

4先化簡，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。

5已知x≠0且x+

平方差公式練習題精選(含答案)

一、基礎(chǔ)訓練

1．下列運算中，正確的是（）

A．（a+3）（a-3）=a2-3

B．（3b+2）（3b-2）=3b2-C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2

D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是（）

1A．（x+1）（1+x）

B．（a+b）（b-a）

2C．（-a+b）（a-b）

D．（x2-y）（x+y2）

3．對于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整數(shù)是（）

A．3 B．6 C．10 D．9 4．若（x-5）2=x2+kx+25，則k=（）

A．5 B．-5 C．10 D．-10 5．9.8×10.2=________;

6．a(chǎn)2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．

7．（x-y+z）（x+y+z）=________;8．（a+b+c）2=_______．

119．（x+3）2-（x-3）2=________．

2210．（1）（2a-3b）（2a+3b）；

（2）（-p2+q）（-p2-q）；

（3）（x-2y）2；

（4）（-2x-

11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；

1y）2． 211=5,求x4?4的值.xx

（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．

12．有一塊邊長為m的正方形空地，想在中間位置修一條“十”字型小路，?小路的寬為n，試求剩余的空地面積；用兩種方法表示出來，比較這兩種表示方法，?驗證了什么公式？

二、能力訓練

13．如果x2+4x+k2恰好是另一個整式的平方，那么常數(shù)k的值為（）A．4 B．2 C．-2 D．±2 1114．已知a+=3，則a2+2，則a+的值是（）

aa

A．1

B．7

C．9

D．11 15．若a-b=2，a-c=1，則（2a-b-c）2+（c-a）2的值為（）

A．10

B．9

C．2

D．1 16．│5x-2y│·│2y-5x│的結(jié)果是（）

A．25x2-4y

2B．25x2-20xy+4y2

C．25x2+20xy+4y2

D．-25x2+20xy-4y2 17．若a2+2a=1，則（a+1）2=_________．

三、綜合訓練

18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；

（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？

19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．

參考答案

1．C 點撥：在運用平方差公式寫結(jié)果時，要注意平方后作差，尤其當出現(xiàn)數(shù)與字母乘積的項，系數(shù)不要忘記平方；D項不具有平方差公式的結(jié)構(gòu)，不能用平方差公式，?而應(yīng)是多項式乘多項式．

2．B 點撥：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．

3．C 點撥：利用平方差公式化簡得10（n2-1），故能被10整除． 4．D 點撥：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．

5．99.96 點撥：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96． 6．（-2ab）；2ab 7．x2+z2-y2+2xz

點撥：把（x+z）作為整體，先利用平方差公式，?然后運用完全平方公式． 8．a(chǎn)2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

點撥：把三項中的某兩項看做一個整體，?運用完全平方公式展開．

119．6x 點撥：把（x+3）和（x-3）分別看做兩個整體，運用平方差公式22111111（x+3）2-（x-3）2=（x+3+x-3）[x+3-（x-3）]=x·6=6x． 22222210．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．

點撥：在運用平方差公式時，要注意找準公式中的a，b．

（3）x4-4xy+4y2；

121121

2（4）解法一：（-2x-y）=（-2x）+2·（-2x）·（-y）+（-y）=4x2+2xy+y2．

222411

1解法二：（-2x-y）2=（2x+y）2=4x2+2xy+y2．

4點撥：運用完全平方公式時，要注意中間項的符號．

11．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．

點撥：當出現(xiàn)三個或三個以上多項式相乘時，根據(jù)多項式的結(jié)構(gòu)特征，?先進行恰當?shù)慕M合．

（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]

=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]

=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2

=（y+z）2-（y-z）2

=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]

=2y·2z=4yz．

點撥：此題若用多項式乘多項式法則，會出現(xiàn)18項，書寫會非常繁瑣，認真觀察此式子的特點，恰當選擇公式，會使計算過程簡化．

12．解法一：如圖（1），剩余部分面積=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．

解法二：如圖（2），剩余部分面積=（m-n）2．

∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．

點撥：解法一：是用邊長為m的正方形面積減去兩條小路的面積，注意兩條小路有一個重合的邊長為n的正方形．

解法二：運用運動的方法把兩條小路分別移到邊緣，剩余面積即為邊長為（m-n）?的正方形面積．做此類題要注意數(shù)形結(jié)合．

13．D 點撥：x2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k2=4，k取±2．

1114．B 點撥：a2+2=（a+）2-2=32-2=7．

aa15．A 點撥：（2a-b-c）2+（c-a）2=（a+a-b-c）2+（c-a）2=[（a-b）+（a-c）] 2+（c-a）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．

16．B 點撥：（5x-2y）與（2y-5x）互為相反數(shù)；│5x-2y│·│2y-5x│=（5x-?2y）2?=25x2-20xy+4y2．

17．2 點撥：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a2+2a=1整體代入上式． 18．（1）a2+b2=（a+b）2-2ab．

∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=32-2×2=5．

（2）∵a+b=10，∴（a+b）2=102，a2+2ab+b2=100，∴2ab=100-（a2+b2）．

又∵a2+b2=4，∴2ab=100-4，ab=48．

點撥：上述兩個小題都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）?三者之間的關(guān)系，只要已知其中兩者利用整體代入的方法可求出第三者．

19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，9x2-24x+16>9x2-16，-24x>-32．

x<．

3點撥：先利用完全平方公式，平方差公式分別把不等式兩邊展開，然后移項，合并同類項，解一元一次不等式．

八年級數(shù)學上學期平方差公式同步檢測練習題

1.(2004·青海)下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是()A.(x-y)2=(y-x)2

B.(x+6)(x-6)=x2-6 C.(x+y)2=x2+y2

D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.(2003·泰州)下列運算正確的是()A.x2+x2=2x4

B.a2·a3= a5

C.(-2x2)4=16x6

D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2 3.(2003·河南)下列計算正確的是()A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3 C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2

4.(x+2)(x-2)(x2+4)的計算結(jié)果是()A.x4+16

B.-x4-16

C.x4-16

D.16-x4 5.19922-1991×1993的計算結(jié)果是()A.1

B.-1

C.2

D.-2 6.對于任意的整數(shù)n，能整除代數(shù)式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整數(shù)是()A.4

B.3

C.5

D.2

222427.()(5a+1)=1-25a，(2x-3)=4x-9，(-2a-5b)()=4a-25b 8.99×101=()()=.9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+()][ ]=z2-()2.10.多項式x2+kx+25是另一個多項式的平方，則k=.11.(a+b)2=(a-b)2+，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]()，a2+b2=(a+b)2+，a2+b2=(a-b)2+.12.計算.(1)(a+b)2-(a-b)2；(2)(3x-4y)2-(3x+y)2；

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值

11114.已知a+=4，求a2+2和a4+4的值.aaa215.已知(t+58)=654481，求(t+84)(t+68)的值.16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.18.(2003·鄭州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.19.已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值.參考答案

1.A

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.1-5a

2x+3-2a2+5b

18.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y)x-y 10.±10 11.4ab-2ab

22ab 12.(1)原式=4ab；(2)原式=-30xy+15y；(3)原式=-8x2+99y2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4.(5)原式=-xy-3y2.13.提示：逆向應(yīng)用整式乘法的完全平方公式和平方的非負性.∵m2+n2-6m+10n+34=0，∴(m2-6m+9)+(n2+10n+25)=0，即(m-3)2+(n+5)2=0，由平方的非負性可知，?m?3?0,?m?3, ∴ ∴m+n=3+(-5)=-2.???n?5?0,?n??5.14.提示：應(yīng)用倒數(shù)的乘積為1和整式乘法的完全平方公式.11∵a+=4,∴(a+)2=42.aa111+2=16，即a2+2+2=16.aaa11∴a2+2=14.同理a4+4=194.aa15.提示：應(yīng)用整體的數(shù)學思想方法，把(t2+116t)看作一個整體.∵(t+58)2=654481，∴t2+116t+582=654481.∴t2+116t=654481-582.∴(t+48)(t+68)=(t2+116t)+48×68 =654481-582+48×68 =654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102 =654481-100 =654381.316.x＜

217.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.∴a2+b2+c2-ab-ac-be 1=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)21=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)] 21=[(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2] 21=[(-1)2+(-1)2+22] 21=(1+1+4)2=3.18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，∴(2a+2b)2-1=63，∴(2a+2b)2=64，∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，∴a+b的值為4或一4.19.a2+b2=70，ab=-5.∴a2+2a·

第二篇：平方差公式教案

灰太狼開了租地公司,一天他把一邊長為a米的正方形土地租給懶羊羊種植.有一年,他對懶羊羊說:“我把這塊地的一邊增加5米,另一邊減少5米,繼續(xù)租給你, 你也沒吃虧,你看如何?”懶羊羊一聽覺得沒有吃虧,就答應(yīng)了.同學們,你們覺得懶羊羊有沒有吃虧?

一、知識回顧:

多項式與多項式怎樣相乘的? 和學生拉近距離,引起學生的興趣。

二、自主探究:

1、計算下列多項式的積:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、歸納: 觀察算式結(jié)構(gòu),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? ①算式中每個因式都有 項。

②算式都是兩個數(shù)的 與 的 _____ 的積。即兩個因式中,有一項 ,另一項。計算結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 計算結(jié)果都是前項的 減去后項的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、驗證:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。

四、例題精析

1、判斷下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、參照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、運用平方差公式計算:(1)(2)

4、計算:(1)

(2)

鞏固提升(根據(jù)時間的變化而定)

1、下列多項式乘法中,能用平方差公式計算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、運用平方差公式進行計算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用簡便方法計算下列各題嗎?(1)51×49(2)998×1002 4.判斷對錯,如果有錯,如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小結(jié):平方差公式的特征:(1)左邊是兩個二項式相乘,這兩項中有一項

相同,另一項互為相反數(shù);(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方;(3)先平方,后相減。

公式中的可以表示單項式(數(shù)字,字母), 也可以表示多項式(如x+y)。

六、作業(yè)

教科書156頁-----1 小組交流、討論

讓學生通過計算,觀察每個算式的特點和結(jié)果的特點,挖掘題目之間的共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,猜想公式,從而經(jīng)歷從-般到特殊、從具體到抽象的過程,體會歸納這-數(shù)學思想方法準確地運用數(shù)學語言表述公式以剖析a、b為目的,對于幫助學生認清公式的結(jié)構(gòu)特征起到事半功倍的作用,在接下來的公式運用中,相信學生會更加得心應(yīng)手.嘗試、交流、教師點撥進一步強化學生的知識對學生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進行預(yù)設(shè),防微杜漸.

第三篇：平方差公式教案

《平方差公式》教學設(shè)計

牟平實驗中學 隋玲

一、教材分析

《平方差公式》是在學習了有理數(shù)運算、列簡單的代數(shù)式、一次方程、整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在學生已經(jīng)掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規(guī)律的典型范例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時也為完全平方公式的學習提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學中也具有很重要地位，是初中階段的第一個乘法公式.本節(jié)課的教學重點是：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運用公式進行簡單的運算.二、教學目標 知識與技能目標：

掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進行簡單的運算； 過程與方法目標：

經(jīng)歷平方差公式的探索過程，進一步發(fā)展學生的符號感和推理能力、歸納能力； 情感態(tài)度與價值觀：

會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、教學重點、難點：

本節(jié)課的重點：平方差公式的特點以及會運用公式進行簡單計算。

本節(jié)課的教學難點：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法解釋平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算．

四、教學過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

小明的媽媽領(lǐng)著小明到新房子去，進了客廳，媽媽說：“客廳長6.1米，寬5.9米，能幫我算一下客廳的面積嗎？”小明沒有帶筆和計算器，你能快速幫助小明算出客廳的面積嗎？

設(shè)計意圖：通過出示與實際生活相聯(lián)系的問題，說明數(shù)學來源與生活并服務(wù)與生活，同時引出本節(jié)課的問題，當然這一問題的解決需要本節(jié)課的知識來解決。

問題１：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．

設(shè)計意圖：通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復(fù)習了舊知，又為下面學習習近平方差公式作了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規(guī)律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

問題２：依照以上三道題的計算回答下列問題：

①式子的左邊具有什么共同特征？

②它們的結(jié)果有什么特征？

③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

師生活動：教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出：

．

設(shè)計意圖：在學生已掌握的多項乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理．

（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理

問題3：活動探究：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系

．

設(shè)計意圖：通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．引導學生學會從多角度、多方面來思考問題．對于任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：

（四）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知，驗證了其公式的正確性． 問題4：你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．

設(shè)計意圖：鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的語言組織與表達能力．

（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì) 在平方差公式

中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即

；

②讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式．

設(shè)計意圖：通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式．在認清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果．

（六）鞏固運用，內(nèi)化新知

問題5：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

；

設(shè)計意圖：學生經(jīng)過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件．鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．

問題6：判斷下列計算是否正確：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

（）設(shè)計意圖：對學生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學生對公式的理解，進一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運用平方差公式必須具備的條件．

問題7：計算：

（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9

2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b

設(shè)計意圖：解決操作層面問題．可提議用不同方法計算，以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造性．

（七）拓展引申，發(fā)展思維 問題8：計算：

（1）首先看本節(jié)課的開始題目，你能幫助小明嗎？（2）98×（－102）；（3）

．

設(shè)計意圖：首位呼應(yīng)，運用本節(jié)課的內(nèi)容解決開始的問題；把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進行．

（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我

1．在下列括號中填上合適的多項式：

2．看誰算得快：

設(shè)計意圖：設(shè)計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學生逆向思維能力，也為后續(xù)的學習做了鋪墊．第2個填空題有兩種填法，屬開放設(shè)計．目的是加強學生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學生的發(fā)散思維．

（九）總結(jié)概括，自我評價

問題10：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？ 設(shè)計意圖：從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結(jié)，使學生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認識．

（十）課后作業(yè) 必做題：習題1.選做題：1．2．計算：（1）（2）（3）

；

；

．，則A的末位數(shù)是_______．

設(shè)計意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展．

第四篇：平方差公式教案

公開課教案

課題：平方差公式 授課：張福仁 教學目標：

1、知識與技能目標：會用平方差公式進行多項式乘法運算

2、過程與方法目標：通過問題情境，引導學生自行得出平方差公式，再通過練習鞏固。

3、情感態(tài)度與價值觀目標：通過問題探究，培養(yǎng)學生獨立思考、解決問題能力。教學重點：平方差公式理解、運用 教學難點：平方差公式理解、運用 教學過程

Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境

[師]你能用簡便方法計算下列各題嗎?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比較復(fù)雜,我考慮把它化成整百,整千的運算,從而使運算簡單,2001可以寫成2000+1,1999可以寫成2000-1,那么2001×1999可以看成是多項式的積,根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[師]很好,請同學們自己動手運算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

=10002-22 =1000000-4 =1999996.[師]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差,那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規(guī)律呢?我們繼續(xù)進行探索.Ⅱ.導入新課

計算下列多項式的積.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn).(學生討論,教師引導)[生甲]上面四個算式中每個因式都是兩項.[生乙]我認為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1?這兩個數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個數(shù)的和與差的積.[師]這個發(fā)現(xiàn)很重要,請同學們動筆算一下,相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn).[生]解:(1)(x+1)(x-1)

=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]從剛才的運算我發(fā)現(xiàn): 也就是說,兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差,這和我們前面的簡便運算得出的是同一結(jié)果.[師]能不能再舉例驗證你的發(fā)現(xiàn)? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 這同樣可以驗證:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.[師]為什么會是這樣的呢? [生]因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后,中間兩項是同類項,且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個數(shù)的平方差了.[師]很好.請用一般形式表示上述規(guī)律,并對此規(guī)律進行證明.[生]這個規(guī)律用符號表示為:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù),也可以表示任意的單項式、多項式.利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[師]同學們真不簡單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a-b)=a2-b2起一個名字呢? [生]最終結(jié)果是兩個數(shù)的平方差,叫它“平方差公式”怎樣樣? [師]有道理.這就是我們探究得到的“平方差公式”,?請同學們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式.(出示投影)兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式,用它直接運算會很簡便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用.在應(yīng)用中體會公式特征,感受平方差公式給運算帶來的方便,從而靈活運用平方差公式進行計算

(出示投影片)例1:運用平方差公式計算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:計算:

(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[師生共析]運用平方差公式時要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學會對號入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同樣的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項式的乘法法則.(作如上分析后,學生可以自己完成兩個例題.?也可以通過學生的板演進行評析達到鞏固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么?

[生]我覺得應(yīng)注意以下幾點:(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式.(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式.(3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,?但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式.[生]運算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行.[師]同學們總結(jié)得很好.下面請同學們完成一組闖關(guān)練習.優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言

第五篇：平方差公式電教教案

《運用公式法——平方差公式》 遷安第三初級中學 劉小民

一、背景分析：

蘇霍姆林斯基曾說過：“教師越是能夠運用自如的掌握教材，那么，他的講述就越是情感鮮明，學生聽課，需要花在摳教科書上的時間就越少”。可見，熟悉教材、分析教材、開發(fā)教材資源是制定教法、開展學法指導的主要依據(jù)，是教學設(shè)計、測試、評價的基礎(chǔ)。

分解因式是整式乘法的逆運用，與整式乘法運算有著密切的聯(lián)系。分解因式的變形不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，也為學習分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基礎(chǔ)，對整個教科書也起到了承上啟下的作用。探索分解因式的方法，實際上是對整式乘法的再認識，因此要借助學生已有的整式乘法運算的基礎(chǔ)，給學生創(chuàng)設(shè)一個新的、具有啟發(fā)性的情境，激勵學生通過獨立思考與討論交流發(fā)現(xiàn)問題情境中的變形關(guān)系，并運用數(shù)學符號進行表示，然后再運用所學的知識去解決相關(guān)的問題。同時在這一對比整式的乘法而探索分解因式方法的相關(guān)活動過程中，力圖滲透類比思想，讓學生體會、理解、認識分解因式的意義，感受其間的聯(lián)系，學生不僅能夠理解，歸納分解因式變形的特點，同時也可以充分感受到這種互逆變形的過程和數(shù)學知識的整體性。

二、《運用公式法——平方差公式》是北師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》八年級（下）第二章分解因式的第三節(jié)內(nèi)容。

教學重難點、關(guān)鍵：

1、重點：掌握公式法中的平方差公式進行分解因式。

2、難點：靈活地運用公式法或已學過的提公因式法進行分解因式，正確判斷因式分解的徹底性。

3、關(guān)鍵：把握住分解因式的方法如提公因式、公式法等，在對多項式進行分解因式時，首先應(yīng)考慮提公因式，而且應(yīng)該提取徹底。

二、目標分析：

參照《數(shù)學課程標準》的要求及教材的特點和學生的認知水平與數(shù)學思維特征，確定本節(jié)課的教學目標如下：

（一）知識與技能目標：

會用平方差公式進行因式分解，并進一步感受整式乘法與分解因式的互逆關(guān)系。

（二）過程與方法目標：

經(jīng)歷通過平方差公式逆向運算的推導得出用公式分解因式的方法的過程，發(fā)展學生的逆向思維和推理能力。

（三）情感與態(tài)度目標：

學生通過自己的實踐去領(lǐng)悟、分析、總結(jié)技能技巧，樹立學習的自信心；通過獨立思考和交流討論發(fā)現(xiàn)問題情境中的變形關(guān)系，培養(yǎng)學生逆向思考問題的習慣與應(yīng)用意識，并滲透轉(zhuǎn)化的思想和矛盾的對立統(tǒng)一觀點。

三、教學過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情景，復(fù)習引入

活動1：下把列各式變形為一個式子的平方的形式。

1)4a2=()2;121b2=()2;9a4=()2 0.01x2=()2（x+5）（x－5）=（3x+y）(3x－y)= 設(shè)計意圖：從學生已有的知識水平出發(fā)，由復(fù)習舊知直接過渡到新知的內(nèi)容，為學生營造一種輕松、和諧的學習氛圍，從而自然導入新課。

（二）分析問題，發(fā)現(xiàn)新知

問題：我們知道，(a+b)(a－b)＝a2－b2，能否將它反過來得到a2－b2＝(a+b)(a－b)呢？

師：觀察多項式X2－25，9X2－y2，它們有什么共同特征？（2）嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。生：二項;可以轉(zhuǎn)化為兩項的平方差（a2-b2）的形式。師：X2－25= 9X2－y2

設(shè)計意圖：學起于思，思起于疑，無疑則無知。教育家托爾斯泰說過：成功的教學所需要的不是強制，而是喚起學生強烈的求知欲望，激發(fā)學生的興趣。充分利用媒體教學的直觀性，動畫顯示學生熟悉的剪紙操作，創(chuàng)設(shè)問題情境引發(fā)學生思考。使學生把學習當成一種自我需要，為學生營造一種輕松、和諧的學習氛圍，從而自然導入新課。

（三）合作交流，探索新知

問題：（1）用語言敘述公式（體現(xiàn)合作）。（2）公式有什么特點？

（3）公式中的字母a、b可以表示什么？

活動4：根據(jù)你對公式的理解，請舉出幾個用平方差公式分解的例子，并指出多項式中誰相當于公式中的字母a，誰相當于公式中的字母b？（盡可能地讓學生探索、發(fā)現(xiàn)）。

x2－25＝x2－52＝（x+5）（x－5）a2－b2＝（a+b）（a－b）

9x2－y2＝(3x)2－y2=（3x+y）(3x－y)

設(shè)計意圖：問題是知識、能力的生長點，富有挑戰(zhàn)性的問題能激發(fā)原有認知，促使學生主動地進行探索和思考。通過引導學生對問題情境循序漸進的探討，讓學生猜一猜、想一想，使他們體會了知識的發(fā)生、發(fā)展過程及怎樣從復(fù)雜情境中分離、抽象出數(shù)學模型，培養(yǎng)了學生從特殊到一般的認知方法。

（四）例題探究，體驗新知：

例1 填空：（1）25m2＝()2（2）0.49b2＝()2（3）c2＝()2 例2：把下列各式分解因式

（1）25－16x2（2）9a2－ b2 例3：把下列各式分解因式

（1）9（m+n）2-（m－n）2（2）2x3－8x

例4：計算（1）6782－3782（2）852－842 “實踐出真知”。教師通過引導、啟發(fā)，讓學生分4人小組，進行合作學習、討論、交流，使學生在解決問題的過程中，不斷獲得成功的體驗，增強他們的創(chuàng)新意識和能力。

（五）隨堂練習，鞏固新知：

1、判斷正誤：

（1）x2+y2=(x+y)(x+y)（）（2）x2－y2=(x+y)(x－y)（）（3）－x2+y2=(－x+y)(－x+y)（）（4）－x2－y2=－(x+y)(x－y)（）

2、把下列各式分解因式：

（1）a2b2－m2（2）(m－a)2－(n+b)2

3、解決

（一）活動2所提出的問題。

設(shè)計意圖：“學生思維的水平高低與基本技能是密切相關(guān)的，只有通過強化訓練，才能提高學生的思維起點?！?/p>

1、2題的目的，是鞏固新知，對學習中有困難的學生，給予適當?shù)狞c撥和鼓勵，及時發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)的問題。而第3題，增強了知識的運用性，使學生學以致用，形成能力。同時，體現(xiàn)數(shù)學活動是學生自己構(gòu)建數(shù)學知識的活動，教師起到引導學生進行有效地構(gòu)建數(shù)學知識的活動。

（六）歸納小結(jié)，形成體系

1、因式分解與乘法公式的關(guān)系。

2、平方差公式的特點。

3、應(yīng)用平方差公式分解因式的多項式應(yīng)滿足的條件。

4、公式中字母a、b可以是任意數(shù)、單項式或多項式。歸納是一種推理的方法，由一系列具體的事例概括出原理(跟“演繹”相對)。能使學生的感性認識升華到理性認識，既可鍛煉學生由具體到抽象的思維能力，培養(yǎng)學生數(shù)學語言的表達能力，嚴謹?shù)倪壿嬎季S品質(zhì)。先引導學生自由發(fā)言、互相補充，教師進行修正、精煉闡述。這樣的小結(jié)既梳理了知識，又點明了本節(jié)課的學習要點，同時使學生對本節(jié)知識體系有一個清晰的認識，為下節(jié)的學習打下良好基礎(chǔ)，起到畫龍點晴的作用。

（七）布置作業(yè)，反思提煉。P56習題2.4 1、2、3

四、教學方法

通過對新課程標準及新教材研究，我認為數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。數(shù)學教學應(yīng)從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有利于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、探索、交流獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，進而達到學會學習，促使學生在教師指導下，生動活潑的、主動和富有個性的學習，在教學活動中，教師應(yīng)該發(fā)揮民主、成為學生數(shù)學活動的組織者、引導者和合作者。而我校所開發(fā)的省級課題《課程實施與教學改革——數(shù)學思維方法與應(yīng)用性問題教學的實踐研究》中，明確提出預(yù)期目標：（1）培養(yǎng)興趣，促進思維；（2）適當分段，分散難點，創(chuàng)造條件讓學生樂于思維；（3）在數(shù)學學習中要使學生思維活躍，就要教會學

生分析問題的基本方法，培養(yǎng)學生正確的思維方式；（4）重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練。基于以上的理念和目標，我確立了以下的教法和學法。

（一）教學方法

依據(jù)本課特點，從學生已有實際經(jīng)驗出發(fā)，遵循新課程的理念，根據(jù)教學原則，變被動學習為主動學習，使課堂教學生動，有趣，高效。因此在教學中，以自主探索為主，啟發(fā)、誘導貫穿教學始終，師生以愉快對話形式共同探索、步步深入，合作交流展開教學，下面我談?wù)劄槭裁词褂眠@些方法？

1、自主探索法

蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的超大規(guī)模需要，這就是 希望感到讓自己是一個發(fā)現(xiàn)者，研究者。教師作用是要發(fā)現(xiàn)、強化這種探索精神”。通過巧設(shè)問題情境，把要學習的知識，置于具體鮮活的問題情境和嵌于一定活動背景中，使學生對知識多角度的豐富的理解，并能結(jié)合自己原有的經(jīng)驗探索新知，從而建構(gòu)自己所堅持的判斷和信念。如教學中，通過活動1～4，讓學生思考、探索判斷，在學生迷惑之際，用活動3導航，讓學生自己體驗猜想，這樣不僅點燃學生思維的火花，還激發(fā)學生的信心和勇氣，自己去分析、自己去解決，使他們體驗探索知識奧秘的樂趣，真正體現(xiàn)了“教是為了不教”的教育的最終目標。

2、愉快教學法

“如果我們能做到百分之百的使孩子們興致勃勃地學習，不僅是

孩子們的幸福，并且也是教師的幸福。這就是當代教育和教育思想家的旋律?！痹诮虒W中利用例題讓學生討論，不失時機地啟發(fā)學生質(zhì)疑、問難，讓學生有疑必質(zhì)、有難必問、有感必發(fā)，讓每個學生積極發(fā)言，變“厭學”為“好學”，變“苦學”為“樂學”，變“要我學”為“我要學”，從而讓每個學生喜歡數(shù)學，把學習作為一種快樂的活動，從中享受學習數(shù)學的樂趣。

（二）教學手段

根據(jù)教學直觀性原則，考慮到學生仍處在以直觀、形象思維為主要思維方式的時期。在教學中采用針對性強的相應(yīng)措施，創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，運用電教手段進行必要的動態(tài)演示，用活動緊扣對平方差公式的感知，讓學生動腦、動手、動口，積極參與教學全過程，逐步由圖形的直觀，語言的直觀向抽象思維過渡，增大教學容量和直觀性，提高教學效率和教學質(zhì)量。

（三）學法指導

當今時代是人類知識和信息量以幾何級數(shù)遞增的時代，現(xiàn)代教育所面臨的最嚴峻的挑戰(zhàn)，已不是如何使受教育者學到知識，而是如何使他們“學會學習”。正如埃德加·富爾所說：“未來的文盲，不再是不識字的人，而是沒有學會怎樣學習的人?！蔽覀児湃艘舱f：“授人以魚，不如授人以漁”。因此在教學中我始終把學生推到學習的前沿，引導他們“動眼看、動腦想、動口說、動手練”，讓他們在生活中感受數(shù)學，在合作交流中理解數(shù)學，在實驗操作中探索數(shù)學，在做數(shù)學的過程中，學會數(shù)學，充分體現(xiàn)了新課程標準中所強調(diào)的自主探索，合作互動，創(chuàng)造性學習這樣的有效 的學習方式。

五、教學評價

教學評價是教學活動的重要環(huán)節(jié)，評價的目的是全面考察學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發(fā)展。同時也是教師反思和改進教學的有力手段。史密斯一泰勒報告指出：“評價教育效果，不能只是測定學生的某些能力和特征，而更應(yīng)評價受教育者向著教育目標成長發(fā)展的過程”。為此這節(jié)課我作了如下的評價：

1、評價學生的學習過程

課標指出：“對學生數(shù)學學習過程的評價，包括參與教學活動的程度、自信心、合作交流的意識，以及獨立思考的習慣、數(shù)學思考的發(fā)展水平等方面”。從這個理論出發(fā)，我廢除了過去只注重結(jié)果的評價。在本節(jié)課上，注意觀察學生是否樂于與他人合作，愿意與同伴交流自己的想法？哪些問題是大多數(shù)學生獨立思考能達到，哪些問題是學生通過合作交流才能完成；學生思考的是否有條理？學生的符號表達是否較以前有所發(fā)展？及時發(fā)現(xiàn)學生的點滴進步并給予鼓勵。

2、評價學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力

思維總是從問題開始的，本節(jié)課試圖讓學生在不斷解決問題、發(fā)現(xiàn)問題中學習。如活動1～4等實際問題的解決，使他們知識得到掌握，能力得到訓練，情感得到體驗，各方面都能取得全面和諧的發(fā)展。雖然有的學生不能把每一道題都做完整，但他們積極思考、交流，對這樣的學生應(yīng)給予表揚肯定，幫助他們積極向上。

總之，本課力求達到：“凡是能由學生提出的問題就不要由教師

給出；凡是能由學生解的例題就不要由教師解答：凡是能由學生完成的表述就不要由教師寫”。本節(jié)課自始至終，體現(xiàn)學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。讓學生感知數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。

教學設(shè)計說明

1、本節(jié)課根據(jù)新課程標準的教育理念和學生實際，結(jié)合具體內(nèi)容，從培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣入手，采用“問題情景——數(shù)學抽象建立數(shù)學模型——應(yīng)用解釋”的形式展開，讓學生理解數(shù)學知識的產(chǎn)生就是人類對實際問題抽象、構(gòu)建的過程，讓學生經(jīng)歷同化新知識，構(gòu)建新知識意義的過程。

2、設(shè)置問題導入新課，從直觀的圖形及其有關(guān)計算出發(fā)，幫助學生盡快找到問題的切入點。

3、給學生提供探索和交流的空間。設(shè)置有現(xiàn)實意義的、具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，提高解決問題的能力，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力。

4、內(nèi)容上挖掘課本資源，設(shè)計有彈性，設(shè)置了不同層次的學習要求，尊重學生個體差異，滿足多樣化的學習需要。實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。

5、在學生從事數(shù)學活動時，不僅關(guān)注學生的學習水平，而且關(guān)注他們在活動中表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度。比如：是否主動與同學合作，是否愿意與同學交流自己的看法，是否表現(xiàn)出了興趣，能否用數(shù)學語

言表達以及是否尊重他人等進行評價。