第一篇：運(yùn)用公式法——平方差公式教案

運(yùn)用公式法——平方差公式教案

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)認(rèn)知要求

1.使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義； 2.使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式.3.使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.（二）能力訓(xùn)練要求

1.通過(guò)對(duì)平方差公式特點(diǎn)的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.2.訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平方差公式的運(yùn)用能力.（三）情感與價(jià)值觀要求

在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生了解換元的思想方法.教學(xué)重點(diǎn)

讓學(xué)生掌握運(yùn)用平方差公式分解因式.教學(xué)難點(diǎn)

將單項(xiàng)式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學(xué)生多步驟分解因式的能力.教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引入新課

在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了因式分解的定義，即把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，還學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，即在一個(gè)多項(xiàng)式中，若各項(xiàng)都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式乘積的形式.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當(dāng)然不是，只要我們記住因式分解是多項(xiàng)式乘法的相反過(guò)程，就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)另外的一種因式分解的方法——公式法.二、新課講解

1.請(qǐng)看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左邊是整式乘法，右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，把這個(gè)等式反過(guò)來(lái)就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個(gè)式子從左邊到右邊是否是因式分解？

符合因式分解的定義，因此是因式分解.對(duì)，是利用平方差公式進(jìn)行的因式分解.第（1）個(gè)等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個(gè)等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解

請(qǐng)大家觀察式子a2－b2,找出它的特點(diǎn).公式的特點(diǎn)

下面按公式分類，一一進(jìn)行闡述．(1)平方差公式：

a2?b2?(a?b)(a?b)這里a，b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式． 公式的特點(diǎn)是： ①左側(cè)為兩項(xiàng)； ②兩項(xiàng)都是平方項(xiàng)； ③兩項(xiàng)的符號(hào)相反．

（是一個(gè)二項(xiàng)式，每項(xiàng)都可以化成整式的平方，整體來(lái)看是兩個(gè)整式的平方差.如果一個(gè)二項(xiàng)式，它能夠化成兩個(gè)整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個(gè)整式的和與差的積.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例題講解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

說(shuō)明：例1是把一個(gè)多項(xiàng)式的兩項(xiàng)都化成兩個(gè)單項(xiàng)式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個(gè)二項(xiàng)式化成兩個(gè)多項(xiàng)式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當(dāng)一個(gè)題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時(shí)，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.補(bǔ)充例題3：判斷下列分解因式是否正確.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正確.本題錯(cuò)在對(duì)分解因式的概念不清，左邊是多項(xiàng)式的形式，右邊應(yīng)是整式乘積的形式，但（1）中還是多項(xiàng)式的形式，因此，最終結(jié)果是未對(duì)所給多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.（2）不正確.錯(cuò)誤原因是因式分解不到底，因?yàn)閍2－1還能繼續(xù)分解成（a+1）（a－1）.應(yīng)為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9a?b；

（2）?4n?m；

2212a?9b2；

（4）16a2?25b2c4； 16122（5）?xy?0.09。

4（3）思路分析

（這是平方差公式的特征）

通過(guò)變形，二項(xiàng)都是完全平方形式，且符號(hào)相反。解：（1）9a2?b2?(3a)2?b2?(3a?b)(3a?b)；

（2）?4n2?m2?m2?(2n)2

（加法交換律）

=(m+2n)(m－2n)；

1?a?（3）a2?9b2????(3b)2

16?4??a??a????3b???3b?； ?4??4?（比較兩種分解方法）

或

2121a?9b2?(a2?144b2)16161?[a2?(12b)2] 161?(a?12b)(a?12b)； 16（與??a??a??3b???3b?相等嗎？）?4??4?224222（4）16a?25bc?(4a)?(5bc)（注意變形）

?(4a?5bc2)(4a?5bc2)；

1?1?（5）?x2y2?0.09?(0.3)2??xy?

4?2?（加法交換律）

21??1????0.3?xy??0.3?xy?。

2??2?? 點(diǎn)評(píng)：平方差公式的特征。

①公式左邊的多項(xiàng)式形式上是二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反； ②第一項(xiàng)都可化成某個(gè)數(shù)或某式的平方的形式；

③右邊是這兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子的和與它們的差的積，相當(dāng)于分解為兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積；

④公式中所說(shuō)的兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是數(shù)字，是字母，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。

應(yīng)用平方差公式分解多項(xiàng)式關(guān)鍵是把多項(xiàng)式構(gòu)建成符合公式特征的形式，然后明確多項(xiàng) 式和公式中的字母如何對(duì)應(yīng)。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(m?n)2?1；

（2）?(a?1)2?9(a?2)2；（3）?(a?b)2?(a?b)2；

（4）4x2?(x?y)2；（5）?1?16x；

思路分析

通過(guò)觀察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(m?n)2?1?(m?n)2?1（把m－n看做一個(gè)整體）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）?(a?1)?9(a?2)?[3(a?2)]?(a?1)

（加法交換律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必須化簡(jiǎn)）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出錯(cuò)）

（3）?(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x?(x?y)?(2x)?(x?y)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）?1?16x?16x?1 ***22?(4x2)2?1

?(4x2?1)(4x2?1)

（4x2?1符合平方差公式，還能再分解）?(4x2?1)(2x?1)(2x?1)； 例6： 計(jì)算：（1）?1???1??1??1??1?； 1?1??1??2??2??2?2?2??3??4??100?1??1??1??1?1?1??1???????? 22??32??42??1002?解：（1）?1???1??1??1??1??1??1????1???1???1???1????1???1?? ?2??2??3??3??100??100?31425310199??????? ***1101???； 2100200?例7

若(248?1)可以被60與70之間的兩個(gè)數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)． 點(diǎn)悟：將(248?1)分解成幾個(gè)整數(shù)的積的形式，然后分析對(duì)照條件即得． 解：248?1?(224?1)(224?1)

?(224?1)(212?1)(212?1)?(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)，∵

2?1?65,2?1?63，∴

這兩個(gè)數(shù)分別為65和63．

三、課堂練習(xí)

（一）隨堂練習(xí)1.判斷正誤

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）補(bǔ)充練習(xí)：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.課時(shí)小結(jié)

我們已學(xué)習(xí)過(guò)的因式分解方法有提公因式法和運(yùn)用平方差公式法.如果多項(xiàng)式各項(xiàng)含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若符合則繼續(xù)進(jìn)行.第一步分解因式以后，所含的多項(xiàng)式還可以繼續(xù)分解，則需要進(jìn)一步分解因式，直到每個(gè)多項(xiàng)式都不能分解為止.五.課后作業(yè)

習(xí)題2.4 六.活動(dòng)與探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板書(shū)設(shè)計(jì)

運(yùn)用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推導(dǎo)因式分解中的平方差公式.2.公式講解 3.例題講解

補(bǔ)充例題

第二篇：平方差公式的運(yùn)用

淺談平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個(gè)重要的公式，應(yīng)用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關(guān)鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無(wú)理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學(xué)上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測(cè)試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以要求學(xué)生掌握并運(yùn)用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運(yùn)用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項(xiàng)之和與這兩項(xiàng)的差的乘積等于這個(gè)項(xiàng)的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。可用公式的都有兩個(gè)共同特點(diǎn)：前一個(gè)因式與后一個(gè)因式中各有一項(xiàng)是相同，剩下的兩項(xiàng)是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個(gè)特點(diǎn)，可以根據(jù)公式的特點(diǎn)，應(yīng)用加法加換律、結(jié)合律進(jìn)行靈活變形，或者用提負(fù)號(hào)的方法把題轉(zhuǎn)化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運(yùn)用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡(jiǎn)單的，是這兩個(gè)項(xiàng)的和與這兩個(gè)項(xiàng)的差的積等于這兩項(xiàng)的平方差，可直接用公式進(jìn)行計(jì)算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個(gè)多項(xiàng)項(xiàng)式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點(diǎn)，看出前一個(gè)因式中與后一個(gè)因式中都是-2b，剩下的一個(gè)是-3a，一個(gè)3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計(jì)算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調(diào)整位置，把它轉(zhuǎn)化為一般式；（2）提一個(gè)負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化成一般式，再用公式計(jì)算。

解法

1、加法加換律進(jìn)行調(diào)整其位置

解法

2、提取負(fù)號(hào)

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個(gè)因式中都是三個(gè)或三個(gè)以上的項(xiàng)，所以先利用加法結(jié)合律，把一個(gè)因式中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點(diǎn)。前一個(gè)因式中的?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，后一個(gè)因式?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進(jìn)行計(jì)算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z? ???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結(jié)：注意平方差進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)，符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運(yùn)用平方差公式；的，所以當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、或分?jǐn)?shù)、或單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，應(yīng)加上括號(hào)，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤。

二、因式分解中的應(yīng)用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。能用公式的共同特點(diǎn)：題目中都可以轉(zhuǎn)化成一項(xiàng)或一式的平方減去一項(xiàng)或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進(jìn)行了分解因式。分解因式時(shí)，要求掌握好逆用冪的運(yùn)算法則，弄清楚多項(xiàng)式中可轉(zhuǎn)化哪幾個(gè)數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉(zhuǎn)化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進(jìn)行分組成能轉(zhuǎn)化成平方差公式，前三項(xiàng)分在一組里，最后一項(xiàng)為一組，把x2?2xy?y2轉(zhuǎn)化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結(jié)：因式分解中的平方差公式的運(yùn)用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應(yīng)用，整式乘法中如果不會(huì)用公式，也可以用一般的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來(lái)計(jì)算，只是復(fù)雜而已。分解因式中時(shí)常的錯(cuò)誤有：（1）各項(xiàng)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運(yùn)用

（一）、簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)都要都相差相同的一個(gè)數(shù)時(shí)，就可以把這兩數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉(zhuǎn)化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉(zhuǎn)化成100-2，102轉(zhuǎn)化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成中間數(shù)減1，第三個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每?jī)山M都要可以轉(zhuǎn)化成平方差公式，計(jì)算后會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結(jié)：有關(guān)復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算中，如能抓住數(shù)字特點(diǎn)，巧用平方差公式，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)識(shí)有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計(jì)算及分母有理化中的運(yùn)用

用平方差公式進(jìn)行二次根式計(jì)算及分母有理化，是初三二次根式計(jì)算和化簡(jiǎn)中的重點(diǎn)。它的方法在于分子分母同時(shí)乘以一個(gè)式子，使其分母轉(zhuǎn)化成一平方差公式，從而做到分母去根號(hào)（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計(jì)算，是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進(jìn)行計(jì)算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡(jiǎn) 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進(jìn)行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時(shí)乘以5?2，使分母轉(zhuǎn)化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結(jié)：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點(diǎn)，想辦法使其轉(zhuǎn)化為平方差公式，做題時(shí)切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進(jìn)行有理化。例如：

除了初中價(jià)段的應(yīng)用外，以后的數(shù)學(xué)學(xué)科都有其有關(guān)的知識(shí)，可見(jiàn)平方差公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用及其廣泛，值得一提的是這個(gè)公式從初中到大學(xué)都有不同程度的應(yīng)用，教學(xué)上初中至關(guān)重要，因此我們應(yīng)該從不同的角度去掌握并運(yùn)用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

淺談平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

玉龍縣魯?shù)橹袑W(xué)

和祺劍

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個(gè)重要的公式，應(yīng)用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關(guān)鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無(wú)理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學(xué)上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測(cè)試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以要求學(xué)生掌握并運(yùn)用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運(yùn)用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項(xiàng)之和與這兩項(xiàng)的差的乘積等于這個(gè)項(xiàng)的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式?？捎霉降亩加袃蓚€(gè)共同特點(diǎn)：前一個(gè)因式與后一個(gè)因式中各有一項(xiàng)是相同，剩下的兩項(xiàng)是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個(gè)特點(diǎn)，可以根據(jù)公式的特點(diǎn)，應(yīng)用加法加換律、結(jié)合律進(jìn)行靈活變形，或者用提負(fù)號(hào)的方法把題轉(zhuǎn)化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運(yùn)用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡(jiǎn)單的，是這兩個(gè)項(xiàng)的和與這兩個(gè)項(xiàng)的差的積等于這兩項(xiàng)的平方差，可直接用公式進(jìn)行計(jì)算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個(gè)多項(xiàng)項(xiàng)式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點(diǎn)，看出前一個(gè)因式中與后一個(gè)因式中都是-2b，剩下的一個(gè)是-3a，一個(gè)3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計(jì)算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調(diào)整位置，把它轉(zhuǎn)化為一般式；（2）提一個(gè)負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化成一般式，再用公式計(jì)算。

解法

1、加法加換律進(jìn)行調(diào)整其位置

解法

2、提取負(fù)號(hào)

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個(gè)因式中都是三個(gè)或三個(gè)以上的項(xiàng)，所以先利用加法結(jié)合律，把一個(gè)因式中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點(diǎn)。前一個(gè)因式中的?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，后一個(gè)因式?2x?y?z?結(jié)合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進(jìn)行計(jì)算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z?

???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結(jié)：注意平方差進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)，符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運(yùn)用平方差公式；的，所以當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、或分?jǐn)?shù)、或單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，應(yīng)加上括號(hào)，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤。

二、因式分解中的應(yīng)用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。能用公式的共同特點(diǎn)：題目中都可以轉(zhuǎn)化成一項(xiàng)或一式的平方減去一項(xiàng)或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進(jìn)行了分解因式。分解因式時(shí)，要求掌握好逆用冪的運(yùn)算法則，弄清楚多項(xiàng)式中可轉(zhuǎn)化哪幾個(gè)數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉(zhuǎn)化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進(jìn)行分組成能轉(zhuǎn)化成平方差公式，前三項(xiàng)分在一組里，最后一項(xiàng)為一組，把x2?2xy?y2轉(zhuǎn)化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結(jié)：因式分解中的平方差公式的運(yùn)用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應(yīng)用，整式乘法中如果不會(huì)用公式，也可以用一般的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來(lái)計(jì)算，只是復(fù)雜而已。分解因式中時(shí)常的錯(cuò)誤有：（1）各項(xiàng)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運(yùn)用

（一）、簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)都要都相差相同的一個(gè)數(shù)時(shí)，就可以把這兩數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉(zhuǎn)化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉(zhuǎn)化成100-2，102轉(zhuǎn)化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成中間數(shù)減1，第三個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每?jī)山M都要可以轉(zhuǎn)化成平方差公式，計(jì)算后會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結(jié)：有關(guān)復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算中，如能抓住數(shù)字特點(diǎn)，巧用平方差公式，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)識(shí)有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計(jì)算及分母有理化中的運(yùn)用

用平方差公式進(jìn)行二次根式計(jì)算及分母有理化，是初三二次根式計(jì)算和化簡(jiǎn)中的重點(diǎn)。它的方法在于分子分母同時(shí)乘以一個(gè)式子，使其分母轉(zhuǎn)化成一平方差公式，從而做到分母去根號(hào)（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計(jì)算，是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進(jìn)行計(jì)算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡(jiǎn) 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進(jìn)行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時(shí)乘以5?2，使分母轉(zhuǎn)化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結(jié)：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點(diǎn)，想辦法使其轉(zhuǎn)化為平方差公式，做題時(shí)切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進(jìn)行有理化。例如：

除了初中價(jià)段的應(yīng)用外，以后的數(shù)學(xué)學(xué)科都有其有關(guān)的知識(shí)，可見(jiàn)平方差公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用及其廣泛，值得一提的是這個(gè)公式從初中到大學(xué)都有不同程度的應(yīng)用，教學(xué)上初中至關(guān)重要，因此我們應(yīng)該從不同的角度去掌握并運(yùn)用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

第三篇：平方差公式教案

灰太狼開(kāi)了租地公司,一天他把一邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給懶羊羊種植.有一年,他對(duì)懶羊羊說(shuō):“我把這塊地的一邊增加5米,另一邊減少5米,繼續(xù)租給你, 你也沒(méi)吃虧,你看如何?”懶羊羊一聽(tīng)覺(jué)得沒(méi)有吃虧,就答應(yīng)了.同學(xué)們,你們覺(jué)得懶羊羊有沒(méi)有吃虧?

一、知識(shí)回顧:

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式怎樣相乘的? 和學(xué)生拉近距離,引起學(xué)生的興趣。

二、自主探究:

1、計(jì)算下列多項(xiàng)式的積:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、歸納: 觀察算式結(jié)構(gòu),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? ①算式中每個(gè)因式都有 項(xiàng)。

②算式都是兩個(gè)數(shù)的 與 的 _____ 的積。即兩個(gè)因式中,有一項(xiàng) ,另一項(xiàng)。計(jì)算結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 計(jì)算結(jié)果都是前項(xiàng)的 減去后項(xiàng)的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、驗(yàn)證:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

四、例題精析

1、判斷下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、參照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(2)

4、計(jì)算:(1)

(2)

鞏固提升(根據(jù)時(shí)間的變化而定)

1、下列多項(xiàng)式乘法中,能用平方差公式計(jì)算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎?(1)51×49(2)998×1002 4.判斷對(duì)錯(cuò),如果有錯(cuò),如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小結(jié):平方差公式的特征:(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)

相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù);(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方;(3)先平方,后相減。

公式中的可以表示單項(xiàng)式(數(shù)字,字母), 也可以表示多項(xiàng)式(如x+y)。

六、作業(yè)

教科書(shū)156頁(yè)-----1 小組交流、討論

讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算,觀察每個(gè)算式的特點(diǎn)和結(jié)果的特點(diǎn),挖掘題目之間的共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,猜想公式,從而經(jīng)歷從-般到特殊、從具體到抽象的過(guò)程,體會(huì)歸納這-數(shù)學(xué)思想方法準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公式以剖析a、b為目的,對(duì)于幫助學(xué)生認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征起到事半功倍的作用,在接下來(lái)的公式運(yùn)用中,相信學(xué)生會(huì)更加得心應(yīng)手.嘗試、交流、教師點(diǎn)撥進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)對(duì)學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行預(yù)設(shè),防微杜漸.

第四篇：平方差公式教案

《平方差公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

牟平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 隋玲

一、教材分析

《平方差公式》是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一次方程、整式的加減及整式乘法等知識(shí)的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡(jiǎn)、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個(gè)乘法公式.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：經(jīng)歷探索平方差公式的全過(guò)程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.二、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)：

掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算； 過(guò)程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷平方差公式的探索過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力； 情感態(tài)度與價(jià)值觀：

會(huì)用幾何圖形說(shuō)明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

本節(jié)課的重點(diǎn)：平方差公式的特點(diǎn)以及會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

小明的媽媽領(lǐng)著小明到新房子去，進(jìn)了客廳，媽媽說(shuō)：“客廳長(zhǎng)6.1米，寬5.9米，能幫我算一下客廳的面積嗎？”小明沒(méi)有帶筆和計(jì)算器，你能快速幫助小明算出客廳的面積嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)出示與實(shí)際生活相聯(lián)系的問(wèn)題，說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源與生活并服務(wù)與生活，同時(shí)引出本節(jié)課的問(wèn)題，當(dāng)然這一問(wèn)題的解決需要本節(jié)課的知識(shí)來(lái)解決。

問(wèn)題１：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)習(xí)近平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題２：依照以上三道題的計(jì)算回答下列問(wèn)題：

①式子的左邊具有什么共同特征？

②它們的結(jié)果有什么特征？

③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，并猜想出：

．

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理．

（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說(shuō)理

問(wèn)題3：活動(dòng)探究：將長(zhǎng)為（a+b），寬為（a－b）的長(zhǎng)方形，剪下寬為b的長(zhǎng)方形條，拼成有空缺的正方形，并請(qǐng)用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系

．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動(dòng),利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面來(lái)思考問(wèn)題．對(duì)于任意的a、b，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算：

（四）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知，驗(yàn)證了其公式的正確性． 問(wèn)題4：你能用文字語(yǔ)言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述，從而提高學(xué)生的語(yǔ)言組織與表達(dá)能力．

（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì) 在平方差公式

中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即

；

②讓學(xué)生說(shuō)明以上四個(gè)算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式．在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果．

（六）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知

問(wèn)題5：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

；

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解．

問(wèn)題6：判斷下列計(jì)算是否正確：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

（）設(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．

問(wèn)題7：計(jì)算：

（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9

2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b

設(shè)計(jì)意圖：解決操作層面問(wèn)題．可提議用不同方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性．

（七）拓展引申，發(fā)展思維 問(wèn)題8：計(jì)算：

（1）首先看本節(jié)課的開(kāi)始題目，你能幫助小明嗎？（2）98×（－102）；（3）

．

設(shè)計(jì)意圖：首位呼應(yīng)，運(yùn)用本節(jié)課的內(nèi)容解決開(kāi)始的問(wèn)題；把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；另一題是平方差公式與一般多項(xiàng)式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行．

（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我

1．在下列括號(hào)中填上合適的多項(xiàng)式：

2．看誰(shuí)算得快：

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊．第2個(gè)填空題有兩種填法，屬開(kāi)放設(shè)計(jì)．目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維．

（九）總結(jié)概括，自我評(píng)價(jià)

問(wèn)題10：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？ 設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)和情感態(tài)度兩個(gè)方面加以小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)．

（十）課后作業(yè) 必做題：習(xí)題1.選做題：1．2．計(jì)算：（1）（2）（3）

；

；

．，則A的末位數(shù)是_______．

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．

第五篇：平方差公式教案

公開(kāi)課教案

課題：平方差公式 授課：張福仁 教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)用平方差公式進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自行得出平方差公式，再通過(guò)練習(xí)鞏固。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、解決問(wèn)題能力。教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式理解、運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式理解、運(yùn)用 教學(xué)過(guò)程

Ⅰ.提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境

[師]你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比較復(fù)雜,我考慮把它化成整百,整千的運(yùn)算,從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單,2001可以寫(xiě)成2000+1,1999可以寫(xiě)成2000-1,那么2001×1999可以看成是多項(xiàng)式的積,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[師]很好,請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

=10002-22 =1000000-4 =1999996.[師]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差,那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索.Ⅱ.導(dǎo)入新課

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn).(學(xué)生討論,教師引導(dǎo))[生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng).[生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1?這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.[師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下,相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn).[生]解:(1)(x+1)(x-1)

=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn): 也就是說(shuō),兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果.[師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 這同樣可以驗(yàn)證:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.[師]為什么會(huì)是這樣的呢? [生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)后,中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng),且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了.[師]很好.請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律,并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明.[生]這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù),也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[師]同學(xué)們真不簡(jiǎn)單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a-b)=a2-b2起一個(gè)名字呢? [生]最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差,叫它“平方差公式”怎樣樣? [師]有道理.這就是我們探究得到的“平方差公式”,?請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述這個(gè)公式.(出示投影)兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式,用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用.在應(yīng)用中體會(huì)公式特征,感受平方差公式給運(yùn)算帶來(lái)的方便,從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算

(出示投影片)例1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:計(jì)算:

(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[師生共析]運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同樣的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則.(作如上分析后,學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題.?也可以通過(guò)學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么?

[生]我覺(jué)得應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式.(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,?但通過(guò)加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.[生]運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行.[師]同學(xué)們總結(jié)得很好.下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí).優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言