第一篇：橢圓與雙曲線的離心率教案
北師大版選修2-1第三章 橢圓與雙曲線的離心率
一、教材分析
本節(jié)課是北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章小專題 橢圓與雙曲線的離心率。橢圓與雙曲線的離心率是本章的重點內(nèi)容，在學(xué)習(xí)本節(jié)知識前，學(xué)生已經(jīng)了解橢圓與雙曲線的概念、方程、基本性質(zhì)。求解橢圓、雙曲線的離心率是重點內(nèi)容。靈活運用求解橢圓、雙曲線的離心率得幾種常用方法是本節(jié)的難點。
二、學(xué)情分析
本節(jié)是圓錐曲線與方程這一章的一個小專題，在之前學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線這兩個內(nèi)容，其中的第二節(jié)圓錐曲線的性質(zhì)為學(xué)習(xí)本節(jié)課打下了一定的理論基礎(chǔ)，因此理論上學(xué)生應(yīng)該不難理解本節(jié)課。本節(jié)課宜采用先從基礎(chǔ)知識切入再根據(jù)實際問題探索解決問題的方法的教學(xué)方法，要讓學(xué)生通過自己的思考總結(jié)求圓錐曲線離心率的方法，這樣既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能提升學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力?？臻g思維能力對本節(jié)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，為方便對問題的分析，針對離心率的專題我專門自制了課件，通過對以往知識的復(fù)習(xí)和具體問題的應(yīng)用總結(jié)常用的求離心率的方法，本節(jié)重難點還在于在分析時要能將實際的問題與以前的知識相聯(lián)系。要使學(xué)生能夠掌握求離心率的方法，因此針對這一問題我做了一定的鞏固訓(xùn)練。
三、教學(xué)目標(biāo)
（一）知識與技能 1.理解橢圓與雙曲線的離心率概念
2.掌握求橢圓與雙曲線的離心率得幾種常用方法
（二）過程與方法
1.通過教師講解、分析、歸納、總結(jié)出求離心率的方法。2.培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、理解能力、知識遷移能力，解決問題的能力
（三）情感、態(tài)度與價值觀
1.通過自主思考、參與推導(dǎo)，讓學(xué)生真正做到融入課堂，有助于培養(yǎng)學(xué)生形成多動手、多動腦、多總結(jié)的好習(xí)慣。
2.通過分析一般情況下求離心率的方法，使學(xué)生形成認(rèn)識事物規(guī)律要抓住一般性的科學(xué)方法。
（四）教學(xué)重點
重點：橢圓、雙曲線離心率的求法
（五）教學(xué)難點
難點：橢圓、雙曲線離心率的方法的靈活應(yīng)用
（六）教學(xué)方法
啟發(fā)法、談?wù)摲ā⒅v解法、討論法、練習(xí)法
（七）課前準(zhǔn)備
1．學(xué)生的準(zhǔn)備：認(rèn)真預(yù)習(xí)課本及學(xué)案內(nèi)容
2．教師的準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案 四．教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)引入
之前我們學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線的定義，方程與基本性質(zhì)。本節(jié)課我們主要針對高考中關(guān)于離心率的選擇題，設(shè)置了一個關(guān)于求橢圓與雙曲線離心率的專題。
（二）推進新課
x2y21a?b?0）例1已知橢圓2?2?（的焦距為22，其短軸上的兩個頂點ab0),且CA?DA?0，則該橢圓的離心率為分別為C,D，已知A(1，____________
x2y2例2已知F1,F2是雙曲線E:2-2?1的左右焦點，點M在E上，MF1與
ab1x軸垂直sin?MF2F1?，則E的離心率為 ___________
x2y21a?b?0）練習(xí)：已知F1,F2是橢圓C:2?2?（的左右焦點，點M是Cab上一點，且MF2垂直于x軸，直線MF1與C的另一個交點為N.若直線MN的斜率為，求C的離心率； 34
小結(jié)：涉及兩焦點及雙曲線上點的問題考慮利用定義導(dǎo)出a與c的關(guān)系，求出離心率e
例3已知A,B為雙曲線E的左右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120?則E的離心率為 ___________
x2y21a?b?0）練習(xí):如圖F是橢圓C:2?2?（的ab左焦點，直線y=與橢圓交于B，C兩點，?BFC?90?，則該橢圓的離心率為b2____________ 小結(jié)：已知曲線上的點滿足某種條件利用曲線方程結(jié)合已知條件求解。
x2y21a?b?0）例4已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C:2?2?（的左焦點，abA,B分別為C的左右頂點。P為C上一點，且PF?x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E，若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為____________
（三）課堂小結(jié)
求橢圓與雙曲線離心率的常用方法
（四）作業(yè) 新學(xué)案練習(xí)。
（五）板書設(shè)計
橢圓與雙曲線離心率
x2y21a?b?0）例1已知橢圓2?2?（的焦距為22，其短軸上的兩個頂點ab0),且CA?DA?0，則該橢圓的離心率為分別為C,D，已知A(1，____________
x2y2例2已知F1,F2是雙曲線E:2-2?1的左右焦點，點M在E上，MF1與
ab1x軸垂直sin?MF2F1?，則E的離心率為 ___________
例3已知A,B為雙曲線E的左右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120?則E的離心率為 ___________
（六）教學(xué)反思
1．把握教材內(nèi)容，制定好教學(xué)策略
本節(jié)內(nèi)容由問題引發(fā)讓學(xué)生思考和討論，再通過鼓勵學(xué)生自己思考完成，讓學(xué)生能夠真正融入課堂，最終利用鼓掌的方式對學(xué)生進行鼓勵，我認(rèn)為這種方式有助于激發(fā)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)動力。
由此我感悟到提高學(xué)生興趣是提高課堂效率的重要前提，今后應(yīng)該多在這方面鍛煉。
讓學(xué)生自己上黑板推導(dǎo)分析，不但鍛煉了主動上黑板的學(xué)生，也讓其他學(xué)生更積極的思考，把學(xué)生的思維完全融入課堂。
以小組為單元對問題進行思考和討論，使學(xué)生懂得合作學(xué)習(xí)，共同進步的道理。
2.優(yōu)點與缺點
①優(yōu)點：學(xué)生參與課堂、自主推導(dǎo)、思考討論問題的氣氛很好，并且大膽地出正確的結(jié)果。認(rèn)真學(xué)習(xí)了本節(jié)課程；
②缺點：本節(jié)內(nèi)容較多，學(xué)生思考時間太長，設(shè)計了練習(xí)題，但沒有足夠的時間去完成，感覺不是特別滿意。3.對自己的反思
對這次的公開課存在的不足，我很是遺憾，但是從教學(xué)結(jié)果來看，教學(xué)目的已經(jīng)達到，本節(jié)課利用創(chuàng)新教學(xué)的思路充分體現(xiàn)新課程的理念和特點，讓學(xué)生通過各個環(huán)節(jié)的參與能夠很好地掌握本節(jié)內(nèi)容，在今后的教學(xué)中我會繼續(xù)努力。
第二篇：雙曲線教案
2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、教學(xué)目標(biāo)
1.通過試驗體會雙曲線圖形，從中抽象出雙曲線定義，通過討論能正確說出雙曲線定義.2.會畫雙曲線簡圖.3.能由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程類比推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，熟記雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.4.能根據(jù)條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單應(yīng)用.二、教學(xué)重點（難點）
1.教學(xué)重點：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.教學(xué)難點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).三、教學(xué)過程
第一環(huán)節(jié) 雙曲線的定義
1.橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.教師要強調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|.2.提出問題
橢圓是平面內(nèi)一個動點到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡,當(dāng)然這個定長要大于這兩個定點之間的距離.那么,平面上到兩定點距離差等于定長的點的軌跡是什么? 3.簡單實驗(邊演示、邊說明)做拉鏈試驗
取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線.（1）演示圖形
4.應(yīng)該如何描述出動點M所滿足的幾何條件？ 5.還有其他約束條件嗎? 發(fā)現(xiàn)問題：（1）當(dāng)2a?2c時，（2）當(dāng)2a?2c時，（3）當(dāng)2a?2c時，（4）當(dāng)2a =0時，6.定義
在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：
平面內(nèi)與兩定點F1 ,F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1 ,F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.第二環(huán)節(jié)
畫出雙曲線簡圖 第三環(huán)節(jié)
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點
取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)
建立直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù).(2)點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代數(shù)方程
(4)化簡方程(由學(xué)生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：
化簡得：
兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：
x2y2（1）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是
abF1（-c，0）、F2（c，0），這里c2?a2?b2;y2x2(2）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是
abF1（0，-c）、F2（0，c），這里cy互換即可得到）
教師指出：
2?a2?b2；（只須將（1）方程的x、(1)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標(biāo)軸上.(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2?a2?b2不同于橢圓方程中c2?a2?b2.第四環(huán)節(jié)
應(yīng)用反饋
例1：已知雙曲線上一點P到兩焦點F1(?5,0)、F2(5,0)的距離的差的絕對值為6，求雙曲線的方程.x2y2簡解：雙曲線有標(biāo)準(zhǔn)方程2?2?1（a?0,b?0）.abc?5，2a ?6，又c2?a2?b2 ?a?3，b?4.x2y2??1 ∴916
變式：
1.若P F1?P F2=6?
x2y2??1(x?0)9162.若PF1?PF2?10?
兩條射線
3.若PF1?PF2?12? 軌跡不存在
第三篇：雙曲線的教案
《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿
一、教材分析
1.教材中的地位及作用
本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點，是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求：學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。
（1）知識目標(biāo)：①使學(xué)生能運用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；
②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明；
③能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。
（2）能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；
②使學(xué)生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。
（3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的觀點分析理解事物。
3.重點、難點的確定及依據(jù)
對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實際水平和認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的重點。
4.教學(xué)方法
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。
漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。
例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。
二、教學(xué)程序
（一）.設(shè)計思路
（二）.教學(xué)流程
1.復(fù)習(xí)引入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，請同學(xué)們來回顧這些知識點，對學(xué)習(xí)的舊知識加以復(fù)習(xí)鞏固，同時為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先進性，結(jié)合圖像來演示。
2．觀察、類比
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強學(xué)生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強新舊知識的聯(lián)系，借助于類比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。
3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明
（1）發(fā)現(xiàn)
由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的圖形為引例，讓學(xué)生動筆實踐，通過列表描點，就能把雙曲線的頂點及附近的點較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質(zhì)是不行的。
從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)的圖像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時，它與x、y軸無限接近，此時x、y軸是的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線
有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解出，當(dāng)x無限增大時，y也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如果將式子變形為，我們就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x無限增大，逐漸減小、無限接近于0，而
就逐漸增大、無限接近于1（）；若將
變形為，即說明此時雙曲線在第一象限，當(dāng)x無限增大時，其上的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比1小，但與斜率為1的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線 的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線的圖形在遠(yuǎn)處與直線
無限接近，此時我們就稱直線
叫做雙曲線的漸近線。這樣從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。
利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線
(a>0，b>0)的漸近線，讓學(xué)生同樣利用類比的方法，將其變形為
，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢，繼續(xù)變形為
，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x無限增大時，逐漸減小、無限接近于0，逐漸增大、無限接近于，即說明對于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比
小，與斜率為的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線
下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線
(a>0，b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線
無限接近，直線
叫做雙曲線
(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。
（2）證明 如何證明直線
是雙曲線
(a>0，b>0)的漸近線呢？
啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（x→∞,d→0）
啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進行證明？
啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用x表示d
（工具是什么：點到直線的距離公式）
啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點，而d的表達式較復(fù)雜，能否將問題進行轉(zhuǎn)化？
分析：要證明直線
是雙曲線
(a>0，b>0)的漸近線，即要證明隨著x的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離
｜MQ｜越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求｜MN｜。
啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？
（在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況）
引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。
（3）深化
再來研究實軸在y軸上的雙曲線
(a>0，b>0)的漸近線方程就會變得容易很多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為。
這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實質(zhì)就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平行與坐標(biāo)軸的直線
所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結(jié)合，來加強對雙曲線的漸近線的理解。
4.離心率的幾何意義
橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到：，這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時就可以得到的簡單結(jié)論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進一步加深對漸近線的理解。
由等式，可得：，不難發(fā)現(xiàn)：e越?。ㄔ浇咏?），就越接近于0，雙曲線開口越??；e越大，就越大，雙曲線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。
5.例題分析
為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題：
例1.求雙曲線9x2－16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。
變1：求雙曲線9y2－16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性來求解。
關(guān)鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變？試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。（小結(jié)列表）變2：已知雙曲線的漸近線方程是，且經(jīng)過點(
第四篇：“橢圓世界”教案
第二章第二節(jié)“橢圓世界”教案
講課人：楊 薇 授課班級：三年級 上課時間：2007.11.30 課 型：新授課 運用教具：計算機
計劃課時：１課時 教學(xué)方法：講解法、演示法、練習(xí)法、任務(wù)驅(qū)動法
教學(xué)目的：１.通過學(xué)習(xí)學(xué)生可以熟練掌握橢圓工具的使用方法；
２.初步了解多邊形工具的使用方法； ３.能夠與其他工具配合進行創(chuàng)作；
教學(xué)重點：畫圖軟件部分工具的應(yīng)用和操作。如：涂色工具、刷子、直線工具。教學(xué)難點：多邊形工具的具體操作。教學(xué)過程：
一、回顧舊知(5分鐘)1.正常開關(guān)機的順序（先開顯示器，再開主機）
學(xué)生共分為四組，每兩組之間相互觀察開機的順序是否有錯，錯的及時糾正。2.在開機的過程中提問：誰記得如何打開畫圖？
生思考，并舉手回答，老師作出評價。（開始——程序——附件——畫圖）3.觀察到大多數(shù)的計算機已經(jīng)打開，要求學(xué)生演示打開畫圖的過程，加深影象。4.復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，引入本節(jié)主題。
二、導(dǎo)入（2分鐘）
展示“圖1”，要求學(xué)生觀察，并回答問題： 1.圖上畫的是什么？（生回答：小雞）
2.大家仔細(xì)看看這只小雞是由那些圖形組成的呢？（生回答：圓形，三角形，直線）
3.那其中最多的圖形是什么？（生回答：圓形）
4.在我們的日常生活中還有什么是圓形的？（生回答：碗、盤子、水杯、太陽、車輪、餅干??）
大家說的都很好，那么你們想學(xué)用計算機畫小雞嗎？（生：想）
三、新授（15分鐘）
好，現(xiàn)在我們就一起來學(xué)習(xí)利用橢圓工具畫出小雞。
1.老師語言描述，學(xué)生跟隨動手，老師從旁指導(dǎo)個別基礎(chǔ)較差的學(xué)生（1）打開畫圖程序，看誰作的又快又好；（2）在工具欄中選取“橢圓工具”選項；（3）按住鼠標(biāo)左鍵，畫一個圓。
好了，我看到大家都已經(jīng)畫出一個很好的圓了，下面就請大家自己先動手畫一 畫小雞。
（4）時間到了，大家的小雞畫的怎么樣啊？（生：不好）我看到有些同學(xué)已經(jīng)畫出來了，但是有些同學(xué)還沒有，別急，現(xiàn)在仔細(xì)聽老師教你們，到時候你們也一定會畫的很好的。2.實例講解，邊講解邊畫范圖
（1）畫雞身和雞頭（橢圓的畫法）
講解演示：單擊橢圓工具，移動十字光標(biāo)到繪圖區(qū)，按住鼠標(biāo)左鍵拖動，圖形就會朝鼠標(biāo)器移動方向延伸，放開鼠標(biāo)左鍵則完成雞身的繪畫。按此方法，可再畫出小雞頭。
（2）畫雞腳和雞嘴（直線的畫法）
講解演示：單擊直線工具，移動十字形光標(biāo)到小雞身子的下面，按住鼠標(biāo)左鍵拖動，直線就會朝鼠標(biāo)的移動方向改變長度和位置，放開鼠標(biāo)左鍵則完成直線繪制。按此方法，可畫出小雞的腳和嘴。（3）畫雞翅（曲線的畫法）
講解演示：單擊曲線工具，移動十字形光標(biāo)到小雞身子的里面，先大概確定一下要畫的曲線的位置，在曲線的一個端點單擊一下左鍵，然后繼續(xù)按住鼠標(biāo)左鍵移動到另一個端點，放開鼠標(biāo)左鍵，則在兩個端點之間出現(xiàn)一直線。再移動光標(biāo)到所繪線條的中間位置，按下鼠標(biāo)左鍵慢慢向下拖動，這時曲線弧度就會隨鼠標(biāo)的移動方向而改變，滿意時放開鼠標(biāo)左鍵，并再次單擊鼠標(biāo)左鍵，完成曲線繪制。
（4）畫雞點“睛”（刷子的用法）
講解演示：單擊刷子工具，移動十字形光標(biāo)到雞頭的里面，選擇適當(dāng)位置單擊一個鼠標(biāo)左鍵即可。按此方法，可畫出小雞的眼睛。（5）給雞嘴上色（著色滾筒的用法）
講解演示：著色滾筒主要是在一個封閉的區(qū)域內(nèi)著色。單擊色滾筒工具，移動光標(biāo)到雞嘴的位置，單擊鼠標(biāo)左鍵既可。3.現(xiàn)在大家應(yīng)該都可以畫出來了吧？那么接下來大家就繼續(xù)動手畫吧，已經(jīng)畫好的同學(xué)可以參照老師的這副畫畫出一副完整的圖畫來（展示“圖2”）。4.觀察和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。（10分鐘）5.解決學(xué)生在練習(xí)中反饋的問題（3分鐘）（1）畫圖窗口的最大化（點擊最大化按鈕）；（2）顏色的填充（沒有形成一個封閉的圖形）。6.與學(xué)生一起鑒賞好的作品。（10）
四、版書設(shè)計
第二章第二節(jié)畫小雞的操作步驟： A、畫雞身和雞頭（橢圓）B、畫雞腳和雞嘴（直線）C、畫雞翅（曲線）D、畫雞點“睛”（刷子）E、給雞嘴著色（著色滾筒）
橢圓世界
第五篇：教輔：高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點-直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線
考點十五 直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線
一、選擇題
1．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是()
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－
答案 A
解析?、佼?dāng)m＝－1時，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當(dāng)m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1，故選A.2．(2020·廣州綜合測試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是()
A．[－3，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 D
解析 圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心為(－1,2)，半徑為2，由題意可知圓心到直線kx－y＋1＝0的距離d＝≤2，化簡，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故選D.3．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的一條漸近線上存在一點到x軸的距離與到原點O的距離之比為，則實數(shù)a的值為()
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 B
解析 由題意，得該雙曲線的一條漸近線的斜率為＝，則＝，解得a＝4.故選B.4．(2020·山東泰安四模)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點B，C在拋物線E上，則p＝()
A．1
B．
C．2
D．2
答案 B
解析 由題意，得在拋物線上，代入拋物線的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故選B.5．(2020·衡中高三質(zhì)量檢測一)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m
D．m 答案 A 解析 由于橢圓C1與雙曲線C2的焦點重合，則m2－1＝n2＋1，則m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故選A.6．(2020·北京高考)設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線() A．經(jīng)過點O B．經(jīng)過點P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP 答案 B 解析 如圖所示，因為線段FQ的垂直平分線上的點到F，Q的距離相等，又點P在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知|PQ|＝|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.故選B.7．(多選)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，() A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上 B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為 C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± x D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線 答案 ACD 解析 對于A，若m>n>0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，因為m>n>0，所以<，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，故C正確；對于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東濰坊6月模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點P(1,1)在橢圓的內(nèi)部，點Q在橢圓上，則以下說法正確的是() A．|QF1|＋|QP|的最小值為2－1 B．橢圓C的短軸長可能為2 C．橢圓C的離心率的取值范圍為 D．若＝，則橢圓C的長軸長為＋ 答案 ACD 解析 因為|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，當(dāng)Q，F(xiàn)2，P三點共線時，取等號，故A正確；若橢圓C的短軸長為2，則b＝1，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1，又＋>1，則點P在橢圓外，故B錯誤；因為點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以橢圓C的離心率的取值范圍為，故C正確；若＝，則F1為線段PQ的中點，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以橢圓C的長軸長為＋，故D正確．故選ACD.二、填空題 9．(2020·山東省實驗中學(xué)高三6月模擬)以拋物線y2＝2x的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________． 答案 2＋y2＝1 解析 拋物線y2＝2x的焦點為，準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點到準(zhǔn)線的距離為1，所以圓的圓心為，半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點的坐標(biāo)為________；C的焦點到其漸近線的距離是________． 答案(3,0) 解析 在雙曲線C中，a＝，b＝，則c＝＝3，則雙曲線C的右焦點的坐標(biāo)為(3,0)．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為＝.11．(2020·河南開封高三3月模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1的左、右焦點，點M在E上，且∠F1MF2＝，則△F1MF2的面積為________． 答案 3 解析 由題意，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，則m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中學(xué)4月模擬)如圖，點F是拋物線C：x2＝4y的焦點，點A，B分別在拋物線C和圓x2＋(y－1)2＝4的實線部分上運動，且AB總是平行于y軸，則△AFB周長的取值范圍是________． 答案(4,6) 解析 ∵拋物線C：x2＝4y的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓x2＋(y－1)2＝4的圓心F(0,1)，半徑R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A＋1，|AB|＝y(tǒng)B－yA，∴△AFB的周長為|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1 三、解答題 13．過原點O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中點M的軌跡方程； (2)延長OA到N，使|OA|＝|AN|，求點N的軌跡方程． 解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A(2x,2y)，因為點A在圓x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)設(shè)N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A為線段ON的中點，∴A，又A在圓x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0(x≠0)． 14．(2020·全國卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率； (2)若C1的四個頂點到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解(1)因為橢圓C1的右焦點為F(c,0)，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.不妨設(shè)A，C在第一象限，因為橢圓C1的方程為＋＝1，所以當(dāng)x＝c時，有＋＝1?y＝±，因此A，B的縱坐標(biāo)分別為，－.又因為拋物線C2的方程為y2＝4cx，所以當(dāng)x＝c時，有y2＝4c·c?y＝±2c，所以C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故橢圓C1：＋＝1，所以C1的四個頂點坐標(biāo)分別為(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的準(zhǔn)線方程為x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.一、選擇題 1．(2020·山東濟南二模)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為4，則|PF|＝() A．2 B．3 C．5 D．6 答案 C 解析 將x＝4代入拋物線方程得P(4,4)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故選C.2．(2020·湖北荊州高三階段訓(xùn)練)某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點離地面的距離為() A.r＋R B．r＋R C.r＋R D．r＋R 答案 A 解析 橢圓的離心率e＝∈(0,1)(c為半焦距，a為長半軸長)，設(shè)該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點離地面的距離為n，如圖： 則n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A.3．(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為() A．4 B．5 C．6 D．7 答案 A 解析 設(shè)圓心為C(x，y)，則＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，故選A.4．(2020·山東濰坊高密二模)已知雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為() A.B． C． D．2 答案 A 解析 雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，tan＝，所以該條漸近線方程為y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.故選A.5．(2020·山西太原五中3月模擬)若過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為() A．8x＋9y－25＝0 B．3x－4y－5＝0 C．4x＋3y－15＝0 D．4x－3y－9＝0 答案 A 解析 設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P為AB的中點，因為A，B在橢圓上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＋＝0，因為x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，則所求直線的斜率k＝－，因為該直線過點P(2,1)，所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故選A.6．(2020·山東淄博二模)當(dāng)α∈時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不可能是() A．兩條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 答案 B 解析 當(dāng)α∈時，0 A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為y＝±x C．動點P到兩條漸近線的距離之積為定值 D．當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為 答案 AC 解析 對于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A正確，B錯誤；設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，則點P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C正確；當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時，等號成立，所以的最大值為，D錯誤．故選AC.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上三點A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，則() A．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1 B.＋＋＝0，則||，||，||成等差數(shù)列 C．若A，F(xiàn)，C三點共線，則y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2 答案 ABD 解析 把點B(1,2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A正確；因為A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差數(shù)列，故B正確；因為A，F(xiàn)，C三點共線，所以直線斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化簡得y1y2＝－4，故C不正確；設(shè)AC的中點為M(x0，y0)，因為|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確．故選ABD.二、填空題 9．(2020·深圳調(diào)研二)已知橢圓C：＋＝1的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，C上有且只有一個點P滿足|OF|＝|FP|，則C的方程為________． 答案?。? 解析 根據(jù)對稱性知P在x軸上，因為|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故橢圓C的方程為＋＝1.10．(2020·浙江高考)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝________，b＝________.答案 ?。?/p> 解析 由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a 解析 由題意可知D是拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點，且D，又正方形DEFG的邊長為b，所以F，因為F在拋物線上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因為0 解析 如圖所示，設(shè)PnFn1，PnFn2與圓Gn分別切于點Bn，Cn.根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又點Pn是雙曲線En右支上一動點，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答題 13．(2020·山東濟南二模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點和下頂點分別為A，B，|AB|＝2，過橢圓焦點且與長軸垂直的弦的長為2.(1)求橢圓C的方程； (2)已知M為橢圓C上一動點(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點P，直線BM與x軸交于點Q，證明：|AQ|·|BP|為定值． 解(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：A(－4,0)，B(0，－2)，設(shè)M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因為M(x0，y0)在橢圓C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三點共線，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2| ＝|·| ＝||＝16.所以|AQ|·|BP|為定值16.14．(2020·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知定點F(0,1)，P為x軸上方的動點，線段PF的中點為M，點P，M在x軸上的射影分別為A，B，PB是∠APF的平分線，動點P的軌跡為E.(1)求E的方程； (2)設(shè)E上點Q滿足PQ⊥PB，Q在x軸上的射影為C，求|AC|的最小值． 解 解法一：(1)設(shè)坐標(biāo)原點為O，因為PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因為PB是∠APF的平分線，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因為M為線段PF的中點，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因為|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因為P為x軸上方的動點，所以點P到點F的距離等于點P到直線y＝－1的距離，所以動點P的軌跡E是頂點在原點，焦點為F(0,1)的拋物線(原點除外)，設(shè)E的方程為x2＝2py(p>0，x≠0)，則＝1，所以p＝2，所以E的方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設(shè)點P，Q，所以點B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因為x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8.解法二：(1)設(shè)點P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以點B，所以|AB|＝，因為PB是∠APF的平分線，所以點B到直線PF的距離d＝|AB|，因為直線PF的方程為y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以動點P的軌跡E的方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設(shè)點P，Q，所以點B，所以kPB＝＝，因為PQ⊥PB，所以直線PQ的方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8.
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