第一篇：03 第三節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積

第三節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積

內(nèi)容分布圖示

★ 兩向量的數(shù)量積

★ 數(shù)量積的運(yùn)算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量積的運(yùn)算

★ 向量積的定義 ★ 例7

★ 例10

★ 混合積的幾何意義

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合積

★ 例11

★ 例12

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題7-3

★ 返回

內(nèi)容要點(diǎn)：

一、兩向量的數(shù)量積：

定義1設(shè)有向量a、b，它們的夾角為?，乘積|a||b|cos?稱(chēng)為向量a與b的數(shù)量積（或稱(chēng)為內(nèi)積、點(diǎn)積），記為a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.根據(jù)數(shù)量積的定義，可以推得：

??????

（1）a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;（2）a?a?|a|;??????（3）設(shè)a、b為兩非零向量，則 a?b的充分必要條件是 a?b?0.???2數(shù)量積滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律：

????（1）交換律

a?b?b?a;

（2）分配律

（3）結(jié)合律 ???????(a?b)?c?a?c?b?c;???????(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?為實(shí)數(shù)）.二、兩向量的向量積

???定義2 若由向量a與b所確定的一個(gè)向量c滿(mǎn)足下列條件：

??????（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定（圖7-3-5）；

??????（2）c的模 |c|?|a||b|sin?，(其中?為a與b的夾角)，???則稱(chēng)向量c為向量a與b的向量積（或稱(chēng)外積、叉積），記為

???c?a?b.根據(jù)向量積的定義，即可推得

???（1）a?a?0；

??????（2）設(shè)a、b為兩非零向量，則 a//b的充分必要條件是 a?b?0.向量積滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律: ????（1）a?b??b?a;

???????（2）分配律(a?b)?c?a?c?b?c;

（3）結(jié)合律 ?(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?為實(shí)數(shù)）.三、向量的混合積 ??????例題選講：

兩向量的數(shù)量積

例1(講義例1)已知a?{1,1,?4},b?{1,?2,2}, 求 ??????(1)a?b;

(2)a與b的夾角?;(3)a與b上的投影.??例2 ?證明向量c??????與向量(a?c)b?(b?c)a垂直.例3(講義例2)試用向量方法證明三角形的余弦定理.??????????例4(講義例3)設(shè)a?3b與7a?5b垂直, a?4b與7a?2b垂直, 求a與b之間的夾角?.例5(講義例4)設(shè)液體流過(guò)平面S上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為(常向量)v.設(shè)n為垂直于S的單位向量(圖7-3-3a), 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為?).兩向量的向量積

????????例6(講義例5)求與a?3i?2j?4k,b?i?j?2k都垂直的單位向量.例7(講義例6)在頂點(diǎn)為A(1,?1,2),B(5,?6,2)和C(1,3,?1)的三角形中, 求AC邊上的高BD.???例8 設(shè)向量m,n,p兩兩垂直, 伏隔右手規(guī)則, 且

m?4, n?2, p?3, 計(jì)算(m?n)?p.例9(講義例7)設(shè)剛體以等角速度?繞l軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.例10 利用向量積證明三角形正弦定理.向量的混合積

?????????例11(講義例8)已知(a?b)?c?2, 計(jì)算[(a?b)?(b?c)]?(c?a).???????例12(講義例9)已知空間內(nèi)不在同一平面上的四點(diǎn)

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面體的體積.例13 已知a?i,b?j?2k,c?2i?2j?k, 求一單位向量?, 使??c, 且?與a,b此同時(shí)共面.課堂練習(xí)

1.已知向量a?0,b?0, 證明

???2?2??22|a?b|?|a|?|b|?(a?b).??????????2.已知a,b,c兩兩垂直, 且|a|?1,|b|?2,|c|?3,求s?a?b?c的長(zhǎng)度與它和??????????????????????a,b,c的夾角.

第二篇：兩個(gè)向量的數(shù)量積（推薦）

8、《兩個(gè)向量的數(shù)量積》說(shuō)課稿

尊敬的各位評(píng)委老師：

大家好！今天我說(shuō)課的內(nèi)容是《兩個(gè)向量的數(shù)量積》。現(xiàn)代教育理論指出學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)、以學(xué)生活動(dòng)為主線、在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上、建構(gòu)新的知識(shí)體系。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我將此理念貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中。下面就從教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、重難點(diǎn)分析、教法分析、學(xué)法分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、板書(shū)設(shè)計(jì)及教學(xué)評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行說(shuō)明。

一、教材分析

《兩個(gè)向量的數(shù)量積》是現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)下第九章第5節(jié)的內(nèi)容。在本節(jié)之前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的一些知識(shí)，包括空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識(shí)是學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ)。

向量概念的引入是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)捷徑，同時(shí)也引入了一種新的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法：坐標(biāo)法，同時(shí)也引入了一種新的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想。同時(shí)，兩個(gè)向量之間的位置關(guān)系可以通過(guò)數(shù)量積來(lái)表示。因此，研究?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1．基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律；

2．能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

3．個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)：訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，了解數(shù)量積在實(shí)際問(wèn)題中的初步應(yīng)用。

4．創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

三、重難點(diǎn)分析

教學(xué)的重點(diǎn)是兩個(gè)向量數(shù)量積的計(jì)算方法及其應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上應(yīng)該讓學(xué)生理解兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義，這也就是本節(jié)課的難點(diǎn)。

下面，為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我將從教法和學(xué)法上進(jìn)行講解。

四、教法

教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)生共同參與的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，并為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，采用采用引導(dǎo)式、講練結(jié)合法進(jìn)行講解。

五、學(xué)法

教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要，本節(jié)課注重調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：

(1)聯(lián)想法：要求學(xué)生聯(lián)想學(xué)過(guò)的向量知識(shí)，特別加深理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互滲透性。

1(2)觀察分析法：讓學(xué)生要學(xué)會(huì)觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題新。

(3)練習(xí)鞏固法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運(yùn)用，從而檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。

下面，我將具體談?wù)勥@堂課的教學(xué)過(guò)程。

六、教學(xué)程序及設(shè)想

七、板書(shū)設(shè)計(jì)

板書(shū)要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進(jìn)程，能簡(jiǎn)明扼要反映知識(shí)結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系；能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)；同時(shí)不完全按課本上的呈現(xiàn)方式來(lái)編

排板書(shū)。即體現(xiàn)系統(tǒng)性、程序性、概括性、指導(dǎo)性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性的原則；（原則性）

以上就是我說(shuō)課的內(nèi)容，希望各位老師對(duì)本堂課的說(shuō)課提出寶貴的意見(jiàn)。謝謝。

第三篇：向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，力F所做的功為多少？

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答。然后教師提問(wèn)學(xué)生功、位移、力各是什么量，由此引入向量“數(shù)量積”的概念?！窘Y(jié)論】

（二）講授新課

1、向量的數(shù)量積

2、數(shù)量積的幾何意義

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律

古典概型

教材分析

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時(shí)，是在學(xué)習(xí)隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。

學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現(xiàn)象與問(wèn)題。學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)了解了頻率與概率的關(guān)系，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單等可能事件發(fā)生的概率，這為學(xué)習(xí)古典概型提供了一定的基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)通過(guò)試驗(yàn)理解基本事件的概念和特點(diǎn)；

(2)通過(guò)具體實(shí)例分析，抽離出古典概型的兩個(gè)基本特征，并推導(dǎo)出古典概型下的概率計(jì)算公式；

(3)會(huì)求一些簡(jiǎn)單的古典概率問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法：經(jīng)歷探究古典概型的過(guò)程，體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)具有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解古典概型的概念，利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率。難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，弄清在一個(gè)古典概型中基本事件的總數(shù)和某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)。教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

有一本好書(shū)，兩位同學(xué)都想看。甲同學(xué)提議擲硬幣：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同學(xué)提議擲骰子：三點(diǎn)以下甲先看，三點(diǎn)以上乙先看。這兩種方法是否公平？

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答。教師提出公平與否實(shí)質(zhì)上是概率大小問(wèn)題，切入本堂課主題——利用古典概型求隨機(jī)事件的概率。

（二）溫故知新

回顧前幾節(jié)課對(duì)概率求取的方法。

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答，進(jìn)而教師提出這種求概率的方法的不足之處，提出建立概率模型的必要性?！窘Y(jié)論】大量重復(fù)試驗(yàn)。

（三）講授新課

1、基本事件

問(wèn)題1：（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，會(huì)有哪幾種可能結(jié)果？

（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，會(huì)有哪幾種可能結(jié)果？

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答。教師提出基本事件的概念。【結(jié)論】

定義：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)基本事件。

問(wèn)題2：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子

(1)在一次試驗(yàn)中，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)“1點(diǎn)”和“2點(diǎn)”這兩個(gè)基本事件嗎？

(2)隨機(jī)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3”與“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3”包含哪幾個(gè)基本事件？

問(wèn)題3：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣

(1)在一次試驗(yàn)中，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”這兩個(gè)基本事件嗎？

(2)“必然事件”包含哪幾個(gè)基本事件？

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本事件的共同特征?；臼录奶攸c(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型

思考:從基本事件角度來(lái)看,上述兩個(gè)試驗(yàn)有何共同特征？ 【師生活動(dòng)】由個(gè)別學(xué)生回答，教師輔助講解，引出古典概型的概念。古典概型的特征：

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個(gè)數(shù)有限；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。思考：能否列舉出一些生活實(shí)例是符合古典概型的特征的？

3、求解古典概型

思考:古典概型下,每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率是多少?隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率又如何計(jì)算？(1)基本事件的概率 試驗(yàn)1:擲硬幣

P(“正面向上”）= P(“反面向上”）=1/2 試驗(yàn)2:擲骰子

P（“1點(diǎn)”）=P（“2點(diǎn)”）=P（“3點(diǎn)”）=P（“4點(diǎn)”）=P（“5點(diǎn)”）=P（“6點(diǎn)”）=1/6 【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答，教師板書(shū)。

【結(jié)論】古典概型中,若基本事件總數(shù)有n個(gè),則每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率為1/n。(2)隨機(jī)事件的概率

擲骰子試驗(yàn)中，記事件A為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3”，事件B為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3”，如何求解P(A)與P(B)？

【結(jié)論】古典概型中,若基本事件總數(shù)有n個(gè)，A事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)為m，則P（A）=m/n。

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

一、教材分析

本節(jié)課是在學(xué)生掌握了單位圓中的正弦函數(shù)線和誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)應(yīng)用的考察，也是后續(xù)學(xué)習(xí)正、余弦函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。對(duì)函數(shù)圖像清晰而準(zhǔn)確的掌握也為學(xué)生在解題實(shí)踐中提供了有力的工具。本小節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是本章知識(shí)的重點(diǎn)，有著承前啟后的作用。

二、學(xué)情分析

知識(shí)上，通過(guò)高一對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，能夠類(lèi)比推理畫(huà)出圖像，并通過(guò)觀察圖像，總結(jié)性質(zhì)。心理上，具備了一定的分辨能力、語(yǔ)言表達(dá)能力，初步形成了辯證的思維方法。

三、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1、會(huì)用單位圓中的線段畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象；

2、結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，會(huì)用誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；

3、會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正、余弦函數(shù)的圖象。

（二）過(guò)程與方法

1、通過(guò)將單位圓12等分，過(guò)各分點(diǎn)做垂線，得到對(duì)應(yīng)于0、π/6...2π等角的正弦線，將其向右平移，得到函數(shù)y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

2、根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象；

3、通過(guò)先描關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，再用光滑的曲線將其連接起來(lái)，得到正余弦函數(shù)的圖象。

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1、通過(guò)作函數(shù)圖象，感受數(shù)形結(jié)合的思想；

2、通過(guò)各函數(shù)圖象之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦曲線、余弦曲線。

難點(diǎn)：利用單位圓中的正弦線畫(huà)出函數(shù)y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦曲線。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)引入

1、如何畫(huà)函數(shù)的圖象？有什么方法

2、回顧一下三角函數(shù)線的概念。

【師生活動(dòng)】對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，可由個(gè)別學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書(shū)，進(jìn)而引出本節(jié)課的主題——繪制正余弦函數(shù)的圖象。

（二）講授新課

1、正弦函數(shù)的圖象

（1）提問(wèn)：1）一般怎樣得到函數(shù)圖象上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)數(shù)據(jù)？

2）由于一般角的三角函數(shù)值都是近似值，作圖不夠精確，我們?nèi)绾蔚玫饺我饨堑娜呛瘮?shù)值并用線段長(zhǎng)（或有向線段數(shù)值）表示x角的三角函數(shù)值。即如何在直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確的描出此點(diǎn)（x,sinx）？

【師生活動(dòng)】問(wèn)題1可由學(xué)生回答，學(xué)生可能會(huì)回答描點(diǎn)法，進(jìn)而教師指出三角函數(shù)值都是近似值，作圖不夠精確，拋出問(wèn)題2。對(duì)于問(wèn)題2，教師可自問(wèn)自答，指出可利用單位圓中的正弦線來(lái)準(zhǔn)確描點(diǎn)。之后教師板書(shū)利用正弦線作正弦函數(shù)圖象的過(guò)程。（2）利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象： 1）作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)畫(huà)單位圓 2）把單位圓分成12等分（等分越多，畫(huà)出的圖象越精確），可分別在單位圓中作出對(duì)應(yīng)于x的0，,?? ,2? 的正弦函數(shù)線。

3）找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2?(2?≈6.28)這一段分成12等分。4）找縱坐標(biāo)：將正弦線對(duì)應(yīng)平移，即可得到相應(yīng)12個(gè)點(diǎn)。

5）連線：用平滑的曲線將12個(gè)點(diǎn)依次從左至右連接起來(lái)，即得y=sinx，x∈[0,2?]的圖像。使學(xué)生明白作圖方法的來(lái)由。

2、余弦函數(shù)的圖象

思考：能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式將正余弦函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，可由個(gè)別學(xué)生回答?！窘Y(jié)論】

3、五點(diǎn)法作圖

（1）提問(wèn)：利用正弦線作圖確實(shí)比較精確，但不太實(shí)用，我們?cè)撊绾慰旖莸禺?huà)出正弦函數(shù)的圖象呢？

追問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察：是否可看出，在函數(shù)y=sinx，x∈[0,2?]的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)只有五個(gè)：（哪五個(gè)？）

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答，進(jìn)而教師指出在精確度不高的情況下，常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線將它們連接起來(lái)，就可以得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖?！窘Y(jié)論】

（2）提問(wèn)：類(lèi)似于正弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，能否找出余弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？作出簡(jiǎn)圖。

【師生活動(dòng)】由學(xué)生自主探索用五點(diǎn)法作圖，教師可請(qǐng)一位學(xué)生上來(lái)板演，之后進(jìn)行一定的講解。

（三）例題講解

兩角差的余弦公式

教材分析

三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn)上，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材．兩角差的余弦公式是《三角恒等變換》這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)角的變換得到另一個(gè)公式．我們可以用“隨機(jī)、自然進(jìn)入”的方式選擇其中的一個(gè)作為突破口．教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點(diǎn)是使公式的證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)和能力．

教材沒(méi)有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進(jìn)行探究，并從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果．這樣的安排不僅使探究更加真實(shí)，也有利于學(xué)生學(xué)會(huì)探究、思維發(fā)展。教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課 問(wèn)題1：我們知道cos30??13，cos60??，cos30?又可寫(xiě)成cos(60?-30?)，那么

22cos(60?-30?)是不是就等于cos60?-cos30?呢？

【師生活動(dòng)】可由教師直接在黑板上板書(shū)，與學(xué)生共同驗(yàn)證結(jié)論的錯(cuò)誤，進(jìn)而引出本節(jié)課所要探討的兩角差的余弦公式。

（二）講授新課

兩角差的余弦公式：cos(?-?)?cos?cos??sin?sin? 思考：如何證明上述公式？

追問(wèn)：求一個(gè)角的余弦值的最原始的方法是什么？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生從單位元上的三角函數(shù)出發(fā)，在單位元中構(gòu)造直角三角形和角α、β，將cos?、cos?、sin?、sin?表示出來(lái)，找出它們之間的等量關(guān)系?？上瓤紤]簡(jiǎn)單的情形，即α、β是銳角的情況?！窘Y(jié)論】通過(guò)單位元中的三角函數(shù)線。【證明】

提問(wèn)：對(duì)于α、β是任意角的情況，如何將公式進(jìn)行推廣呢？

【師生活動(dòng)】此項(xiàng)推廣工作比較繁難，教師在課堂上可提示有興趣的學(xué)生回去自行研究一下。提問(wèn)：上個(gè)單元我們學(xué)習(xí)了向量的知識(shí)，在證明兩角差的余弦公式時(shí)能否利用向量的知識(shí)來(lái)證明呢？

【師生活動(dòng)】教師提示學(xué)生可在單位元中取兩個(gè)向量，通過(guò)計(jì)算向量的數(shù)量積得到公式，但要提醒學(xué)生注意考慮角的范圍，通過(guò)觀察討論搞清?-??2k????！咀C明】

正弦定理

一、教材分析

正弦定理選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修5（人教A版）》，主要學(xué)習(xí)正弦定理及其應(yīng)用。本節(jié)課作為本章的起始課，既是初中解直角三角形的延拓，也是對(duì)三角函數(shù)和平面向量等知識(shí)在三角形中的運(yùn)用。本節(jié)內(nèi)容是解任意三角形的基礎(chǔ)，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)余弦定理打下了一定的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，這為學(xué)習(xí)正弦定理打下了良好的基礎(chǔ)。但本節(jié)內(nèi)容涉及代數(shù)推理，定理的推導(dǎo)和證明中可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)有困難。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)： 1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運(yùn)用.五、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化呢？

【師生活動(dòng)】教師指出在一個(gè)?ABC中，如果已知。。，我們要研究。。由此，引出本節(jié)課的主題——正弦定理。

（二）講授新課

1、特殊入手，探究證明

直角三角形中角與邊的等式關(guān)系：

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正弦函數(shù)的定義，得到三邊與對(duì)應(yīng)的角的正弦值的關(guān)系。【證明】

2、推廣拓展，探究證明

銳角三角形中角與邊的等式關(guān)系：

問(wèn)題1：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與sinA、b與sinB”的關(guān)系呢？ 追問(wèn)：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下兩種方法構(gòu)造直角三角形。

生1：過(guò) C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng)線于D，得到直角三角形DBC。生2：過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直角三角形問(wèn)題?！編熒顒?dòng)】可由個(gè)別學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書(shū)證明?！咀C明】

問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于鈍角三角形的情況，類(lèi)別銳角三角形，構(gòu)造直角三角形，留給學(xué)生課后回去思考。

3、正弦定理的理解 正弦定理：

問(wèn)題4：定理從結(jié)構(gòu)上看有什么特征？有哪些變形式？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察定理的結(jié)構(gòu)，用方程的觀點(diǎn)看問(wèn)題，每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。

【結(jié)論】（1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

（2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為：

① 已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值。

余弦定理

教材分析

余弦定理是初中勾股定理的直接延拓，也是解任意三角形的基礎(chǔ)，是三角函數(shù)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，它也是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)?！緦W(xué)情分析】

學(xué)生已經(jīng)會(huì)用正弦定理解決三角形相關(guān)問(wèn)題，了解三角形邊角之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。對(duì)于正弦定理解決已知兩邊及夾角問(wèn)題學(xué)生有一定的求知欲，這就促使學(xué)生去探索如何求解該類(lèi)問(wèn)題。

【教學(xué)重點(diǎn)】 余弦定理推導(dǎo)

【教學(xué)難點(diǎn)】 余弦定理推導(dǎo)及應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形。怎樣在這樣的已知三角形的兩邊及其夾角的條件下解三角形呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生先用數(shù)學(xué)符號(hào)表示上述問(wèn)題：如果已知三角形的兩邊a，b和角C，如何解出c，B，A？先考慮怎樣計(jì)算出c的大小。即要研究如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊的問(wèn)題，由此引出本節(jié)課的主題——余弦定理。

（二）講授新課

1、余弦定理

問(wèn)題1：聯(lián)系所學(xué)過(guò)的知識(shí)，從什么途徑來(lái)解決上述問(wèn)題呢？

【師生活動(dòng)】由于涉及到邊長(zhǎng)問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度出發(fā)考慮，利用向量的數(shù)量積求解。【證明】 余弦定理：

2、余弦定理的推論 問(wèn)題2：

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生將余弦定理進(jìn)行變形，可以通過(guò)三邊計(jì)算出三角形的三個(gè)角。【結(jié)論】

3、余弦定理和勾股定理的關(guān)系

問(wèn)題3：余弦定理與以前的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近？

【師生活動(dòng)】由個(gè)別學(xué)生回答，教師由此引進(jìn)就三種不同情形探究?jī)蓚€(gè)定理之間的聯(lián)系。【結(jié)論】

（三）例題講解

等差數(shù)列

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

情境1：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，10,15,20...情境2： 情境3 情境4：

思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個(gè)數(shù)列： 0，5，10，15，20，?? ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④ 看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，由此引出等差數(shù)列的概念。【結(jié)論】

（二）講授新課

1、等差數(shù)列的概念

問(wèn)題1：對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱(chēng)它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義。

【師生活動(dòng)】由個(gè)別學(xué)生回答，教師輔助講解?！窘Y(jié)論】

問(wèn)題2：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？ 【師生活動(dòng)】由個(gè)別學(xué)生回答，教師由此引入等差中項(xiàng)的概念。【結(jié)論】

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

問(wèn)題3：對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義，先得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，再將每一項(xiàng)用首項(xiàng)及公差表示出來(lái)，即可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，得到通項(xiàng)公式?！窘Y(jié)論】

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

教材分析

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列與等差數(shù)列的概念的延續(xù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的重要基礎(chǔ)和有力工具。同時(shí)，它也為后續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和打下了一定的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)中的函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等都有密切的聯(lián)系。

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí)，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問(wèn)題：1+2+3+??+100=？當(dāng)時(shí)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050。高斯的算法解決了1+2+3+??+n中前100項(xiàng)之和的問(wèn)題。

【師生活動(dòng)】教師通過(guò)講述這個(gè)故事，因此本節(jié)課的主題——等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，并讓學(xué)生思考高斯的算法妙在哪里。

（二）講授新課

問(wèn)題1：能否嘗試用高斯的方法計(jì)算出1+2+3+??+n的結(jié)果？ 【師生活動(dòng)】先由學(xué)生自主思考，再請(qǐng)個(gè)別學(xué)生回答，教師輔助講解。【結(jié)論】

問(wèn)題2：有沒(méi)有更巧妙的方法呢？

【師生活動(dòng)】教師指出數(shù)學(xué)家們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個(gè)方法計(jì)算1，2，3，?，n，?的前n項(xiàng)的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 +? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

這種方法叫“倒序相加法”。

問(wèn)題3：對(duì)于一般的等差數(shù)列求和，能否用倒序相加法來(lái)求解？

【師生活動(dòng)】教師設(shè)出一個(gè)一般的等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生用倒序相加法求和，將Sn用兩種方式表示出來(lái)，同樣將兩式相加，得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式?！就茖?dǎo)過(guò)程】

問(wèn)題4：如果不知道末項(xiàng)，如何求前n項(xiàng)和？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生可利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將an用首項(xiàng)及公差表示，得到公式2。【結(jié)論】

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（5）》（人教版）第二章第5節(jié)第一課時(shí)。從在教材中的地位與作用來(lái)：看《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類(lèi)比、化歸、分類(lèi)討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類(lèi)比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)。教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。教學(xué)過(guò)程

（三）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

國(guó)際象棋起源于古代印度。相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么。發(fā)明者說(shuō)：請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚。為什么呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生將各格所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列，可得到一個(gè)等比數(shù)列。該問(wèn)題即是求這個(gè)等比數(shù)列前64項(xiàng)的和。提問(wèn)：如何對(duì)上式進(jìn)行求解呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上式進(jìn)行觀察，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)后一項(xiàng)均是前一項(xiàng)的2倍，用2乘以上式，得到一個(gè)新的式子，再引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)式子的關(guān)系，將兩式相減，從而得到最終結(jié)果?！厩蠼膺^(guò)程】

（四）講授新課

問(wèn)題1：對(duì)于一般的等比數(shù)列。，它的前n項(xiàng)和是。。，如何求前n項(xiàng)和呢？ 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比求麥粒的過(guò)程，自主探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，可請(qǐng)個(gè)別學(xué)生上來(lái)板演?！就茖?dǎo)過(guò)程】 【注意點(diǎn)】q?1

問(wèn)題2：如果不知道數(shù)列總共有多少項(xiàng)，如何求第一項(xiàng)至最后一項(xiàng)的總和？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生如果不知道n具體為多少時(shí)，該如何求解前n項(xiàng)和，引導(dǎo)學(xué)生回顧。，可將公式進(jìn)行變化得到另一公式?！窘Y(jié)論】

問(wèn)題3：若q=1，則是什么數(shù)列？

【師生活動(dòng)】由全體學(xué)生共同回答，教師進(jìn)行板書(shū)，將特殊情況羅列出來(lái)?！窘Y(jié)論】常數(shù)數(shù)列。

平行線的判定

1、教材分析

圖形的判定與圖形的性質(zhì)，是研究圖形時(shí)必須要解決的兩類(lèi)問(wèn)題，判定兩條直線平行，是指根據(jù)直線具備的某個(gè)條件，就可以得到這兩條直線平行的結(jié)論。而性質(zhì)是一種事物區(qū)別于其它事物的根本屬性。研究平行線的性質(zhì)，平行線是已知的前提條件。因此二者的不同之處在于平行線是條件還是結(jié)論。教科書(shū)通過(guò)學(xué)生已學(xué)過(guò)的平行線的畫(huà)法中，有同位角相等畫(huà)出的兩直線就平行這一數(shù)學(xué)事實(shí)，得出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法。這一方法是判定兩直線平行的基本方法，利用這一方法，通過(guò)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角關(guān)系分別推出平行線的另外兩種判定方法。教科書(shū)p36上端提出的問(wèn)題可用反證法的思想加以說(shuō)明。假設(shè)CD與EF不平行，那么CD與EF相交，設(shè)交點(diǎn)為O，那么過(guò)O點(diǎn)就可畫(huà)兩條直線與AB平行，這與“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)能畫(huà)并且只能畫(huà)一條直線與已知直線平行”的已知事實(shí)矛盾，所以CD∥EF。在平行線判定的教學(xué)中，應(yīng)充分體現(xiàn)一條主線索：“充分實(shí)驗(yàn)—仔細(xì)觀察—形成猜想—實(shí)踐檢驗(yàn)—明確條件和結(jié)論．”

2、學(xué)生分析

以前學(xué)生接觸的是一步推理，而且因果關(guān)系比較明顯。判定定理的推導(dǎo)需要先通過(guò)角的關(guān)系，找符合判定公理的條件，涉及兩步推理，學(xué)生需要思考的問(wèn)題復(fù)雜了一些，可能一時(shí)適應(yīng)不了問(wèn)題的思考方法。教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)，隨時(shí)歸納總給使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)思考和分析。根據(jù)以前經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生能積極思考、探究，敢于發(fā)表自己的見(jiàn)解；在前面的教學(xué)中，曾開(kāi)展過(guò)探究實(shí)踐活動(dòng)，全班同學(xué)具有初步的小組合作交流的經(jīng)驗(yàn)。

3、學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等活動(dòng)，探索并掌握平行線的三個(gè)判定方法，并會(huì)正確識(shí)別圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角。

能力與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索直線平行的條件的過(guò)程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力。

情感與態(tài)度目標(biāo)：在自己獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與小組活動(dòng)對(duì)直線平行條件的討論，敢于表達(dá)自已的觀點(diǎn)，并從中受益。

重點(diǎn)難點(diǎn)分析：本節(jié)的重點(diǎn)是：平行線的判定公理及兩個(gè)判定定理．一般的定義與第一個(gè)判定定理是等價(jià)的．都可以做判定的方法．但平行線的定義不好用來(lái)判定兩直線相交還是不相交．這樣，有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來(lái)判定．因此，這一個(gè)判定公理和兩個(gè)判定定理就顯得尤為重要了．它們是判斷兩直線平行的依據(jù)，也為下一節(jié)，學(xué)習(xí)習(xí)近平行線的性質(zhì)打下了基礎(chǔ)．本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是：理解由判定公理推出判定定理的過(guò)程．學(xué)生剛剛接觸演繹推理方法，對(duì)幾何說(shuō)理還不太理解．有些同學(xué)甚至認(rèn)為從直觀圖形即可辨認(rèn)出的性質(zhì)，沒(méi)必要再進(jìn)行證明．這些都使幾何的入門(mén)教學(xué)困難重重．因此，教學(xué)中要有直觀的演示和操作，也要有嚴(yán)格推理板書(shū)示范．創(chuàng)設(shè)情境，不斷滲透，使學(xué)生初步理解說(shuō)理的步驟和基本方法．

勾股定理

教材分析：

這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級(jí)中學(xué)教材浙教版八年級(jí)第二章第六節(jié)《探索勾股定理》第一課時(shí)，勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用，在現(xiàn)時(shí)世界中也有著廣泛的作用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。

學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具有了一定的幾何圖形的觀察能力，同時(shí)他們的抽象思維能力、邏輯推理能力也有了一定的發(fā)展。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了三角形，全等三角形，等腰三角形以及簡(jiǎn)單多邊形的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有很大幫助。本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有一定難度。

多邊形的內(nèi)角和

一、教材分析：

從教材的編排上，本節(jié)課作為第三章的第三節(jié)。從三角形的內(nèi)角和到四邊形的內(nèi)角和至多邊形的內(nèi)角和，環(huán)環(huán)相扣。同時(shí)，對(duì)今后學(xué)習(xí)的鑲嵌，正多邊形和圓等都是非常重要的。知識(shí)的聯(lián)系性比較強(qiáng)。因此，本節(jié)課具在承上啟下的作用，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。再?gòu)谋竟?jié)的教學(xué)理念看，編者從簡(jiǎn)單的幾何圖形入手，蘊(yùn)含了把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，化未知為已知的思想。充分體現(xiàn)了人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，這一新課程標(biāo)準(zhǔn)精神。

二、學(xué)情分析：

學(xué)生剛學(xué)完三角形的內(nèi)角和，對(duì)內(nèi)角和的問(wèn)題有了一定的認(rèn)識(shí)，加上七年級(jí)的學(xué)生具有好奇心，求知欲強(qiáng)，互相評(píng)價(jià)，互相提問(wèn)的積極性高。因此對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的知識(shí)條件已經(jīng)成熟。學(xué)生參加探索活動(dòng)的熱情已經(jīng)具備。因此把這節(jié)課設(shè)計(jì)成一節(jié)探索活動(dòng)課是必要的。

三、教學(xué)目標(biāo)的確定：

新課程標(biāo)準(zhǔn)注重教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，注重學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想像等探索過(guò)程。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，我確定了以下的教學(xué)目標(biāo)。

知識(shí)技能：掌握多邊形的內(nèi)角和公式

數(shù)學(xué)思考：

1、通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，交流互 動(dòng)，能夠?qū)⒍噙呅蔚膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。從而深刻理解多邊形的內(nèi)角和，并會(huì)加以應(yīng)用。

2、通過(guò)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在探索中學(xué)會(huì)交流自己的思想和方法。

3、通過(guò)探索多邊形內(nèi)角和公式，讓學(xué)生逐步從實(shí)驗(yàn)幾何過(guò)渡到論證幾何。

解決問(wèn)題：通過(guò)探索多邊形的內(nèi)角和公式，使學(xué)生嘗試從不同的角度尋求解決問(wèn)題的方法并能有效的解決問(wèn)題。

情感態(tài)度：讓學(xué)生體驗(yàn)猜想得到證實(shí)的成功喜悅和成就感。在解題中感受數(shù)學(xué)就在我們身邊。

四、重難點(diǎn)的確立：

既然是多邊形內(nèi)角和具有承上啟下的作用。因此確定本節(jié)課的重點(diǎn)是探究多邊形的內(nèi)角和的公式。由于七年級(jí)學(xué)生初學(xué)幾何，所以學(xué)生在幾何的邏輯推理上感到有難度。所以我確定本節(jié)課的難點(diǎn)是探究多邊形內(nèi)角和公式推導(dǎo)的基本思想，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。

對(duì)數(shù)的概念

一、教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修一（人教A版）》第二章2.2.1，主要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算。對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算是學(xué)生在學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)冪后的又一重要運(yùn)算，對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化是對(duì)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的鞏固，也是后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用。

二、學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容面向高一學(xué)生，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)，而對(duì)數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化過(guò)來(lái)的，所以前面的學(xué)習(xí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了一定的鋪墊。學(xué)生已經(jīng)初步具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，但本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的遷移轉(zhuǎn)化能力有較高的要求。因此，教師要加以一定的指導(dǎo)。

三、教學(xué)目標(biāo)

四、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

根據(jù)上一節(jié)的例8我們能從中，算出任意一個(gè)年頭x的人口總數(shù)，那么哪一年的人口達(dá)到18億，20億，30億？

【師生活動(dòng)】由學(xué)生根據(jù)問(wèn)題得出計(jì)算公式，進(jìn)而教師引導(dǎo)學(xué)生觀察3個(gè)式子，都是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)。由此，教師引出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)問(wèn)題。

（二）講授新課

1、對(duì)數(shù)的定義

一般地。。

思考：利用對(duì)數(shù)寫(xiě)出上述3個(gè)問(wèn)題的答案。

【師生活動(dòng)】全體學(xué)生共同回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答板書(shū)，幫助學(xué)生掌握對(duì)數(shù)的概念。【結(jié)論】

提問(wèn)：為什么對(duì)數(shù)的定義中要求a>0且不等于1？

2、兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)

3、對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系

4、對(duì)數(shù)的性質(zhì)

提問(wèn)：是否所有實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生將對(duì)數(shù)式先轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再進(jìn)行思考。【結(jié)論】

（三）課堂例題

直線的傾斜角與斜率

教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修2（人教A版）》第三章3.1，主要學(xué)習(xí)直線的傾斜角與斜率。直線的傾斜角與斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以坐標(biāo)法的方式來(lái)研究直線及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。本節(jié)課是第三章的第一節(jié)，該節(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究圖形，研究幾何問(wèn)題的初步知識(shí)，這些知識(shí)是初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。本節(jié)也是后續(xù)學(xué)習(xí)直線的方程、圓錐曲線的基礎(chǔ)。學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，對(duì)直線的表示有一定的了解，這為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了一定的基礎(chǔ)。由于這是學(xué)生第一次接觸直線的傾斜角和斜率，對(duì)于兩者之間的轉(zhuǎn)換也有一定的難度，對(duì)學(xué)生的問(wèn)題探究能力也有一定的要求。因此，在課堂中要讓學(xué)生好好理解直線的傾斜角與斜率的概念。教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)用坐標(biāo)表示，直線如何表示呢？

（二）講授新課

問(wèn)題1：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？ 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)可以確定一條直線，一點(diǎn)不能確定一條直線。問(wèn)題2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P的不同直線的區(qū)別在哪里？ 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的不同直線，其傾斜程度不同。

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修2（人教A版）》第四章4.1.1，主要學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。圓作為常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何圖形，在實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。圓的方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究二次曲線的開(kāi)始，是后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)。學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的概念和基本性質(zhì)，在前一階段的學(xué)習(xí)中又掌握了求直線方程的一般方法，為本節(jié)的學(xué)習(xí)打下了一定的基礎(chǔ)。但由于學(xué)生以往更注重從幾何的角度理解圓的性質(zhì)，而且學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間還不長(zhǎng)，尚未牢固建立數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)坐標(biāo)法的運(yùn)用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)困難。教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義，圓是怎么定義的呢？確定一個(gè)圓需要哪些條件？ 【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的定義，讓學(xué)生明確確定一個(gè)圓的幾何要素是半徑和圓心。

（二）講授新課

問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓如何表示呢？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生利用圓的定義，設(shè)出圓上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓上的任意點(diǎn)到圓心的距離等于半徑的關(guān)系求出圓的方程?！窘Y(jié)論】

問(wèn)題2：在平面直角坐標(biāo)系中，如果圓心不在原點(diǎn)，圓的方程應(yīng)該如何表示呢？ 【師生活動(dòng)】 【結(jié)論】

直線與平面平行的判定

教材分析

本節(jié)內(nèi)容。。本節(jié)課是在前面學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直線與平面的位置關(guān)系。平行關(guān)系是本章的重要內(nèi)容，線面平行是平行關(guān)系的初步，也是面面平行判定的基礎(chǔ)，還映射著線面垂直的關(guān)系。學(xué)情分析

學(xué)生通過(guò)對(duì)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，初步理解了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，基本熟悉了直觀感知、操作確認(rèn)這一研究方法，但對(duì)學(xué)生的空間想象能力有一定的要求。

a??，b??，且a//b?a//?.證明：由a??得

a//?或者a???A.下證a???A不可能.若a???A，由a//b，b??，得

A?b.則過(guò)點(diǎn)A做c//b，則a//c.又a?c?A，矛盾.?a//?.

第四篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo):推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問(wèn)題.2、能力目標(biāo):通過(guò)自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問(wèn)題的能力,促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.3、情感目標(biāo):通過(guò)自主學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的成就感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.教學(xué)重點(diǎn):利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決模、夾角、垂直等問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo).教法:啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):

一、復(fù)習(xí)引入

(教師提問(wèn),學(xué)生回答)

二、知識(shí)探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論:兩個(gè)向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與前面所學(xué)的向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學(xué)生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問(wèn),學(xué)生做后兩問(wèn))

2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模問(wèn)題:

(讓學(xué)生自己推導(dǎo))?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點(diǎn)間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習(xí):P107練習(xí)1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對(duì)比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學(xué)生回答)例4.鞏固練習(xí).P107 練習(xí)3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設(shè)a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計(jì)算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學(xué)生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個(gè)、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實(shí)數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.

第五篇：12022-向量數(shù)量積的運(yùn)算律

向量數(shù)量積的運(yùn)算律

制作人：張明娟審核人：葉付國(guó)使用時(shí)間：2012-5-8編號(hào)：12022 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其運(yùn)算；

2、通過(guò)向量數(shù)量積分配律的學(xué)習(xí)，體會(huì)類(lèi)比、猜想、證明的探索性學(xué)習(xí)方法；

3、通過(guò)解題實(shí)踐，體會(huì)向量數(shù)量積的運(yùn)算方法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：向量數(shù)量積分配律的證明.重點(diǎn)知識(shí)回顧：

1、兩個(gè)向量的夾角的范圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數(shù)量為；

??

3、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）：a·b=；

4、兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c平面向量數(shù)量積的常用公式

(1)(a

2(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????

1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：（）a?b；（2）a?

b；（3）（2a

1（4?

5? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角為120，問(wèn)t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.練習(xí)題:求證菱形的對(duì)角線互相垂直.例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.課堂小結(jié)：

跟蹤練習(xí)：

1、下列運(yùn)算不正確的是（）

A.??a??b??c??a????b?c??B.???a?b??c??a??c???b?c?

C.m???a???b?ma??mbD.?a???b??c??a????b?c??

2、設(shè)e?、e?，則?2e????

12是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（A.?99

2B.2C.?8D.83、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4，?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b）