第一篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問(wèn)題等．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，使學(xué)生掌握一些相關(guān)學(xué)科中的類似問(wèn)題的處理方法．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

(解決辦法：先介紹基礎(chǔ)知識(shí)，再講解應(yīng)用．)2．難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問(wèn)題．

(解決辦法：要提醒學(xué)生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

(解決辦法：因?yàn)檫@類問(wèn)題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過(guò)一些例題予以示范．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

演板、講解、練習(xí)、分析、提問(wèn)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)引入

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見(jiàn)到，為了讓大家對(duì)這方面的知識(shí)有一個(gè)比較系統(tǒng)的了解，今天來(lái)講一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法

設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：

(2)若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長(zhǎng)公式易解． 由學(xué)生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點(diǎn)為(0，-1)． 設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成．

2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問(wèn)題

在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(diǎn)(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當(dāng)y=0時(shí)，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1．

∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點(diǎn)共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問(wèn)題

直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用△≥0來(lái)處理．但用△≥0來(lái)判斷雙圓錐曲線相交問(wèn)題是不可靠的．解決這類問(wèn)題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)．

實(shí)數(shù)a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(xí)(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個(gè)公共點(diǎn)，求P的取值范圍．

頂點(diǎn)．

請(qǐng)三個(gè)學(xué)生演板，其他同學(xué)作課堂練習(xí)，教師巡視．解答為： 1．設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個(gè)交點(diǎn)為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)．

五、布置作業(yè)

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動(dòng)圓C2∶(x-a)2+y2=1沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．證明：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

1．當(dāng)x≤1時(shí)，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設(shè)計(jì)

第二篇：圓錐曲線教案 對(duì)稱問(wèn)題教案

圓錐曲線教案 對(duì)稱問(wèn)題教案

教學(xué)目標(biāo)

1．引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握解決中心對(duì)稱及軸對(duì)稱問(wèn)題的解析方法． 2．通過(guò)對(duì)稱問(wèn)題的研究求解，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

3．通過(guò)對(duì)稱問(wèn)題的探討，使學(xué)生會(huì)進(jìn)一步運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)處理問(wèn)題．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

兩曲線關(guān)于定點(diǎn)和定直線的對(duì)稱知識(shí)方法是重點(diǎn)．把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題，即用對(duì)稱觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是難點(diǎn)．

教學(xué)過(guò)程

師：前面學(xué)過(guò)了幾種常見(jiàn)的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對(duì)稱的問(wèn)題．大家想一想：點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？

師：P(x，y)，P′(x′，y′)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？ 生：P和P′的中點(diǎn)是原點(diǎn)．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′．

師：若P和P′關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 生：y=y′且x=-x′．

師：若P和P′關(guān)于直線y=x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？ 生：y=x′且x=y′．

生：它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

師：若P與P′關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱，它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁刺卣鳎?生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)． 師：還有補(bǔ)充嗎？

生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直．

師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對(duì)稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？

生：就是P與P′的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，換句話說(shuō)P與P′的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0．

師：下面誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下，兩點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱應(yīng)滿足的條件？

生：應(yīng)滿足兩個(gè)條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x′，y′的二元一次方程組．換句話說(shuō)，給定一個(gè)點(diǎn)P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)．

師：今后有很多有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(選題目的：熟悉對(duì)稱直線方程)師：哪位同學(xué)有思路請(qǐng)談?wù)劊?/p>

生：先求出已知兩直線的交點(diǎn)，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點(diǎn)斜式求得l2的方程．

(讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過(guò)程寫出來(lái)，大家訂正．)

由點(diǎn)斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)，然后再利用交點(diǎn)，兩點(diǎn)式可求出l的直線方程。(讓這位學(xué)生在黑板上把解題過(guò)程寫出來(lái)，如有錯(cuò)誤，大家訂正．)解 由方程組：

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點(diǎn)P(x，y)，則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問(wèn)題就解決了．

師：請(qǐng)你到黑板上把解題過(guò)程寫出來(lái)． 解 設(shè)P(x，y)為l上的任意一點(diǎn)，2則P點(diǎn)關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱，點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)，

又因?yàn)镻′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程為：4x-6y+3=0．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對(duì)稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對(duì)稱的曲線方程呢？

引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的曲線方程．(選題目的：進(jìn)一步熟悉對(duì)稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：

(讓學(xué)生把他的解法寫出來(lái)．)解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P′(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個(gè)例子．

點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．(如圖2-77)

師：解這題的關(guān)鍵是什么？ 生：關(guān)鍵是找到x軸的交點(diǎn)． 師：有辦法找到交點(diǎn)嗎？ 生：沒(méi)人回答．

師：交點(diǎn)不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點(diǎn)，利用交點(diǎn)M對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點(diǎn)，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx．

師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？

生：可以先找A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，由對(duì)稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|A′M|+|MD|即|A′D|．

師：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|實(shí)際上是過(guò)A′點(diǎn)到圓切線的長(zhǎng)，要求切線長(zhǎng)，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學(xué)生把解答寫在黑板上．)解 已知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，-2)，所求的路程即為

師：巧用對(duì)稱性，化簡(jiǎn)了計(jì)算，很好．哪位同學(xué)能把這個(gè)題適當(dāng)改一下，變成另一個(gè)題目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點(diǎn)，在x軸上，求一點(diǎn)P，使得|AP|+|PD|為最短．

師：誰(shuí)能解答這個(gè)問(wèn)題？

生：先過(guò)A(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，連結(jié)A′D與x軸相交于點(diǎn)P，P為所求(如圖2-78)．

師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？

生：因?yàn)锳，A′關(guān)于x軸對(duì)稱，所以|AP|=|A′P|，這時(shí)|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當(dāng)P點(diǎn)在x軸其他位置上時(shí)，如在P′處，那么，連結(jié)AP′、A′P′和P′D．這時(shí)|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，連結(jié)A′和圓心C，A′C交x軸于M點(diǎn)，交圓于P點(diǎn)，這時(shí)|AM|+|MP|最小(如圖2-79)．

師：你怎樣想到先找A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的呢？

生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最?。?/p>

師：很好，大家一起動(dòng)筆算一算(同時(shí)讓這位學(xué)生上前面書寫)． 生：解A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點(diǎn)，因?yàn)锳′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

師：我們一起看下面的問(wèn)題．

例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍．

師：這題的思路是什么？

生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-

師：很好，誰(shuí)還有不同的解法嗎？

生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方

師：今天我們討論了有關(guān)點(diǎn)，直線，曲線關(guān)于定點(diǎn)，定直線，對(duì)稱的問(wèn)題．解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于定直線對(duì)稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題．

作業(yè)：

1．一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A(-1，3)和C(-3，2)，點(diǎn)D在直線x-3y-1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光線從點(diǎn)A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B(3，9)，則此光線所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)是______．

(12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a，2a)對(duì)稱的曲線是C′，若C與C′有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍．(-2＜a＜1)

設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過(guò)討論對(duì)稱問(wèn)題把有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體．讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時(shí)對(duì)自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有一定的時(shí)間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見(jiàn)解，從而來(lái)提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力．

2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個(gè)深刻的印象，就是對(duì)稱問(wèn)題，歸根結(jié)底都可以化成點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，即可用方程組去解決．反過(guò)來(lái)，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問(wèn)題帶來(lái)了便利．在解題時(shí)，只有站在一定的高度上去處理問(wèn)題，思路才能開(kāi)闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時(shí)水平才能提高得較快．

3．習(xí)題課的一個(gè)中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個(gè)值得研究和探討的問(wèn)題．本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進(jìn)行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達(dá)到盡可能做少量的題，而達(dá)到獲取盡可能多的知識(shí)、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生的分析問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重的問(wèn)題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來(lái)的危害．

4．本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況，下面幾個(gè)備用題可供參考．

題目1過(guò)圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過(guò)M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，△MAQ垂心的軌跡方程．

(選題目的：熟練用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，活用平幾簡(jiǎn)化計(jì)算．)

解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解(如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線

(選題目的：結(jié)合對(duì)稱問(wèn)題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考．

證明 如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，可設(shè)P(a，b)、5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答：

4題．解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(a，2a)的對(duì)稱點(diǎn)是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對(duì)稱點(diǎn)為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，

第三篇：人教版高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線和方程》全部教案

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問(wèn)題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程

化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．

六、板書設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問(wèn)題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？

對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．

學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程

化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．

六、板書設(shè)計(jì)

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來(lái)的一些問(wèn)題，如弦、最值問(wèn)題等．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過(guò)橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說(shuō)明．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 學(xué)生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

b＞0)來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)．說(shuō)明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說(shuō)明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)．

2．對(duì)稱性

先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問(wèn)：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱的” 呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．類似可以證明其他兩個(gè)命題．

同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱．

事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)；

這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：

(2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

例1 求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．

本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：

(2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性就可以畫出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱性可以使計(jì)算量大大減少．

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說(shuō)明

這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．

(五)小結(jié)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

解法研究圖形的性質(zhì)是通過(guò)對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業(yè)答案：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程：

六、板書設(shè)計(jì)

橢圓的幾何性質(zhì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來(lái)的一些問(wèn)題，如弦、最值問(wèn)題等．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過(guò)橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說(shuō)明．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

學(xué)生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

b＞0)來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)．說(shuō)明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說(shuō)明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)．

2．對(duì)稱性

先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問(wèn)：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱的” 呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．類似可以證明其他兩個(gè)命題．

同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn)

只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)；

這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：

(2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．

本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：

(2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性就可以畫出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱性可以使計(jì)算量大大減少．

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說(shuō)明

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過(guò)對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形． 的方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

作業(yè)答案：

4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程：

六、板書設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過(guò)設(shè)問(wèn)給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來(lái)解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問(wèn)、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問(wèn)

問(wèn)題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問(wèn)題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？

請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|．

問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

化簡(jiǎn)得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

教師指出：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形(見(jiàn)圖2-25)：

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板書設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過(guò)設(shè)問(wèn)給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來(lái)解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問(wèn)、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問(wèn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

問(wèn)題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問(wèn)題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？

請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|．

問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

化簡(jiǎn)得：

兩邊再平方，整理得：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

教師指出：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形(見(jiàn)圖2-25)：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

六、板書設(shè)計(jì)

雙曲線的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能具體估計(jì)雙曲線的形狀特征．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問(wèn)題．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學(xué)生證明．)2．難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證．

(解決辦法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過(guò)詳細(xì)講解．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、類比、重點(diǎn)講解、演板、講解并歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程

(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)引入新課

1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程探討的． 2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

再請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)．(二)類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書)．<見(jiàn)下頁(yè)>(三)問(wèn)題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì)

仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫出雙曲線簡(jiǎn)圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問(wèn)題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想．

接著再提出問(wèn)題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？

下面，我們來(lái)證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無(wú)限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況．

現(xiàn)在來(lái)看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問(wèn)題，從而可比較精

再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質(zhì)5)由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：

變得開(kāi)闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越開(kāi)闊．

這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(五)練習(xí)與例題

1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

請(qǐng)一學(xué)生演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以訂正．

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3．

焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)．

本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié)．

解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

化簡(jiǎn)得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學(xué)生歸納給出)平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率． 2．說(shuō)明

(七)小結(jié)(由學(xué)生課后完成)將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)．

五、布置作業(yè)

1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．

第四篇：4.4.9圓錐曲線的參數(shù)方程 教案范文

第三課時(shí) 圓錐曲線的參數(shù)方程

一、教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

二、重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法

教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).四、教學(xué)過(guò)程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1．寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。

?x?rcos?(1)圓x2?y2?r2參數(shù)方程?（?為參數(shù)）

y?rsin???x?x0?rcos?（2）圓(x?x0)?(yy0)?r參數(shù)方程為：（?為參數(shù)）??y?y0?rsin?2222．寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3．能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？

（二）、講解新課：

?x?acos?x2y21.橢圓的參數(shù)方程推導(dǎo)：橢圓2?2?1參數(shù)方程 ?（?為參

ab?y?bsin?數(shù)）,參數(shù)?的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

6543A21M-8-6-4-2-1OL12N46810-2-3-4-5-6-7 ?x?asec?x2y22.雙曲線的參數(shù)方程的推導(dǎo)：雙曲線2?2?1參數(shù)方程 ?（?ab?y?btan?為參數(shù)）

25002000QP1500B1000500A-4000-3000-2000-***0M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-3500 參數(shù)?幾何意義為以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

?x?2Pt23.拋物線的參數(shù)方程：拋物線y?2Px參數(shù)方程?（t為參數(shù)）,t

y?2Pt?2為以拋物線上一點(diǎn)（X,Y）與其頂點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)。

（1）、關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

A.參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒(méi)有明顯意義。B.同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣 C.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍(2)、參數(shù)方程的意義：

參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，y分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中x，（3）、參數(shù)方程求法：（A）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)；（B）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)；（C）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式；（D）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程

(4)、關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取：選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題選取時(shí)間t做參數(shù)；與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問(wèn)題選取角?做參數(shù)；或選取有向線段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線的傾斜斜角、斜率等。

?x?acos?x2y24、橢圓的參數(shù)方程常見(jiàn)形式：（1）、橢圓2?2?1參數(shù)方程 ?（?ab?y?bsin?x?bcos?x?y?1(b?a?0)(?為參數(shù)，且0???2?）.2為參數(shù)）；橢圓2的參數(shù)方程是?y?asin?ba22（2）、以(x0,y)為中心焦點(diǎn)的連線平行于x 軸的橢圓的參數(shù)方程是0x0?acos??x?acos?。（3）在利用?研究橢圓問(wèn)題時(shí)，橢圓上的點(diǎn){y?y?bsin?(?為參數(shù)）0?y?bsin?x?的坐標(biāo)可記作（acos?,bsin?）。

（三）、鞏固訓(xùn)練

1?x?t??t(t為參數(shù))22x?y?4。

1、曲線?的普通方程為1?y?t?t?

2、曲線?12?x?cos??y?sin?(?為參數(shù))上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（D）

A． B．2 C．1 D．2 2?x?3cos??

3、已知橢圓?(?為參數(shù))求（1）??時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)

6?y?2sin?（2）直線OP的傾斜角

（四）、小結(jié)：本課要求大家了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程，通過(guò)推到橢圓及雙曲線的參數(shù)方程，體會(huì)求曲線的參數(shù)方程方法和步驟，對(duì)橢圓的參數(shù)方程常見(jiàn)形式要理解和掌握。

（五）、作業(yè)：

五、教學(xué)反思：

第五篇：圓錐曲線題型總結(jié)

圓錐曲線題型

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見(jiàn)到，為了讓同學(xué)們對(duì)這方面的知識(shí)有一個(gè)比較系統(tǒng)的了解，本文系統(tǒng)闡述一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”．

一、重、難、疑點(diǎn)分析

1．重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

2．難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問(wèn)題．(應(yīng)當(dāng)提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．(解決辦法：因?yàn)檫@類問(wèn)題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過(guò)一些例題予以示范．)

二、題型展示

1．圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法

設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：

(2)若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|．

例1 過(guò)拋物線y??14x的焦點(diǎn)作傾斜角為?的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，旦

2|AB|=8，求傾斜角?．

分析一：由弦長(zhǎng)公式易解．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點(diǎn)為(0，-1)．

設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:8?1?k2???4k?2或??3?4?4?1???4? ∴k??1

又有tan???1得:???4.p2,BF??y2?p2分析二:利用焦半徑關(guān)系.∵AF??y1?

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，可由同學(xué)們自己試試完成．

2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問(wèn)題

在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍．

例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值． 解一：將x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(diǎn)(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．

當(dāng)y=0時(shí)，(x2+y2)min=0．

解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴1?5?u?1?5

當(dāng)u?1?5時(shí),y?1?55??0,2?;當(dāng)u?1?5時(shí),y?1?55??0,2?

∴?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?5

3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法．

例3.在拋物線x2＝4y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線；(2)

1AF?1BF為定值.證明：(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1．

∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三點(diǎn)共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ．

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF?又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF?21?sin?21?sin?

小結(jié):與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì).4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問(wèn)題 直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用△≥0來(lái)處理．但用△≥0來(lái)判斷雙圓錐曲線相交問(wèn)題是不可靠的．解決這類問(wèn)題：方法1，由“△≥0”與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)． 例4 已知曲線C1:x?2?y?a?22 ?1及C2:y?x?1有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2可得：y=2(1-a)y+a-4=0．

∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴a?如圖2－47，可知：

5222.橢圓中心?0,a?,半軸長(zhǎng)a??交時(shí),a?1?2.2?a?522,拋物線頂點(diǎn)為?0,1?,所以當(dāng)圓錐曲線在下方相切或相綜上所述,當(dāng)1?時(shí), 曲線C1與C2相交.5．利用共線向量解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題 例5.已知橢圓xa22?yb22?1(a?b?0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，向量AB與OM是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2 的取值范圍；

解：（1）∵F1(?c,0),則xM??c,yM?b2a，∴kOM??2b2ac。

∵kAB??ba,OM與AB是共線向量，∴?bac??ba，∴b=c,故e?22。

（2）設(shè)F1Q?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,?r1?r2?2a,F1F2?2c，r1?r2?4c2r1r2222cos???(r1?r2)?2r1r2?4c2r1r222?a2r1r2?1?(a22r1?r2?1?0)2當(dāng)且僅當(dāng)r1?r2時(shí)，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。

由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題.6.利用向量的數(shù)量積解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題

例6.橢圓x29?y24?1的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1P F2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解：由橢圓x29?y24?1的知焦點(diǎn)為F1（－5,0）F2（5,0）.設(shè)橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為P（3cos?,2sin?）.??F1PF2為鈍角 ?????????（?∴ PF1?PF2?

5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?)

=9cos2?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0 解得：?55?cos??55 ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（?3535）.,55解決與角有關(guān)的一類問(wèn)題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了.