第一篇：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

以圓錐曲線的焦點(diǎn)（橢圓的左焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過(guò)極點(diǎn)引相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線的反向延長(zhǎng)線為極軸，則圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為??ep，其中e為離心率，p是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。1?ecos?

例

1、過(guò)雙曲線x2?y2?4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105?的直線交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則|FP|?|FQ|的值為例

2、拋物線y2?4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上

方的部分交于點(diǎn)A，AK?l，垂足為K，則?AKF的面積是（）

A.4B.3C.43D.8

例

3、中心在原點(diǎn)O的橢圓右焦點(diǎn)為F（3,0），右準(zhǔn)線l的方程為x?12.（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1、P2、P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1,證明：

111為定值，并求出此定值。??|FP1||FP2||FP3|

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問(wèn)題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類(lèi)似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距． 學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以?xún)啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程

化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱(chēng)和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

第三篇：極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

題型一：極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的相互轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程相互轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化。方法如下：

1、已知直線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）寫(xiě)出直線與曲線交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).題型二：三個(gè)常用的參數(shù)方程及其應(yīng)用

（1）圓的參數(shù)方程是：

（2）橢圓的參數(shù)方程是：

（3）過(guò)定點(diǎn)傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：

對(duì)（3）注意：

點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，記直線上任意兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則①,②，③

2、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.3、已知曲線：（參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，求中點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值．

4、已知直線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)）.（1）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．

6、面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)=．l與C交于A、B兩點(diǎn).（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

題型三：過(guò)極點(diǎn)射線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

出現(xiàn)形如：（1）射線：（）；（1）直線：（）

7、在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線：（）與圓交于點(diǎn)、，求線段的長(zhǎng)．

8、在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足與交于兩點(diǎn)，求的值.9、在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線與曲線有公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

10、在直角坐標(biāo)系中中，已知曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線交于點(diǎn)，且，求證：為定值，并求出這個(gè)定值．

11、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別是（是參數(shù)）和（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，求的最大值.

第四篇：人教版高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線和方程》全部教案

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問(wèn)題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類(lèi)似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以?xún)啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程

化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱(chēng)和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問(wèn)題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？

對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類(lèi)似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．

學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

以?xún)啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程

化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱(chēng)和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

練習(xí)1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫(huà)出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來(lái)的一些問(wèn)題，如弦、最值問(wèn)題等．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過(guò)橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說(shuō)明．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 學(xué)生口述，教師板書(shū)．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形，是

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

b＞0)來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)．說(shuō)明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說(shuō)明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫(huà)圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)．

2．對(duì)稱(chēng)性

先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問(wèn)：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的” 呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．類(lèi)似可以證明其他兩個(gè)命題．

同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱(chēng)．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)；

這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫(huà)圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：

(2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫(huà)圖的基本方法，給出如下例1．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

例1 求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形．

本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：

(2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫(huà)出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性就可以畫(huà)出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱(chēng)性可以使計(jì)算量大大減少．

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說(shuō)明

這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．

(五)小結(jié)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

解法研究圖形的性質(zhì)是通過(guò)對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類(lèi)似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業(yè)答案：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程：

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

橢圓的幾何性質(zhì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫(huà)出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來(lái)的一些問(wèn)題，如弦、最值問(wèn)題等．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過(guò)橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說(shuō)明．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

學(xué)生口述，教師板書(shū)．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形，是

b＞0)來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)．說(shuō)明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說(shuō)明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫(huà)圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)．

2．對(duì)稱(chēng)性

先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問(wèn)：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的” 呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．類(lèi)似可以證明其他兩個(gè)命題．

同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱(chēng)．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn)

只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)；

這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫(huà)圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：

(2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫(huà)圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形．

本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：

(2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫(huà)出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性就可以畫(huà)出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱(chēng)性可以使計(jì)算量大大減少．

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說(shuō)明

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過(guò)對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類(lèi)似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形． 的方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

作業(yè)答案：

4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程：

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類(lèi)比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類(lèi)比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類(lèi)比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過(guò)設(shè)問(wèn)給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類(lèi)比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來(lái)解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問(wèn)、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書(shū))

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書(shū))

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫(huà)出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫(huà)出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問(wèn)

問(wèn)題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問(wèn)題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？

請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|．

問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以類(lèi)似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

化簡(jiǎn)得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

教師指出：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形(見(jiàn)圖2-25)：

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類(lèi)比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類(lèi)比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類(lèi)比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過(guò)設(shè)問(wèn)給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類(lèi)比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來(lái)解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問(wèn)、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)

1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書(shū))平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書(shū))

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說(shuō)明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過(guò)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫(huà)出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫(huà)出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問(wèn)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

問(wèn)題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問(wèn)題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？

請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|．

問(wèn)題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問(wèn)題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？

請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來(lái)記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以類(lèi)似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

化簡(jiǎn)得：

兩邊再平方，整理得：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

教師指出：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無(wú)軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形(見(jiàn)圖2-25)：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

雙曲線的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能具體估計(jì)雙曲線的形狀特征．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的性質(zhì)的類(lèi)比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問(wèn)題．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

二、教材分析

1．重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學(xué)生證明．)2．難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證．

(解決辦法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過(guò)詳細(xì)講解．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問(wèn)、類(lèi)比、重點(diǎn)講解、演板、講解并歸納、小結(jié)．

四、教學(xué)過(guò)程

(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)引入新課

1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程探討的． 2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

再請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)

下面我們類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)．(二)類(lèi)比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書(shū))．<見(jiàn)下頁(yè)>(三)問(wèn)題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4)

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì)

仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書(shū)圖形)，那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫(huà)出雙曲線簡(jiǎn)圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問(wèn)題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想．

接著再提出問(wèn)題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？

下面，我們來(lái)證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫(xiě)成：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無(wú)限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內(nèi)也可以證明類(lèi)似的情況．

現(xiàn)在來(lái)看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

這樣，我們就完滿地解決了畫(huà)雙曲線遠(yuǎn)處趨向問(wèn)題，從而可比較精

再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫(huà)出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質(zhì)5)由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：

變得開(kāi)闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越開(kāi)闊．

這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類(lèi)似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．

(五)練習(xí)與例題

1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

請(qǐng)一學(xué)生演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以訂正．

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3．

焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)．

本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié)．

解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

化簡(jiǎn)得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學(xué)生歸納給出)平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率． 2．說(shuō)明

(七)小結(jié)(由學(xué)生課后完成)將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)．

五、布置作業(yè)

1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．

第五篇：4.4.9圓錐曲線的參數(shù)方程 教案范文

第三課時(shí) 圓錐曲線的參數(shù)方程

一、教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

二、重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法

教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程.三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).四、教學(xué)過(guò)程：

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1．寫(xiě)出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。

?x?rcos?(1)圓x2?y2?r2參數(shù)方程?（?為參數(shù)）

y?rsin???x?x0?rcos?（2）圓(x?x0)?(yy0)?r參數(shù)方程為：（?為參數(shù)）??y?y0?rsin?2222．寫(xiě)出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3．能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫(xiě)出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？

（二）、講解新課：

?x?acos?x2y21.橢圓的參數(shù)方程推導(dǎo)：橢圓2?2?1參數(shù)方程 ?（?為參

ab?y?bsin?數(shù)）,參數(shù)?的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

6543A21M-8-6-4-2-1OL12N46810-2-3-4-5-6-7 ?x?asec?x2y22.雙曲線的參數(shù)方程的推導(dǎo)：雙曲線2?2?1參數(shù)方程 ?（?ab?y?btan?為參數(shù)）

25002000QP1500B1000500A-4000-3000-2000-***0M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-3500 參數(shù)?幾何意義為以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

?x?2Pt23.拋物線的參數(shù)方程：拋物線y?2Px參數(shù)方程?（t為參數(shù)）,t

y?2Pt?2為以拋物線上一點(diǎn)（X,Y）與其頂點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)。

（1）、關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

A.參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒(méi)有明顯意義。B.同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣 C.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍(2)、參數(shù)方程的意義：

參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，y分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中x，（3）、參數(shù)方程求法：（A）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)；（B）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)；（C）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式；（D）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程

(4)、關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取：選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題選取時(shí)間t做參數(shù)；與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問(wèn)題選取角?做參數(shù)；或選取有向線段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線的傾斜斜角、斜率等。

?x?acos?x2y24、橢圓的參數(shù)方程常見(jiàn)形式：（1）、橢圓2?2?1參數(shù)方程 ?（?ab?y?bsin?x?bcos?x?y?1(b?a?0)(?為參數(shù)，且0???2?）.2為參數(shù)）；橢圓2的參數(shù)方程是?y?asin?ba22（2）、以(x0,y)為中心焦點(diǎn)的連線平行于x 軸的橢圓的參數(shù)方程是0x0?acos??x?acos?。（3）在利用?研究橢圓問(wèn)題時(shí)，橢圓上的點(diǎn){y?y?bsin?(?為參數(shù)）0?y?bsin?x?的坐標(biāo)可記作（acos?,bsin?）。

（三）、鞏固訓(xùn)練

1?x?t??t(t為參數(shù))22x?y?4。

1、曲線?的普通方程為1?y?t?t?

2、曲線?12?x?cos??y?sin?(?為參數(shù))上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（D）

A． B．2 C．1 D．2 2?x?3cos??

3、已知橢圓?(?為參數(shù))求（1）??時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)

6?y?2sin?（2）直線OP的傾斜角

（四）、小結(jié)：本課要求大家了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程，通過(guò)推到橢圓及雙曲線的參數(shù)方程，體會(huì)求曲線的參數(shù)方程方法和步驟，對(duì)橢圓的參數(shù)方程常見(jiàn)形式要理解和掌握。

（五）、作業(yè)：

五、教學(xué)反思：