第一篇：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算教案

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

—乘除運(yùn)算

授課人：霍陽(yáng)

郜格

陳丹

董秀清

宋廣東 指導(dǎo)教師：黃海鵬

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則

2、能運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

3、培養(yǎng)類比思想和逆向思維

4、培養(yǎng)學(xué)生探索精神和良好的自學(xué)習(xí)慣

二、教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算

三、教學(xué)難點(diǎn)：靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算及類比思想

四、教學(xué)方式：學(xué)生自主探究 教師指導(dǎo)學(xué)習(xí)

五、教學(xué)用具：多媒體

六、教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)回顧

1、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們積為z1?z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i

復(fù)數(shù)的積仍然為一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相似。復(fù)數(shù)乘法滿足(1)交換律：z1?z2＝z2?z1；

(2)結(jié)合律(z1?z2)?z3＝z1?(z2?z3)；(3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

2、共軛復(fù)數(shù)

實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)。復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示。

若z＝a＋bi，則z＝a－bi(a，b∈R)

zz＝a2＋b

2z+z=2a z-z=2bi

3、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算(乘法的逆運(yùn)算)

復(fù)數(shù)a＋bi除以復(fù)數(shù)c＋di的商是指

a?bi滿足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi的復(fù)數(shù)x＋yi，記作(c＋di≠0)

c?dia?biac?bdbc?ad根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義：＝2＋i 222c?dic?dc?d利用共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)：

a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)ac?bdbc?ad＝＝＝＋i c?di(c?di)(c?di)c2?d2c2?d2c2?d

2（二）習(xí)題講解 例

1、已知復(fù)數(shù)z?(?1?3i)(1?i)?(1?3i)w,w?z?ai(a?R)，當(dāng) ?2時(shí)，iz求a的取值范圍。

思路：先根據(jù)四則運(yùn)算法則算化簡(jiǎn)z，然后得w，然后球的解不等式。

例

2、已知復(fù)數(shù)z滿足z?5且(3?4i)?z是純虛數(shù)，則z=___________ 思路：先求z在代入模的運(yùn)算，進(jìn)而用共軛得出

例

3、已知復(fù)數(shù)z1?2?i,z2?z1?i（1）求z2（2）在?ABC的三個(gè)內(nèi)角

(2i?1)?z1C，求u?z2的取值范圍。2w，進(jìn)而求其模，zA，B，C依次成等差數(shù)列，且u?cosA?2icos2思路：（1）將z1代入式子求z2（2）利用三角形內(nèi)角和、等差數(shù)列性質(zhì)求得B，再利用二倍角公式求得u的最簡(jiǎn)解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的值域求范圍。

七、小結(jié)

1、知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的求模公式、四則運(yùn)算

2、知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的求模公式、乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模

3、知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和、等差中項(xiàng)、二倍角公式，升冪公式、降冪公式

八、作業(yè)

1111、（1）已知z1?5?10i，z2?3?4i，??，求z.zz1z2（2）已知(1?2i)z?4?3i，求z及

2、九、zz.教學(xué)反思：

第二篇：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算 過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問(wèn)題 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不 易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。課型:新知課 教具準(zhǔn)備：多媒體 教學(xué)過(guò)程： 復(fù)習(xí)提問(wèn)：

已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）加法法則：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是

實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：

一 ．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).探究: 復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 二.乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=

［

(a1+b1i)(a2+b2i)

］

(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=

［

(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3

］

+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算,類似地,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來(lái)展開運(yùn)算.例2計(jì)算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.練習(xí)課后第2題

三.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù) 2

2通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。

思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么

(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)? 探究: 類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算,我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.試探求復(fù)數(shù)除法法則.四:除法運(yùn)算規(guī)則：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者

a?bic?di

①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.?cx?dy?a,由復(fù)數(shù)相等定義可知?

?dx?cy?b.ac?bd?x?,22?c?d解這個(gè)方程組，得? ??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?d2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是將

a?bi的分母有理化得： c?di5 原式=?a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d2

2是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)??1?2i 3?4i(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425551 先寫成分式形式 然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))3 化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果 練習(xí):課后第3題(1)(3)小結(jié): 作業(yè):

教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：

a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn).

第三篇：..復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問(wèn)題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系.教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用.教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小 教學(xué)過(guò)程：

學(xué)生探究過(guò)程：

1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即 i2??1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程x2=－1的一個(gè)根，方程x2=－1的另一個(gè)根是－

3.的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.復(fù)數(shù)的定義：形如a?bi(a,b?R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小 只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

8．復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i./ 5 10.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.11.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：

１．乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).2.乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例2計(jì)算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)（1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)

通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z./ 5 4.復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者

a?bi c?di5.除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知??cx?dy?a，?dx?cy?b.ac?bd?x?,22??c?d 解這個(gè)方程組，得??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?da?bi的分母有理化得：

c?di②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? c?di(c?di)(c?di)c2?d2?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i.c2?d2c?d2c2?d2∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?i.c2?d2c2?d2點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c－di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的3?2的對(duì)偶式3?2，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425553 / 5 例4計(jì)算(1?4i)(1?i)?2?4i

3?4i解：(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i7?i(7?i)(3?4i)??? 223?4i3?4i3?43?4i?21?4?3i?28i25?25i??1?i.2525例5已知z是虛數(shù)，且z+

1z?1是實(shí)數(shù)，求證：是純虛數(shù).zz?1證明：設(shè)z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 z+11a?biab?a??(b?)i.=a+bi+=a+bi+222222za?ba?ba?ba?bi1b∈R，∴b－2=0.2za?b∵z+∵b≠0，∴a2+b2=1.∴z?1(a?1)?bi[(a?1)?bi][(a?1)?bi]?? 22z?1(a?1)?bi(a?1)?ba2?1?b2?[(a?1)b?(a?1)b]i0?2bib???i.22a?b?2a?11?2a?1a?1∵b≠0，a、b∈R，∴鞏固練習(xí)：

1.設(shè)z=3+i,則

bi是純虛數(shù) a?11等于 zB.3－i

C.A.3+i

2.31i?

1010D.31?i 1010a?bia?bi?的值是 b?aib?ai B.i

C.－i

D.1 A.0

3.已知z1=2－i,z2=1+3i,則復(fù)數(shù)A.1 4.設(shè)

iz2?的虛部為 z15

D.－i B.－1

C.i x3y??(x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.1?i2?i1?i4 / 5 答案：1.D 2.A 3.A

4.39 , －

55課后作業(yè)：課本第112頁(yè)

習(xí)題3.2

A組4，5，6

B組1，2 教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：

a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn)/ 5

第四篇：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

穆棱市第二中學(xué)

孔丹

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問(wèn)題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。【教學(xué)重點(diǎn)】

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。【教學(xué)難點(diǎn)】

對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用?！菊n型】

新知課?！窘叹邷?zhǔn)備】

多媒體 【教學(xué)過(guò)程】

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)：

已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）加法法則：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是

實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、講解新課：

（一）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行： 設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.2其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).（二）乘法運(yùn)算律 師生探究: 師：復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 生：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3..（4）zz?z mnm?n.（5）z??mn?zmn.nnn（6）?z1z2??z1z2.（三）例題講解 例1.計(jì)算（1）（2+i）i(2)(1-2i)(3+i).解：（1）原式?2i?i2??1?2i

2?3?i?6i?2?5?5i ?3?i?6i?2i（2）原式例2.計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.注：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的.例3計(jì)算：

2（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).22解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;22(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.（四）共軛復(fù)數(shù)：

1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。

2.表達(dá)形式：通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。3.師生探究：

思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么

(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)?（3）z?z、z2與z2有何關(guān)系？

生：（1）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱（2）z?z?a2?b2z?z?z2即：乘積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).（3）?z2.（五）除法運(yùn)算規(guī)則

滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者a?bi.c?di1.(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad? i.（分母實(shí)數(shù)化）

c2?d2c2?d2222.利用(c+di)(c－di)=c+d.于是將

a?bi的分母有理化得：

c?di2 原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d師：1是常規(guī)方法，2是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而22(c+di)·(c－di)=c+d是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

3.變式訓(xùn)練：計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425554.方法總結(jié)：

① 先寫成分式形式

②然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))③化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果

三、考點(diǎn)突破

1.計(jì)算(1)(3?2i)?3?2i??

?1?i??2?i??(2)?i.3+i等于（）2.（2017全國(guó)二卷）1?i.3.（2013年高考福建卷）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

z?1?2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z?4.（2017渭南市一模）已知復(fù)數(shù)

1?i1?iC.，則

z等于（）.A.?2iB.?i2iD.i

5.（2013年高考安徽卷）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z?z?i?2?2z，.則z等于（），則z的模為.A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 6.（2017年廈門市一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足7.計(jì)算i＋i2＋i3＋…＋i2018.四、知識(shí)拓展提升

z?1?i??2?i 3 探究：i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=.虛數(shù)單位i的周期性：（1）i（2）4n?112345678?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?4?1?n?N?.in?in?1?in?2?in?3?0?n?N?.五、課堂小結(jié)

1、復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則是什么？其滿足哪些運(yùn)算律？

2、怎樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)？復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)之間有什么性質(zhì)？

3、復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則是什么？

六、作業(yè)

1.教材P112——習(xí)題3.2 2.教材P116——復(fù)習(xí)參考題 【教學(xué)反思】

一、知識(shí)點(diǎn)反思

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn).二、課堂反思

1.學(xué)生在計(jì)算時(shí)不注意變號(hào)；

2.復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式是a+bi，當(dāng)a<0,b>0時(shí)，學(xué)生習(xí)慣把“正”放前面，把“負(fù)”放后面，這種習(xí)慣不利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí).4

第五篇：3.2.2_復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算_教案6

3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

主備人：石志雄

審核人：付紅波

編號(hào)：15 日期：2011.3.9

教學(xué)要求：掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘、除運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念 教學(xué)難點(diǎn)：乘除運(yùn)算 教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義是什么？ 2.計(jì)算（1）(1?4i)+(7?2i)

（2）(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)（3）(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]

3.計(jì)算：（1）(1?3)?(2?3)

（2）(a?b)?(c?d)（類比多項(xiàng)式的乘法引入復(fù)數(shù)的乘法）

二、講授新課：

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

①.復(fù)數(shù)的乘法法則：(a?bi)(c?di)?ac?bci?adi?bdi2?(ac?bd)?(ad?bc)i。例1．計(jì)算（1）(1?4i)?(7?2i)

（2）(7?2i)?(1?4i)（3）[(3?2i)?(?4?3i)]?(5?i)（4）(3?2i)?[(?4?3i)?(5?i)]

探究：觀察上述計(jì)算，試驗(yàn)證復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算是否滿足交換、結(jié)合、分配律？ 例2．

1、計(jì)算（1）(1?4i)?(1?4i)

（2）(1?4i)?(7?2i)?(1?4i)（3）(3?2i)2

2、已知復(fù)數(shù)Z，若，試求Z的值。變：若(2?3i)Z?8，試求Z的值。②共軛復(fù)數(shù)：兩復(fù)數(shù)a?bi與a?bi叫做互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)b?0時(shí)，它們叫做共軛虛數(shù)。注：兩復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們的乘積為實(shí)數(shù)。

課堂練習(xí)：說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)3?2i,?4?3i,5?i,?5?2i,7,2i。

③類比1?2?23?(1?(2?2)(2?3)(2?3)3)，試寫出復(fù)數(shù)的除法法則。

a?bic?di(a?bi)(c?di)(c?di)(c?di)ac?bdc?d222．復(fù)數(shù)的除法法則：(a?bi)?(c?di)?其中c?di叫做實(shí)數(shù)化因子

???bc?adc?d22i

例3．計(jì)算(3?2i)?(2?3i)，(1?2i)?(?3?2i)（師生共同板演一道，再學(xué)生練習(xí)）練習(xí)：計(jì)算3?2i(1?2i)2，3?i(1?i)?12

2．小結(jié)：兩復(fù)數(shù)的乘除法，共軛復(fù)數(shù)，共軛虛數(shù)。

三、鞏固練習(xí)： 1．計(jì)算（1）??1?i??2?i?i3

（2）i?i2?i3?i4?i5（3）2?i1?3 2iz1z2z1z22．若z1?a?2i,z2?3?4i，且求a。

為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值。變：在復(fù)平面的下方，