第一篇：復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算

復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算

一、主要內(nèi)容:

復(fù)數(shù)的三角形式，模與輻角的概念及幾何意義，用三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算及幾何意義.二、學(xué)習(xí)要求:

1．熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，會(huì)求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值.2．深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式.3．能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍（最值）.4．利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，并能根據(jù)乘除運(yùn)算的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題.5．注意多種解題方法的靈活運(yùn)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法.三、重點(diǎn):

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算幾何意義的綜合運(yùn)用.四、學(xué)習(xí)建議:

1．復(fù)數(shù)的三角形式是徹底解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開(kāi)方問(wèn)題的橋梁，相比之下，代數(shù)形式在這些方面顯得有點(diǎn)力不從心，因此，做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的.前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了復(fù)數(shù)的另兩種表示.一是代數(shù)表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是幾何表示，復(fù)數(shù)Z既可以用復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)表示，也可以用復(fù)平面上的向量

來(lái)表示.現(xiàn)在需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示.既用復(fù)數(shù)Z的模和輻角來(lái)表示，設(shè)其模為r，輻角為θ，則Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然這三種方式都可以表示同一個(gè)復(fù)數(shù)，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能夠進(jìn)行互化.代數(shù)形式r=三角形式

Z=a+bi(a,b∈R)Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)

復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連.否則不是三角形式.三角形式中θ應(yīng)是復(fù)數(shù)Z的一個(gè)輻角，不一定是輻角主值.五、基礎(chǔ)知識(shí)

1）復(fù)數(shù)的三角形式 ①定義：復(fù)數(shù)z=a（a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式。即z=r（cos θ+ isinθ）

其中z?r

θ為復(fù)數(shù)z的輻角。②非零復(fù)數(shù)z輻角θ的多值性。

?以ox軸正半軸為因此復(fù)數(shù)z的輻

③輻角主值

表示法；用arg

定義：適合[0，始邊，向量oz所在的射線為終邊的角θ叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角 角是θ+2k?（k∈z）

z 表示復(fù)數(shù)z的輻角主值。

2?）的角θ叫輻角主值 0?argz?2?

唯一性：復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的，唯一的。

④不等于零的復(fù)數(shù)的模z?r是唯一的。

⑤z=0時(shí)，其輻角是任意的。

⑥復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。（求法）

這是復(fù)數(shù)計(jì)算中必定要解決的問(wèn)題，物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算，尤其是逮美佛定理定理只有對(duì)復(fù)數(shù)三角形式時(shí)才能使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運(yùn)算中極為重要的內(nèi)容（也是解題術(shù)）復(fù)數(shù)在化三角式的過(guò)程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法，輻角主值的確定是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵存在，這個(gè)專(zhuān)題只簡(jiǎn)單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。

2）復(fù)數(shù)的向量表示

在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為z1、z2（如圖）

?

何量oz1對(duì)應(yīng)于z1

?

何量oz2對(duì)應(yīng)于z2

?

何量z1z2對(duì)應(yīng)于z2?z1?z

顯然oz∥z1z2

則argz1=∠x(chóng)oz1=θargz2=∠x(chóng)oz2=θ1

?

與復(fù)數(shù)z2－z1對(duì)應(yīng)的向量為oz

argz（z2－z1）=arg z=∠x(chóng)oz=θ

3）復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義

主要是三角式乘法、除法等運(yùn)算中輻角的變化

如z1=r1（cosθ1+isinθ1）

z2=r2（cosθ2+isinθ2）

①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

???

如圖：其對(duì)應(yīng)的向量分別為oz1oz2oz

顯然積對(duì)應(yīng)的輻角是θ1+θ2

?< 1 > 若θ2 > 0 則由oz1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ2角模變?yōu)閛z1的r

2?倍所得向量便是積z1·z2=z的向量oz。

???< 2 >若θ2< 0 則由向量oz1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2角模變?yōu)閞1·r2所得向量便是積z1·z2=z的向量oz。

為此，若已知復(fù)數(shù)z1的輻角為α，z2的輻角為β求α+β時(shí)便可求出z1·z2=za

z

對(duì)應(yīng)的輻角就是α+β這樣便可將求“角”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運(yùn)算。②除法 z??z1?z2?z1z2?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]

（其中 z2≠0）

除法對(duì)于輻角主要是“相減”（被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角）依向量旋轉(zhuǎn)同乘法簡(jiǎn)述如下：

?

< 1 >?2?0時(shí)oz1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?２角。

?< 2 >?２?0時(shí)oz1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?２角。

例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式:

(1)Z1=-2(cosθ+isinθ)

(2)Z2=cosθ-isinθ

(3)Z3=-sinθ+icosθ

(4)Z4=-sinθ-icosθ

(5)Z5=cos60°+isin30°

分析:由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時(shí)，可按照如下步驟進(jìn)行:首先確定復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限（此處可假定θ為銳角），其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角.此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.這樣，使變形的方向更具操作性，能有效提高解決此類(lèi)問(wèn)題的正確率.解:（1）由“模非負(fù)”知，不是三角形式，需做變換:Z1=Z(-cosθ-isinθ)

復(fù)平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ為銳角），余弦“-cosθ”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“π+θ”將θ變換到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]

（2）由“加號(hào)連”知，不是三角形式

復(fù)平面上點(diǎn)Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ為銳角），不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式 “2π-θ”或“-θ”將θ變換到第四象限.∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)

考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一.（3）由“余弦前”知，不是三角形式

復(fù)平面上點(diǎn)Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ為銳角），需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式

“ +θ”將θ變換到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)

同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)

（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)

小結(jié):對(duì)這類(lèi)與三角形式很相似的式子，如何將之變換為三角形式，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講是個(gè)難點(diǎn).有了“定點(diǎn)→定名→定角”這樣一個(gè)可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類(lèi)問(wèn)題.例2．求復(fù)數(shù)Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模與輻角主值.分析:式子中多3個(gè)“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2

-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1)

∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos<0

∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)] 3

∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)

∵ <<π

∴ π<π+<2π，∴argZ=π+.小結(jié):（1）式右端從形式上看似乎就是三角形式.不少同學(xué)認(rèn)為r=2cos, argZ=或ArgZ=

錯(cuò)誤之處在于他們沒(méi)有去考慮θ角范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”來(lái)判斷是否為三角形式.看了這道例題，你一定能解決如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π)，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等類(lèi)似問(wèn)題.例3．將Z=(π<θ<3π)化為三角形式，并求其輻角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為弦”.下一步當(dāng)然是要分母實(shí)數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化.解:====cos2θ+isin2θ

∵ π<θ<3π, ∴<2θ<6π，∴π<2θ-4π<2π，∴ argZ=2θ-4π

小結(jié):掌握三角變形是解決這類(lèi)問(wèn)題的根本.但在此之前的解題方向一定要明確，即要分析式子結(jié)構(gòu).比較其與三角形式的異同，從而決定變形的方向，采用正確的方法.要求學(xué)生做好每道例題后的反思，并能由此及彼，舉一反三，達(dá)到熟練解決一類(lèi)問(wèn)題的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.2．復(fù)數(shù)Z的模|Z|的幾何意義是:復(fù)平面上點(diǎn)Z到原點(diǎn)距離，復(fù)數(shù)模|Z1-Z2|的幾何意義是:復(fù)平面上兩點(diǎn)Z1，Z2之間距離.輻角幾何意義是:以x軸正半軸為角始邊，以向量?jī)?nèi)的輻角稱輻角主值，記為argZ.要求學(xué)生不僅要理解以上所說(shuō)各幾何意義，還要運(yùn)用幾何意義去解決相關(guān)問(wèn)題.例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范圍.解:法一，數(shù)形結(jié)合

由|Z-2|≤1，知Ｚ的軌跡為復(fù)平面上以（2，0）為圓心，1為半徑的圓面（包括圓周），|Z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.顯然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1，另設(shè)圓的兩條切線為OA，OB，A，B為切點(diǎn)，由|CA|=1，|OC|=2知

所在射線為終邊的角記為ArgZ.在[0，2π)范圍

∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)

法二:用代數(shù)形式求解|Z|的最大，最小值，設(shè)Z=x+yi(x,y∈R)

則由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1，∴ |Z|=22≤2

=，∵(x-2)+y≤1, ∴(x-2)≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3，∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.小結(jié):在一題多解的基礎(chǔ)上，分析比較各種方法的異同，如何做好方法的選擇.各種方法的本質(zhì)和優(yōu)勢(shì)，通過(guò)分析與比較都一目了然.例5．復(fù)數(shù)Z滿足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.分析:由兩個(gè)復(fù)數(shù)模的和取最小值，聯(lián)想到一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最小值，將之轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決應(yīng)比較簡(jiǎn)便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的軌跡是一條射線OA，∠x(chóng)OA=π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|

將B(-3,0)與C(3,3)連結(jié)，BC連線與OA交點(diǎn)為D，取Z+3為D點(diǎn)，表示復(fù)數(shù)時(shí)，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=

3, ∴ 所求

最小值=3

.法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的軌跡是射線OA，則Z軌跡應(yīng)是平行于OA，且過(guò)點(diǎn)（-3，0）的射線BM，∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射線BM上點(diǎn)到點(diǎn)結(jié)PQ與射線BM交于點(diǎn)N，取E為N點(diǎn)表示復(fù)數(shù)時(shí)，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3

∴所求最小值=3.，P(-6,0)和點(diǎn)Q(0,3)距離之和，連

小結(jié):兩種方法的本質(zhì)相同，都是將數(shù)學(xué)式子利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題進(jìn)行解決.如果純粹用代數(shù)方法求解，難度會(huì)很大.對(duì)有關(guān)最值問(wèn)題，尤其是模（距離）和輻角主值最值問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合方法顯然較為簡(jiǎn)便.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解：∵|Z-2i|≤1,∴點(diǎn)Z軌跡是以（0，2）為圓心，1為半徑的圓面，在其上任取一點(diǎn)Z，連Z與點(diǎn)（0，4）得一以（0，4）為起點(diǎn)，Z為終點(diǎn)的向量，將起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則θ為其對(duì)應(yīng)的輻角主值，顯然arg(Z-4i)最大值為π.3．兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于模的積，輻角為兩輻角之和，其幾何意義是模的伸縮及對(duì)應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn).兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于模的商（除數(shù)不為零），輻角為兩輻角之差，其幾何意義同乘法.由復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義，可解決向量或圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，如等腰、等邊三角形、直角三角形，平行四邊形頂點(diǎn)間的幾何何關(guān)系利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算來(lái)表示.復(fù)數(shù)三角形式較之代數(shù)形式，在乘除運(yùn)算中非常方便，可順利解決多項(xiàng)相乘（乘方），相除及乘除混合運(yùn)算.例7．若 與分別表示復(fù)數(shù)Z1=1+2i, Z2=7+

i, 求∠Z2OZ1并判斷ΔOZ1Z2的形狀.解:欲求∠Z2OZ1，可計(jì)算

====

∴∠Z2OZ1=

且=，由余弦定理，設(shè)|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos

∴ |Z1Z2|=

而k2+(k，=3k2

k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2為有一銳角為60°的直角三角形.小結(jié):此題中利用除法幾何意義來(lái)解決三角形中角的大小問(wèn)題，十分方便.例8．已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1,0)和B(0,8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l與拋物線C的方程.解:如圖，建立復(fù)平面x0y，設(shè)向量

x1+y1i, x2+y2i.由對(duì)稱性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8，∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i、對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為

∴

設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)則有y12=2px1, y22=2px2，∴ x1= , y1=p, 又|OA'|=1，2

2∴()2+p2=1, ∴p=或-（舍）

∴拋物線方程為y=2x，直線方程為:y=x.小結(jié):對(duì)于解析幾何的許多問(wèn)題，若能借助于復(fù)數(shù)的向量來(lái)表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊關(guān)系的圖形時(shí)，尤顯其效.五、易錯(cuò)點(diǎn)

1．并不是每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值.如復(fù)數(shù)零的模為0，輻角主值不確定.2．注意ArgZ與argZ的區(qū)別.ArgZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角，而argZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角主值.ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 輻角主值是[0,2π)內(nèi)的輻角，但輻角不一定是輻角主值.3．復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求:模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連，缺一不可.任何一個(gè)不滿足，就不是三角形式.4．注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算中，向量旋轉(zhuǎn)的方向.六、練習(xí)

1．寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的三角形式

(1)ai(a∈R)

(2)tgθ+i（2．設(shè)Z=(-3+3<θ<π）

(3)-（sinθ-icosθ)

i)n, n∈N，當(dāng)Z∈R時(shí)，n為何值？

3．在復(fù)平面上A，B表示復(fù)數(shù)為α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判斷ΔAOB形狀，并證明SΔAOB=

參考答案:

|d|2.1．（1）ai=

（2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)]

（3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]

2．n為4的正整數(shù)倍

3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α

∴

∵=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=，分別表示復(fù)數(shù)α，β-α，由β-α=αi，得=i=cos+isin，∴∠OAB=90°, ∴ΔAOB為等腰直角三角形.法二:∵|

又||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|, ∴||α|,|

|+|

|=|

|

2|=|β|=|(1+i)α|=|=|α|+|α|=2|α|=||

∴ΔAOB為等腰直角三角形，∴SΔAOB=||·||=|α|.2

在線測(cè)試

選擇題

1．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是 A、1 B、-1，則實(shí)數(shù)a的值是（）C、-

D、-

2．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+x+p=0的兩虛根a，b滿足|a-b|=3，則p的值是（）

A、-2 B、-

C、D、1

3．設(shè)π<θ<，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（）

A、2π-3θ B、3θ-2π

C、3θ

D、3θ-π

4．復(fù)數(shù)cos+isin經(jīng)過(guò)n次乘方后，所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于（A、3 B、12

C、6k-1(k∈Z)

D、6k+1(k∈Z)

5．z為復(fù)數(shù)，()|z-3|=()|z+3|

()-

1的圖形是（）

A、直線 B、半實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線

C、焦點(diǎn)在x軸，半實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線右支

D、不能確定

答案與解析

答案：

1、B

2、C

3、B

4、C

5、C

解析：

1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai，argz=，∴，∴a=-1，本題選B.2．求根a，b=（Δ=1-4p<0）∵|a-b|=||=3，∴ 4p-1=9，p=，故本題應(yīng)選C.3．==cos3θ+isin3θ.∵ π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ-2π<，故本題應(yīng)選B.）

4．由題意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin

由復(fù)數(shù)相等的定義，得

解得=2kπ-，(k∈Z)，∴n=6k-1.故本題應(yīng)選C.5．依題意，有 |z-3|=|z+3|-1，∴ |z+3|-|z-3|=1.由雙曲線定義，此方程表示焦點(diǎn)(±3，0)，2a=1，a=的雙曲線右支，故本題應(yīng)選C.復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算·疑難問(wèn)題解析

1．復(fù)數(shù)的模與輻角：

(1)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜

(2)輻角的性質(zhì)：積的輻角等于各因數(shù)輻角的和．

商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．

一個(gè)復(fù)數(shù)n次冪(n∈N)的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)輻角的n倍．

注意：(1)輻角與輻角主值的區(qū)別，特別是解題過(guò)程中的不同點(diǎn)．如下面兩個(gè)問(wèn)題：

若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))

若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．

(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角主值不一定等于兩輻角主值的和，商的輻角主值不一定等于輻角主值的差.2．關(guān)于數(shù)的開(kāi)方

(1)復(fù)數(shù)的開(kāi)方法則：r(cosθ+isinθ)的n次方根是

幾何意義：

設(shè)

對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的點(diǎn)，則有：

所以，復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點(diǎn)為中心的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)．

(2)復(fù)數(shù)平方根的求法．

求-3-4i的平方根．

解法一 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式．設(shè)-3-4i的平方根為x+yi(x，y∈R)，則有

(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由復(fù)數(shù)相等條件，得

∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．

法二 利用復(fù)數(shù)的三角形式．

3．復(fù)數(shù)集中的方程．

關(guān)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x1，x2為它的兩個(gè)根)

(1)當(dāng)△=b2-4ac≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，方程有一對(duì)共軛虛根

2(4)二次三項(xiàng)式的因式分解：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一個(gè)虛數(shù)，x1x2為它的兩個(gè)根)

(4)二次三項(xiàng)式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然適用．

關(guān)于二項(xiàng)方程的解法

形如anxn+a0=0(a0，an∈C且an≠0)的方程叫做二項(xiàng)方程，任何一個(gè)二項(xiàng)方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式，因此都可以通過(guò)復(fù)數(shù)開(kāi)方來(lái)求根．

可以充分利用復(fù)數(shù)z的整體性質(zhì)，復(fù)數(shù)z的三種表示方法及其轉(zhuǎn)換來(lái)解方程．

已知方程x2-4x+p=0兩虛數(shù)根為α、β，且|α-β|=2求實(shí)數(shù)p的值．

解法1 ∵實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根共軛設(shè)α=a+bi，β=a-bi，(a，b∈R)∴α+β=2a=4，∴a=2

又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1

即兩根為2+i，2-i由韋達(dá)定理得：p=(2+i)(2-i)=5

法2 由韋達(dá)定理可得：α+β=4，αβ=p

于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4，即|4-p|=1 又∵△=42-4p＜0

p＞4，∴p-4=1，得p=5

說(shuō)明 注意實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根與有兩個(gè)虛根的區(qū)別．

一等式成立．若有兩個(gè)虛根則

上述等式不成立．因?yàn)椋?β｜≠(α-β)．因此在解題時(shí)要重視復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，要避免出現(xiàn)混淆與干擾．

已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模為1的根，求實(shí)數(shù)a的值．

分析 已知方程有模為1的根，此根可能是實(shí)數(shù)，也可能是虛數(shù)，故求實(shí)數(shù)a要注意分域討論．

解(1)若所給方程有實(shí)根則△=(3a)-4×2(a-a)=a+8a＞0，即a＜-8或a＞0

由條件得根必為1或-1，①將x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a無(wú)實(shí)數(shù)解．

(2)若所給方程有虛根則△=a+8＜0，即-8＜a＜0 2

即a2-a-2=0，∴a=-1或a=2(舍)

已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m．

分析 求實(shí)數(shù)m的范圍，若用判別式來(lái)判斷是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇朔匠痰南禂?shù)是復(fù)數(shù)．

利用求根公式或用韋達(dá)定理或選用復(fù)數(shù)相等，解方程組來(lái)求實(shí)數(shù)m均可以．現(xiàn)僅介紹一種方法．

解 ∵x，m∈R，方程變形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0

復(fù)數(shù)例題講解與分析

例1．已知x, y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.[思路1]：確定一個(gè)復(fù)數(shù)即分別確定它的實(shí)部、虛部或模與一個(gè)輻角，設(shè)z=a+bi或三角形式，化虛為實(shí)。

2[解法1]：設(shè)x=a+bi(a,b∈R), 則y=a-bi, 代入原等式得：(2a)-3(a+b)i=4-6i.或 或 或，∴

或 或 或。

[思路2]：“x, y互為共軛”含義？→x+y∈R, xy∈R,則(x+y)-3xyi=4-6i

2.[解法2]：∵x=，∴x+y∈R, xy∈R, ∴由兩復(fù)數(shù)相等可得：

∴由韋達(dá)定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的兩根，分別解兩個(gè)一元二次方程則得x,y……（略）。

，例2．已知z∈C,|z|=1且z≠-1,則復(fù)數(shù)2

（）

A、必為純虛數(shù)

B、是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)

C、必為實(shí)數(shù)

D、可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)

[思路分析]：選擇題，從結(jié)論的一般性考慮，若z=±1，顯然A、B選項(xiàng)不成立，分析C、D選項(xiàng)，顯然窮舉驗(yàn)證不能得出一般結(jié)論只能推演

解：[法1] 設(shè)z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.則===∈R，故，應(yīng)選C。

[法2] 設(shè)z=cosθ+isinθ(θ∈R,且θ≠kπ+)，則===∈R。

[法3] ∵z·=|z|2, ∴當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1，∴===∈R.[法4] ∵當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1，∴ ==∈R.[法5] ∵復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是z=，而()=, 又∵|z|=1時(shí)，=，∴ ==，∴∈R。

[評(píng)注]：復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，一方面深化理解（比如復(fù)數(shù)定義：“形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)”深入理解就有凡是復(fù)數(shù)都能寫(xiě)成這樣，求一個(gè)復(fù)數(shù)，使用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過(guò)這一形式將問(wèn)題化虛為實(shí)；……。）

同時(shí)對(duì)一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。（比如：z=a+bi∈R z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R)

z+=0(z≠0)

b=0(a,b∈R)z= z≥0；

z2<0；…….)

在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)要有簡(jiǎn)捷意識(shí)（比如該例方法1，有同學(xué)可能會(huì)在算到化簡(jiǎn)分母又直接按兩復(fù)數(shù)相除的運(yùn)算法則進(jìn)行），多方理解挖掘題目立意。

例3．求使關(guān)于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一個(gè)實(shí)根的實(shí)數(shù)m.時(shí)不注意及時(shí)

[思路分析]：根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實(shí)。

解：設(shè)x0為方程的一個(gè)實(shí)根，則有

x0+mx0+2+(2x0+m)i=0 2，解得：m=±2。

例4．設(shè) z∈C，arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。

[思路分析]：常規(guī)思路，設(shè)z=a+bi, 由已知列關(guān)于a,b的方程求解；數(shù)形結(jié)合思想，由題設(shè)可知z+2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在射線OA上，∠AOX=，z-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B應(yīng)在射線OB上，∠BOX=，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z應(yīng)在AB中點(diǎn)上，|AB|=4，AB//Ox軸，∠AOB=i.，故而易得：z=-1+

解：（略）

例5．設(shè)x,y∈R, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i，已知|z1|=|z2|，argk∈Z}中元素的個(gè)數(shù)。=,(1)求()

=?(2)設(shè)z=, 求集合A={x|x=z+z，2k-2k

[思路分析]：理解已知，|z1|=|z2|，arg=含義？→=i, 即z1=z2i→兩復(fù)數(shù)相等→x, y.(1)解：∵|z1|=|z2|, ∴| |=1，又arg=, ∴ =||(cos+isin)=i, 即z1=z2i，∴ 2-x+xi=[y-1+(-y)i]i

即，解得 x=y=+，∴(0)100=(+i)100=(-+i)=

=--i.[簡(jiǎn)評(píng)] 1 本題的解法體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和整體的思想方法，如果把兩個(gè)已知條件割裂開(kāi)來(lái)去考慮，則需要解關(guān)于x, y的二元二次方程組，其運(yùn)算肯定很麻煩； 在計(jì)算題中對(duì)1的立方根之一：w=-1++0

+i的特性要熟知即 w=

=1, ==w,1+w+w=0，22=0, 關(guān)于此點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題是命題經(jīng)常參考的著眼點(diǎn)。

(2)[思路分析]：由(1)知 z=可怎么理解呢？(z)+(z), z+2k2-k2k+

2k

i，z的特性：z3=-1=, ……

3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ……，z2k+z-2k

解[法1]：令w=-+i，則z2k+z-2k=wk+w-k，∵w3=1,而k∈z, ∴k=

當(dāng)k=3m時(shí)，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2，當(dāng)k=3m+1時(shí)，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+

綜上可知，集合A中有2個(gè)元素。

=-1，當(dāng)k=3m+2時(shí)，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1，[法2]：∵|z|=1, ∴ =，∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos

=

由此可判定集合A中有2個(gè)元素。

例6．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=

[思路分析]：欲用已知，需化簡(jiǎn)w, , 并且|w|=, argw<,求θ。（93年全國(guó)理）

解：w=

=tg2θ(sin4θ+icos4θ)

==

∴ |w|=|tg2θ| 由|w|= 得 tg2θ=±.∵ 0<θ<π, 故有(i)當(dāng)tg2θ=時(shí)，得θ=或θ=.此時(shí) w=(cos+isin)，∴argw=<,適合題意。

(ii)當(dāng) tg2θ=-時(shí)，得θ=π或θ=π，此時(shí)，w=(cosπ+isinπ).∴argw= π>, 不合題意，舍去，故綜合(i),(ii)知，θ=或θ=.[簡(jiǎn)評(píng)] 10 復(fù)數(shù)與三角的綜合題目是命題的一個(gè)方向，其中應(yīng)用三角公式“1±cosa的升冪式”及“誘導(dǎo)公式”化復(fù)數(shù)代數(shù)形式為標(biāo)準(zhǔn)三角形式應(yīng)用頻率較高。此題在w的化簡(jiǎn)中亦可利用 |z|=1, z·=|z|來(lái)化簡(jiǎn)： 0

w=變換。=5==……以下略，這樣可省去較為繁鎖的三角

例7．已知|z|=1,且z+z=1, 求z。

[思路分析1]：已知含未知數(shù)的等式求未知數(shù)，方程問(wèn)題，設(shè)元化虛為實(shí)，解：[法1]設(shè)z=cosθ+isinθ，則由z5+z=1可得：

由(1)+(2)得：cos4θ=-

……（以下略）。

[思路分析2]：復(fù)數(shù)的概念，運(yùn)算都有幾何意義，由z5+z=1，若設(shè)z5, z,1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，B，C則四邊形OACB為平行四邊形。

★[法2]：設(shè)z5,z,1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，則由z5+z=1，可知，四邊形OACB為平行四邊形，又∵ |z|=|z|=1=|z| 55

∴ OACB為邊長(zhǎng)為1的菱形且∠AOB=120°，∴ 易求得：z=+i或 z=-i。

可以驗(yàn)證當(dāng)z=±i時(shí)，z5=

i符合題意。

[簡(jiǎn)評(píng)]：10 數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)是處理復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的習(xí)慣思路，因復(fù)數(shù)中的概念，運(yùn)算都有一定的幾何含義，這源于z=a+bi本身就表示一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)a,b確定，z表示定點(diǎn)，當(dāng)a,b不定則z就能表示一個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡，如 z=x+i就可表示雙曲線。故在解題時(shí)變換角度從幾何意義去分析，往往會(huì)事半功倍。此題還可這樣聯(lián)系，由z5+z=1得 z-1=-z5，兩邊取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1，從而知z應(yīng)是圓|z|=1與 |z-1|=1的交點(diǎn)。

第二篇：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算 過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不 易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。課型:新知課 教具準(zhǔn)備：多媒體 教學(xué)過(guò)程： 復(fù)習(xí)提問(wèn)：

已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）加法法則：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是

實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：

一 ．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).探究: 復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 二.乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=

［

(a1+b1i)(a2+b2i)

］

(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=

［

(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3

］

+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類(lèi)似的我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開(kāi)運(yùn)算,類(lèi)似地,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來(lái)展開(kāi)運(yùn)算.例2計(jì)算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.練習(xí)課后第2題

三.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù) 2

2通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。

思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么

(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)? 探究: 類(lèi)比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算,我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.試探求復(fù)數(shù)除法法則.四:除法運(yùn)算規(guī)則：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者

a?bic?di

①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.?cx?dy?a,由復(fù)數(shù)相等定義可知?

?dx?cy?b.ac?bd?x?,22?c?d解這個(gè)方程組，得? ??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?d2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是將

a?bi的分母有理化得： c?di5 原式=?a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d2

2是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)??1?2i 3?4i(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425551 先寫(xiě)成分式形式 然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))3 化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果 練習(xí):課后第3題(1)(3)小結(jié): 作業(yè):

教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：

a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn).

第三篇：..復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系.教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用.教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小 教學(xué)過(guò)程：

學(xué)生探究過(guò)程：

1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即 i2??1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.與－1的關(guān)系:就是－1的一個(gè)平方根，即方程x2=－1的一個(gè)根，方程x2=－1的另一個(gè)根是－

3.的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.復(fù)數(shù)的定義：形如a?bi(a,b?R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小 只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

8．復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i./ 5 10.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.11.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：

１．乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).2.乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例2計(jì)算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)（1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)

通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z./ 5 4.復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者

a?bi c?di5.除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知??cx?dy?a，?dx?cy?b.ac?bd?x?,22??c?d 解這個(gè)方程組，得??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?da?bi的分母有理化得：

c?di②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? c?di(c?di)(c?di)c2?d2?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i.c2?d2c?d2c2?d2∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?i.c2?d2c2?d2點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c－di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的3?2的對(duì)偶式3?2，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425553 / 5 例4計(jì)算(1?4i)(1?i)?2?4i

3?4i解：(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i7?i(7?i)(3?4i)??? 223?4i3?4i3?43?4i?21?4?3i?28i25?25i??1?i.2525例5已知z是虛數(shù)，且z+

1z?1是實(shí)數(shù)，求證：是純虛數(shù).zz?1證明：設(shè)z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 z+11a?biab?a??(b?)i.=a+bi+=a+bi+222222za?ba?ba?ba?bi1b∈R，∴b－2=0.2za?b∵z+∵b≠0，∴a2+b2=1.∴z?1(a?1)?bi[(a?1)?bi][(a?1)?bi]?? 22z?1(a?1)?bi(a?1)?ba2?1?b2?[(a?1)b?(a?1)b]i0?2bib???i.22a?b?2a?11?2a?1a?1∵b≠0，a、b∈R，∴鞏固練習(xí)：

1.設(shè)z=3+i,則

bi是純虛數(shù) a?11等于 zB.3－i

C.A.3+i

2.31i?

1010D.31?i 1010a?bia?bi?的值是 b?aib?ai B.i

C.－i

D.1 A.0

3.已知z1=2－i,z2=1+3i,則復(fù)數(shù)A.1 4.設(shè)

iz2?的虛部為 z15

D.－i B.－1

C.i x3y??(x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.1?i2?i1?i4 / 5 答案：1.D 2.A 3.A

4.39 , －

55課后作業(yè)：課本第112頁(yè)

習(xí)題3.2

A組4，5，6

B組1，2 教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：

a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn)/ 5

第四篇：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案

《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

穆棱市第二中學(xué)

孔丹

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。【教學(xué)重點(diǎn)】

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用?！菊n型】

新知課。【教具準(zhǔn)備】

多媒體 【教學(xué)過(guò)程】

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)：

已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）加法法則：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是

實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、講解新課：

（一）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行： 設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.2其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).（二）乘法運(yùn)算律 師生探究: 師：復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 生：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3..（4）zz?z mnm?n.（5）z??mn?zmn.nnn（6）?z1z2??z1z2.（三）例題講解 例1.計(jì)算（1）（2+i）i(2)(1-2i)(3+i).解：（1）原式?2i?i2??1?2i

2?3?i?6i?2?5?5i ?3?i?6i?2i（2）原式例2.計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.注：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類(lèi)似的.例3計(jì)算：

2（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).22解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;22(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.（四）共軛復(fù)數(shù)：

1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。

2.表達(dá)形式：通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。3.師生探究：

思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么

(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)?（3）z?z、z2與z2有何關(guān)系？

生：（1）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱（2）z?z?a2?b2z?z?z2即：乘積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).（3）?z2.（五）除法運(yùn)算規(guī)則

滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)?(c+di)或者a?bi.c?di1.(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad? i.（分母實(shí)數(shù)化）

c2?d2c2?d2222.利用(c+di)(c－di)=c+d.于是將

a?bi的分母有理化得：

c?di2 原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d師：1是常規(guī)方法，2是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而22(c+di)·(c－di)=c+d是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

3.變式訓(xùn)練：計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解：(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425554.方法總結(jié)：

① 先寫(xiě)成分式形式

②然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))③化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果

三、考點(diǎn)突破

1.計(jì)算(1)(3?2i)?3?2i??

?1?i??2?i??(2)?i.3+i等于（）2.（2017全國(guó)二卷）1?i.3.（2013年高考福建卷）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

z?1?2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z?4.（2017渭南市一模）已知復(fù)數(shù)

1?i1?iC.，則

z等于（）.A.?2iB.?i2iD.i

5.（2013年高考安徽卷）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z?z?i?2?2z，.則z等于（），則z的模為.A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 6.（2017年廈門(mén)市一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足7.計(jì)算i＋i2＋i3＋…＋i2018.四、知識(shí)拓展提升

z?1?i??2?i 3 探究：i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=.虛數(shù)單位i的周期性：（1）i（2）4n?112345678?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?4?1?n?N?.in?in?1?in?2?in?3?0?n?N?.五、課堂小結(jié)

1、復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則是什么？其滿足哪些運(yùn)算律？

2、怎樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)？復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)之間有什么性質(zhì)？

3、復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則是什么？

六、作業(yè)

1.教材P112——習(xí)題3.2 2.教材P116——復(fù)習(xí)參考題 【教學(xué)反思】

一、知識(shí)點(diǎn)反思

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是：a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn).二、課堂反思

1.學(xué)生在計(jì)算時(shí)不注意變號(hào)；

2.復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式是a+bi，當(dāng)a<0,b>0時(shí)，學(xué)生習(xí)慣把“正”放前面，把“負(fù)”放后面，這種習(xí)慣不利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí).4

第五篇：3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(教學(xué)設(shè)計(jì))

城南中學(xué)2017-2018學(xué)第二學(xué)期公開(kāi)課材料 3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（教學(xué)設(shè)計(jì)）

城南中學(xué) 蔡開(kāi)順 2018.4.3周二下午第3節(jié)高二2班

知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則。過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生體會(huì)到實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用 【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、復(fù)習(xí)回顧

1.虛數(shù)單位i：i2??1

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：z?a?bi

3.復(fù)數(shù)z1與z2的和差的定義：z1?z2?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)回顧引入新課

二、新課引入

1．復(fù)數(shù)的乘法法則

教師提出：(a?b)(c?d)=？

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法引入復(fù)數(shù)的乘法 探究1：復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，則z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述運(yùn)算法則將其展開(kāi)，z1·z2等于什么？ 師生：寫(xiě)出復(fù)數(shù)乘法法則：

(a?bi)(c?di)?ac?adi?bci?bd?(ac?bd)?(ad?bc)i

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比法得出復(fù)數(shù)乘法法則，加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算

例1．計(jì)算（1）(1?2i)(1?i)（2）(1?i)(1?2i)（3）[(1?2i)(1?i)]i（4）(1?2i)[(1?i)i]（5）i[(1?2i)?(1?i)]（6）i(1?2i)?i(1?i)

【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算，并未復(fù)數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律做鋪墊 探究2：觀察上述計(jì)算，試驗(yàn)證復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算是否滿足交換、結(jié)合、分配律？ 例2．計(jì)算（1）(3?4i)(3?4i)（2）(1?i)2

共軛復(fù)數(shù)：兩復(fù)數(shù)a?bi與a?bi叫做互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)b?0時(shí)，它們叫 做共軛虛數(shù)（注：兩復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們的乘積為實(shí)數(shù)）練習(xí)：說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)3?2i,4?i,?i?1,2i,5 【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)共軛復(fù)數(shù)的概念

探究3：若z?a?bi，z?a?bi是共軛復(fù)數(shù)，那么（1）在復(fù)平面內(nèi)，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系？（2）z?z是一個(gè)怎樣的數(shù)？ 2.復(fù)數(shù)的除法法則 類(lèi)比(分母有理化)1?? 1?2【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比分母有理化引出復(fù)數(shù)除法法則 提出：1??（如何分母實(shí)數(shù)化）1?i探究4：

(a?bi)?(c?di)?a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad???i(c?di?0)c?di(c?di)(c?di)c2?d2c2?d2例3．計(jì)算(1?2i)?(3?4i)變式訓(xùn)練：(?1?3i)?(1?2i)

【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算

【方法小結(jié)】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟

1、先寫(xiě)成分式形式

2、然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))

3、化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果.三、考點(diǎn)突破 同步練習(xí)冊(cè)P79 類(lèi)型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

（1）已知a,b?R,i是虛數(shù)單位.若a?i與2?bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a?bi)2?（）

A.5?4i B.5?4i C.3?4i D.3?4i（2）復(fù)數(shù)z?(3?2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于（）A.?2?3i B.?2?3i C.2?3i D.2?3i（3）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（3+i）（1-2i）= 【小結(jié)】常用公式

（1）(a?bi)2?a2?2abi?b2(a,b?R)（2）(a?bi)(a?bi)?a2?b2(a,b?R)（3）(1?i)2?2i

類(lèi)型2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

(1?i)3（1）?

(1?i)2?A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i

7?i? 3?4i17311725A.1-i B.-1+i C.?i D.??i

25257711?i1?i?i；??i 2.常用公式??i；i1?i1?i（2）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

四、課堂小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課你學(xué)到了什么？

五、作業(yè)布置P111 1,2,3 3