第一篇:復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算
復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算
一、主要內(nèi)容:
復(fù)數(shù)的三角形式,模與輻角的概念及幾何意義,用三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算及幾何意義.二、學(xué)習(xí)要求:
1.熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化,會(huì)求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值.2.深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征,熟練運(yùn)用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式.3.能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍(最值).4.利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算,并能根據(jù)乘除運(yùn)算的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題.5.注意多種解題方法的靈活運(yùn)用,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法.三、重點(diǎn):
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換,復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算幾何意義的綜合運(yùn)用.四、學(xué)習(xí)建議:
1.復(fù)數(shù)的三角形式是徹底解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開(kāi)方問(wèn)題的橋梁,相比之下,代數(shù)形式在這些方面顯得有點(diǎn)力不從心,因此,做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的.前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了復(fù)數(shù)的另兩種表示.一是代數(shù)表示,即Z=a+bi(a,b∈R).二是幾何表示,復(fù)數(shù)Z既可以用復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)表示,也可以用復(fù)平面上的向量
來(lái)表示.現(xiàn)在需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示.既用復(fù)數(shù)Z的模和輻角來(lái)表示,設(shè)其模為r,輻角為θ,則Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然這三種方式都可以表示同一個(gè)復(fù)數(shù),它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能夠進(jìn)行互化.代數(shù)形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R)Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.否則不是三角形式.三角形式中θ應(yīng)是復(fù)數(shù)Z的一個(gè)輻角,不一定是輻角主值.五、基礎(chǔ)知識(shí)
1)復(fù)數(shù)的三角形式 ①定義:復(fù)數(shù)z=a(a,b∈R)表示成r(cosθ+ isinθ)的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式。即z=r(cos θ+ isinθ)
其中z?r
θ為復(fù)數(shù)z的輻角。②非零復(fù)數(shù)z輻角θ的多值性。
?以ox軸正半軸為因此復(fù)數(shù)z的輻
③輻角主值
表示法;用arg
定義:適合[0,始邊,向量oz所在的射線為終邊的角θ叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角 角是θ+2k?(k∈z)
z 表示復(fù)數(shù)z的輻角主值。
2?)的角θ叫輻角主值 0?argz?2?
唯一性:復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的,唯一的。
④不等于零的復(fù)數(shù)的模z?r是唯一的。
⑤z=0時(shí),其輻角是任意的。
⑥復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。(求法)
這是復(fù)數(shù)計(jì)算中必定要解決的問(wèn)題,物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算,尤其是逮美佛定理定理只有對(duì)復(fù)數(shù)三角形式時(shí)才能使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運(yùn)算中極為重要的內(nèi)容(也是解題術(shù))復(fù)數(shù)在化三角式的過(guò)程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法,輻角主值的確定是難點(diǎn),也是關(guān)鍵存在,這個(gè)專(zhuān)題只簡(jiǎn)單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。
2)復(fù)數(shù)的向量表示
在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為z1、z2(如圖)
?
何量oz1對(duì)應(yīng)于z1
?
何量oz2對(duì)應(yīng)于z2
?
何量z1z2對(duì)應(yīng)于z2?z1?z
顯然oz∥z1z2
則argz1=∠x(chóng)oz1=θargz2=∠x(chóng)oz2=θ1
?
與復(fù)數(shù)z2-z1對(duì)應(yīng)的向量為oz
argz(z2-z1)=arg z=∠x(chóng)oz=θ
3)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義
主要是三角式乘法、除法等運(yùn)算中輻角的變化
如z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z2=r2(cosθ2+isinθ2)
①乘法:z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
???
如圖:其對(duì)應(yīng)的向量分別為oz1oz2oz
顯然積對(duì)應(yīng)的輻角是θ1+θ2
?< 1 > 若θ2 > 0 則由oz1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ2角模變?yōu)閛z1的r
2?倍所得向量便是積z1·z2=z的向量oz。
???< 2 >若θ2< 0 則由向量oz1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2角模變?yōu)閞1·r2所得向量便是積z1·z2=z的向量oz。
為此,若已知復(fù)數(shù)z1的輻角為α,z2的輻角為β求α+β時(shí)便可求出z1·z2=za
z
對(duì)應(yīng)的輻角就是α+β這樣便可將求“角”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運(yùn)算。②除法 z??z1?z2?z1z2?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]
(其中 z2≠0)
除法對(duì)于輻角主要是“相減”(被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角)依向量旋轉(zhuǎn)同乘法簡(jiǎn)述如下:
?
< 1 >?2?0時(shí)oz1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2角。
?< 2 >?2?0時(shí)oz1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2角。
例1.下列各式是否是三角形式,若不是,化為三角形式:
(1)Z1=-2(cosθ+isinθ)
(2)Z2=cosθ-isinθ
(3)Z3=-sinθ+icosθ
(4)Z4=-sinθ-icosθ
(5)Z5=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的結(jié)構(gòu)特征,確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時(shí),可按照如下步驟進(jìn)行:首先確定復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限(此處可假定θ為銳角),其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱,最后確定輻角.此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.這樣,使變形的方向更具操作性,能有效提高解決此類(lèi)問(wèn)題的正確率.解:(1)由“模非負(fù)”知,不是三角形式,需做變換:Z1=Z(-cosθ-isinθ)
復(fù)平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定θ為銳角),余弦“-cosθ”已在前,不需再變換三角函數(shù)名稱,因此可用誘導(dǎo)公式“π+θ”將θ變換到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
(2)由“加號(hào)連”知,不是三角形式
復(fù)平面上點(diǎn)Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限(假定θ為銳角),不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱,可用誘導(dǎo)公式 “2π-θ”或“-θ”將θ變換到第四象限.∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性,復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一.(3)由“余弦前”知,不是三角形式
復(fù)平面上點(diǎn)Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限(假定θ為銳角),需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱,可用誘導(dǎo)公式
“ +θ”將θ變換到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)
同理(4)Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)
(5)Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)
小結(jié):對(duì)這類(lèi)與三角形式很相似的式子,如何將之變換為三角形式,對(duì)于初學(xué)者來(lái)講是個(gè)難點(diǎn).有了“定點(diǎn)→定名→定角”這樣一個(gè)可操作的步驟,應(yīng)能夠很好地解決此類(lèi)問(wèn)題.例2.求復(fù)數(shù)Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模與輻角主值.分析:式子中多3個(gè)“1”,只有將“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2
-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1)
∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos<0
∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)] 3
∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)
∵ <<π
∴ π<π+<2π,∴argZ=π+.小結(jié):(1)式右端從形式上看似乎就是三角形式.不少同學(xué)認(rèn)為r=2cos, argZ=或ArgZ=
錯(cuò)誤之處在于他們沒(méi)有去考慮θ角范圍,因此一定要用“模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連”來(lái)判斷是否為三角形式.看了這道例題,你一定能解決如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π),Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等類(lèi)似問(wèn)題.例3.將Z=(π<θ<3π)化為三角形式,并求其輻角主值.分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切為弦”.下一步當(dāng)然是要分母實(shí)數(shù)化,再向三角形式轉(zhuǎn)化.解:====cos2θ+isin2θ
∵ π<θ<3π, ∴<2θ<6π,∴π<2θ-4π<2π,∴ argZ=2θ-4π
小結(jié):掌握三角變形是解決這類(lèi)問(wèn)題的根本.但在此之前的解題方向一定要明確,即要分析式子結(jié)構(gòu).比較其與三角形式的異同,從而決定變形的方向,采用正確的方法.要求學(xué)生做好每道例題后的反思,并能由此及彼,舉一反三,達(dá)到熟練解決一類(lèi)問(wèn)題的目的,如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.2.復(fù)數(shù)Z的模|Z|的幾何意義是:復(fù)平面上點(diǎn)Z到原點(diǎn)距離,復(fù)數(shù)模|Z1-Z2|的幾何意義是:復(fù)平面上兩點(diǎn)Z1,Z2之間距離.輻角幾何意義是:以x軸正半軸為角始邊,以向量?jī)?nèi)的輻角稱輻角主值,記為argZ.要求學(xué)生不僅要理解以上所說(shuō)各幾何意義,還要運(yùn)用幾何意義去解決相關(guān)問(wèn)題.例4.若Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和argZ范圍.解:法一,數(shù)形結(jié)合
由|Z-2|≤1,知Z的軌跡為復(fù)平面上以(2,0)為圓心,1為半徑的圓面(包括圓周),|Z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.顯然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,另設(shè)圓的兩條切線為OA,OB,A,B為切點(diǎn),由|CA|=1,|OC|=2知
所在射線為終邊的角記為ArgZ.在[0,2π)范圍
∠AOC=∠BOC=,∴argZ∈[0,]∪[π,2π)
法二:用代數(shù)形式求解|Z|的最大,最小值,設(shè)Z=x+yi(x,y∈R)
則由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴ |Z|=22≤2
=,∵(x-2)+y≤1, ∴(x-2)≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.小結(jié):在一題多解的基礎(chǔ)上,分析比較各種方法的異同,如何做好方法的選擇.各種方法的本質(zhì)和優(yōu)勢(shì),通過(guò)分析與比較都一目了然.例5.復(fù)數(shù)Z滿足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.分析:由兩個(gè)復(fù)數(shù)模的和取最小值,聯(lián)想到一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最小值,將之轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決應(yīng)比較簡(jiǎn)便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的軌跡是一條射線OA,∠x(chóng)OA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
將B(-3,0)與C(3,3)連結(jié),BC連線與OA交點(diǎn)為D,取Z+3為D點(diǎn),表示復(fù)數(shù)時(shí),|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=
3, ∴ 所求
最小值=3
.法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的軌跡是射線OA,則Z軌跡應(yīng)是平行于OA,且過(guò)點(diǎn)(-3,0)的射線BM,∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射線BM上點(diǎn)到點(diǎn)結(jié)PQ與射線BM交于點(diǎn)N,取E為N點(diǎn)表示復(fù)數(shù)時(shí),|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
∴所求最小值=3.,P(-6,0)和點(diǎn)Q(0,3)距離之和,連
小結(jié):兩種方法的本質(zhì)相同,都是將數(shù)學(xué)式子利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題進(jìn)行解決.如果純粹用代數(shù)方法求解,難度會(huì)很大.對(duì)有關(guān)最值問(wèn)題,尤其是模(距離)和輻角主值最值問(wèn)題,用數(shù)形結(jié)合方法顯然較為簡(jiǎn)便.例6.已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解:∵|Z-2i|≤1,∴點(diǎn)Z軌跡是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓面,在其上任取一點(diǎn)Z,連Z與點(diǎn)(0,4)得一以(0,4)為起點(diǎn),Z為終點(diǎn)的向量,將起點(diǎn)平移到原點(diǎn),則θ為其對(duì)應(yīng)的輻角主值,顯然arg(Z-4i)最大值為π.3.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于模的積,輻角為兩輻角之和,其幾何意義是模的伸縮及對(duì)應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn).兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于模的商(除數(shù)不為零),輻角為兩輻角之差,其幾何意義同乘法.由復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義,可解決向量或圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,如等腰、等邊三角形、直角三角形,平行四邊形頂點(diǎn)間的幾何何關(guān)系利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算來(lái)表示.復(fù)數(shù)三角形式較之代數(shù)形式,在乘除運(yùn)算中非常方便,可順利解決多項(xiàng)相乘(乘方),相除及乘除混合運(yùn)算.例7.若 與分別表示復(fù)數(shù)Z1=1+2i, Z2=7+
i, 求∠Z2OZ1并判斷ΔOZ1Z2的形狀.解:欲求∠Z2OZ1,可計(jì)算
====
∴∠Z2OZ1=
且=,由余弦定理,設(shè)|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos
∴ |Z1Z2|=
而k2+(k,=3k2
k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2為有一銳角為60°的直角三角形.小結(jié):此題中利用除法幾何意義來(lái)解決三角形中角的大小問(wèn)題,十分方便.例8.已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,若點(diǎn)A(-1,0)和B(0,8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上,求直線l與拋物線C的方程.解:如圖,建立復(fù)平面x0y,設(shè)向量
x1+y1i, x2+y2i.由對(duì)稱性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i、對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為
∴
設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)則有y12=2px1, y22=2px2,∴ x1= , y1=p, 又|OA'|=1,2
2∴()2+p2=1, ∴p=或-(舍)
∴拋物線方程為y=2x,直線方程為:y=x.小結(jié):對(duì)于解析幾何的許多問(wèn)題,若能借助于復(fù)數(shù)的向量來(lái)表示,常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置,特殊關(guān)系的圖形時(shí),尤顯其效.五、易錯(cuò)點(diǎn)
1.并不是每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值.如復(fù)數(shù)零的模為0,輻角主值不確定.2.注意ArgZ與argZ的區(qū)別.ArgZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角,而argZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角主值.ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 輻角主值是[0,2π)內(nèi)的輻角,但輻角不一定是輻角主值.3.復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連,缺一不可.任何一個(gè)不滿足,就不是三角形式.4.注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算中,向量旋轉(zhuǎn)的方向.六、練習(xí)
1.寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的三角形式
(1)ai(a∈R)
(2)tgθ+i(2.設(shè)Z=(-3+3<θ<π)
(3)-(sinθ-icosθ)
i)n, n∈N,當(dāng)Z∈R時(shí),n為何值?
3.在復(fù)平面上A,B表示復(fù)數(shù)為α,β(α≠0),且β=(1+i)α,判斷ΔAOB形狀,并證明SΔAOB=
參考答案:
|d|2.1.(1)ai=
(2)tgθ+i(<θ<π)=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)]
(3)-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]
2.n為4的正整數(shù)倍
3.法一:∵α≠0,β=(1+i)α
∴
∵=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=,分別表示復(fù)數(shù)α,β-α,由β-α=αi,得=i=cos+isin,∴∠OAB=90°, ∴ΔAOB為等腰直角三角形.法二:∵|
又||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|, ∴||α|,|
|+|
|=|
|
2|=|β|=|(1+i)α|=|=|α|+|α|=2|α|=||
∴ΔAOB為等腰直角三角形,∴SΔAOB=||·||=|α|.2
在線測(cè)試
選擇題
1.若復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是 A、1 B、-1,則實(shí)數(shù)a的值是()C、-
D、-
2.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+x+p=0的兩虛根a,b滿足|a-b|=3,則p的值是()
A、-2 B、-
C、D、1
3.設(shè)π<θ<,則復(fù)數(shù)的輻角主值為()
A、2π-3θ B、3θ-2π
C、3θ
D、3θ-π
4.復(fù)數(shù)cos+isin經(jīng)過(guò)n次乘方后,所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù),則n的值等于(A、3 B、12
C、6k-1(k∈Z)
D、6k+1(k∈Z)
5.z為復(fù)數(shù),()|z-3|=()|z+3|
()-
1的圖形是()
A、直線 B、半實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線
C、焦點(diǎn)在x軸,半實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線右支
D、不能確定
答案與解析
答案:
1、B
2、C
3、B
4、C
5、C
解析:
1.∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=,∴,∴a=-1,本題選B.2.求根a,b=(Δ=1-4p<0)∵|a-b|=||=3,∴ 4p-1=9,p=,故本題應(yīng)選C.3.==cos3θ+isin3θ.∵ π<θ<,∴3π<3θ<,∴π<3θ-2π<,故本題應(yīng)選B.)
4.由題意,得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin
由復(fù)數(shù)相等的定義,得
解得=2kπ-,(k∈Z),∴n=6k-1.故本題應(yīng)選C.5.依題意,有 |z-3|=|z+3|-1,∴ |z+3|-|z-3|=1.由雙曲線定義,此方程表示焦點(diǎn)(±3,0),2a=1,a=的雙曲線右支,故本題應(yīng)選C.復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算·疑難問(wèn)題解析
1.復(fù)數(shù)的模與輻角:
(1)復(fù)數(shù)模的性質(zhì):|z1·z2|=|z1|·|z2|
(2)輻角的性質(zhì):積的輻角等于各因數(shù)輻角的和.
商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
一個(gè)復(fù)數(shù)n次冪(n∈N)的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)輻角的n倍.
注意:(1)輻角與輻角主值的區(qū)別,特別是解題過(guò)程中的不同點(diǎn).如下面兩個(gè)問(wèn)題:
若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值.(α+β∈(3π,4π))
若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值.
(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角主值不一定等于兩輻角主值的和,商的輻角主值不一定等于輻角主值的差.2.關(guān)于數(shù)的開(kāi)方
(1)復(fù)數(shù)的開(kāi)方法則:r(cosθ+isinθ)的n次方根是
幾何意義:
設(shè)
對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的點(diǎn),則有:
所以,復(fù)數(shù)z的n次方根,在復(fù)平面內(nèi)表示以原點(diǎn)為中心的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).
(2)復(fù)數(shù)平方根的求法.
求-3-4i的平方根.
解法一 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式.設(shè)-3-4i的平方根為x+yi(x,y∈R),則有
(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i,由復(fù)數(shù)相等條件,得
∴-3-4i的平方根是±(1-2i).
法二 利用復(fù)數(shù)的三角形式.
3.復(fù)數(shù)集中的方程.
關(guān)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程的解法:設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R,x1,x2為它的兩個(gè)根)
(1)當(dāng)△=b2-4ac≥0時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
當(dāng)△=b2-4ac<0時(shí),方程有一對(duì)共軛虛根
2(4)二次三項(xiàng)式的因式分解:ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法:設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c∈C,且至少有一個(gè)虛數(shù),x1x2為它的兩個(gè)根)
(4)二次三項(xiàng)式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然適用.
關(guān)于二項(xiàng)方程的解法
形如anxn+a0=0(a0,an∈C且an≠0)的方程叫做二項(xiàng)方程,任何一個(gè)二項(xiàng)方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式,因此都可以通過(guò)復(fù)數(shù)開(kāi)方來(lái)求根.
可以充分利用復(fù)數(shù)z的整體性質(zhì),復(fù)數(shù)z的三種表示方法及其轉(zhuǎn)換來(lái)解方程.
已知方程x2-4x+p=0兩虛數(shù)根為α、β,且|α-β|=2求實(shí)數(shù)p的值.
解法1 ∵實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根共軛設(shè)α=a+bi,β=a-bi,(a,b∈R)∴α+β=2a=4,∴a=2
又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1
即兩根為2+i,2-i由韋達(dá)定理得:p=(2+i)(2-i)=5
法2 由韋達(dá)定理可得:α+β=4,αβ=p
于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4,即|4-p|=1 又∵△=42-4p<0
p>4,∴p-4=1,得p=5
說(shuō)明 注意實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根與有兩個(gè)虛根的區(qū)別.
一等式成立.若有兩個(gè)虛根則
上述等式不成立.因?yàn)椋?β|≠(α-β).因此在解題時(shí)要重視復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系,要避免出現(xiàn)混淆與干擾.
已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模為1的根,求實(shí)數(shù)a的值.
分析 已知方程有模為1的根,此根可能是實(shí)數(shù),也可能是虛數(shù),故求實(shí)數(shù)a要注意分域討論.
解(1)若所給方程有實(shí)根則△=(3a)-4×2(a-a)=a+8a>0,即a<-8或a>0
由條件得根必為1或-1,①將x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a無(wú)實(shí)數(shù)解.
(2)若所給方程有虛根則△=a+8<0,即-8<a<0 2
即a2-a-2=0,∴a=-1或a=2(舍)
已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m.
分析 求實(shí)數(shù)m的范圍,若用判別式來(lái)判斷是錯(cuò)誤的,因?yàn)榇朔匠痰南禂?shù)是復(fù)數(shù).
利用求根公式或用韋達(dá)定理或選用復(fù)數(shù)相等,解方程組來(lái)求實(shí)數(shù)m均可以.現(xiàn)僅介紹一種方法.
解 ∵x,m∈R,方程變形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0
復(fù)數(shù)例題講解與分析
例1.已知x, y互為共軛復(fù)數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.[思路1]:確定一個(gè)復(fù)數(shù)即分別確定它的實(shí)部、虛部或模與一個(gè)輻角,設(shè)z=a+bi或三角形式,化虛為實(shí)。
2[解法1]:設(shè)x=a+bi(a,b∈R), 則y=a-bi, 代入原等式得:(2a)-3(a+b)i=4-6i.或 或 或,∴
或 或 或。
[思路2]:“x, y互為共軛”含義?→x+y∈R, xy∈R,則(x+y)-3xyi=4-6i
2.[解法2]:∵x=,∴x+y∈R, xy∈R, ∴由兩復(fù)數(shù)相等可得:
∴由韋達(dá)定理可知:x,y同是方程:z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的兩根,分別解兩個(gè)一元二次方程則得x,y……(略)。
,例2.已知z∈C,|z|=1且z≠-1,則復(fù)數(shù)2
()
A、必為純虛數(shù)
B、是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)
C、必為實(shí)數(shù)
D、可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)
[思路分析]:選擇題,從結(jié)論的一般性考慮,若z=±1,顯然A、B選項(xiàng)不成立,分析C、D選項(xiàng),顯然窮舉驗(yàn)證不能得出一般結(jié)論只能推演
解:[法1] 設(shè)z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.則===∈R,故,應(yīng)選C。
[法2] 設(shè)z=cosθ+isinθ(θ∈R,且θ≠kπ+),則===∈R。
[法3] ∵z·=|z|2, ∴當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1,∴===∈R.[法4] ∵當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1,∴ ==∈R.[法5] ∵復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是z=,而()=, 又∵|z|=1時(shí),=,∴ ==,∴∈R。
[評(píng)注]:復(fù)習(xí)中,概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位,一方面深化理解(比如復(fù)數(shù)定義:“形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)”深入理解就有凡是復(fù)數(shù)都能寫(xiě)成這樣,求一個(gè)復(fù)數(shù),使用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過(guò)這一形式將問(wèn)題化虛為實(shí);……。)
同時(shí)對(duì)一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。(比如:z=a+bi∈R z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R)
z+=0(z≠0)
b=0(a,b∈R)z= z≥0;
z2<0;…….)
在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)要有簡(jiǎn)捷意識(shí)(比如該例方法1,有同學(xué)可能會(huì)在算到化簡(jiǎn)分母又直接按兩復(fù)數(shù)相除的運(yùn)算法則進(jìn)行),多方理解挖掘題目立意。
例3.求使關(guān)于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一個(gè)實(shí)根的實(shí)數(shù)m.時(shí)不注意及時(shí)
[思路分析]:根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程,虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等,化虛為實(shí)。
解:設(shè)x0為方程的一個(gè)實(shí)根,則有
x0+mx0+2+(2x0+m)i=0 2,解得:m=±2。
例4.設(shè) z∈C,arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。
[思路分析]:常規(guī)思路,設(shè)z=a+bi, 由已知列關(guān)于a,b的方程求解;數(shù)形結(jié)合思想,由題設(shè)可知z+2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在射線OA上,∠AOX=,z-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B應(yīng)在射線OB上,∠BOX=,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z應(yīng)在AB中點(diǎn)上,|AB|=4,AB//Ox軸,∠AOB=i.,故而易得:z=-1+
解:(略)
例5.設(shè)x,y∈R, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i,已知|z1|=|z2|,argk∈Z}中元素的個(gè)數(shù)。=,(1)求()
=?(2)設(shè)z=, 求集合A={x|x=z+z,2k-2k
[思路分析]:理解已知,|z1|=|z2|,arg=含義?→=i, 即z1=z2i→兩復(fù)數(shù)相等→x, y.(1)解:∵|z1|=|z2|, ∴| |=1,又arg=, ∴ =||(cos+isin)=i, 即z1=z2i,∴ 2-x+xi=[y-1+(-y)i]i
即,解得 x=y=+,∴(0)100=(+i)100=(-+i)=
=--i.[簡(jiǎn)評(píng)] 1 本題的解法體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和整體的思想方法,如果把兩個(gè)已知條件割裂開(kāi)來(lái)去考慮,則需要解關(guān)于x, y的二元二次方程組,其運(yùn)算肯定很麻煩; 在計(jì)算題中對(duì)1的立方根之一:w=-1++0
+i的特性要熟知即 w=
=1, ==w,1+w+w=0,22=0, 關(guān)于此點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題是命題經(jīng)常參考的著眼點(diǎn)。
(2)[思路分析]:由(1)知 z=可怎么理解呢?(z)+(z), z+2k2-k2k+
2k
i,z的特性:z3=-1=, ……
3, |z|=1, =; z=cos+isin, z2=w, ……,z2k+z-2k
解[法1]:令w=-+i,則z2k+z-2k=wk+w-k,∵w3=1,而k∈z, ∴k=
當(dāng)k=3m時(shí),z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,當(dāng)k=3m+1時(shí),z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+
綜上可知,集合A中有2個(gè)元素。
=-1,當(dāng)k=3m+2時(shí),z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,[法2]:∵|z|=1, ∴ =,∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos
=
由此可判定集合A中有2個(gè)元素。
例6.設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=
[思路分析]:欲用已知,需化簡(jiǎn)w, , 并且|w|=, argw<,求θ。(93年全國(guó)理)
解:w=
=tg2θ(sin4θ+icos4θ)
==
∴ |w|=|tg2θ| 由|w|= 得 tg2θ=±.∵ 0<θ<π, 故有(i)當(dāng)tg2θ=時(shí),得θ=或θ=.此時(shí) w=(cos+isin),∴argw=<,適合題意。
(ii)當(dāng) tg2θ=-時(shí),得θ=π或θ=π,此時(shí),w=(cosπ+isinπ).∴argw= π>, 不合題意,舍去,故綜合(i),(ii)知,θ=或θ=.[簡(jiǎn)評(píng)] 10 復(fù)數(shù)與三角的綜合題目是命題的一個(gè)方向,其中應(yīng)用三角公式“1±cosa的升冪式”及“誘導(dǎo)公式”化復(fù)數(shù)代數(shù)形式為標(biāo)準(zhǔn)三角形式應(yīng)用頻率較高。此題在w的化簡(jiǎn)中亦可利用 |z|=1, z·=|z|來(lái)化簡(jiǎn): 0
w=變換。=5==……以下略,這樣可省去較為繁鎖的三角
例7.已知|z|=1,且z+z=1, 求z。
[思路分析1]:已知含未知數(shù)的等式求未知數(shù),方程問(wèn)題,設(shè)元化虛為實(shí),解:[法1]設(shè)z=cosθ+isinθ,則由z5+z=1可得:
由(1)+(2)得:cos4θ=-
……(以下略)。
[思路分析2]:復(fù)數(shù)的概念,運(yùn)算都有幾何意義,由z5+z=1,若設(shè)z5, z,1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,B,C則四邊形OACB為平行四邊形。
★[法2]:設(shè)z5,z,1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,則由z5+z=1,可知,四邊形OACB為平行四邊形,又∵ |z|=|z|=1=|z| 55
∴ OACB為邊長(zhǎng)為1的菱形且∠AOB=120°,∴ 易求得:z=+i或 z=-i。
可以驗(yàn)證當(dāng)z=±i時(shí),z5=
i符合題意。
[簡(jiǎn)評(píng)]:10 數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)是處理復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的習(xí)慣思路,因復(fù)數(shù)中的概念,運(yùn)算都有一定的幾何含義,這源于z=a+bi本身就表示一個(gè)點(diǎn),當(dāng)a,b確定,z表示定點(diǎn),當(dāng)a,b不定則z就能表示一個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡,如 z=x+i就可表示雙曲線。故在解題時(shí)變換角度從幾何意義去分析,往往會(huì)事半功倍。此題還可這樣聯(lián)系,由z5+z=1得 z-1=-z5,兩邊取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1,從而知z應(yīng)是圓|z|=1與 |z-1|=1的交點(diǎn)。
第二篇:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案
教學(xué)目標(biāo): 知識(shí)與技能:理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則,深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算 過(guò)程與方法:理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題 情感、態(tài)度與價(jià)值觀:復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味,學(xué)生不 易接受,教學(xué)時(shí),我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的,讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn):對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。課型:新知課 教具準(zhǔn)備:多媒體 教學(xué)過(guò)程: 復(fù)習(xí)提問(wèn):
已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是實(shí)數(shù))加法法則:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是
實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課:
一 .復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則:
規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行:
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在所得的結(jié)果中把i換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).探究: 復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 二.乘法運(yùn)算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).∵(z1z2)z3=
[
(a1+b1i)(a2+b2i)
]
(a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i)=
[
(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3
]
+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可證:
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類(lèi)似的我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開(kāi)運(yùn)算,類(lèi)似地,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來(lái)展開(kāi)運(yùn)算.例2計(jì)算:
(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+ i).解:(1)(3+4i)(3-4i)=3-(4i)=9-(-16)=25;(2)(1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.練習(xí)課后第2題
三.共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù) 2
2通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。
思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么
(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)? 探究: 類(lèi)比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算,我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.試探求復(fù)數(shù)除法法則.四:除法運(yùn)算規(guī)則:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商,記為:(a+bi)?(c+di)或者
a?bic?di
①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商為x+yi(x,y∈R),即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i.∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.?cx?dy?a,由復(fù)數(shù)相等定義可知?
?dx?cy?b.ac?bd?x?,22?c?d解這個(gè)方程組,得? ??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?d2②利用(c+di)(c-di)=c+d.于是將
a?bi的分母有理化得: c?di5 原式=?a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d點(diǎn)評(píng):①是常規(guī)方法,②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí),都是采用的分母有理化思想方法,而(c+di)·(c-di)=c+d2
2是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法
例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解:(1?2i)?(3?4i)??1?2i 3?4i(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425551 先寫(xiě)成分式形式 然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))3 化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果 練習(xí):課后第3題(1)(3)小結(jié): 作業(yè):
教學(xué)反思:
復(fù)數(shù)的乘法法則是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘,可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行,不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是:
a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡(jiǎn).
第三篇:..復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案
3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
教學(xué)目標(biāo):
知識(shí)與技能:理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則,深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算
過(guò)程與方法:理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題
情感、態(tài)度與價(jià)值觀:復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味,學(xué)生不易接受,教學(xué)時(shí),我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的,讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系.教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用.教具準(zhǔn)備:多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d,只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小 教學(xué)過(guò)程:
學(xué)生探究過(guò)程:
1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1,即 i2??1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立
2.與-1的關(guān)系:就是-1的一個(gè)平方根,即方程x2=-1的一個(gè)根,方程x2=-1的另一個(gè)根是-
3.的周期性: 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.復(fù)數(shù)的定義:形如a?bi(a,b?R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母C表示*
3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z?a?bi(a,b?R),把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系:對(duì)于復(fù)數(shù)a?bi(a,b?R),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a;當(dāng)b≠0時(shí),復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時(shí),z=bi叫做純虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí),z就是實(shí)數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系:NZQRC.6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d
一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等,而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),就可以比較大小 只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小
7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸:
點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)
對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外,因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
8.復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i./ 5 10.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.11.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課:
1.乘法運(yùn)算規(guī)則:
規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行:
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在所得的結(jié)果中把i2換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).2.乘法運(yùn)算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可證:
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例2計(jì)算:
(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+ i)2.解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;(2)(1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)
通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z./ 5 4.復(fù)數(shù)除法定義:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商,記為:(a+bi)?(c+di)或者
a?bi c?di5.除法運(yùn)算規(guī)則:
①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商為x+yi(x,y∈R),即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i.∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知??cx?dy?a,?dx?cy?b.ac?bd?x?,22??c?d 解這個(gè)方程組,得??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2 i.222c?dc?da?bi的分母有理化得:
c?di②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是將原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? c?di(c?di)(c?di)c2?d2?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i.c2?d2c?d2c2?d2∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?i.c2?d2c2?d2點(diǎn)評(píng):①是常規(guī)方法,②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí),都是采用的分母有理化思想方法,而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c-di,相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的3?2的對(duì)偶式3?2,它們之積為1是有理數(shù),而(c+di)·(c-di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法
例3計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解:(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425553 / 5 例4計(jì)算(1?4i)(1?i)?2?4i
3?4i解:(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i7?i(7?i)(3?4i)??? 223?4i3?4i3?43?4i?21?4?3i?28i25?25i??1?i.2525例5已知z是虛數(shù),且z+
1z?1是實(shí)數(shù),求證:是純虛數(shù).zz?1證明:設(shè)z=a+bi(a、b∈R且b≠0),于是 z+11a?biab?a??(b?)i.=a+bi+=a+bi+222222za?ba?ba?ba?bi1b∈R,∴b-2=0.2za?b∵z+∵b≠0,∴a2+b2=1.∴z?1(a?1)?bi[(a?1)?bi][(a?1)?bi]?? 22z?1(a?1)?bi(a?1)?ba2?1?b2?[(a?1)b?(a?1)b]i0?2bib???i.22a?b?2a?11?2a?1a?1∵b≠0,a、b∈R,∴鞏固練習(xí):
1.設(shè)z=3+i,則
bi是純虛數(shù) a?11等于 zB.3-i
C.A.3+i
2.31i?
1010D.31?i 1010a?bia?bi?的值是 b?aib?ai B.i
C.-i
D.1 A.0
3.已知z1=2-i,z2=1+3i,則復(fù)數(shù)A.1 4.設(shè)
iz2?的虛部為 z15
D.-i B.-1
C.i x3y??(x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.1?i2?i1?i4 / 5 答案:1.D 2.A 3.A
4.39 , -
55課后作業(yè):課本第112頁(yè)
習(xí)題3.2
A組4,5,6
B組1,2 教學(xué)反思:
復(fù)數(shù)的乘法法則是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘,可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行,不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是:
a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡(jiǎn)/ 5
第四篇:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教案
《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)
穆棱市第二中學(xué)
孔丹
【教學(xué)目標(biāo)】
知識(shí)與技能:理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則,深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算
過(guò)程與方法:理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題
情感、態(tài)度與價(jià)值觀:復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味,學(xué)生不易接受,教學(xué)時(shí),我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的,讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。【教學(xué)重點(diǎn)】
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算?!窘虒W(xué)難點(diǎn)】
對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用?!菊n型】
新知課。【教具準(zhǔn)備】
多媒體 【教學(xué)過(guò)程】
一、復(fù)習(xí)提問(wèn):
已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是實(shí)數(shù))加法法則:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是
實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、講解新課:
(一)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則:
規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.2其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在所得的結(jié)果中把i換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).(二)乘法運(yùn)算律 師生探究: 師:復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律? 乘法對(duì)加法滿足分配律嗎? 生:
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3..(4)zz?z mnm?n.(5)z??mn?zmn.nnn(6)?z1z2??z1z2.(三)例題講解 例1.計(jì)算(1)(2+i)i(2)(1-2i)(3+i).解:(1)原式?2i?i2??1?2i
2?3?i?6i?2?5?5i ?3?i?6i?2i(2)原式例2.計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.注:復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類(lèi)似的.例3計(jì)算:
2(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+ i).22解:(1)(3+4i)(3-4i)=3-(4i)=9-(-16)=25;22(2)(1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.(四)共軛復(fù)數(shù):
1.定義:當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。
2.表達(dá)形式:通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。3.師生探究:
思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么
(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z1z2是怎樣的一個(gè)數(shù)?(3)z?z、z2與z2有何關(guān)系?
生:(1)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(2)z?z?a2?b2z?z?z2即:乘積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).(3)?z2.(五)除法運(yùn)算規(guī)則
滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商,記為:(a+bi)?(c+di)或者a?bi.c?di1.(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad? i.(分母實(shí)數(shù)化)
c2?d2c2?d2222.利用(c+di)(c-di)=c+d.于是將
a?bi的分母有理化得:
c?di2 原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??22c?di(c?di)(c?di)c?d?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i.2222c?dc?dc?d∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?2i.222c?dc?d師:1是常規(guī)方法,2是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí),都是采用的分母有理化思想方法,而22(c+di)·(c-di)=c+d是正實(shí)數(shù).所以可以分母“實(shí)數(shù)”化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法
3.變式訓(xùn)練:計(jì)算(1?2i)?(3?4i)解:(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425554.方法總結(jié):
① 先寫(xiě)成分式形式
②然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))③化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果
三、考點(diǎn)突破
1.計(jì)算(1)(3?2i)?3?2i??
?1?i??2?i??(2)?i.3+i等于()2.(2017全國(guó)二卷)1?i.3.(2013年高考福建卷)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)
z?1?2i(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
z?4.(2017渭南市一模)已知復(fù)數(shù)
1?i1?iC.,則
z等于().A.?2iB.?i2iD.i
5.(2013年高考安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位,z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),若z?z?i?2?2z,.則z等于(),則z的模為.A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 6.(2017年廈門(mén)市一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足7.計(jì)算i+i2+i3+…+i2018.四、知識(shí)拓展提升
z?1?i??2?i 3 探究:i=,i=,i=,i=,i=,i=,i=,i=.虛數(shù)單位i的周期性:(1)i(2)4n?112345678?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1?n?N?.in?in?1?in?2?in?3?0?n?N?.五、課堂小結(jié)
1、復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則是什么?其滿足哪些運(yùn)算律?
2、怎樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)?復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)之間有什么性質(zhì)?
3、復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則是什么?
六、作業(yè)
1.教材P112——習(xí)題3.2 2.教材P116——復(fù)習(xí)參考題 【教學(xué)反思】
一、知識(shí)點(diǎn)反思
復(fù)數(shù)的乘法法則是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘,可按多項(xiàng)式類(lèi)似的辦法進(jìn)行,不必去記公式.復(fù)數(shù)的除法法則是:a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).c?dic2?d2c2?d2兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)捷的方法是把它們的商寫(xiě)成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡(jiǎn).二、課堂反思
1.學(xué)生在計(jì)算時(shí)不注意變號(hào);
2.復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式是a+bi,當(dāng)a<0,b>0時(shí),學(xué)生習(xí)慣把“正”放前面,把“負(fù)”放后面,這種習(xí)慣不利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí).4
第五篇:3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(教學(xué)設(shè)計(jì))
城南中學(xué)2017-2018學(xué)第二學(xué)期公開(kāi)課材料 3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(教學(xué)設(shè)計(jì))
城南中學(xué) 蔡開(kāi)順 2018.4.3周二下午第3節(jié)高二2班
知識(shí)與技能:理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則。過(guò)程與方法:理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類(lèi)問(wèn)題。情感、態(tài)度與價(jià)值觀:讓學(xué)生體會(huì)到實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。
學(xué)習(xí)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)難點(diǎn):對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用 【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、復(fù)習(xí)回顧
1.虛數(shù)單位i:i2??1
2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:z?a?bi
3.復(fù)數(shù)z1與z2的和差的定義:z1?z2?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)回顧引入新課
二、新課引入
1.復(fù)數(shù)的乘法法則
教師提出:(a?b)(c?d)=?
【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法引入復(fù)數(shù)的乘法 探究1:復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,則z1·z2 =(a+bi)(c+di),按照上述運(yùn)算法則將其展開(kāi),z1·z2等于什么? 師生:寫(xiě)出復(fù)數(shù)乘法法則:
(a?bi)(c?di)?ac?adi?bci?bd?(ac?bd)?(ad?bc)i
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比法得出復(fù)數(shù)乘法法則,加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算
例1.計(jì)算(1)(1?2i)(1?i)(2)(1?i)(1?2i)(3)[(1?2i)(1?i)]i(4)(1?2i)[(1?i)i](5)i[(1?2i)?(1?i)](6)i(1?2i)?i(1?i)
【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算,并未復(fù)數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律做鋪墊 探究2:觀察上述計(jì)算,試驗(yàn)證復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算是否滿足交換、結(jié)合、分配律? 例2.計(jì)算(1)(3?4i)(3?4i)(2)(1?i)2
共軛復(fù)數(shù):兩復(fù)數(shù)a?bi與a?bi叫做互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)b?0時(shí),它們叫 做共軛虛數(shù)(注:兩復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),則它們的乘積為實(shí)數(shù))練習(xí):說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)3?2i,4?i,?i?1,2i,5 【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)共軛復(fù)數(shù)的概念
探究3:若z?a?bi,z?a?bi是共軛復(fù)數(shù),那么(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?(2)z?z是一個(gè)怎樣的數(shù)? 2.復(fù)數(shù)的除法法則 類(lèi)比(分母有理化)1?? 1?2【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比分母有理化引出復(fù)數(shù)除法法則 提出:1??(如何分母實(shí)數(shù)化)1?i探究4:
(a?bi)?(c?di)?a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad???i(c?di?0)c?di(c?di)(c?di)c2?d2c2?d2例3.計(jì)算(1?2i)?(3?4i)變式訓(xùn)練:(?1?3i)?(1?2i)
【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算
【方法小結(jié)】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟
1、先寫(xiě)成分式形式
2、然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))
3、化簡(jiǎn)成代數(shù)形式就得結(jié)果.三、考點(diǎn)突破 同步練習(xí)冊(cè)P79 類(lèi)型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
(1)已知a,b?R,i是虛數(shù)單位.若a?i與2?bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a?bi)2?()
A.5?4i B.5?4i C.3?4i D.3?4i(2)復(fù)數(shù)z?(3?2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于()A.?2?3i B.?2?3i C.2?3i D.2?3i(3)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)(3+i)(1-2i)= 【小結(jié)】常用公式
(1)(a?bi)2?a2?2abi?b2(a,b?R)(2)(a?bi)(a?bi)?a2?b2(a,b?R)(3)(1?i)2?2i
類(lèi)型2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
(1?i)3(1)?
(1?i)2?A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
7?i? 3?4i17311725A.1-i B.-1+i C.?i D.??i
25257711?i1?i?i;??i 2.常用公式??i;i1?i1?i(2)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)
四、課堂小結(jié)
談?wù)劚竟?jié)課你學(xué)到了什么?
五、作業(yè)布置P111 1,2,3 3