第一篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一、教材依據(jù)：人民教育出版社（A版）數(shù)學(xué)必修5第一章 第二節(jié)

二、設(shè)計(jì)思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，是解三角形這一章知識的一個重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識、向量、三角形有著密切的聯(lián)系。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

2、學(xué)情分析：這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理及有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)入對余弦定理的學(xué)習(xí)，此時學(xué)生已經(jīng)熟悉了探索新知識的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，具備了一定的分析能力。

3、設(shè)計(jì)理念：由于余弦定理有較強(qiáng)的實(shí)踐性，所以在設(shè)計(jì)本節(jié)課時，創(chuàng)設(shè)了一些數(shù)學(xué)情景，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，自己去分析、探索和證明。激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

4、教學(xué)指導(dǎo)思想：根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際和本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，我采用的是“問題教學(xué)法”，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實(shí)例，體會余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗(yàn)使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發(fā)展用數(shù)學(xué)工具解答現(xiàn)實(shí)生活問題的能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數(shù)形結(jié)合”的思想。通過余弦定理的應(yīng)用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實(shí)生活問題中的意義。

四、教學(xué)重點(diǎn)：

通過對三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應(yīng)用它們解三角形及求解有關(guān)問題。

五、教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的靈活應(yīng)用

六、教學(xué)流程：

(一)創(chuàng)設(shè)情境，課題導(dǎo)入：

1、復(fù)習(xí)：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學(xué)生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會量化

師生活動：用數(shù)學(xué)符號來表達(dá)“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設(shè)置問題，知識探究

1、探究：我們可以先研究計(jì)算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關(guān)系式或計(jì)算公式呢？ 設(shè)計(jì)意圖：期望能引導(dǎo)學(xué)生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數(shù)量積：如圖 A

C

??????設(shè)CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導(dǎo)學(xué)生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此法來進(jìn)行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學(xué)生自己總結(jié)，教師補(bǔ)充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點(diǎn)撥并板書證明過程

總結(jié)：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個角的一個關(guān)系式，把這個關(guān)系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設(shè)計(jì)意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數(shù)學(xué)式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數(shù)學(xué)問題，這是一種基本的研究問題的方法。

師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關(guān)系式的應(yīng)用。因此應(yīng)把重點(diǎn)引導(dǎo)到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學(xué)生自己分析、思索，老師進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)和補(bǔ)充，最后師生一起求解。

總結(jié)：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三角。（可以先讓學(xué)生歸納總結(jié)，老師補(bǔ)充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學(xué)生板練，師生共同評判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，運(yùn)用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關(guān)系來判定，在運(yùn)算過程中，盡可能地把角的關(guān)系化為邊的關(guān)系；二是利用角之間的關(guān)系來判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學(xué)生板練，發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行糾正。

（四）課堂檢測反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形

（五）課時小結(jié)：

（學(xué)生自己歸納、補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力，教師總結(jié)）

運(yùn)用多種方法推導(dǎo)出余弦定理，并靈活運(yùn)用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。

（六）課后作業(yè)：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題

（七）教學(xué)反思：

本堂課的設(shè)計(jì)，立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，注重提出問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

第二篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，使學(xué)生能更深地體會數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的。

三、教學(xué)問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計(jì)算另一邊的對角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來完成。當(dāng)使用計(jì)算器時，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時用等號，當(dāng)取其近似值時，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時用約等號。

五、教學(xué)過程

（一）教學(xué)基本流程

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2?！驹O(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學(xué)生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學(xué)生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂趣。

學(xué)生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。

學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動投入到整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

四、目標(biāo)檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

學(xué)案

1．2 余弦定理

班級學(xué)號

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標(biāo)檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內(nèi)角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；

第三篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)（熱門3篇）

篇一：“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

射陽縣教育局教研室 王克亮

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡單的度量問題.

(2)初步運(yùn)用余弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過程,增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力. 教學(xué)重點(diǎn):余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):余弦定理的證明.

課前準(zhǔn)備:(1)自制一個如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個三角形.

固定聯(lián)結(jié)點(diǎn)

A

塑料棒1

細(xì)繩

可動聯(lián)結(jié)點(diǎn)

可轉(zhuǎn)動點(diǎn) 塑料棒2

道具

b B B

B

A

教學(xué)過程:

一、情境創(chuàng)設(shè) 提出問題

[1]情境引入

師:首先請看兩個實(shí)際問題:

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長度.另選一個點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

A

B

B D

C E

A

情境2 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

[2]提出問題

師:顯然,這兩個都是解三角形的問題.其中,情境1的實(shí)質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長度；而情境2的實(shí)質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個內(nèi)角的大小.

請問:(1)這兩個問題能用正弦定理來解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個問題之間有聯(lián)系嗎? 生:互逆.

師:對,在解法上是互逆的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關(guān)系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

二、問題探究 知識建構(gòu)

問題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時,AB的長度的變化趨勢如何?

師:(學(xué)生思考了一會兒后)我們可以用一個簡單的實(shí)驗(yàn)看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實(shí)驗(yàn).) 生: AB的長度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個定性的結(jié)論.那么對于定量的研究,一個常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無限接近這兩個角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問: 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時,AB的長度分別是多少?

生:當(dāng)?C?00時,AB?a?b；當(dāng)?C?900時

,AB?；當(dāng)?C?1800

時,AB?a?b.

師:我們不妨把這三個結(jié)論在形式上寫得更接近些,即

:

當(dāng)?C?00時,AB?當(dāng)?C?900時,AB?當(dāng)?C?1800時,AB?B

A

問題2 請你根據(jù)上述三個特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時,線段AB的長度是多少?

(在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,小組討論交流后請學(xué)生回答) 生

:AB?問題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請?jiān)囈辉?

(課上,利用課前畫好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨(dú)立思考一會兒,然后根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時,過點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

D

B

A

(2)當(dāng)?C??為直角時,結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時, 過點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

D

2

2

2

2

2

2

2

A

b

22

C

a

B

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來計(jì)算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因?yàn)锳B?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

B

A

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡單.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問題4 在三角形中,如何用符號語言與文字語言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號語言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結(jié)論我們稱之為余弦定理,上述三個公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長度來求其內(nèi)角的大小呢?

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結(jié)論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對于余弦定理的這兩種形式,我們在解題中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時,即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號,不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說,在三角形中,要判斷一個內(nèi)角是什么角,只要看它的對邊的平方與其它兩邊平方的和的.大小.

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用 深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問:在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角”的問題.

(2)用余弦定理求邊的長度時,切記最后的結(jié)果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問:在此條件下,其它兩個角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個角”的問題. 師:情境2就是這種類型的問題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

A

E

答:彎折后,?BAC?82.80.

D

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時,要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時,由邊的條件式求角時,別忘了余弦定理；同時要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

解析:首先因?yàn)閮蓷l小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因?yàn)?2?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

2

2

2

2

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升 鞏固拓展

[1]課堂小結(jié)

數(shù)學(xué)知識----本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個表達(dá)式,但它們之間具有可以輪換的對稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問題中,“已知三個元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題,我們就都能找到解決的辦法了.當(dāng)然,對于一些較為復(fù)雜的三角形問題,往往還要把這兩個定理聯(lián)合起來解決問題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個特例的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)行了大膽的猜想,所以合理運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想等合情推理手段,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個重要途徑.

(3)另外,在驗(yàn)證余弦定理時,我們運(yùn)用到了幾何、三角、向量等多個知識領(lǐng)域,所以我們要注重不同知識內(nèi)容之間的融會貫通.

[2]作業(yè)布置

必做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

篇二：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識給予證明的.一是進(jìn)一步加深學(xué)生對向量工具性的認(rèn)識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力.課后仍鼓勵學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語言敘述出來，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡的目的.

應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問題.在已知三邊和一個角的情況下，求另一個角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.

根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時.一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個定理的綜合應(yīng)用.

三維目標(biāo)

1.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系;知道解三角形問 題的幾種情形.

2.通過對三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識;同時通過正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美.

3.加深對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想;這些數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)知識的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對具體數(shù)學(xué)知識的理解和掌握.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形.

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形.

課時安排

2課時

教學(xué)過程

第1課時

導(dǎo)入新課

思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受.

思路2.(問題導(dǎo)入)如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個角呢?根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎?

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長的關(guān)系式或計(jì)算公式呢?

?3?余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別?

活動：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題.

如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù)b、c、∠A來表示a.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解.探究過程如下：

過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當(dāng)A為鈍角時也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.

這就是解三角形中的另一個重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會向量知識的工具性作用.

教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長問題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過程如下：

如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系.學(xué)生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函 數(shù)的性質(zhì)可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和 等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個角也確定，故解.不會產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問題.

把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問題.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個定理可解決的問題類型會發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個角的情況，而求另兩角中的某個角時，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個會更好些呢?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對的角.教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.

討論結(jié)果：

(1)、(2)、(3)、(6)見活動.

(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應(yīng)用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角.教材中 這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實(shí)際教學(xué)時可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會三次利用余弦定理分別求出三個角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設(shè)BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點(diǎn)評：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時，體會兩種方法存在的差異.當(dāng)所求的 角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點(diǎn)評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù)值.

變式訓(xùn)練

用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點(diǎn)評：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓(xùn)練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

( )

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D 解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設(shè)其對角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結(jié)

1.教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，然后再讓學(xué)生用文字語言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.

2.教師指出：從方程的觀點(diǎn)來分析，余弦定理的每一個等式都包含了四個不同的量，知道其中三個量，便可求得第四個量.要通過課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理.

作業(yè)

課本習(xí)題1—1A組4、5、6;習(xí)題1—1B組1～5.

設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯栴}通過啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現(xiàn)的過程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮.

縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動地獲取知識，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于狀態(tài).在整個教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動量大，這是貫穿整個教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個問題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素，如果其中三個元素是已知的(其中至少有一個元素是邊)，那么這個三角形一定可解.

關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個角的對邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據(jù)A+B+C=π，求出角C;

②根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來求解.求解過程中盡可能應(yīng)用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據(jù)c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據(jù)cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經(jīng)過討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據(jù)asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個角.

另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個，故此類問題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個重要工具.但在具體解題時，有些同學(xué)面對較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個)的斜三角形問題，往往不知如何下手.至于何時用正弦定理或余弦定理也是心中無數(shù)，這既延長了思考時間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當(dāng)一個題目的圖形中三角形個數(shù)不少于兩個時，一般來說其中必有一個三角形是可解的，我們就可先求出這個“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問 題的思考時間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰?，去探?

二、備用習(xí)題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為( )

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個三角形的角是( )

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是( )

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新三角形的形狀為( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C 解析：設(shè)角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D 解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A 解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.

則c+x為新三角形的最長邊.設(shè)其所對的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因?yàn)?a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時

導(dǎo)入新課

思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么樣的解題規(guī)律呢?由此展開新課.

思路2.(問題導(dǎo)入)我們在應(yīng)用正弦定理解三角形時，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時有一解，有時有兩解，有時又無解，這究竟是怎么回事呢?本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對這一問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語言敘述其內(nèi)容.能寫出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題?

?3?解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些?

?4?為什么有時解三角形會出現(xiàn)矛盾，即無解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個量?有什么作用?用方程的思想寫出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等.可讓學(xué)生填寫下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時可

用的定理和公式 適用類型 備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對角 類型(3)在有解時只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2

以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無章、無規(guī)碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個效果，在看似學(xué)生亂提亂問亂說亂寫的時候，教師適時地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評.

與學(xué)生一起討論解三角形有時會出現(xiàn)無解的情況.如問題(4)中的①會出現(xiàn)如下解法：

根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來，顯然是錯誤的.問題出在哪里呢?在檢驗(yàn)以上計(jì)算無誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結(jié)果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過本例帶動正弦定理、余弦定理的知識串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b=acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的.引導(dǎo)學(xué)生注意對于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi)角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長為12×13=4.

另一條直角邊長為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點(diǎn)評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個重要方向.因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長b及△ABC外接圓半徑R.

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點(diǎn)撥學(xué)生注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負(fù)值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點(diǎn)評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓(xùn)練

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長;

(2)四邊形ABCD的面積.

活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因?yàn)椤螧DC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點(diǎn)評：本例解答對運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數(shù))

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點(diǎn)評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

篇三：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

變 式訓(xùn)練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據(jù)余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓(xùn)練

1.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于( )

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數(shù);

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B 解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問題，特別是已知兩邊及其一邊的對角時解的情況，通過例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯(lián)系其他知識的小綜合問題.學(xué)到了具體問題具體分析的良好思維習(xí)慣.

教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問題是確定線段 的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個元素：三條邊、三個角;解三角形通常是給出三個獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業(yè)

課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.

補(bǔ)充作業(yè)

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長.

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達(dá)定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過一些典型 的實(shí)例來拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系.

本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對換個角度看問題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺地從一個思維過程轉(zhuǎn)換到另一個思維過程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識.換一個角度看問題，變通一下，也許會有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們.兩個定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決.

【例1】 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關(guān)系)，

∴ab=32(這是邊的關(guān)系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】 已知△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關(guān)系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關(guān)系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習(xí)題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：

【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個三角形的三個內(nèi)角.

設(shè)這三個內(nèi)角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習(xí)題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形( )

A.無解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個數(shù)不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是( )

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB<1，則該三角形一定是( )

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A 解析：∵a90°，因此無解.

2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D 解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B 解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB<1，即cos?A+B?cosA?cosB>0，cosCcosAcosB<0.

說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個為負(fù).

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

第四篇：1.1.2余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版數(shù)學(xué)必修5§1.1.2余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)解析

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的。

二、教學(xué)問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題： ①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計(jì)算另一邊的對角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

三、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來完成。當(dāng)使用計(jì)算器時，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時用等號，當(dāng)取其近似值時，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果

按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時用約等號。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1、教學(xué)基本流程：

①從一道生活中的實(shí)際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

②余弦定理的證明：啟發(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的證明。

③應(yīng)用余弦定理解斜三角形。

2、教學(xué)情景：

①創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設(shè)

計(jì)合理的方案，來測量學(xué)校生物島邊界上兩點(diǎn)的最

大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

【設(shè)計(jì)意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體

會到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案嘗

試解決。

學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取

C一點(diǎn)C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用

測角儀測出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就

可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

其他學(xué)生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

學(xué)生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點(diǎn)

（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出

圖中∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△

BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。②求異探新，證明定理

問題2：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。

【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?

2=a?b?2abcos(?1??2)

?a?b?2abcosC2222222222

AD圖

4學(xué)生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

則：c?AD?BD

22222?b?CD?(a?CD)

?a?b?2a?CD

?a?b?2abcosC22222A圖

5學(xué)生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進(jìn)一步指出以上的證明還不嚴(yán)密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點(diǎn)—余弦定理。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有2 22 2 22 22 2

2其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂趣。

學(xué)生6：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???22?（c）?（a?b）

?2?2???a?b?2a?b

?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC

?c?a?b?2abcosC222A

圖6

教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標(biāo)表示，AB長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，你會有什么啟發(fā)？

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC =

b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB22?(acosC?b)?(asinC)

2222 ?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動投入到整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。

③運(yùn)用定理，解決問題

讓學(xué)生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

④小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

⑤作業(yè)

第1題：用正弦定理證明余弦定理。

【設(shè)計(jì)意圖】：繼續(xù)要求學(xué)生擴(kuò)寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

第2題：在△ABC

中，已知a?b?B?45?，求角A和C和邊c。

【設(shè)計(jì)意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學(xué)生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運(yùn)用正弦定理求角可能會漏解，運(yùn)用余弦定理求角不會漏解，但是計(jì)算可能較繁瑣。

第五篇：1.2 余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)設(shè)計(jì)

1.2 余弦定理

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)張躍紅

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；

2.能夠運(yùn)用余弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．

教學(xué)重點(diǎn)：

重點(diǎn)是余弦定理及其證明過程．

教學(xué)難點(diǎn)：

難點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)和證明．

教學(xué)過程：

1.創(chuàng)設(shè)情景，提出問題．

問題1：修建一條高速公路，要開鑿隧道將一

段山體打通．現(xiàn)要測量該山體底側(cè)兩點(diǎn)間的距離，即要測量該山體兩底側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離（如圖

1）．請想辦法解決這個問題．

設(shè)計(jì)意圖：這是一個學(xué)生身邊的實(shí)際應(yīng)用問題，在其解決的過程中得到余弦定理，自然引出本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．

2.構(gòu)建模型，解決問題．

學(xué)生活動：提出的方法有，先航拍，然后根據(jù)比例尺算出距離；利用等高線量出距離等；也有學(xué)生提出在遠(yuǎn)處選一點(diǎn)C，然后量出AC，BC的長度，再測出∠ACB．△ABC是確定的，就可以計(jì)算出AB的長．接下來，請三位板演其解法．

法1：（構(gòu)造直角三角形）

如圖2，過點(diǎn)A作垂線交BC于點(diǎn)D，則

｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜c(diǎn)osC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜c(diǎn)osC，所以，|AB|?|AD|2?|BD|2?|AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

C

法2：（向量方法）

????????????如圖3，因?yàn)锳B?AC?CB，????2????????2 所以，AB?(AC?CB)

????2????2?????????AC?CB?2AC?CB?cos(??C),即 |AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

法3：（建立直角坐標(biāo)系）C建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則A（｜AC｜c(diǎn)osC, ｜AC｜sinC），B（｜BC｜, 0），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得

|AB|?(|AC|cosC?|BC|)2?(|AC|sinC?0)2，所以，|AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

活動評價(jià)：師生共同評價(jià)板演．

3.追蹤成果，提出猜想．

師：回顧剛剛解決的問題，我們很容易得到結(jié)論：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊長，則有c2?a2?b2?2abcosC成立．類似的還有其他等式，a2?c2?b2?2cbcosA，b2?c2?a2?2cacosB．

正弦定理反映的是三角形中邊長與角度之間的一種數(shù)量關(guān)系，因?yàn)榕c正弦有關(guān)，就稱為正弦定理；而上面等式中都與余弦有關(guān)，就叫做余弦定理．

問題2：剛才問題的解題過程是否可以作為余弦定理的證明過程？

設(shè)計(jì)意圖：作為定理要經(jīng)過嚴(yán)格的證明，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣．

學(xué)生活動：經(jīng)過思考得出，若把解法一作為定理的證明過程，需要對角C進(jìn)行分類討論，即分角C為銳角、直角、鈍角三種情況進(jìn)行證明；第二種和第三種解法可以作為余弦定理的證明過程．

教師總結(jié)：證明余弦定理，就是證明一個等式．而在證明等式的過程中，我們可以將一般三角形的問題通過作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題；還可以構(gòu)造向量等式，然后利用向量的數(shù)量積將其數(shù)量化；還可以建立直角坐標(biāo)系，借助兩點(diǎn)

間的距離公式來解決，等等．

4.探幽入微，深化理解．

問題3：剛剛認(rèn)識了余弦定理這個“新朋友”，看一看它有什么特征？

學(xué)生活動：勾股定理是余弦定理的特例． 反過來也可以說，余弦定理是勾股定理的推廣；當(dāng)角C為銳角或鈍角時，邊長之間有不等關(guān)系 a2?b2?c2，a2?b2?c2；c2?a2?b2?2abcosC是邊長a、b、c的輪換式，同時等式右邊的角與等式左邊的邊相對應(yīng)；等式右邊有點(diǎn)象完全平方，等等．

教師總結(jié)：我們在觀察一個等式時，就如同觀察一個人一樣，先從遠(yuǎn)處看，然后再近處看，先從外表再到內(nèi)心深處．觀察等式時，先從整體（比如輪換）再到局部（比如等式左右邊角的對稱），從一般到特殊，或者從特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣）．

問題4：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)余弦定理，學(xué)它有什么用？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生真正體會到學(xué)習(xí)余弦定理的必要性．同時又可以得到余弦定理能解決的三角形所滿足的條件，以及余弦定理的各種變形．讓學(xué)生體會在使用公式或定理時，不但要會“正向使用”還要學(xué)會“逆向使用”．

學(xué)生活動：解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形；如果已知三邊，可以求角，進(jìn)而解出三角形，即

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

cosA?,cosB?,cosC?． 2bc2ac2ab

5.學(xué)以致用，拓展延伸．

練習(xí)：

1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C．

2．（1）在△ABC中，若b??1,c?6,A?450，解這個三角形．

（2）在△ABC中，b?,B?600,c?1，求a．

學(xué)生活動：練習(xí)后相互交流得出，解答題1時，利用的是余弦定理的變形形a2?b2?c2

式cosC?；而題2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解決． 2ab

思考：正弦定理與余弦定理間是否存在著聯(lián)系呢？你能用正弦定理證明余弦

定理，用余弦定理證明正弦定理嗎？請同學(xué)們課后思考．