第一篇：橢圓經(jīng)典例題分類教案

橢圓經(jīng)典例題分類

1.橢圓定義的應(yīng)用

例

1橢圓的一個頂點為A?2，0?，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置． 解：（1）當(dāng)A?2，0?為長軸端點時，a?2，b?1，x2y2??1； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：41（2）當(dāng)A?2，0?為短軸端點時，b?2，a?4，x2y2??1； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：416說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．

1x2y2??1的離心率e?，求k的值． 例2 已知橢圓

2k?89分析：分兩種情況進(jìn)行討論．

解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，a?9，b?k?8，得c?1?k．

2222221，得k?4． 211?k15?，即k??．，得29445∴滿足條件的k?4或k??．

4由e?說明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯誤的辦法是：因為k?8與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上．故必須進(jìn)行討論．

x2y2???1表示橢圓，求k的取值范圍． 例3

已知方程k?53?k?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．

?k?5?3?k,?∴滿足條件的k的取值范圍是3?k?5，且k?4．

說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由??k?5?0,得3?k?5，故k的取值范圍是3?k?5．

?3?k?0,1 出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a?b?0這個條件，當(dāng)a?b時，并不表示橢圓． 例4

已知x2sin??y2co?s?1(0????)表示焦點在y軸上的橢圓，求?的取值范圍． 分析：依據(jù)已知條件確定?的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出?的取值范圍．

x2y211??0． ??1．因為焦點在y軸上，所以?解：方程可化為11cos?sin?sin?cos?因此sin??0且tan???1從而??（?3,?)． 2411?0，??0，這是容易忽視的地方． sin?cos?1122(2)由焦點在y軸上，知a??，b?．(3)求?的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件

cos?sin?0???? 說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知例5 已知動圓P過定點A??3，且在定圓B：0?，?x?3??y2?64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心P2的軌跡方程．

分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式．

解：如圖所示，設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M．動點P到兩定點，即定點A??3，0?和定圓圓心B?3，0?距離之和恰好等于定圓半徑，即PA?PB?PM?PB?BM?8．∴點P的軌跡是以A，B為兩焦點，x2y2??1． 半長軸為4，半短軸長為b?4?3?7的橢圓的方程：

16722說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．

2.焦半徑及焦三角的應(yīng)用

x2y2例1 已知橢圓方程2?2?1?a?b?0?，長軸端點為A1，A2，焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一ab點，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面積（用a、b、?表示）． 分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角?的兩鄰邊，從而利用S??1absinC求面積． 2解：如圖，設(shè)P?x，y?，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P?x，y?，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P在第一象限．由余弦定理知：

F1F22?PF1?PF2?2PFPF2cos??4c2．① 1·2222b2由橢圓定義知： PF． 1?PF2?1?PF2?2a

②，則②－①得

PF1?cos? 故S?F1PF21?12b2?PF1?PF2sin? ?sin? ?b2tan． 2221?cos?x2y2??1內(nèi)有一點A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上例2.已知橢圓95P坐標(biāo)； 一點． 求PA?PF1的最大值、最小值及對應(yīng)的點分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解．

解：

如上圖，2a?6，F(xiàn)2(2,0)，AF2?2，設(shè)P是橢圓上任一點，由PF1?PF2?2a?6，PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等號僅當(dāng)PA?PF2?AF2時成立，此時P、A、F2共線．

由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等號僅當(dāng)PA?PF2?AF2時成立，此時P、A、F2共線．

?x?y?2?0,建立A、F2的直線方程x?y?2?0，解方程組?2得兩交點 25x?9y?45?9***P(?2,?2)P(?2,?2)．、127***P點與P2重合時，PA?PF2取綜上所述，P點與P1重合時，PA?PF1取最小值6?2，最大值6?2．

3.參數(shù)方程應(yīng)用

x2?y2?1上的點到直線x?y?6?0的距離的最小值． 例1 求橢圓3 3 分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值． 解：橢圓的參數(shù)方程為?距離為

?x?3cos?，?y?sin?.設(shè)橢圓上的點的坐標(biāo)為

?3cos?，sin??，則點到直線的d????2sin?????63cos??sin??63??． ?22????????1時，d最小值?22． ?3?當(dāng)sin?說明：當(dāng)直接設(shè)點的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程．

x2y2??1的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積． 例

2(1)寫出橢圓94分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．

?x?3cos?(??R)． 解：(1)?y?2sin??(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)

?(3cos?,2sin?)為矩形在第一象限的頂點，(0???)，2則S?4?3cos??2sin??12sin2??12

故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．

說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便．

x2y2例3 橢圓2?2?1(a?b?0)與x軸正向交于點A，若這個橢圓上總存在點P，使abOP?AP(O為坐標(biāo)原點)，求其離心率e的取值范圍．

分析：∵O、A為定點，P為動點，可以P點坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP?AP，轉(zhuǎn)化為P點坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??x?acos?(a?b?0)，?y?bsin?則橢圓上的點P(acos?,bsin?)，A(a,0)，∵OP?AP，∴bsin?bsin????1，acos?acos??a 4

b2即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??2，a?b222222b2222?1b?a?c∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?2，又 2a?ba222∴0?2?2，∴e?，又0?e?1，∴?e?1．

c22說明：若已知橢圓離心率范圍（2,1)，求證在橢圓上總存在點P使OP?AP．如何證明？ 24.相交情況下--弦長公式的應(yīng)用

例1 已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．（1）當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為

210，求直線的方程． 52解：（1）把直線方程y?x?m代入橢圓方程4x2?y2?1得

4x2??x?m??1，即5x?2mx?m?1?0．???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得?222??55． ?m?222mm2?1（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標(biāo)為x1，x2，由（1）得x1?x2??，x1x2?．

55m2?1210?2m?2?根據(jù)弦長公式得

：1?1???．解得m?0．方程為y?x． ??4?555??

說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．

這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式?；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式． 用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程． 例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點F1作傾斜解為交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長． 分析：可以利用弦長公式AB?1?kx1?x2?22?的直線3(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求．

解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]．因為a?6，b?3，所以c?33．因為焦點在x軸上，x2y2??1，左焦點F(?33,0)，從而直線方程為y?3x?9． 所以橢圓方程為369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x?723x?36?8?0．設(shè)x1，x2為方程兩根，所以

2x1?x2??72313，x1x2?36?813，k?3，從而AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?

(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．

48． 13x2y2??1，設(shè)AF由題意可知橢圓方程為 1?m，BF2?12?m，BF2?12?n．1?n，則AF369在?AF1F2中，AF2?AF1?F1F2?2AF1F1F2c222?3os，即

1(12?m)2?m2?36?3?2?m?63?；

2所以m?4866AB?m?n?n?．同理在?BF中，用余弦定理得，所以． F12134?34?3

(法3)利用焦半徑求解．

先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的兩根x1，x2，它們分別是A，2B的橫坐標(biāo)．

再根據(jù)焦半徑AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，從而求出AB?AF1?BF1

5.相交情況下—點差法的應(yīng)用

例1 已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線x?y?1?0交于A、B兩點，M為AB中點，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．

x22解：由題意，設(shè)橢圓方程為2?y?1，a?x?y?1?0?222由?x2，得??1?ax?2ax?0，2?2?y?1?a

1x1?x21?a2?2，yM?1?xM?∴xM?，1?a22a?kOM?yM11?2?，∴a2?4，xMa4x2?y2?1為所求． ∴4說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．

x2?11??y2?1，求過點P?，?且被P平分的弦所在的直線方程． 例2 已知橢圓2?22?分析一：已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k． 解法一：設(shè)所求直線的斜率為k，則直線方程為y?11???k?x??．代入橢圓方程，并整理得 22???1?2k?x??2k22213?2kx?k2?k??0．

22?2k2?2k由韋達(dá)定理得x1?x2?．

1?2k2∵P是弦中點，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直線方程為2x?4y?3?0．

分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為?x1，y1?、?x2，y2?，列關(guān)于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：

1． 2y1?y2．

x1?x2解法二：設(shè)過P?，?的直線與橢圓交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，則由題意得 ?11??22??x122??y1?1，?22?x22??y2?1，?2?x1?x2?1，??y1?y2?1.①② ③④2x12?x22?y12?y2?0．

⑤ ①－②得2 7 將③、④代入⑤得

1y1?y21??，即直線的斜率為?．

2x1?x22所求直線方程為2x?4y?3?0．

說明：

（1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．

（2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．（3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用．

x2?11??y2?1，例3 已知橢圓（1）求過點P?，?且被P平分的弦所在直線的方程； 2?22?（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

（3）過A?2，1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點P、Q，O為原點，且有直線OP、OQ斜率滿足kOP?kOQ??求線段PQ中點M的軌跡方程．

分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法．

解：設(shè)弦兩端點分別為M?x1，y1?，N?x2，y2?，線段MN的中點R?x，y?，則

1，2?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12①②③④

①－②得?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．

由題意知x1?x2，則上式兩端同除以x1?x2，有

?x1?x2?2?y1?y2?y1?y2x1?x2將③④代入得x?2y?0，y1?y2?0．⑤

x1?x2

（1）將x?11y?y21??，故所求直線方程為：

2x?4y?3?0． ⑥，y?代入⑤，得122x1?x22222將⑥代入橢圓方程x?2y?2得6y?6y?11?0，??36?4?6??0符合題意，442x?4y?3?0為所求．

（2）將y1?y2?2代入⑤得所求軌跡方程為：

x?4y?0．（橢圓內(nèi)部分）

x1?x28（3）將y1?y2y?1代入⑤得所求軌跡方程為：

x2?2y2?2x?2y?0．（橢圓內(nèi)部分）?x1?x2x?22x12?x22?y12?y2?2，⑦，將③④平方并整理得（4）由①＋②得

：

2??22x12?x2?4x2?2x1x2，⑧，y12?y2?4y2?2y1y2，⑨

4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2，⑩ 將⑧⑨代入⑦得：

4??再將y1y2??1?1?x1x2代入⑩式得：

2x2?x1x2?4y2?2??x1x2??2，即

2?2?y2x??1． 122此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．

x2y2?1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y?4x?m，橢圓C上有例4 已知橢圓C：?43不同的兩點關(guān)于該直線對稱．

分析：若設(shè)橢圓上A，B兩點關(guān)于直線l對稱，則已知條件等價于：(1)直線AB?l；(2)弦AB的中點M在l上．

利用上述條件建立m的不等式即可求得m的取值范圍． 解：(法1)設(shè)橢圓上A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點關(guān)于直線l對稱，直線AB與l交于M(x0,y0)點． y??x?n,1?4∵l的斜率kl?4，∴設(shè)直線AB的方程為y??x?n．由方程組?消去y得 ?224xy???1,?3?4?113x2?8nx?16n2?48?0

①?！鄕1?x2?8nx?x24n?．于是x0?1，13213112ny0??x0?n?，4134n12n4n,)．∵點M在直線y?4x?m上，∴n?4??m．解得即點M的坐標(biāo)為(13131313n??m． ②

4將式②代入式①得13x?26mx?169m?48?0

③

∵A，B是橢圓上的兩點，∴??(26m)?4?13(169m?48)?0．解得?

2222213213?m?． 13139(法2)同解法1得出n??13413m，∴x0?(?m)??m，4134113113y0??x0?m???(?m)?m??3m，即M點坐標(biāo)為(?m,?3m)．

4444(?m)2(?3m)2??1．解得∵A，B為橢圓上的兩點，∴M點在橢圓的內(nèi)部，∴

43?213213． ?m?1313(法3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于l對稱的兩點，直線AB與l的交點M的坐標(biāo)為(x0,y0)．

x1yxy∵A，B在橢圓上，∴?1?1，2?2?1．兩式相減得

434322223(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，即3?2x0(x1?x2)?4?2y0(y1?y2)?0．∴

3xy1?y2??0(x1?x2)．

x1?x24y0又∵直線AB?l，∴kAB?kl??1，∴?3x0?4??1，即y0?3x0 ①。4y0又M點在直線l上，∴y0?4x0?m

②。由①，②得M點的坐標(biāo)為(?m,?3m)．以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點A，B關(guān)于直線l恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：

(1)利用直線AB與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式??0，建立參數(shù)方程．

xy(2)利用弦AB的中點M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部，滿足0?0?1，將x0，y0利用參數(shù)表示，建立

ab參數(shù)不等式．

22x2y2??1所截得的線段的中點，求直線l的方程． 例5 已知P(4,2)是直線l被橢圓

369

分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出x1?x2，x1x2(或y1?y2，y1y2)的值代入計算即得．

并不需要求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．

解：方法一：設(shè)所求直線方程為y?2?k(x?4)．代入橢圓方程，整理得

(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0 ①

設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1、x2是①的兩根，∴x1?x2?∵P(4,2)為AB中點，∴4?8k(4k?2)

4k2?1x1?x24k(4k?2)1?k??，．∴所求直線方程為x?2y?8?0． 224k?12方法二：設(shè)直線與橢圓交點A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)為AB中點，∴x1?x2?8，y1?y2?4．

B在橢圓上，又∵A，∴x1?4y1?36，x2?4y2?36兩式相減得(x1?x2)?4(y1?y2)?0，即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0．∴22222222y1?y2?(x1?x2)1???．∴直線方程為

x1?x24(y1?y2)2x?2y?8?0．

方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y)，另一個交點B(8?x,4?y)．

∵A、B在橢圓上，∴x?4y?36

①。

(8?x)?4(4?y)?36

② 從而A，B在方程①－②的圖形x?2y?8?0上，而過A、B的直線只有一條，∴直線方程為2222x?2y?8?0．

說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法．

若已知焦點是(33,0)、(?33,0)的橢圓截直線x?2y?8?0所得弦中點的橫坐標(biāo)是4，則如何求橢圓方程？

第二篇：“橢圓世界”教案

第二章第二節(jié)“橢圓世界”教案

講課人：楊 薇 授課班級：三年級 上課時間：2007.11.30 課 型：新授課 運(yùn)用教具：計算機(jī)

計劃課時：１課時 教學(xué)方法：講解法、演示法、練習(xí)法、任務(wù)驅(qū)動法

教學(xué)目的：１.通過學(xué)習(xí)學(xué)生可以熟練掌握橢圓工具的使用方法；

２.初步了解多邊形工具的使用方法； ３.能夠與其他工具配合進(jìn)行創(chuàng)作；

教學(xué)重點：畫圖軟件部分工具的應(yīng)用和操作。如：涂色工具、刷子、直線工具。教學(xué)難點：多邊形工具的具體操作。教學(xué)過程：

一、回顧舊知(5分鐘)1.正常開關(guān)機(jī)的順序（先開顯示器，再開主機(jī)）

學(xué)生共分為四組，每兩組之間相互觀察開機(jī)的順序是否有錯，錯的及時糾正。2.在開機(jī)的過程中提問：誰記得如何打開畫圖？

生思考，并舉手回答，老師作出評價。（開始——程序——附件——畫圖）3.觀察到大多數(shù)的計算機(jī)已經(jīng)打開，要求學(xué)生演示打開畫圖的過程，加深影象。4.復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，引入本節(jié)主題。

二、導(dǎo)入（2分鐘）

展示“圖1”，要求學(xué)生觀察，并回答問題： 1.圖上畫的是什么？（生回答：小雞）

2.大家仔細(xì)看看這只小雞是由那些圖形組成的呢？（生回答：圓形，三角形，直線）

3.那其中最多的圖形是什么？（生回答：圓形）

4.在我們的日常生活中還有什么是圓形的？（生回答：碗、盤子、水杯、太陽、車輪、餅干??）

大家說的都很好，那么你們想學(xué)用計算機(jī)畫小雞嗎？（生：想）

三、新授（15分鐘）

好，現(xiàn)在我們就一起來學(xué)習(xí)利用橢圓工具畫出小雞。

1.老師語言描述，學(xué)生跟隨動手，老師從旁指導(dǎo)個別基礎(chǔ)較差的學(xué)生（1）打開畫圖程序，看誰作的又快又好；（2）在工具欄中選取“橢圓工具”選項；（3）按住鼠標(biāo)左鍵，畫一個圓。

好了，我看到大家都已經(jīng)畫出一個很好的圓了，下面就請大家自己先動手畫一 畫小雞。

（4）時間到了，大家的小雞畫的怎么樣啊？（生：不好）我看到有些同學(xué)已經(jīng)畫出來了，但是有些同學(xué)還沒有，別急，現(xiàn)在仔細(xì)聽老師教你們，到時候你們也一定會畫的很好的。2.實例講解，邊講解邊畫范圖

（1）畫雞身和雞頭（橢圓的畫法）

講解演示：單擊橢圓工具，移動十字光標(biāo)到繪圖區(qū)，按住鼠標(biāo)左鍵拖動，圖形就會朝鼠標(biāo)器移動方向延伸，放開鼠標(biāo)左鍵則完成雞身的繪畫。按此方法，可再畫出小雞頭。

（2）畫雞腳和雞嘴（直線的畫法）

講解演示：單擊直線工具，移動十字形光標(biāo)到小雞身子的下面，按住鼠標(biāo)左鍵拖動，直線就會朝鼠標(biāo)的移動方向改變長度和位置，放開鼠標(biāo)左鍵則完成直線繪制。按此方法，可畫出小雞的腳和嘴。（3）畫雞翅（曲線的畫法）

講解演示：單擊曲線工具，移動十字形光標(biāo)到小雞身子的里面，先大概確定一下要畫的曲線的位置，在曲線的一個端點單擊一下左鍵，然后繼續(xù)按住鼠標(biāo)左鍵移動到另一個端點，放開鼠標(biāo)左鍵，則在兩個端點之間出現(xiàn)一直線。再移動光標(biāo)到所繪線條的中間位置，按下鼠標(biāo)左鍵慢慢向下拖動，這時曲線弧度就會隨鼠標(biāo)的移動方向而改變，滿意時放開鼠標(biāo)左鍵，并再次單擊鼠標(biāo)左鍵，完成曲線繪制。

（4）畫雞點“睛”（刷子的用法）

講解演示：單擊刷子工具，移動十字形光標(biāo)到雞頭的里面，選擇適當(dāng)位置單擊一個鼠標(biāo)左鍵即可。按此方法，可畫出小雞的眼睛。（5）給雞嘴上色（著色滾筒的用法）

講解演示：著色滾筒主要是在一個封閉的區(qū)域內(nèi)著色。單擊色滾筒工具，移動光標(biāo)到雞嘴的位置，單擊鼠標(biāo)左鍵既可。3.現(xiàn)在大家應(yīng)該都可以畫出來了吧？那么接下來大家就繼續(xù)動手畫吧，已經(jīng)畫好的同學(xué)可以參照老師的這副畫畫出一副完整的圖畫來（展示“圖2”）。4.觀察和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。（10分鐘）5.解決學(xué)生在練習(xí)中反饋的問題（3分鐘）（1）畫圖窗口的最大化（點擊最大化按鈕）；（2）顏色的填充（沒有形成一個封閉的圖形）。6.與學(xué)生一起鑒賞好的作品。（10）

四、版書設(shè)計

第二章第二節(jié)畫小雞的操作步驟： A、畫雞身和雞頭（橢圓）B、畫雞腳和雞嘴（直線）C、畫雞翅（曲線）D、畫雞點“睛”（刷子）E、給雞嘴著色（著色滾筒）

橢圓世界

第三篇：高中物理機(jī)械能守恒定律典型分類例題

一、單個物體的機(jī)械能守恒

判斷一個物體的機(jī)械能是否守恒有兩種方法：（1）物體在運(yùn)動過程中只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒。

（2）物體在運(yùn)動過程中不受媒質(zhì)阻力和摩擦阻力，物體的機(jī)械能守恒。

所涉及到的題型有四類：（1）阻力不計的拋體類。（2）固定的光滑斜面類。（3）固定的光滑圓弧類。（4）懸點固定的擺動類。

（1）阻力不計的拋體類 包括豎直上拋；豎直下拋；斜上拋；斜下拋；平拋，只要物體在運(yùn)動過程中所受的空氣阻力不計。那么物體在運(yùn)動過程中就只受重力作用，也只有重力做功，通過重力做功，實現(xiàn)重力勢能與機(jī)械能之間的等量轉(zhuǎn)換，因此物體的機(jī)械能守恒。

（2）固定的光滑斜面類

在固定光滑斜面上運(yùn)動的物體，同時受到重力和支持力的作用，由于支持力和物體運(yùn)動的方向始終垂直，對運(yùn)動物體不做功，因此，只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒。

（3）固定的光滑圓弧類

在固定的光滑圓弧上運(yùn)動的物體，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始終沿圓弧的法線方向而和物體運(yùn)動的速度方向垂直，對運(yùn)動物體不做功，故只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒。

（4）懸點固定的擺動類

和固定的光滑圓弧類一樣，小球在繞固定的懸點擺動時，受到重力和拉力的作用。由于懸線的拉力自始至終都沿法線方向，和物體運(yùn)動的速度方向垂直而對運(yùn)動物體不做功。因此只有重力做功，物體的機(jī)械能守恒。

作題方法：

一般選取物體運(yùn)動的最低點作為重力勢能的零勢參考點，把物體運(yùn)動開始時的機(jī)械能和物體運(yùn)動結(jié)束時的機(jī)械能分別寫出來，并使之相等。

注意點：在固定的光滑圓弧類和懸點定的擺動類兩種題目中，常和向心力的公式結(jié)合使用。這在計算中是要特別注意的。習(xí)題：

1、三個質(zhì)量相同的小球懸掛在三根長度不等的細(xì)線上，分別把懸線拉至水平位置后輕輕釋放小球，已知線長La?Lb?Lc，則懸線擺至豎直位置時，細(xì)線中張力大小的關(guān)系是（）

ATc?Tb?TaBTa?Tb?TcCTb?Tc?TaDTa=Tb=Tc4、一質(zhì)量m = 2千克的小球從光滑斜面上高h(yuǎn) = 3.5米高處由靜止滑下斜面底端緊接著一個半徑R = 1米的光滑圓環(huán)（如圖）求：

（1）小球滑至圓環(huán)頂點時對環(huán)的壓力；

（2）小球至少要從多高處靜止滑下才能越過圓環(huán)最高點；

（3）小球從h0 = 2米處靜止滑下時將在何處脫離圓環(huán)（g =9.8米/秒2）。

二、系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 由兩個或兩個以上的物體所構(gòu)成的系統(tǒng)，其機(jī)械能是否守恒，要看兩個方面

（1）系統(tǒng)以外的力是否對系統(tǒng)對做功，系統(tǒng)以外的力對系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)的機(jī)械能就增加，做負(fù)功，系統(tǒng)的機(jī)械能就減少。不做功，系統(tǒng)的機(jī)械能就不變。

（2）系統(tǒng)間的相互作用力做功，不能使其它形式的能參與和機(jī)械能的轉(zhuǎn)換。

系統(tǒng)內(nèi)物體的重力所做的功不會改變系統(tǒng)的機(jī)械能

系統(tǒng)間的相互作用力分為三類：

1）剛體產(chǎn)生的彈力：比如輕繩的彈力，斜面的彈力，輕桿產(chǎn)生的彈力等

2）彈簧產(chǎn)生的彈力：系統(tǒng)中包括有彈簧，彈簧的彈力在整個過程中做功，彈性勢能參與機(jī)械能的轉(zhuǎn)換。

3）其它力做功：比如炸藥爆炸產(chǎn)生的沖擊力，摩擦力對系統(tǒng)對功等。

在前兩種情況中，輕繩的拉力，斜面的彈力，輕桿產(chǎn)生的彈力做功，使機(jī)械能在相互作用的兩物體間進(jìn)行等量的轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)的機(jī)械能還是守恒的。雖然彈簧的彈力也做功，但包括彈性勢能在內(nèi)的機(jī)械能也守恒。但在第三種情況下，由于其它形式的能參

1與了機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)的機(jī)械能就不再守恒了。

歸納起來，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題有以下四個題型：（1）輕繩連體類（2）輕桿連體類

（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。

（1）輕繩連體類

這一類題目，系統(tǒng)除重力以外的其它力對系統(tǒng)不做功，系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力是輕繩的拉力，而拉力只是使系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)械能在相互作用的兩個物體之間進(jìn)行等量的轉(zhuǎn)換，并沒有其它形式的能參與機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

[例]：如圖，光滑斜面的傾角為?，豎直的光滑細(xì)桿到定滑輪的距離為a，斜面上的物體M和穿過細(xì)桿的m通過跨過定滑輪的輕繩相連，開始保持兩物體靜止，連接m的輕繩處于水平狀態(tài)，放手后兩物體從靜止開始運(yùn)動，求m下降b時兩物體的速度大?。?/p>

（2）輕桿連體類

這一類題目，系統(tǒng)除重力以外的其它力對系統(tǒng)不做功，物體的重力做功不會改

變系統(tǒng)的機(jī)械能，系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力是輕桿的彈力，而彈力只是使系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)械能在相互作用的兩個物體之間進(jìn)行等量的轉(zhuǎn)換，并沒有其它形式的能參與機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

例：如圖，質(zhì)量均為m的兩個小球固定在輕桿的端，輕桿可繞水平轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，兩小球到軸的距離分別為L、2L，開始桿處于水平靜止?fàn)顟B(tài)，放手后兩球開始運(yùn)動，求桿轉(zhuǎn)動到豎直狀態(tài)時，兩球的速度大小

（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。

光滑的圓弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物體在光滑的圓弧上滑動，這一類的題目，也符合系統(tǒng)機(jī)械能守恒的外部條件和內(nèi)部條件，下面用具體的例子來說明

例：四分之一圓弧軌道的半徑為R，質(zhì)量為M，放在光滑的水平地面上，一質(zhì)量為m的球（不計體積）從光滑圓弧軌道的頂端從靜止滑下，求小球滑離軌道時兩者的速度？

（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。

懸掛小球的細(xì)繩系在一個不受任何水平外力的物體上，當(dāng)小球擺動時，物體能在水平面內(nèi)自由移動，這一類的題目和在水平面內(nèi)自由移動的光滑圓弧類形異而質(zhì)同，同樣符合系統(tǒng)機(jī)械能守恒的外部條件和內(nèi)部條件，下面用具體的例子來說明

例：質(zhì)量為M的小車放在光滑的天軌上，長為L的輕繩一端系在小車上另一端拴一質(zhì)量為m的金屬球，將小球拉開至輕繩處于水平狀態(tài)由靜止釋放。求（1）小球擺動到最低點時兩者的速度？（2）此時小球受細(xì)繩的拉力是多少？

習(xí)題

1.如圖5－3－15所示，質(zhì)量相等的甲、乙兩小球從一光滑直角斜面的頂端同時由靜止釋放，甲小球沿斜面下滑經(jīng)

過a點，乙小球豎直下落經(jīng)過b點，a、b兩點在同一水平面上，不計空氣阻力，下列說法中正確的是()

A．甲小球在a點的速率等于乙小球在b點的速率

B．甲小球到達(dá)a點的時間等于乙小球到達(dá)b點的時間

C．甲小球在a點的機(jī)械能等于乙小球在b點的機(jī)械能(相對同一個零勢能參考面)

D．甲小球在a點時重力的功率等于乙小球在b點時重力的功率

2． 一根質(zhì)量為M的鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半掛在桌邊，如圖5－3－

16(a)所示．將鏈條由靜止釋放，鏈條剛離開桌面時的速度為v1.若在鏈條兩端各系一個質(zhì)量均為m的小球，把鏈條一半和一個小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一個小球掛在桌邊，如圖5－3－16(b)所示．再次

將鏈條由靜止釋放，鏈條剛離開桌面時的速度為v2，下列判斷中正確的是()

A．若M＝2m，則v1＝v2B．若M＞2m，則v1＜v

2C．若M＜2m，則v1＞v2D．不論M和m大小關(guān)系如何，均有v1＞v2

5.如圖5－3－19所示為某同學(xué)設(shè)計的節(jié)能運(yùn)輸系統(tǒng)．斜面軌道的傾角為37°，木箱與軌道之間的動摩擦因數(shù)μ＝

0.25.設(shè)計要求：木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將質(zhì)量m＝2 kg的貨物裝入木箱，木箱載著貨物沿軌道無初速滑下，當(dāng)輕彈簧被壓縮至最短時，自動裝貨裝置立刻將貨物御下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，接著再重復(fù)上述過程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)離開彈簧后，木箱沿軌道上滑的過程中的加速度大??；(2)滿足設(shè)計要求的木箱質(zhì)量．

如圖5－3－20所示，一個質(zhì)量為m的小鐵塊沿半徑為R的固定半圓軌道上邊緣由靜止滑下，到半圓底部時，軌

道所受壓力為鐵塊重力的1.5倍，則此過程中鐵塊損失的機(jī)械能為()

1113A.mgRB.C.D.842

42.如圖5－3－21所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物體由靜止下滑，在物體下滑過程中，下列說

法正確的是()

A．物體的重力勢能減少，動能增加B．斜面的機(jī)械能不變

C．斜面對物體的作用力垂直于接觸面，不對物體做功D．物體和斜面組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

4.如圖5－3－23所示，一很長的、不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b.a球質(zhì)量為m，靜置于地面；b球質(zhì)量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好拉緊．從靜止開始釋放b后，a可能達(dá)到的最大高度為()

A．hB．1.5hC．2hD．

5.如圖5－3－24所示，在動摩擦因數(shù)為0.2的水平面上有一質(zhì)量為3 kg的物體被一個勁度系數(shù)為120 N/m的壓縮輕質(zhì)彈

簧突然彈開，物體離開彈簧后在水平面上繼續(xù)滑行了1.3 m才停下來，下列說法正確的是(g取10 m/s2)()

A．物體開始運(yùn)動時彈簧的彈性勢能Ep＝7.8 JB．物體的最大動能為7.8 J

C．當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時物體的速度最大D．當(dāng)物體速度最大時彈簧的壓縮量為x＝

0.05 m

8.如圖5－3－27所示，小球從A點以初速度v0沿粗糙斜面向上運(yùn)動，到達(dá)最高點B后返回A，C為AB的中點．下列說法中正

確的是()

A．小球從A出發(fā)到返回A的過程中，位移為零，合外力做功為零

B．小球從A到C過程與從C到B過程，減少的動能相等

C．小球從A到B過程與從B到A過程，損失的機(jī)械能相等

10.如圖5－3－29所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個光滑小球，現(xiàn)給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速度v0，若v0大小不同，則小球能夠上升到的最大高度(距離底部)也不同．下列說法中正確的是()

RRA．如果v0＝gR，則小球能夠上升的最大高度為B．如果v0＝2gR，則小球能夠上升的最大高度為2

2C．如果v0＝3gR，則小球能夠上升的最大高度為

11．如圖5－3－30所示，AB為半徑R＝0.8 m的1/4光滑圓弧軌道，下端B恰與小車右端平滑對接．小車質(zhì)量

M＝3 kg，車長L＝2.06 m，車上表面距地面的高度h＝0.2 m．現(xiàn)有一質(zhì)量m＝1 kg的滑塊，由軌道頂端無初速釋放，滑到B端后沖上小車．已知地面光滑，滑塊與小車上表面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.3，當(dāng)車運(yùn)行了1.5 s時，車被地面裝置鎖定．(g＝10 m/s2)試求：

(1)滑塊到達(dá)B端時，軌道對它支持力的大??；(2)車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離；

(3)從車開始運(yùn)動到被鎖定的過程中，滑塊與車面間由于摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能大??；

(4)滑塊落地點離車左端的水平距離．

2．如圖7－7－11所示，質(zhì)量為2m和m可看做質(zhì)點的小球A、B，用不計質(zhì)量的不可伸長的細(xì)線相連，跨在固定的半徑為R的光滑圓柱兩側(cè)，開始時A球和B球

與圓柱軸心等高，然后釋放A、B兩球，則B球到達(dá)最高點時的速率是多少?

3RD．如果v0＝5gR，則小球能夠上升的最大高度為2R

29．如圖所示，長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個正三角形支架，在A處固定質(zhì)量為2m的小球，B處固定質(zhì)量為m的小球，支架懸掛在O點，可繞過O點并與支架所在平面相垂直的固定軸轉(zhuǎn)動，開始時OB與地面相垂直，放手后開始運(yùn)動，在不計任何阻力的情況下，下列說法正確的是（）

A．A球到達(dá)最低點時速度為零

B．A球機(jī)械能減少量等于B球機(jī)械能增加量。

C．B球向左擺動所能達(dá)到的最高位置應(yīng)高于A球開始運(yùn)動時的高度。

D．當(dāng)支架從左向右往回擺動時，A球一定能回到起始高度

14．如圖所示，一勁度系數(shù)為k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著兩個質(zhì)量均為m=12kg的物

體A、B。開始時物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上，現(xiàn)要在上面物體A上加一豎直向上的力F，使物體A開始向上做勻加速運(yùn)動，經(jīng)0.4s物體B剛要離開地面，設(shè)整個過程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，取g=10m/s2，求：此過程中外力F所做的功。

第四篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案.doc

學(xué)習(xí)資 料

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2．能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識．

教學(xué)建議 教材分析 1． 知識結(jié)構(gòu)

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式．難點是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)．關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡的方法．

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于

．這樣規(guī)定是為了避免出

時無軌

時軌跡是一條線段；當(dāng)常數(shù)小于

以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來

學(xué)習(xí)資 料

跡”．這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準(zhǔn)確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會．

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項．

④教科書上對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實際上只給出了“橢圓上點的坐標(biāo)都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學(xué)們不作要求．

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在 軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同．

橢圓的焦點在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項的分母較大．

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另外，形如 中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運(yùn)行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運(yùn)動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運(yùn)行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運(yùn)動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學(xué)時應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認(rèn)識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手，逐步上升到理性認(rèn)識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準(zhǔn)備好一根細(xì)線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細(xì)線的長度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來

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黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細(xì)線的長度），然后再請剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓(xùn)，教師因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣，學(xué)生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)

在教學(xué)時，可以設(shè)置幾個問題，讓學(xué)生動手動腦，獨(dú)立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標(biāo)系時，學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了，即使焦點在坐標(biāo)軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系，但在有了一定感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法．

（6）推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時教師要注意化解難點，適時地補(bǔ)充根式化簡的方法．

推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進(jìn)行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學(xué)時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的整體認(rèn)識．通過具體的例子使學(xué)生循序漸進(jìn)的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨(dú)留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運(yùn)算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后鼓勵學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點，加深對橢圓的認(rèn)識．

（8）在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進(jìn)一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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學(xué)習(xí)資 料

有給出證明過程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊精神。

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第五篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

教學(xué)目標(biāo):

(一)知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會由標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的交點和焦距；

(二)能力目標(biāo)：通過對橢圓概念的引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析、探索的能力，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問題的能力；

(三)情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點:橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法:探究式教學(xué)法（教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力。）

教具準(zhǔn)備:自制教具(圓柱體、細(xì)繩)。

教學(xué)過程:(一)啟發(fā)誘導(dǎo)，推陳出新

1、復(fù)習(xí)舊知識：拉直一根細(xì)線，一端固定，作一個圓，由此回憶圓的定義（到一點的距離等于定長的點的軌跡），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、提出新問題：到兩點的距離等于定長的點是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題：“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請同學(xué)們思考下面的問題：

1、在作圖時,視筆尖為動點，線的兩個固定的端點為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎？

3、當(dāng)繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎？

學(xué)生經(jīng)過動手操作→獨(dú)立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個結(jié)論：橢圓、線段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1、建立適當(dāng)坐標(biāo)系（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗來確定）

原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；主要應(yīng)使曲線對于坐標(biāo)軸具有較多的對稱性。

2、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程如下：

①建立直角坐標(biāo)系：以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建

立如圖所示的坐標(biāo)系；

②確定點的坐標(biāo)：設(shè)F1F2?2c，則F1??c，0?，F(xiàn)2?c，0?，設(shè)P?x，y?是橢圓上的任意一點；

③設(shè)定長為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過學(xué)生自己動手推導(dǎo)方程是學(xué)生構(gòu)建知識的一個過程。）

3、歸納方程特點，鞏固上述知識。

4、延伸：①焦點在y軸上：F1?0，?c?，F(xiàn)2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關(guān)系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內(nèi)兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距離的和是10的動點的軌跡方程。

解：這個軌跡是橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示。

取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點在x軸上，橢圓c2的焦點在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個焦點分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個焦點分別（例2會由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的焦點坐標(biāo)和焦距）

(五)課堂練習(xí)

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結(jié)

1、橢圓定義

2、焦點分別在x軸和y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（結(jié)合圖形，表述焦點坐標(biāo)，焦距，系數(shù)的關(guān)系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標(biāo)軸任意位置時的坐標(biāo)，留給同學(xué)們課后思考

4、布置作業(yè)：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)