第一篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十章 定積分的應(yīng)用

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等

教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)

§ 1平面圖形的面積（2 時(shí)）

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積

一、組織教學(xué)：

二、講授新課：

（一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡(jiǎn)單圖形：

型和

型平面圖形.型和

《數(shù)學(xué)分析》教案

例

5求由雙紐線

所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線之間).以

軸對(duì)稱;以

或

.(可見(jiàn)圖形夾在過(guò)極點(diǎn)，代 方程不變，圖形關(guān)于 代 , 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對(duì)稱.參閱P242 圖10-6 因此.三、小結(jié)：

§ 2 由平行截面面積求體積（2 時(shí)）

教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積

（一）已知截面面積的立體的體積: 設(shè)立體之截面面積為 推導(dǎo)出該立體之體積

..祖暅原理: 夫冪勢(shì)即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時(shí)人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初)例1

求由兩個(gè)圓柱面

和

所圍立體體積.P244 例1()

《數(shù)學(xué)分析》教案

和 在區(qū)間

上連續(xù)可導(dǎo)且

..則

上以

和

為端點(diǎn)的弧段的弧長(zhǎng)為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對(duì) , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點(diǎn) 超過(guò)第三邊.事實(shí)上，和

為頂點(diǎn)的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長(zhǎng)公式, 在折線總長(zhǎng)表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對(duì)式插項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).如果曲線方程為極坐標(biāo)形式 出其參數(shù)方程

.于是

連續(xù)可導(dǎo), 則可寫(xiě).§ 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積(1 時(shí))教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的面積

第二篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二十章曲線積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十章 曲線積分

教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲線積分的有關(guān)概念；2.掌握兩種類(lèi)型曲線積分的計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲線積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是曲線積分的計(jì)算。教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)

§ 1 第一型曲線積分

一.第一型線積分的定義:

1.幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析線段的質(zhì)量 2.曲線的質(zhì)量:

3.第一型線 積分的定義: 定義及記法.線積分,.4.第一型線積分的性質(zhì): P198

二.第一型線積分的計(jì)算:

1.第一型曲線積分的計(jì)算: 回顧“光滑曲線”概念.Th20.1 設(shè)有光滑曲線 義在上的連續(xù)函數(shù).則

.(證)P199 ，.是定若曲線方程為 : , 則

.《數(shù)學(xué)分析》教案

, 即

.2.穩(wěn)流場(chǎng)通過(guò)曲線(從一側(cè)到另一側(cè))的流量: 解釋穩(wěn)流場(chǎng).(以磁場(chǎng)為例)..求在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲線AB從左處的切向量為 , 設(shè)有流速場(chǎng)

側(cè)到右側(cè)的流量E.設(shè)曲線AB上點(diǎn)

(是切向量方向與X軸正向的夾角.切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側(cè)到哪一側(cè), 在我們現(xiàn)在的問(wèn)題中是指從左側(cè)到右側(cè)的方向.切向量方向與法線向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通過(guò)曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為

.3.第二型曲線積分的定義: 閉路積分的記法.按這一定義 , 有

沿平面曲線 從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功為 力場(chǎng)

《數(shù)學(xué)分析》教案

A , B;函數(shù) 和

在L上連續(xù), 則沿L的自然方向(即從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)有

.(證略)例1 計(jì)算積分).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合, 路徑為

ⅰ> 直線段AB

ⅱ> 拋物線

ⅲ> A(1, 1)路徑.P205例1 例2 計(jì)算積分

ⅰ> 沿拋物線

ⅱ> 沿直線

;, L的兩個(gè)端點(diǎn)為A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折線閉合, 這里L(fēng) :

從點(diǎn)O(0 , 0)到點(diǎn)B(1 , 2);

從點(diǎn)O(0 , 0)到點(diǎn)B(1 , 2);ⅲ> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 計(jì)算第二型曲線積分 I = 旋線, 從

到 的一段.P207例3 例4 求在力場(chǎng)

ⅰ> 質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A

L :

第三篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十九章 含參量積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十九章 含參量積分

教學(xué)目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算方法；2.掌握兩種含參量反常積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關(guān)計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是含參量積分的性質(zhì)及含參量反常積分的一致收斂性的判定；難點(diǎn)是一致收斂性的判定。教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)

§ 1含參量正常積分

一.含參積分: 以實(shí)例

和

引入.定義含參積分 和

.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的又一手段.我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分.1.含參積分的連續(xù)性:

Th19.5 若函數(shù)

在

Th19.8 若函數(shù) 和 在

在矩形域

上連續(xù) , 則函數(shù)

上連續(xù).(證)P172

在矩形域

上連續(xù), 函數(shù) 在

上連續(xù).上連續(xù) , 則函數(shù)(證)P173

2.含參積分的可微性及其應(yīng)用:

《數(shù)學(xué)分析》教案

1.含參無(wú)窮積分: 函數(shù) 可以是無(wú)窮區(qū)間).以 分表示的函數(shù)

.定義在

上（為例介紹含參無(wú)窮積 2.含參無(wú)窮積分的一致收斂性: 逐點(diǎn)收斂(或稱點(diǎn)態(tài)收斂)的定義: 使

., , 引出一致收斂問(wèn)題.定義(一致收斂性)設(shè)函數(shù) , 使

分在

(關(guān)于)一致收斂.定義在 對(duì)

上.若對(duì)

成立, 則稱含參無(wú)窮積Th 19.5(Cauchy收斂準(zhǔn)則)積分收斂，在

上一致

對(duì) 成立.例1 證明含參量非正常積分

其中.但在區(qū)間

在

上一致收斂 ，內(nèi)非一致收斂.P180

3.含參無(wú)窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系:

《數(shù)學(xué)分析》教案

Th 19.8 設(shè)函數(shù) 和

在

則函數(shù) 在

在

上連續(xù).若積分

在.上收斂, 積分上可微,且

一致收斂.3.可積性: 積分換序定理.Th 19.9 設(shè)函數(shù)

在

有

例3 計(jì)算積分

P186

.在

上一致收斂, 則函數(shù)

上連續(xù).若積分

在

上可積 , 且四.含參瑕積分簡(jiǎn)介:

§ 3 Euler積分

本節(jié)介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù) , 即 和.它們統(tǒng)稱為Euler積分.在積分計(jì)算等方面, 它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù).一.Gamma函數(shù) —— Euler第二型積分：

1.Gamma函數(shù): 考慮無(wú)窮限含參積分

，《數(shù)學(xué)分析》教案

但 在區(qū)間

內(nèi)閉一致收斂.即在任何 時(shí), 對(duì)積分, 有

上 , , 而積分

一致收斂.因?yàn)?/p>

收斂.對(duì)積分 , 積分, 而積分

收斂.由M—判法, 它上一致收斂.們都一致收斂，在區(qū)間

作類(lèi)似地討論, 可得積分?jǐn)?于是可得如下結(jié)論: 的連續(xù)性:

也在區(qū)間

內(nèi)閉一致收

在區(qū)間 在區(qū)間

內(nèi)連續(xù).的可導(dǎo)性: 內(nèi)可導(dǎo), 且

同理可得: 在區(qū)間

.內(nèi)任意階可導(dǎo), 且

3.凸性與極值: ，.在區(qū)間 在區(qū)間

內(nèi)嚴(yán)格下凸.(參下段)，內(nèi)唯一的極限小值點(diǎn)(亦為最小值點(diǎn))介于1與2 之間.4.的遞推公式

函數(shù)表:

《數(shù)學(xué)分析》教案

5.時(shí), 有意義.用其作為

內(nèi)., 又可把 依此 , 可把 延拓到函數(shù)的延拓:

時(shí) 該式右端在 的定義, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 內(nèi).時(shí)也

時(shí), 依式

延拓到 內(nèi)除去 的所有點(diǎn).經(jīng)過(guò)如此延拓后的 例1 求

.)解 的圖象如 P192圖表19—2., ，.(查表得)，..6.函數(shù)的其他形式和一個(gè)特殊值:

函數(shù).倘能如此, 可某些積分可通過(guò)換元或分部積分若干次后化為 查 函數(shù)表求得該積分的值.常見(jiàn)變形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考慮.《數(shù)學(xué)分析》教案

: 非負(fù)，和 , 時(shí)為正常積分;

時(shí), 點(diǎn)

為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見(jiàn)

時(shí)積分

發(fā)散).數(shù)非負(fù), : 時(shí)為正常積分;

時(shí), 點(diǎn)

為瑕點(diǎn).由被積函

和 ,(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見(jiàn)

時(shí)積分

發(fā)散).綜上, 時(shí)積分

，收斂.設(shè)D

于是, 積分 定義了D內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù).稱該函數(shù)為Beta函數(shù), 記為 , 即

不難驗(yàn)證，=

函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂.又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù), 因此 , 函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).2.函數(shù)的對(duì)稱性:

.證 =

《數(shù)學(xué)分析》教案

, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特別地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函數(shù)和

函數(shù)的關(guān)系:

函數(shù)和

函數(shù)之間有關(guān)系式

，3

《數(shù)學(xué)分析》教案

解 ，.例4 求積分

解 令 , 有

.I

.例5 計(jì)算積分.解

判斂 ,把該積分化為 , 該積分收斂.(亦可不進(jìn)行

函數(shù)在其定義域內(nèi)的值 , 即判得其收斂.)

I

.例6 , 求積分 ，5

第四篇：定積分的幾何應(yīng)用教案

4.3.1 定積分在幾何上的應(yīng)用

教材：

《高等數(shù)學(xué)》第一冊(cè)第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2009 第四章第三節(jié) 定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的：

1.理解掌握定積分的微元法；

2.會(huì)用微元法計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的微元法。

教學(xué)難點(diǎn)：

計(jì)算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面面積時(shí)的微元如何選取和理解。

教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：通過(guò)大量例題來(lái)理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。

部分例題：

(1)求平面圖形的面積

由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過(guò)求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。

例如：求曲線f?x2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。

分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。

所以該曲邊梯形的面積為

f??21x223137xdx????

31333222(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積

(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c

cd(III)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)?0)與直線x=a、x=b(0?a

abx2y2例如：求橢圓2?2?1所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋ab轉(zhuǎn)體的體積。

分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓b2y?a?x2(?a?x?a)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓ax2y2??1所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 a2b2b2vy???(a?x2)?aa?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?a(a2?x2)dx

4?ab23橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓x?a2b?y2,(?b?y?b)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓2?2?1所圍成的圖形繞

aby軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

a2?a22vy???(b?y)dy?2?bbb

?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?b22(b?ydy)

(3)求平面曲線的弧長(zhǎng)

(I)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程

{x??(t)(??t??)

y??(t)給出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為s????'[?'(t)2?]?[t(2d)。]x()(Ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長(zhǎng)度為s????r2(?)?[r(?)']2d(?)。

x21例如：求曲線y??lnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長(zhǎng)。

42解：y'?x1?22x，于是弧長(zhǎng)微元為

ds?1?y'2，x111dx?1?(?)2dx?(x?)dx。

22x2x所以，所求弧長(zhǎng)為：s??

e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224

第五篇：數(shù)學(xué)分析 重積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十一章 重積分

教學(xué)目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會(huì)計(jì)算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計(jì)算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學(xué)、物理方面的計(jì)算問(wèn)題；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是重積分的計(jì)算和格林公式；難點(diǎn)是化重積分為累次積分。

教學(xué)時(shí)數(shù)：22學(xué)時(shí)

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計(jì)算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個(gè)正方形上取其右上頂點(diǎn)為介點(diǎn).解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學(xué)分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對(duì)值.§ 2 二重積分的計(jì)算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢(shì)上的積分”推導(dǎo)公式.2.簡(jiǎn)單域上的二重積分: 簡(jiǎn)推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學(xué)分析》教案

解法一(直接計(jì)算積分)曲線AB的方程為

.方向?yàn)樽匀环较虻姆聪?因此

.解法二(用Green公式)補(bǔ)上線段BO和OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域?yàn)镈, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計(jì)算積分 I =, 其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導(dǎo)數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無(wú)關(guān)性:

《數(shù)學(xué)分析》教案

;.例6 驗(yàn)證式 P231例4

是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時(shí)）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當(dāng)被積函數(shù)形如 區(qū)域?yàn)橹本€型時(shí), 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學(xué)分析》教案

極坐標(biāo)變換: ,.廣義極坐標(biāo)變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問(wèn)題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對(duì)積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對(duì)積分

換序..例10 計(jì)算積分

..§ 5 三重積分簡(jiǎn)介

《數(shù)學(xué)分析》教案

例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對(duì)稱，為 的偶函數(shù)，1

《數(shù)學(xué)分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐標(biāo): P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標(biāo): P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-