第一篇：高中數(shù)學 基本不等式及其應用教案

基本不等式及其應用教案

教學目的

(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．

教學過程

一、引入新課

師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？

生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．

二、推導公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質(zhì)推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？

生：由③式的推導方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學們課外去研究．

4．推論

師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．

⑦

(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)

⑨

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．

三、小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．

四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a2＋b2=c2表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當且僅當sin2A=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)．

三、應用公式練習

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R．若tgα、ctgα∈R．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．] +

+

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件．只有公式①、②對任何實數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負實數(shù)也成立)．

2．填空：

(1)當a________時，an＋a－n≥________；

(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計．如

表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．

第二篇：基本不等式 2.2.2 基本不等式的應用教案

2.2.2?基本不等式的應用

【學習目標】

掌握利用基本不等式求參數(shù)范圍

在使用均值不等式過程中，要注意定理成立的條件，為能使用定理解題，要采用配湊法、換元法，創(chuàng)造條件應用均值不等式。

通過運用基本不等式解決實際應用性問題，提高應用數(shù)學手段解決實際問題的能力與意識。

能應用均值不等式解決最值

【學習重點】

基本不等式求最值時，需滿足“一正，二定，三相等”的條件

【學習難點】

基本不等式求參數(shù)的取值范圍時，應注意的事項以及條件.[自主學習]

1．基本不等式，若a>b>0,m>0,則?；

若a,b同號且a>b則。

2．均值不等式:

兩個正數(shù)的均值不等式：?變形，等。

3．最值定理:設

（1）如果x,y是正數(shù),且積,則xy時,（2）如果x,y是正數(shù)和,則x=y時,運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

[典型例析]

例1（1）設且恒成立，求的取值范圍？

變式訓練

（1）若對任意，恒成立，則的取值范圍是多少？

例2??如圖所示動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．

(1)現(xiàn)有可圍36?m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

(2)要使每間虎籠面積為24?m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

變式訓練

（2）如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最小？

例3?已知且，則的最小值為（）

A.B.C.D.例4求函數(shù)的最大值

[當堂檢測]

1.已知，則的最小值是.2.若x，y是正數(shù)，則的最小值是

3.函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為???????????????．

4．已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為

[學后反思]____________________________________________________?_______

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第三篇：基本不等式教案

基本不等式

【教學目標】

1、掌握基本不等式，能正確應用基本不等式的方法解決最值問題

2、用易錯問題引入要研究的課題，通過實踐讓同學對基本不等式應用的二個條件有進一步的理解

3、會應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想研究問題 【教學重點難點】

教學重點: 基本不等式應用的條件和等號成立的條件 教學難點：基本不等式等號成立的條件 【教學過程】

一、設置情景，引發(fā)探究 問題一：x?1有最小值嗎？ x2問題二：x?3?1x?32?2正確嗎？

二、合作交流，研究課題

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，當且僅當a=b時取到等號。22

22a2?b2a?b2 R中，當且僅當a=b時取到等號。??ab?，1122?ab?注意：

1、公式應用的條件

2、等號成立的條件

三、實例分析，深化理解 例

1、求所給下列各式的最小值（1）y?a? 1(a?3)a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1當且僅當a?3??a?3?1?a?4時，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1)（2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，當且僅當x?11?(1?x??1)?x?0時，y有最小值1。22(x?1)11+的最小值.xy總結(jié)：想求和的最小值，乘積為定值

例

2、已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y?22xy，∴xy?

1； 8（2）∵x、y為正數(shù)，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy當且僅當

22yx=，即當x=2－1，y=1－時等號成立.2xy∴11+的最小值為3+22.（目的：發(fā)現(xiàn)同學中的等號不成立的錯解）xy總結(jié)：想求乘積的最大值，和為定值

四、總結(jié)提高，明確要點

五、布置作業(yè)，復習鞏固

教學反思：加強利用均值不等式及其他方法求最值的練習，在求最大（?。┲禃r，有三個問題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出現(xiàn)積為定值或和為定值；第三，要注意等號成立的條件，若等號不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（?。┲?

第四篇：高中數(shù)學不等式

數(shù)學基礎知識與典型例題

數(shù)學基礎知識與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?7?5 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?（1?x2?1

例16.解：原不等式等價于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當x>0時，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當x<0時，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當a>0時，{x|x??a或x?0}； 當a=0時，{x|x?R且x?0}； 當a<0時，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當y≠2時，要方程有實數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述, －

2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?a?b)

另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當a、b、c中有負數(shù)或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學第二冊(上)第27頁例

1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaaa?b?c?a?b??c

a?b?c

例22.高中數(shù)學第二冊(上)第17頁習題9 法一:構(gòu)造函數(shù)法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調(diào)遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aa?m?bb?m?c

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bb?m?c

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aa?m?bb?m?c

c?m.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學第二冊(上)第13頁例

46、當你發(fā)現(xiàn)有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢”吧！

Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會讓你變得偉大！

一個人的夢想有多么偉大，他就有多么偉大！

偉大的目標，即使吹起牛來都很爽！所以，目標一定要遠大！你人生才會過得充實而干勁十足！

我在這十多年瘋狂英語的奮斗路上，我發(fā)現(xiàn)一個真理：

“人的潛能無限！相信自己，就能創(chuàng)造奇跡；懷疑自己，人生就會在可憐、悲慘中度過！”

每個人其實都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財富。

而可悲的是，大多數(shù)的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因為他們的父母，和他們所處的時代，也沒有給他們這把鑰匙。

我們太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當我們發(fā)現(xiàn)有這把鑰匙的時候，已經(jīng)年過30歲了??

其實，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。

在此，我非常急切地想與大家分享一個“18歲就成功的故事”，告訴你如果發(fā)現(xiàn)自己有“非凡天賦”時,就瘋狂地造夢想吧，從此，你就會自發(fā)地苦練，并為自己的家庭帶來夢中渴求的一切。

在丁俊暉8歲時，父親送給他一件特別的禮物——一支臺球桿。他很快發(fā)現(xiàn)：兒子在臺球桌上有非凡的天賦，兩年下來，已經(jīng)打遍當?shù)責o敵手。

有一次，爸爸讓小俊暉與臺球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰(zhàn)勝他。”

看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個驚人的決定：賣掉家鄉(xiāng)的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學習臺球，成為職業(yè)臺球手。為了節(jié)省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味??竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發(fā)誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺球當成了自己一輩子奮斗的職業(yè)。

丁俊暉練球常常進入到癡迷的狀態(tài)，整天與臺球為伴，很快，父親送給他的臺球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又斷了??反反復復，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。

即使這樣，他父親還時刻提醒、監(jiān)督他，有時剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時間稍長一點，父親就過來催促：“你去房間練球吧，空調(diào)已幫你開好了?！彼赣H說：“人做事一定要堅定，做一件事就要把它做好，如果連這點精神和承擔失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會強加給他沒興趣的東西做。我堅信我兒子是5000年才出一個的神童！”

也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級臺球冠軍的丁俊暉。現(xiàn)在丁俊暉已經(jīng)在老家買了新房，他實現(xiàn)了當初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現(xiàn)了奪得世界冠軍的諾言！

所以，偉大的夢想造就偉大的人生！Great dreams make great men!

目標定得小，成績就小。有大志才會有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第五篇：高中數(shù)學知識點：不等式的證明及應用

不等式的證明及應用

知識要點：

1．不等式證明的基本方法：

?a?b?0?a?b

?（1）比較法：?a?b?0?a?b

?a?b?0?a?b?

用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）綜合法：利用題設、不等式的性質(zhì)和某些已經(jīng)證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч奔磸囊粋€（一組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導出所要求證的不等式。

（3）分析法：“執(zhí)果索因”從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。

2．不等式證明的其它方法：

（1）反證法：理論依據(jù)A?B與B?A等價。先否定命題結(jié)論，提出假設，由

此出發(fā)運用已知及已知定理推出矛盾。根據(jù)原命題與逆否命題等價，A得證。

（2）放縮法：理論依據(jù) a > b,b > c?a > c ?B

（3）函數(shù)單調(diào)性法。

3．數(shù)（式）大小的比較：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數(shù)單調(diào)性法

4．不等式在函數(shù)中的應用：

（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的值域（3）研究函數(shù)的單調(diào)性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數(shù)，等號可取。

（2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。

6．方程與不等式解的討論

（1）一元二次方程ax2

a?0,??b2?bx?c?0有嚴格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。

（2）函數(shù)與不等式：利用函數(shù)圖象找出等價關系，轉(zhuǎn)化為不等式問題去解決。