第一篇：高中數(shù)學(xué) 3.4.1《基本不等式的證明》教案 蘇教版必修5

第 11 課時：§3.4.1基本不等式的證明（2）

【三維目標(biāo)】：

一、知識與技能

1.進(jìn)一步掌握基本不等式；

2.學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；

3.會運(yùn)用基本不等式求某些函數(shù)的最值，求最值時注意一正二定三相等。

4.使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來討論函數(shù)的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應(yīng)用。

二、過程與方法

?

值。

三、情感、態(tài)度與價值觀

引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。

難點(diǎn)：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．重要不等式：如果a,b?R,那么a?b?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號)

2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么22a?b，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小2a?ba?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號).我們稱為a,b2

22的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a,b的幾何平均數(shù)，a?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者

只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正數(shù)，①如果積xy是定值p，那么當(dāng)x?y時，和x?y有最小值2p；②如果和x?y是定值s，那么當(dāng)x?y時，積xy有最大值

證明：∵x,y?R，∴ ?12s． 4x?y?xy，2①當(dāng)xy?p(定值)有(x?y)min?2p； x?y?2p∴x?y?2p，∵上式當(dāng)x?y時取“?”，∴當(dāng)x?y時

②當(dāng)x?y?s(定值)時，xy?s12 ∴xy?s，∵上式當(dāng)x?y時取“?”∴當(dāng)x?y時有2

4(xy)max?12s． 4

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：

①最值的含義（“?”取最小值，“?”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);

④函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（1）求 lgx?logx10(x?1)的最值，并求取最值時的x的值。

解：∵x?1∴l(xiāng)gx?0logx10?0，于是lgx?logx10?2lgxlgx10?2，當(dāng)且僅當(dāng)lgx?logx10，即x?10時，等號成立，∴l(xiāng)gx?logx10(x?1)的最小值是2，此時x?10．

（2）若上題改成0?x?1，結(jié)果將如何？

解：∵0?x?1lgx?0logx10?0，于是(?lgx)?(?logx10)?2，從而lgx?logx10??2，∴l(xiāng)gx?logx10(0?x?1)的最大值是?2，此時x?

例2（1）求y?x(4?x)(0?x?4)的最大值，并求取時的x的值。

（2）求y?x4?x2(0?x?2)的最大值，并求取最大值時x的值

解：∵0?x?4，∴x?0,4?x?

0，∴1． 10?x?4?x?2則y?x(4?x)?4，當(dāng)且僅當(dāng)

2x?4?x，即x?2?(0,4)時取等號?！喈?dāng)x?2時，y?x(4?x)(0?x?4)取得最大值4。

例3 若x?2y?1，求11?的最小值。xy

11x?2yx?2y2yx2yx??

??1??2??3?(?)?3?xyxyxyxy解：∵x?2y?1，∴

?x?1?2yx???y，即?當(dāng)且僅當(dāng)?x

?y??x?2y?1?

?2

∴當(dāng)x?1,y?11時，?

取最小值3?xy2例4 求下列函數(shù)的值域:（1）y?3x?11y?x?；（2）2x2x

歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：

(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.四、鞏固深化，反饋矯正

1．已知0?x?1,0?y?1,xy?1，求log1x?log1y的最大值，并求相應(yīng)的x,y值。93

32．已知x?0，求2?3x?的最大值，并求相應(yīng)的x值。

3．已知0?x?

2，求函數(shù)f(x)x值。

4．已知x?0,y?0,x?3y?1,求?的最小值，并求相應(yīng)的x,y值。

五、歸納整理，整體認(rèn)識

1．用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當(dāng)給出的函數(shù)式不具備條件時，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進(jìn)行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進(jìn)行求解；

2．運(yùn)用基本不等式求最值常用的變形方法有：

（1）運(yùn)用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值；

（3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入。

一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用。

六、承上啟下，留下懸念4x1x1y

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第二篇：3.4.1 基本不等式的證明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的證明

一、基礎(chǔ)過關(guān)

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，則m、n之間的大小關(guān)系是________． a－

24．設(shè)0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為________． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)??a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求證：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，則a＋______(填“大”或“小”)值，為__________． a－

1x10．若對任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為________． x＋3x＋1

1111．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy

12．已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc＝1.111求證：＋<＋abc

三、探究與拓展

1613．已知a>b>0，求證：a2＋16.b?a－b?

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數(shù)，也都是正數(shù)． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab?三式相加得2??abc?≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2?x－y?2＋2xy?x－y?2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥?x－y? x－yx－y

＝22.2??x－y＝x－y當(dāng)且僅當(dāng)?，??xy＝1

時取等號． －2

1，＋∞? 11.1 9．大 －1 10.??5?

1112．證明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2??a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc

13．證明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b?a－b?b?a－b?

16≥[2?a－b?b]2＋ b?a－b?

16＝4(a－b)b＋ b?a－b?

4≥4×2?a－b?b×＝16.b?a－b?

4取“＝”時當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b>0且(a－b)b＝，b?a－b?

即當(dāng)a＝2且b＝2時“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤??2＝4，當(dāng)且a＝2b時取等號，2??x＝即???y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aab?a－b?

≥264＝16.當(dāng)a＝2，b＝2時，等號成立．

第三篇：3.4.1 基本不等式的證明

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)設(shè)計(jì)

3.4.1 基本不等式的證明（1）

江蘇省靖江高級中學(xué)楊喜霞

教學(xué)目標(biāo)：

一、知識與技能

1．探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2．會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3．學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握 定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；

4．理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾 何解釋．

二、過程與方法

1.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對不等式認(rèn)知的一次飛躍．要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)．變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對定理的理解，并為以后實(shí)際問題的研究奠定基礎(chǔ)．兩個定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)．

三、情感、態(tài)度與價值觀

1．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

2．培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力．

教學(xué)重點(diǎn)：

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程． 教學(xué)難點(diǎn)：

理解基本不等式 等號成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵．

教學(xué)方法：

先讓學(xué)生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式；從生活中實(shí)際問題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；定理的證明要留給學(xué)

生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案．

教學(xué)過程：

一、問題情景

a?

b

2a?b2.?的幾何背景： 21.提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）．

二、學(xué)生活動

問題1 我們把“風(fēng)車”造型抽象成上圖．在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的長為a、b，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？

a2?b2.問題2 那4個直角三角形的面積和呢？

生答 2ab.問題3 好，根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，a2?b2?2ab.什么時候這兩部分面積相等呢？

生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即x?y時，正方形EFGH變成一個點(diǎn)，這時有a2?b2?2ab.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．重要不等式：一般地，對于任意實(shí)數(shù) a、b，我們有a2?b2?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，等號成立．

問題4：你能給出它的證明嗎？(學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書)

證明：a2?b2?2ab?(a?b)2,當(dāng)a?b時，(a?b)2?0,當(dāng)a?b時,(a?b)2?0,所以a2?b2?2ab

注意強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)a?b時, a2?b2?2ab

注意：（1）等號成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛．

問題5：將a降次為a,b降次為b,則由這個不等式可以得出什么結(jié)論？

2．基本不等式：對任意正數(shù)a、b，有

立．（學(xué)生討論回答證明方法）

證法1：a?

b11?

?2?2??2?

0當(dāng)且僅當(dāng)222a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時等號成2． ?a?b時，取“?”

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?b，a?b只要證0?

2?成立，當(dāng)且

2證法2

?

?a?b時，取“=”號．

證法3：對于正數(shù)a,b

有2?0，?a?b?

?0?a?b??

說明： 把a(bǔ)?b?2a?

ba,b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述2

不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

注意：（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0；

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；

（3）a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上

2取一點(diǎn)C，過C作弦DD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半a?b?CD?ab

徑2

a?bB ?幾何意義是：“半徑不小于半弦”；

（圖1）

（4）當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，取“?”的含義：一方面是當(dāng)a?b時取等號，即 a?b

??a?ba?b?a?b； ；另一方面是僅當(dāng)a?

b時取等號，即?22

（5）如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”）；

（6）如果把a(bǔ)?b看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù)a、b的2等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

1．例題．

ba1例1設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）??2；（2）a??2.aba

baba證明（1）∵a,b為正數(shù)，∴,也為正數(shù)，由基本不等式得???2abab∴原不等式成立．

（2）∵a,立．

例2已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca.證明 ∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，11均為正數(shù)，由基本不等式得a???2，∴原不等式成a

a以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.證明 由a,b,c,d都是正數(shù)，得：

∴ab?cdac?bd??

0，??0，22(ab?cd)(ac?bd)?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.42．練習(xí)．

（1）已知x,y都是正數(shù)，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3；

（2）已知a,b,c都是正數(shù)，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

（3）思考題：若x?0，求x?

五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1的最大值.x

1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念；

2．基本不等式及其應(yīng)用條件；

3．不等式證明的三種常用方法．

小結(jié) 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

六、課外作業(yè)

課后練習(xí)第2題、第3題；習(xí)題3.4第1題、第2題、第3題．

第四篇：6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的證明)

a?b

23.4 基本不等式：ab?

3.4.1 基本不等式ab?a?b的證明

從容說課

在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題.本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展.另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用.本節(jié)課是通過讓學(xué)生觀察第２４屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的.通過分析得出基本不等式：ab?a?b

2，然后

從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析探索過程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.

教學(xué)重點(diǎn) 1.創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

2.從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3.從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會不等式證明的常用思路.

教學(xué)難點(diǎn) 1.對基本不等式從不同角度的探索證明；

2.通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路.

教具準(zhǔn)備 多媒體及課件

三維目標(biāo)

一、知識與技能

1.創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

2.嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過程；

3.從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.教師提供問題、素材，并及時點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

3.將探索過程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

三、情感態(tài)度與價值觀

1.通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；

3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

（教師用投影儀給出第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，并介紹此會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛國主義熱情） 推進(jìn)新課

師 同學(xué)們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？（沉靜片刻）

生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形.

師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個幾何圖形？（請兩位同學(xué)在黑板上畫.教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評）

（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀.此時教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確.這說明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績.

（此時，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來）［過程引導(dǎo)］

師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？

生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和. 師 一定嗎？

（大家齊聲：不一定，有可能相等）

師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？生 每個直角三角形的面積為

2ab，四個直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長為

a?b，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab.

師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請大家思考一下，他對a+b≥2ab證明了嗎？

生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已. 師 回答得很好.

（有的同學(xué)感到迷惑不解）

師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學(xué)們在解題時經(jīng)常會犯的錯誤.實(shí)質(zhì)上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學(xué)竊竊私語，確實(shí)是這樣，并沒有給出證明）

2師 請同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a+b≥2ab.

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)≥0，所以可得a+b≥2ab.

師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？ 生 正確.

［教師精講］

師 這位同學(xué)的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個代數(shù)式的大小是否一樣.

生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們?nèi)プC明. 師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”.

（教師此處的設(shè)問是針對學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)而言） 生 作商，用商和“1”比較大小.

師 對.那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問題中自然會遇到.

（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生） ［合作探究］

師 請同學(xué)們再仔細(xì)觀察一下，等號何時取到.

生 當(dāng)四個直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時，即面積相等時取等號.（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時點(diǎn)撥）

師 從不等式a+b≥2ab的證明過程能否去說明. 生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時，取等號.

師 這位同學(xué)回答得很好.請同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致.

（大家齊聲）一致.

（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

師 這是一個很重要的不等式.對數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延.只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應(yīng)手，也不會出錯.

2（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a+b≥2ab中得出什么.此時，教師應(yīng)及時點(diǎn)撥、指引）

師 當(dāng)a＞0,b＞0時，請同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生 完全可以.

師 為什么？

生 因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R.

師 這個不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式.它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把

a?b

2叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）

師 請同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個不等式呢？（此時，同學(xué)們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式） 要證：

a?b

2?

ab，①

只要證a+b≥2ab，②

要證②，只要證：a+b

-2ab≥0，③ 要證③，只要證：(a?

b)?0,④

顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）［合作探究］

老師用投影儀給出下列問題.

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

（本節(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎(chǔ)） ［合作探究］

師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？ 生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得CD?生 由射影定理也可得CD?

ab.

a?b

2ab.

師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

a?b2

生ab表示半弦長，表示半徑長.

師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？ 生 由半徑大于半弦可得

a?b2

?ab.

師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密？

生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式ab?(a＞0,b＞0). 課堂小結(jié)

師 本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？

生 我們通過觀察分析第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)得出了不等式a+b≥2ab.

生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時，以a、b分別代替a、b，得到了基本不等式

ab?

a?b

2a?b2

(a＞0,b＞0).進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式.

生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式.

（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）

師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式.并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用. 布置作業(yè)

活動與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索

21a?1b,ab ,a?b

2,a?b2

22的大小關(guān)系，并

證明你的結(jié)論. 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明.

（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景.設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.

第五篇：高中數(shù)學(xué) 《基本不等式的證明》教案3 蘇教版必修5

第 10 課時：§3.4.1基本不等式的證明（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3.學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對定理的理解，并為以后實(shí)際問題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

2.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

?a?b的證明過程；

2a?b等號成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取等號”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

2【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：先讓學(xué)生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實(shí)際問題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學(xué)用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

a?

b

2a?b2.的幾何背景： 21.提問：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，對于任意實(shí)數(shù) a、b，我們有a?b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，等號成立。

證明: a?b?2ab?(a?b),當(dāng)a?b時，(a?b)?0,當(dāng)a?b時,(a?b)?0,2222

2所以a?b?2ab

22注意強(qiáng)調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)a?b時, a?b?2ab 22

注意：（1）等號成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛。

基本不等式：對任意正數(shù)a、b，有a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時等號成立。

2a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時等號成立。2證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。由基本不等式1，得2?2?

?

證法2：a?

b11?

?2?2??2?

0?a?b222

時，取“?”。

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?

b，只要證0?2

a?

b??a?b時，取“?”。2

a?b?證法4：對于正數(shù)a,b

有2?

0，?a?b?

?0?a?b??2

a?

b說明： 把a(bǔ),b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個正2證法

3?

數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。上述結(jié)論可推廣至3個正數(shù)。

（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）

a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過C作弦

2a?bDD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半徑?CD?ab

2a?b?幾何意義是：“半徑不小于半弦” 2B（4）當(dāng)且僅當(dāng)a?b時，取“?”的含義：一方面是當(dāng)a?b時取等號，即

a?ba?b

??；另一方面是僅當(dāng)a?b時取等號，即

2（圖1）a?b??a?b。2（3）

22（5）如果a,b?R，那么a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”）．

（6）如果把a(bǔ)?b看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘

2述為：兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)

.2.在數(shù)學(xué)中，我們稱a?b為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘

2述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P88例1）設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）

證明：（1）∵a,b為正數(shù)，∴ba1??2；（2）a??2 abababa,也為正數(shù)，由基本不等式得??2∴原不等式成立。ab

ab（2）∵a,1a

均為正數(shù)，由基本不等式得a?1

a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得：

ab?cd

2??

0，ac?bd

2??0，∴(ab?cd)(ac?bd)

4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

例4 已知函數(shù)y?x?1

x?1,x?(1,??)，求y的范圍

例

52?2．

?0，又x2?3?1，?，2

2???

?2?2．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.已知x,y都是正數(shù)，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y

32.已知a,b,c都是正數(shù)，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

3.思考題：若x?0，求x?

1x的最大值

五、歸納整理，整體認(rèn)識

1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念；

2．基本不等式及其應(yīng)用條件；

3．不等式證明的三種常用方法。

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：