第一篇：柱體、錐體、臺體的表面積和體積教學(xué)設(shè)計

范例：以新課標(biāo)教材人民教育出版社A版(2004年)必修2《1．3．1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積》

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

(1)通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法。

(2)能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(3)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2．過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過程，感知幾何體的形狀。

(2)讓學(xué)生通過對照比較，理順柱體、錐體、臺體三者間的面積和體積的關(guān)系。(3)在解決問題的過程中滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生通過化歸解決問題的能力和意識，體驗合情推理的方法和作用。(在解決后面的問題時能主動用化歸思想。)3．情感、態(tài)度與價值觀

(1)通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾何體面積和體積的求解過程對自己空間思維能力的影響，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

(2)培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的意識，以促進(jìn)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的形成。(學(xué)生并不習(xí)慣于質(zhì)疑，可以通過教師的質(zhì)疑逐步引導(dǎo)，培養(yǎng)理性的精神。)

二、學(xué)情分析

學(xué)生已具備一些直觀的對簡單幾何體的認(rèn)識，理性思維還不很成熟，所以在實際教學(xué)時，要使學(xué)生對已有知識經(jīng)驗的認(rèn)識上升到新的高度，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的欲望。

三、教材分析

1．本節(jié)的作用和地位

本節(jié)內(nèi)容是高中的一個重要內(nèi)容，它能使學(xué)生的認(rèn)識在理性方面有所提高，通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可使學(xué)生掌握一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——化歸，因此本節(jié)內(nèi)容十分重要。

2．本節(jié)主要內(nèi)容

該部分內(nèi)容中有一些是學(xué)生熟悉的，比如正方體、長方體、圓柱、圓錐的表面積和體積。其他空間幾何體——一般棱柱、棱錐、棱臺和圓臺的表面積、體積問題是本課時要解決的。在解決這些問題的過程中，首先要對學(xué)生已有的知識進(jìn)行再認(rèn)識，提煉出解決問題的一般思想——化歸的思想，總結(jié)出一般的求解方法，在此基礎(chǔ)上通過類比獲得解決新問題的思路，通過化歸解決問題，深化對化歸、類比等思想方法的應(yīng)用，這也是學(xué)習(xí)下一章內(nèi)容時要用的基本方法。

3．重點、難點分析

在解決具體問題時，要用相似三角形求得線段的長，這是本課時的難點。特別是對于基 礎(chǔ)比較好的學(xué)生，如果要完成教材旁白中所說的證明棱臺的體積公式，其難度也是比較大的。

因此確定本課時的教學(xué)重點、難點是：

教學(xué)重點：柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算，培養(yǎng)學(xué)生通過化歸解決問題的能力和合情推理的能力。

教學(xué)難點：臺體的表面積與體積公式推導(dǎo)，以及“特殊到一般”認(rèn)識規(guī)律和“創(chuàng)造條件促成事物的轉(zhuǎn)化”思想在推導(dǎo)公式過程中的滲透與應(yīng)用。

4．課時要求：2課時

四、教學(xué)理念

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。因此教學(xué)中要“以人為本”，積極引導(dǎo)學(xué)生參與到知識獲得的過程中，讓學(xué)生獲得分析問題、解決問題的能力。

五、教學(xué)策略

課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是：了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積和體積計算公式(不要求記憶公式)。而且，新課程的編排體系是從整體到部分，從宏觀到微觀，也即在本課時學(xué)習(xí)之前學(xué)生對空間中點、線、面的位置關(guān)系尚無理性認(rèn)知，所以，在本課時學(xué)習(xí)過程中最好通過直觀感知、合情推理的方式展開教學(xué)。

六、教學(xué)環(huán)境

本課時涉及的內(nèi)容比較多，而且其中很多都是再現(xiàn)性的，因此必須借助適當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)手段提前將需要再現(xiàn)的圖形準(zhǔn)備好，提高課堂教學(xué)的效率。提前制作一些由一個棱柱切開成3個棱錐的模具，上課后供學(xué)生操作使用。

七、教學(xué)過程

引言：通過學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的三視圖和直觀圖，我們了解了空間幾何體與平面圖形之間的關(guān)系。從中反映出一個思想方法，即平面圖形與空間幾何體的互化，尤其是空間幾何體問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，這種化歸的思想方法將貫穿立體幾何的研究過程，是一個重要的思想方法，在今后的學(xué)習(xí)中大家應(yīng)該重視這一思想方法的應(yīng)用。(設(shè)計意圖：挖掘舊知識中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，使得隱性知識顯性化，在本課時的學(xué)習(xí)中發(fā)揮先行組織者的作用。)本課時研究的是柱體、錐體、臺體的表面積與體積?？臻g幾何體的表面積是幾何體表面的面積，即幾何體各個面的面積的和。空間幾何體的體積是幾何體所占空間的大小。

問題1

（1）試著完成下表1中你會的部分。

(2)比較表1—1和表1—2中空間幾何體的側(cè)面積與表面積你完成的部分，是否蘊(yùn)涵著上述化歸思想，并請具體給出闡釋。(設(shè)計意圖：通過完成(1)達(dá)到幫助學(xué)生復(fù)習(xí)掃清學(xué)習(xí)障礙、同時了解學(xué)生基礎(chǔ)的目的。通過完成(2)進(jìn)一步明確化歸思想方法，為后繼解決問題提供思路。)活動方式：學(xué)生獨立完成之后教師利用展臺展示學(xué)生完成的情況，講評糾錯。

表1-1部分平面圖形的面積 表1-2部分空間幾何體的表面積與體積

預(yù)設(shè)的結(jié)果：學(xué)生可以完成表1—2中正方體、長方體的表面積和體積，圓柱、圓錐的側(cè)面積、表面積和體積。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)一步明確其中蘊(yùn)涵的空間幾何體問題可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解的化歸思想方法，運(yùn)用這種方法時，第一步是要得到空間幾何體的展開圖；第二步是依次求出各個平面圖形的面積；第三步將各平面圖形的面積相加即可。

實際情況：學(xué)生在寫圓錐的側(cè)面積時因為對扇形面積公式中字母含義認(rèn)知不清，所以出現(xiàn)錯誤。于是對比表1—l進(jìn)一步解決了利用弧長和半徑表示的扇形的面積公式，之后又利用扇形面積公式求得圓錐的側(cè)面積。

在基礎(chǔ)比較差的班級上課時，學(xué)生只能寫出正方體和長方體的表面積和體積。

學(xué)生計算正方體、長方體的表面積時由于熟悉并沒有展開，而是直接計算求解，但是在回答問題“是否蘊(yùn)涵有上述化歸思想?”時學(xué)生還是能很清楚地解釋的。

備用圖

圖2—1 正方體及其展開圖 圖2—2 長方體及其展開圖

圖2—3 圓柱體及其展開圖 圖2—4 圓錐及其展開圖 問題2

(1)類比上述求法，利，用化歸的數(shù)學(xué)思想方法，完成練習(xí)1和練習(xí)2；

機(jī)動練習(xí)1 如圖2—5，已知三棱錐S—ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積。

圖2—5 圖2—6

機(jī)動練習(xí)2 如圖2—6，四棱臺的上、下底面均是正方形，邊長分別是8 cm和14 cm，側(cè)棱長都是5 cm，求它的側(cè)面積。

(2)思考如何求出任意一個棱柱、棱錐、棱臺的表面積?它與哪些平面圖形有關(guān)系?之后在表2—2中寫出求這幾類空間幾何體的表面積的思路。

(設(shè)計意圖：鞏固已有方法。具體問題是學(xué)生思維的開始，具體問題可以縮短學(xué)生進(jìn)入解題狀態(tài)的時間，同時通過具體問題的解決使學(xué)生有切實的感受，提供了推廣的基礎(chǔ)。)活動方式：學(xué)生獨立完成，展示交流點評。

預(yù)設(shè)的結(jié)果：先完成練習(xí)1和練習(xí)2，之后抽象得出一般解法。

實際的情況：學(xué)生在解決問題時，思路比較順暢，幾乎不存在問題，但是實際計算時出

1a3a現(xiàn)了問題，表現(xiàn)在計算正三角形的面積時出錯：??，于是求得最后結(jié)果23a2，還

222有學(xué)生的計算結(jié)果是23a；計算梯形的面積時出現(xiàn)的錯誤是：錯認(rèn)為5是梯形的高。在練習(xí)2中只要求計算梯形的側(cè)面積，但是有學(xué)生并沒有認(rèn)真審題，仍然計算全面積。

回答如何計算棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積時學(xué)生的思路都沒有問題。

問題3 類比上述方法，求圓臺的側(cè)面積和表面積，數(shù)據(jù)如圖2—7所示。

圖2—7 圓臺體及其側(cè)面展開圖

(設(shè)計意圖：鞏固已有方法，解決新問題。)

活動方式：學(xué)生獨立完成，展示討論，形成正確的解題步驟。

預(yù)設(shè)的答案：(略)實際的情況：學(xué)生的思路沒有問題，但是具體的計算有問題，表現(xiàn)在兩個方面：第一是不能選擇引入簡單的變量，比如有學(xué)生設(shè)O??B?l，使得計算復(fù)雜；第二是根據(jù)三角形相似列

r?O??A式時出錯，比如有學(xué)生列出的比例式是?等。

rl 針對上述情況實際教學(xué)時，將學(xué)生寫的解答過程在展臺上展示，通過提問“對應(yīng)邊是誰”，糾正錯誤。

問題4 將正方體、長方體的體積公式分別改寫為：V正方體?a3?a2?a?S底?h，其中h?a；V長方體?abc?ab?c?S底?h，其中h?a。據(jù)此猜想棱柱的體積公式是什么?

(設(shè)計意圖：根據(jù)已有知識經(jīng)驗獲得一般的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的意識和習(xí)慣。)預(yù)設(shè)的答案：V棱柱?S底?h，其中h表示棱柱的高。

實際的情況：比較順利地完成。

問題5 根據(jù)圓錐體積與圓柱體積的關(guān)系，猜想棱柱的體積公式是什么?

(設(shè)計意圖：根據(jù)已有知識經(jīng)驗獲得一般的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的意識和習(xí)慣。)1 預(yù)設(shè)的回答：V棱錐?S底?h，其中h表示棱錐的高。

3實際的情況：比較順利地完成。

問題6 我們知道等底同高的三角形的面積相等，類比這個結(jié)論針對三棱錐你能得到什么猜想?(設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)空間圖形與平面圖形的關(guān)系將平面幾何中的結(jié)論在空間進(jìn)行推廣的意識和能力，為完成下面的任務(wù)做準(zhǔn)備。)活動方式：學(xué)生獨立思考，完成猜想，必要時教師予以幫助。

預(yù)設(shè)的答案：如果兩個三棱錐的底面積相等，高也相等，那么這兩個三棱錐的體積相等。

實際的情況：在學(xué)生基礎(chǔ)較好的班完成得比較順利，在基礎(chǔ)較差的班完成得比較困難，學(xué)生不能將平面幾何中的三角形、面積與空間中的三棱錐、體積聯(lián)系起來。

1問題7 你能利用上述猜想解釋V棱錐?S底?h嗎?

圖2—8

(設(shè)計意圖：雖然此處還不能進(jìn)行理論的論證，但是在猜想的基礎(chǔ)上可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說理，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維習(xí)慣。)預(yù)設(shè)的活動方式：展示操作，由老師利用模型或圖4—2—8進(jìn)行解釋。

實際情況：都是學(xué)生完成的。(在學(xué)生基礎(chǔ)較差的班級實際教學(xué)時沒有進(jìn)行到這里。)學(xué)生不善于改變方向換角度看問題。學(xué)生在解釋圖2—8中三棱錐1與2的體積相等選擇的底面是?A?BC，頂點是點A和點B?。這樣的選擇能直接解釋底面積相等，但是就目前的幾何知識還解釋不了高相等，雖然學(xué)生解釋了如何做高。又有學(xué)生解釋時選擇的底面分別是?A?AB和?A?B?B，頂點是C。這個選擇比較容易理解，但是還不夠直觀，也許是因為手頭沒有模具的原因，后來在老師的提示下將兩個三棱錐“扳倒”，使得?A?AB和?A?B?B所在的面 著地，那么頂點重合高相當(dāng)，而不需要從頂點到底面做高，既直觀又避開了沒有學(xué)過的知識。

問題8 類比棱臺、圓臺側(cè)面積的求法，你能解決求棱臺、圓臺體積的問題嗎? 如何求?如圖2—9，設(shè)圓臺的上、下底面積分別為S?和S，高為h，試求其體積。

圖2—9

預(yù)設(shè)的答案：轉(zhuǎn)化為棱錐、圓錐的體積差問題求解。

活動方式：學(xué)生獨立思考完成。

預(yù)備的解決過程(以圓臺為例)：如圖2—9，設(shè)O?O???x，上、下底面的半徑分別為r?，和r，圓臺的上、下底面積分別為S?和S。S?因為xr???x?hr??S?

SS?所以x?hS? S?S?11111所以V臺=S(h?x)?S?x?Sh?Sx?S?x

333331111hS??Sh?(S?S?)x?Sh?(S?S?)3333S?S?

111?Sh?(S?S?)hS??h(S?SS??S?)333 實際情況：學(xué)生只給出思路，具體的計算課后完成。

機(jī)動練習(xí)3 看圖填空

機(jī)動練習(xí)4 四棱臺的上、下底面均是正方形，邊長分別為3 cm和5 cm，高是6 cm，求此棱臺的體積。

圖2—10

(設(shè)計意圖：檢驗教學(xué)效果。)實際情況：在課堂上沒有做這兩個練習(xí)。

問題9 結(jié)合圓柱、圓錐及圓臺的結(jié)構(gòu)特征，再觀察它們的表面積公式、體積公式，你能發(fā)現(xiàn)什么關(guān)系?

(設(shè)計意圖：從運(yùn)動變化的觀點分析三者之間的關(guān)系。)預(yù)設(shè)的答案：

柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系：

實際情況：只完成了表面積之間的關(guān)系。由于棱臺的體積公式?jīng)]有在課堂上推導(dǎo)，所以沒有要求學(xué)生思考體積之間的關(guān)系。

問題10(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲，請從數(shù)學(xué)知識、思想方法、解決問題的經(jīng)驗等方面談?wù)劇?2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中你有哪些疑問或者質(zhì)疑?(設(shè)計意圖：問題(1)是引導(dǎo)學(xué)生對本課時的學(xué)習(xí)進(jìn)行歸納總結(jié)；

問題(2)引導(dǎo)學(xué)生對合情推理過程進(jìn)行質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的好奇心，為第五章的學(xué)習(xí)埋下伏筆。)活動方式：學(xué)生獨立思考，匯報交流。

實際情況：學(xué)生能小結(jié)出化歸的多種途徑，但是談到質(zhì)疑，學(xué)生只提出一個問題：還沒有講棱臺的體積怎么求。對于這個問題我的回答是：“為什么沒有講?”學(xué)生能類比解決。

學(xué)生沒有其他質(zhì)疑，于是教師提出問題：

(1)為什么計算圓臺的側(cè)面積時可以用兩個三角形相似?學(xué)生說根據(jù)定義圓臺的兩個底面平行。教師進(jìn)一步追問：兩底面平行就能推出兩直線平行嗎?并舉出反例進(jìn)一步激起學(xué)生的疑問。

(2)做三棱錐的高是從一點向平面做垂線，你怎么確定這條線是垂直的? 這些問題都需要到下一章才能解決。

八、目標(biāo)檢測作業(yè)

作業(yè)：P27練習(xí)，習(xí)題1．3A組1，2，3。

(設(shè)計意圖：初步運(yùn)用公式解決問題。設(shè)計理念：將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸、聯(lián)結(jié)和必要補(bǔ)充，而不單是模仿訓(xùn)練。)

九、教學(xué)反思

1.以研究方法及學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律為主線，旨在發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能

根據(jù)上述的設(shè)計思路，這一節(jié)2課時的劃分辦法是：第一課時研究柱體、錐體、臺體的表面積，及教材中的例1；第二課時，解決教材中的例

2、例3及相關(guān)的公式應(yīng)用問題，之后完成對球的表面積與體積的學(xué)習(xí)。

這個設(shè)計思路在實際教學(xué)中得以充分的實現(xiàn)，學(xué)生從一開始對“化歸”思想的陌生，不知道該如何解釋“類比”，及化歸的具體辦法，可見他們已經(jīng)能將之顯性化。通過本課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該比較清楚立體幾何初步學(xué)習(xí)的基本思路，對后繼的學(xué)習(xí)有幫助。

2．注重先行組織者的作用——解釋研究方法

在實際教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生回憶本章前面學(xué)習(xí)了哪些知識，其中蘊(yùn)涵著什么數(shù)學(xué)思想。通過復(fù)習(xí)揭示了具體知識中蘊(yùn)涵的化歸思想，這是本課時的核心思想，它貫穿本課時教學(xué)的全過程，很好地發(fā)揮了先行組織者的作用。

3．注重學(xué)生的已有知識經(jīng)驗的作用，并力求通過本課時的教學(xué)使得學(xué)生認(rèn)識再上一個層次；注重設(shè)計與生成的有機(jī)結(jié)合

在學(xué)生基礎(chǔ)較差的班級上課時，確實困難，因為有學(xué)生連正方體、長方體的表面積和體積都寫不對，更不用說寫出圓柱、圓錐的表面積與體積了。怎么辦? 落實與完美不可兼得時選擇“斷臂維納斯”之美。于是在課堂上“就地臥倒”，和學(xué)生一起填寫表格，一點一點地落實，并且是看著學(xué)生把該填的都填上，否則這一節(jié)課就只能是“教師講課”了。在這一節(jié)課上沒有按照預(yù)設(shè)的完成任務(wù)，但是學(xué)生是有收獲的，聽課教師也是有收獲的。聽課教師說聽了這節(jié)課后要寫文章“普通班學(xué)生數(shù)學(xué)缺乏興趣，問題出在哪里?”或者“如何真正針對普通班學(xué)生數(shù)學(xué)缺乏興趣，落實因材施教原則”。學(xué)生“感覺收獲特別大!”“整節(jié)課，學(xué)生在一種愉快而又緊張(他們怕被提問但又想被問)的思考中，結(jié)束了這節(jié)課的學(xué)習(xí)?！?/p>

在教學(xué)實踐中，注重學(xué)生的參與，并且是思維層面的參與，并通過環(huán)環(huán)相扣的問題串實現(xiàn)。什么是思維層面的參與，可以通過一個具體的事例解釋：比如求圓臺的側(cè)面積，筆者的處理方式是問題提出后，教師“閉嘴”，由學(xué)生獨立思考解決，之后再交流。常見的教學(xué)方式是，提出問題之后教師先分析思路，確定解法之后由學(xué)生完成。后一種方式中學(xué)生活動的思 維含量較低，屬于“苦力”行為，而且容易養(yǎng)成學(xué)生的依賴性，導(dǎo)致在考試中“不怕難題怕新題的現(xiàn)象”。在評課時，授課所用班級的原課任教師也說到，“學(xué)生的配合并不是太好，原因是學(xué)生不習(xí)慣這種教學(xué)方式。”事實上只有一開始就把問題交給學(xué)生，才能真正發(fā)現(xiàn)問題，生成教學(xué)，才能培養(yǎng)學(xué)生獨立性，才能培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。

4．注重直觀感知，合情推理，但是爭取不失時機(jī)地進(jìn)行說理和推理

課程標(biāo)準(zhǔn)對該部分內(nèi)容的要求是“了解”，并且不要求記憶公式。但是在寫教學(xué)設(shè)計時一直有一個困惑：難道就直接把公式給學(xué)生嗎?那樣做符合高中的課程目標(biāo)和學(xué)生的思維規(guī)律嗎?在寫教學(xué)設(shè)計時還是希望不失時機(jī)地給學(xué)生滲透說理和推理，并在教學(xué)實踐中予以落實，這樣做導(dǎo)致的結(jié)果就是容量加大，在規(guī)定的2課時內(nèi)實在是難以完成，包括對實驗班的學(xué)生。這一節(jié)課在我省最好學(xué)校的最好班級、城市優(yōu)質(zhì)高中的實驗班(該校班級分為實驗班、普通班)、城市優(yōu)質(zhì)高中的普通班(該校班級分為特優(yōu)班、實驗班、普通班)分別上過，每次上完課的感覺都是緊張，容量大，聽課教師的感覺也是如此，但是這一課時完不成上述教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容，那么必定在2課時內(nèi)完不成這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，就像在普通班“就地臥倒”之后，必須用3課時完成，而這個普通班還不是最差的班級。所以現(xiàn)在依然困惑是教學(xué)設(shè)計超標(biāo)了，還是課時給少了? 對于這一節(jié)有兩種解決課時的辦法：第一種辦法是不用本教學(xué)設(shè)計，只把結(jié)論給學(xué)生，但對這種方法多數(shù)教師都持懷疑態(tài)度，這樣教就可以了嗎? 第二種辦法是用3課時完成，并如下劃分3課時：柱體、錐體、臺體的表面積及其應(yīng)用1課時，體積及其應(yīng)用1課時，球的體積、表面積和本節(jié)習(xí)題處理1課時。

5．教材處理有變化，但變化中有不變的規(guī)律——尊重教材的處理思路

教材處理中有兩點做了明顯的變化：其一是調(diào)整了教材處理的順序，將圓柱、圓錐的表面積與體積問題提前，因為這些內(nèi)容在義務(wù)教育階段已經(jīng)學(xué)過；其二是將問題分化，即將表面積分化為側(cè)面積與底面積。重點解決側(cè)面積問題。實踐證明這樣處理是正確的，不論在哪種類型的班級上課，只要解決了側(cè)面積問題，表面積問題就水到渠成，一帶而過。但是變化中不變的一條是遵循教材的研究思路，與同題授課的老師相比更注重研究思路在教學(xué)過程中發(fā)揮的作用，在評課中同題授課的教師也認(rèn)為筆者的處理方式更好。所以建議教師在研讀教材時不但要看顯性的知識，還要看隱性的知識，將明線暗線相統(tǒng)一。

(注：該案例由山西省教科院薛紅霞老師提供)思考與練習(xí)：

1．教學(xué)設(shè)計與教案的關(guān)系是什么?選擇一個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容具體詳細(xì)寫一個教學(xué)設(shè)計與教案，并作比較。

2．你認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計要遵循哪些原則?選擇一個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容具體來說明。3．下面是某老師設(shè)計的《函數(shù)的最大值與最小值》教學(xué)目標(biāo)： [知識和技能目標(biāo)](1)明確閉區(qū)間[。，6)上的連續(xù)函數(shù)／(J)，在[d，凸]上必有最大值與最小值。-(2)理解上述函數(shù)的最值可能存在的位置。I(3)掌握用導(dǎo)數(shù)方法求上述函數(shù)的最大值與最小值的方法與步驟。I [過程和方法目標(biāo)] I(1)在學(xué)習(xí)過程中，觀察、歸納、表述、交流、合作，最終形成認(rèn)識。I(2)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能夠自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并最終解決問題。I [情感和價值目標(biāo)] ÷

(1)認(rèn)識事物之間的區(qū)別和聯(lián)系，體會事物的變化是有規(guī)律的唯物主義

思想。

(2)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實踐能力和理性精神。

請你對該老師設(shè)計的這個教學(xué)目標(biāo)作出點評。

4．下面是某老師設(shè)計的《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》的學(xué)情分析：

知識準(zhǔn)備：學(xué)生對等差(比)數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸

納的概念是模糊的。

能力儲備：學(xué)生經(jīng)過中學(xué)前5年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具有一定的推理能力，數(shù)

學(xué)思維也逐步向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辯證思維體系。但學(xué)生自主探究

問題的能力普遍還不夠理想。

學(xué)生情況：我所在的學(xué)校是省屬重點中學(xué)，所教的兩個班級是平行班，學(xué)

生基礎(chǔ)還不錯。我按照大綱要求，結(jié)合學(xué)生情況，補(bǔ)充了一些問題情境和數(shù)學(xué)

實例以烘托重點，突破難點。

你認(rèn)為該老師的這個學(xué)情分析有什么缺陷? 5．?dāng)?shù)學(xué)課堂的教學(xué)反思有哪些方法?你常用哪種方法進(jìn)行課后反思?請

你判斷以下的課后反思用的是什么方法。

“充分條件與必要條件”課后反思

(1)本課的學(xué)習(xí)是為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他知識作準(zhǔn)備，隨著后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，對充要條件的理解和應(yīng)用將貫徹始終，學(xué)生對邏輯知識的應(yīng)用將越來越廣

泛和深入，相應(yīng)的對邏輯知識的理解和掌握水平也將越來越高，同時學(xué)生的認(rèn)

知是一個循序漸進(jìn)的過程，片面地強(qiáng)調(diào)求難、求偏均不能很好地完成本課教學(xué)

任務(wù)，因此本課教學(xué)一定要從學(xué)生實際和教科書的具體內(nèi)容出發(fā)，提出恰如其

分的教學(xué)要求，避免一步到位。(2)對教材中例1選題的幾點思考：

①這組題設(shè)置由一般(不等關(guān)系)到特殊(等量關(guān)系)，為什么? ②教材僅設(shè)置例1一道例題，要完成本課教學(xué)目標(biāo)，如何把握其設(shè)置意

圖?學(xué)生由此題可得到怎樣的知識和心得?教師要如何運(yùn)用教材更好地體現(xiàn)自

己的教學(xué)思想?都值得我們教學(xué)人員仔細(xì)推敲。

6．下面是某老師“充分條件與必要條件”的教材分析：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需全面理解概念，正確地進(jìn)行表述、判斷和推理，這就離不開對 邏輯知識的掌握和應(yīng)用。更廣泛地說，在日常生活、工作和學(xué)習(xí)中，基本的邏

輯知識也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具。作為高中數(shù)學(xué)起始章節(jié)的內(nèi)

容，充要條件在高中數(shù)學(xué)中地位是最基本的，也是最重要的。通過本課學(xué)習(xí)著

重培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維(如理解、判斷、推理、歸納等)的能力。

請你對該老師所做的教材分析作出評價。

主要參考文獻(xiàn)：

1．章建躍：《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計研究》，載《數(shù)學(xué)通報》，2006(7)。2．王秋海主編：《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)技能訓(xùn)練》，第1版，上海：華東師范大 學(xué)出版社，2008。

3．蔣永晶、王書臣：《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的概念、內(nèi)容和意義》，載《繼續(xù)

教育研究》，2002(3)。

4．唐彩斌：《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計“六問”》，載《研究與探索(數(shù)學(xué)版)》，2007(6)。

5．楊瑞強(qiáng)：《淺談利用多媒體在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的體會和思考》，網(wǎng)址 http：／／004km.cn。

6．章建躍：《數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)容與方法(指導(dǎo)意見)》，載《中國數(shù)學(xué)課程

網(wǎng)》，網(wǎng)址http：／／math．cersp．com。

第二篇：《1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積》教學(xué)反思

《1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積》教學(xué)反思 這節(jié)課我通過生活實際引入，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從一個涂漆問題來引入本節(jié)課，如果能夠說買多少油漆合適，就會使學(xué)生更加體會數(shù)學(xué)是多么有用。在上課時，讓學(xué)生充分參與課堂，大部分是讓學(xué)生小組討論，然后上臺展示，這樣，就充分突出了學(xué)生的主體地位，語言簡潔，課堂處理比較到位。但是也存在許多問題。第一，板書不好，很亂。作圖不規(guī)范，沒有用直規(guī)作圖。第二，在講多面體展開圖時應(yīng)該強(qiáng)調(diào)是在同一平面內(nèi)。歸納小結(jié)時，應(yīng)該更全面。第三，求表面積時，應(yīng)該要講有關(guān)于割補(bǔ)法的應(yīng)用，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

通過這次的講課，我學(xué)習(xí)了許多的東西，對于自己的書寫是一個急需要解決的問題，在以后的教學(xué)過程中，我會不斷改進(jìn)，感謝各位領(lǐng)導(dǎo)的指導(dǎo)和教誨，使我深深的感到自己在成長。

第三篇：高中數(shù)學(xué) 課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)教案 新人教A版

課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）課 型：新授課 教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術(shù)體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

讓學(xué)生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價值

通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

教學(xué)要求：了解柱、錐、臺的體積計算公式；能運(yùn)用柱錐臺的表面積公式及體積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.教學(xué)重點：運(yùn)用公式解決問題.教學(xué)難點：理解計算公式之間的關(guān)系.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？

2.練習(xí)：正六棱錐的側(cè)棱長為6, 底面邊長為4, 求其表面積.3.提問：正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計算公式？

二、講授新課：

1.教學(xué)柱錐臺的體積計算公式： ① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）② 根據(jù)正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?Sh S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h(yuǎn)，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？

⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?(S'?S'S?S)h（S，S分別上、下底面積，h為高）

→ V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺的體積計算公式有何關(guān)系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當(dāng)臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式

1313'1313

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

公式記憶：V錐?Sh 131V臺?(S'?S'S?S)h

311V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h

332.教學(xué)體積公式計算的運(yùn)用：

例

1、一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估

3算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個數(shù)？

→ 列式計算 → 小結(jié)：體積計算公式

② 練習(xí)：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.三、鞏固練習(xí)：

1.把三棱錐的高分成三等分，過這些分點且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。

2、棱臺的兩個底面面積分別是245c㎡和80ｃ㎡，截得這個棱臺的棱錐的高為35cm，3求這個棱臺的體積。（答案：2325cm）

3.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，它的軸截面的面積為4，求圓錐的體積.234.高為12cm的圓臺，它的中截面面積為225πcm,體積為2800cm，求它的側(cè)面積。

5.倉庫一角有谷一堆，呈1/4圓錐形，量得底面弧長2.8m，母線長2.2m，這堆谷多重？3720kg/m

四、小結(jié)：柱錐臺的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實際運(yùn)用

五、作業(yè)：P28 2、3題； P30習(xí)題 3題.課后記

第四篇：【數(shù)學(xué)】1.3.1《柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）第二課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷幾何全的側(cè)面展一過程，感知幾何體的形狀。

（2）讓學(xué)生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價值

通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

二、教學(xué)重點、難點

重點：柱體、錐體、臺體的體積計算 難點：臺體體積公式的推導(dǎo)

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1、學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，通過剖析實物幾何體感受幾何體的特征，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

2、教學(xué)用具：實物幾何體，投影儀

四、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

(1).提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？(2).提問：正方體、長方體、圓柱的體積計算公式？

2、探究新知

教學(xué)柱錐臺的體積計算公式：

① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）

② 根據(jù)正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的棱柱與棱錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?13Sh

S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h(yuǎn)，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？ ⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?

→ V圓臺?13(S?''13(S?132'SS?S)h

（S，S分別上、下底面積，h為高）

2''SS?S)h??(r?rR?R)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺的體積計算公式有何關(guān)系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當(dāng)臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

3、例題分析講解

① 出示例：一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm3）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個數(shù)？

→ 列式計算

→ 小結(jié)：體積計算公式

② 練習(xí)：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.4、小結(jié)：柱錐臺的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實際運(yùn)用.5、作業(yè)：P30 3題； P32習(xí)題 3、4題.五、教學(xué)后記:

第五篇：高中數(shù)學(xué) (1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

整體設(shè)計

教學(xué)分析

本節(jié)一開始的“思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個“探究”，要求學(xué)生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題，并通過例1進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識.教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺的展形圖是由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題.教科書通過“思考”提出“如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問題.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺表面積問題的“探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動、變化的觀點分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺的表面積公式之下.關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問題.度量體積時應(yīng)知道：①完全相同的幾何體，它的體積相等；②一個幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個幾何體叫做等積體.相同的兩個幾何體一定是等積體，但兩個等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在等體積概念之上的.柱體和錐體的體積計算，是經(jīng)常要解決的問題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個“探究”，要求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來得出結(jié)論.與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺體的體積公式后，安排了一個“思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實際上，這幾個公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺體的體積公式中，令S′=S，得柱體的體積公式；令S′=0，得錐體的體積公式.值得注意的是在教學(xué)過程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來展示幾何體的展開圖.對于空間想象能力較差的學(xué)生，可以通過制作實物模型，經(jīng)過操作確認(rèn)來增強(qiáng)空間想象能力.三維目標(biāo)

1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點難點

教學(xué)重點：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點：表面積和體積計算公式的應(yīng)用.課時安排 1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.在過去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計算？ 思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

正方體及其展開圖(1)長方體及其展開圖(2)

圖1 ②棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？

③如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？

④聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺的上、下底面半徑分別是r′,r，母線長為l，你能計算出它的表面積嗎？ ⑤圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關(guān)系？

活動：①學(xué)生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.②學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個面的面積的和.③讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.④學(xué)生思考圓臺的側(cè)面展開圖的形狀.⑤提示學(xué)生用動態(tài)的觀點看待這個問題.討論結(jié)果：①正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.2

②棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個面的面積的和；棱臺的側(cè)面展開圖是由多個梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.③它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為

2l，那么圓柱的底面面積為πr,側(cè)面面積為2πrl.因此，圓柱的表面積2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它2的表面積S=πr+πrl=πr(r+l).點評：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.④圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側(cè)22面的面積，即S=π(r+r′+rl+r′l).圖4 ⑤圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積的關(guān)系：

圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：

1212S圓柱表=2πr(r+l)????S圓臺表=π(r1l+r2l+r1+r2)?????S圓錐表=πr(r+l).r?r?r2

2r?0,r?r從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺側(cè)面積公式演變而來.提出問題

①回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？

②比較柱體、錐體、臺體的體積公式： V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

1Sh(S為底面積，h為錐體的高)； 31V臺體=(S?SS'?S')h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).3V錐體=你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？

活動：①讓學(xué)生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.3

②讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關(guān)系？ 討論結(jié)果：

32①棱長為a的正方體的體積V=a=aa=Sh；

長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πrh=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.11Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.3311棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=Sh(S為底面面積，h為高).33圓錐的體積公式是V=由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式V=其中S′，S分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.②柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當(dāng)S′=0時，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S′=S時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5：

圖5 應(yīng)用示例

思路1

例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S—ABC（圖6），求它的表面積.圖6

活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體S—ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.4

因為BC=a,SD=SB?BD?22a3a2?()2?a，22所以S△SBC=13321a?a.BC·SD=a?224232a?3a2.4因此，四面體S—ABC的表面積S=4×點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練

1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為

SS，由題意得圓錐的高為，又圓錐2?r2?r2的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長l=r?(得

S2)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式2?rS2)?S圓錐側(cè)=πrl=π·r·r?(2?r24?2r4?S2.22.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1∶2∶3，于是自上而下三個圓錐的體積之比為（?3［r2h)∶

?3∶［(2r)2·2h］

?3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱錐V—ABC的中截面是△A1B1C1，則三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A—A1BC的體積之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1∶4，將三棱錐A—A1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1—ABC，這樣三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A1—ABC的高相等，底面積之比為1∶4，于是其體積之比為1∶4.答案：B 例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計算器）

圖7

活動：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=π［(-π（1521520)??15??15］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

21.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時間是多少?（精確到0.01秒）

解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，2∵圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，2∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5π m，10m220?因此油漆工完成任務(wù)所需的時間t=≈6.37秒.?0.5?m2點評：本題雖然是實際問題，但是通過仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題.解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經(jīng)過的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾動一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.11112?xy?x(4?x)??(x-2)2+，由于x＞0，則當(dāng)

332662x=2時，三棱錐的體積取最大值.32答案：

3分析：由題意得三棱錐的體積是例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（π取3.14）

3圖8

活動：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的個數(shù)為5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(個).答：這堆螺帽大約有252個.點評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）

圖9

解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, ?AGBG2r?214∴?.∴r=分米.525∴∴當(dāng)水面的高度為3分米時，容器中水的體積為

14214876?2)+×4+4］=立方分米，2555876?292?∴所用的時間為25?≈36.69秒.325V水=?·3［(13答：所用的時間為36.69秒.思路2

例1（2007山東煙臺高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（）

圖11 A.1 B.111 C.D.236活動：讓學(xué)生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=1111S?ABCPA???1?.3326

圖12

答案：D 點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練

1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個正三棱柱的表面積為（）

圖13 A.183 B.153 C.24?83 D.24?163 分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為23，正三棱柱的高為

2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

圖14

答案：C 2.（2007山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文3）如果一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的體積為（）A.3?23?? B.C.3? D.333分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為

3，所以這個幾何體的體積為V=13????12?3?.33答案：A 3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為

8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為

6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設(shè)底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)?42?()2?42, 229(2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC邊上的高為h1=VO?（在△VAB中，AB邊上的高為h2=VO?(2BC26)?42?()2=5.22所以此幾何體的側(cè)面積S=2(?6?42?121?8?5)=40+242.2點評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計算；三是在解答題中，作為最后一問.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（π取3.14）

圖17 活動：因為正方體的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.2解：正方體的表面積為16×6=96（cm），2一個圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28（cm），2則打孔后幾何體的表面積為96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：幾何體的表面積為133.68 cm.點評：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺，再通過這些基本柱、錐、臺的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積與六個圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點，思考就會變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會是錯誤的.變式訓(xùn)練

圖18所示是由18個邊長為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18

分析：從圖18中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個.另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個面的表面積也是分別相同的.22解：因為小正方體的棱長是1 cm，所以上面的表面積為1×9=9（cm），2222前面的表面積為1×8=8（cm），左面的表面積為1×7=7（cm），2則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此幾何體的表面積為48 cm.知能訓(xùn)練

1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a=96，解得a=4，則正方體的體積是a=64.答案：B 2.（2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=3?1=2，所以圓錐的表面積為S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為23，則這個正三棱錐的體積是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=(23)?(3)=3，于是V=?133293?3?3?.44答案：D 4.若圓柱的高擴(kuò)大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的_________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的_________倍.2分析：圓柱的體積公式為V圓柱=πrh，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來的4倍，其體積也變?yōu)?/p>

2原來的4倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍時，其體積變?yōu)樵瓉淼?=16倍.答案：4 16 5.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現(xiàn)在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?

圖20

分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐.3解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a.三棱錐的底面是Rt△AGF，即∠FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=

1a.2 11

1111?a?a?a2.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以2228111113AH=a.所以鋸掉的部分的體積為?a?a2?a.2328481311又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.a?a3?484848所以△AGF的面積為6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是____________.??2S?l?S,分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得?2解得r=，所

2????l?2?r,以圓錐的底面積為πr=??

2SS?.2?2

圖21

答案：S 27.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_________.圖22 圖23 分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=S△ABCh.又圖23中水組成了一個

3S?ABC?2a3334?a.直四棱柱，其底面積為S?ABC，高度為2a，則V=S?ABC·2a，∴h=

S?ABC244答案：3a 28.圓臺的兩個底面半徑分別為2、4，截得這個圓臺的圓錐的高為6，則這個圓臺的體積是_____________.12

分析：設(shè)這個圓臺的高為h，畫出圓臺的軸截面，可得臺的體積是

26?h，解得h=3，所以這個圓?46?22(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某個幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）

圖24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：該幾何體是四棱錐，并且長為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,2底面是邊長為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是20×20=400 cm，所以該幾何體的體積是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

問題：有兩個相同的直三棱柱，高為

2，底面三角形的三邊長分別為3a,4a,5a(a＞0).用它a們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是___________.探究：兩個相同的直三棱柱并排放拼成一個三棱柱或四棱柱，有三種情況：

2四棱柱有一種，就是邊長為5a的邊重合在一起，表面積為24a+28，三棱柱有兩種，邊長為

224a的邊重合在一起，表面積為24a+32，邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a+36，兩

2個相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況，表面積為12a+48, 最小的是一個四棱柱，這說明24a+28＜12a+48?12a＜20?0＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

1.柱體、錐體、臺體的表面積和體積公式.2.應(yīng)用體積公式解決有關(guān)問題.作業(yè)

習(xí)題1.3 A組 第1、2、3題.設(shè)計感想

新課標(biāo)對本節(jié)內(nèi)容的要求是了解棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式），也就是說對體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求，按通常的理解是會求體積和面積，以及很簡單的應(yīng)用即可.因此本節(jié)教學(xué)設(shè)計中就體現(xiàn)了這一點，沒有過多地在公式的推導(dǎo)上“糾纏不休”，把重點放在了對公式的簡單應(yīng)用上.由于本節(jié)圖形較多，建議在使用時，盡量結(jié)合信息技術(shù).